AP EAMCET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\eta_1 = 0.60$, $T_1 = 600 \text{ K}$.
$0.60 = 1 - \frac{T_2}{600} \implies \frac{T_2}{600} = 0.40 \implies T_2 = 240 \text{ K}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\eta_2 = 0.80$, $T_2 = 240 \text{ K}$.
$0.80 = 1 - \frac{240}{T_1'} \implies \frac{240}{T_1'} = 0.20 \implies T_1' = \frac{240}{0.20} = 1200 \text{ K}$.
આમ, સ્ત્રોતનું નવું જરૂરી તાપમાન $1200 \text{ K}$ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિન માટે,વિનિમય પામેલી ઉષ્માનો ગુણોત્તર એ સ્ત્રોત અને સિંકના નિરપેક્ષ તાપમાનના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે: $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
આપેલ છે:
સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા,$Q_1 = 600 \ J$.
સિંકને મુક્ત કરેલી ઉષ્મા,$Q_2 = 400 \ J$.
સ્ત્રોતનું તાપમાન,$T_1 = 127^{\circ} C = 127 + 273 = 400 \ K$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{600}{400} = \frac{400}{T_2}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $1.5 = \frac{400}{T_2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = \frac{400}{1.5} = 266.67 \ K \approx 266.7 \ K$.

(D) રેફ્રિજરેટરના પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(COP)$ ને ઠંડા રિઝર્વોયરમાંથી ખેંચેલી ઉષ્મા $(Q_L)$ અને આપેલા કાર્ય $(W)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$COP = \frac{Q_L}{W} = \frac{Q_L}{Q_H - Q_L}$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમ મુજબ,બાહ્ય કાર્ય કર્યા વિના ઉષ્મા આપમેળે ઠંડા પદાર્થમાંથી ગરમ પદાર્થ તરફ વહી શકતી નથી.
આ નિયમ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા અને રેફ્રિજરેટરના $COP$ પર સૈદ્ધાંતિક ઉપલી મર્યાદા (કાર્નોટ મર્યાદા) લાદે છે.
તેથી,રેફ્રિજરેટરના $COP$ માટેની મૂળભૂત મર્યાદા ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિન માટે, કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ $\eta = 1 - \frac{T_{low}}{T_{high}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વધુમાં, કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ $W = Q_{in} \cdot \eta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_{in}$ એ સ્ત્રોતમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા છે.
એન્જિન $A$ માટે: $W_A = Q_A \left(1 - \frac{T}{600}\right)$.
એન્જિન $B$ માટે: $W_B = Q_B \left(1 - \frac{400}{T}\right)$.
એન્જિન શ્રેણીમાં હોવાથી, એન્જિન $A$ દ્વારા મુક્ત થયેલી ઉષ્મા એ એન્જિન $B$ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા છે, તેથી $Q_B = Q_A \left(\frac{T}{600}\right)$.
$W_A = W_B$ આપેલ હોવાથી, આપણી પાસે $Q_A \left(1 - \frac{T}{600}\right) = Q_A \left(\frac{T}{600}\right) \left(1 - \frac{400}{T}\right)$ છે.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $1 - \frac{T}{600} = \frac{T}{600} - \frac{400}{600}$.
$1 + \frac{400}{600} = \frac{2T}{600}$.
$1 + \frac{2}{3} = \frac{T}{300} \implies \frac{5}{3} = \frac{T}{300}$.
$T = \frac{5 \times 300}{3} = 500 \ K$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનમાં,સમતાપી વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્ય $(W_{exp})$ $W_{exp} = nRT_H \ln(V_2/V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને સમતાપી સંકોચન દરમિયાન થયેલ કાર્ય $(W_{comp})$ $W_{comp} = nRT_L \ln(V_2/V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $W_{exp} = W_{comp} + 0.25 W_{comp} = 1.25 W_{comp}$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $nRT_H \ln(V_2/V_1) = 1.25 nRT_L \ln(V_2/V_1)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $T_H = 1.25 T_L$,અથવા $T_L/T_H = 1/1.25 = 0.8$ મળે છે.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - (T_L/T_H)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમત મૂકતા,$\eta = 1 - 0.8 = 0.2$.
આમ,કાર્યક્ષમતા $20 \%$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે સ્ત્રોતનું તાપમાન $T_1$ એ સિંકના તાપમાન $T_2$ કરતા $25 \%$ વધારે છે,તેથી: $T_1 = T_2 + 0.25 T_2 = 1.25 T_2$.
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં $T_1$ ની કિંમત મૂકતા: $\eta = 1 - \frac{T_2}{1.25 T_2} = 1 - \frac{1}{1.25}$.
કારણ કે $1.25 = \frac{5}{4}$,તેથી: $\eta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
આને ટકામાં ફેરવતા: $\eta = \frac{1}{5} \times 100 \% = 20 \%$.

(C) કાર્નોટ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાર્નોટ રેફ્રિજરેટરના પરફોર્મન્સ ગુણાંક $\beta = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા અને રેફ્રિજરેટરના પરફોર્મન્સ ગુણાંકનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
ગુણોત્તર $= \frac{\eta}{\beta} = \frac{\frac{T_1 - T_2}{T_1}}{\frac{T_2}{T_1 - T_2}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
ગુણોત્તર $= \frac{T_1 - T_2}{T_1} \times \frac{T_1 - T_2}{T_2} = \frac{(T_1 - T_2)^2}{T_1 T_2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) રેફ્રિજરેટરનો પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(\beta)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\beta = \frac{Q_2}{W}$, જ્યાં $Q_2$ એ ઠંડા રિઝર્વોયર (કૂલિંગ કમ્પાર્ટમેન્ટ) માંથી ખેંચેલી ગરમી છે અને $W$ એ સિસ્ટમ પર કરેલું કાર્ય છે.
આપેલ છે: $\beta = 5$ અને $Q_2 = 250 \ J$.
કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{250}{W} \implies W = \frac{250}{5} = 50 \ J$.
રૂમમાં મુક્ત થતી ગરમી $(Q_1)$ એ ખેંચેલી ગરમી અને કરેલા કાર્યનો સરવાળો છે: $Q_1 = Q_2 + W$.
$Q_1 = 250 \ J + 50 \ J = 300 \ J$.
તેથી, રેફ્રિજરેટર દ્વારા રૂમમાં પ્રતિ ચક્ર મુક્ત થતી ગરમી $300 \ J$ છે.

(D) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
ધારો કે $\Delta T = T_1 - T_2$ એ તાપમાનનો તફાવત છે,જે બંને એન્જિન માટે સમાન છે.
આમ,$\eta = \frac{\Delta T}{T_1}$.
કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર $\frac{\eta_A}{\eta_B} = 1.25 = \frac{5}{4}$ આપેલ છે.
કારણ કે $\eta_A = \frac{\Delta T}{T_{1A}}$ અને $\eta_B = \frac{\Delta T}{T_{1B}}$,તેથી $\frac{\eta_A}{\eta_B} = \frac{T_{1B}}{T_{1A}} = \frac{5}{4}$.
તેથી,સોર્સના નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણોત્તર $T_{1A} : T_{1B} = 4 : 5$ થાય છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = \frac{1}{3}$,તેથી $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{3} \implies T_1 = 1.5 T_2$.
જ્યારે સ્ત્રોતનું તાપમાન $50 \ K$ ઘટાડવામાં આવે અને સિંકનું તાપમાન $25 \ K$ વધારવામાં આવે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = \frac{3}{16}$ થાય છે.
તેથી,$1 - \frac{T_2 + 25}{T_1 - 50} = \frac{3}{16} \implies \frac{T_2 + 25}{T_1 - 50} = \frac{13}{16}$.
સમીકરણમાં $T_1 = 1.5 T_2$ મૂકતા:
$\frac{T_2 + 25}{1.5 T_2 - 50} = \frac{13}{16}$.
ગુણાકાર કરતા: $16(T_2 + 25) = 13(1.5 T_2 - 50)$.
$16 T_2 + 400 = 19.5 T_2 - 650$.
$1050 = 3.5 T_2$.
$T_2 = \frac{1050}{3.5} = 300 \ K$.

(A) આપેલ $P-V$ આકૃતિમાં:
$1$. પ્રક્રિયા $I$ એ શિરોલંબ રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે કદ $V$ અચળ છે. આ એક આઇસોકોરિક (સમકદ) પ્રક્રિયા છે. તેથી,$I-c$.
$2$. પ્રક્રિયા $IV$ એ આડી રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે દબાણ $P$ અચળ છે. આ એક આઇસોબેરિક (સમદાબી) પ્રક્રિયા છે. તેથી,$IV-b$.
$3$. પ્રક્રિયાઓ $II$ અને $III$ એ વક્રો છે જે $P$ અને $V$ બંનેમાં ફેરફાર દર્શાવે છે. $II$ એ $300 \ K$ અને $500 \ K$ આઇસોથર્મ્સને જોડે છે અને $III$ એ $500 \ K$ અને $700 \ K$ આઇસોથર્મ્સને જોડે છે,તેથી તે એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે. વિકલ્પોને જોતા,$I-c$ અને $IV-b$ નિશ્ચિત છે. તેથી,સાચી જોડી $I-c, II-a, III-d, IV-b$ છે.

(B) વાયુનું અચાનક સંકોચન એ એડિબેટિક (સમઉષ્મી) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ (વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર) છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 400 \ cc$
અંતિમ કદ $V_2 = 100 \ cc$
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.5 = 3/2$
એડિબેટિક સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$P \times (400)^{3/2} = P_2 \times (100)^{3/2}$
$P_2 = P \times (400/100)^{3/2}$
$P_2 = P \times (4)^{3/2}$
$P_2 = P \times (2^2)^{3/2}$
$P_2 = P \times 2^3$
$P_2 = 8P$
તેથી,અંતિમ દબાણ $8P$ છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $Q = \Delta U + W$ છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા હોવાથી $Q = 0$,તેથી $W = -\Delta U$ થાય.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ છે.
આપેલ છે: $n = 3$ મોલ,$\Delta T = -50^{\circ} C$ (તાપમાનમાં ઘટાડો થતો હોવાથી).
તેથી,$\Delta U = 3 \times (\frac{5}{2} R) \times (-50) = 3 \times 2.5 R \times (-50) = -375 R$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = -\Delta U = -(-375 R) = 375 R$ થાય.

(D) આદર્શ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{7}{2}R$ છે અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2}R$ છે.
જ્યારે અચળ દબાણે $dQ$ જેટલી ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઉષ્મા $dQ = n C_p dT = n (\frac{7}{2}R) dT$ થાય છે.
આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા $dU = n C_v dT = n (\frac{5}{2}R) dT$ છે.
આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્માનો અંશ $f = \frac{dU}{dQ} = \frac{n (\frac{5}{2}R) dT}{n (\frac{7}{2}R) dT} = \frac{5/2}{7/2} = \frac{5}{7}$ થાય છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા, આપણને $\log P + \gamma \log V = \text{અચળ}$ મળે છે, જેને $\log P = -\gamma \log V + C$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે, જ્યાં ઢાળ $m = -\gamma$ છે.
આલેખ પરથી, ઢાળની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$m = \frac{\log P_2 - \log P_1}{\log V_2 - \log V_1} = \frac{2.20 - 2.48}{1.4 - 1.2} = \frac{-0.28}{0.2} = -1.4$.
કારણ કે $m = -\gamma$, તેથી $-\gamma = -1.4$, જેનો અર્થ છે કે $\gamma = 1.4$.
તેથી, વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાઓનો ગુણોત્તર $1.4$ છે.

(C) અચળ દબાણે થતી પ્રક્રિયા માટે આદર્શ વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = nR\Delta T$ છે.
અહીં,મોલની સંખ્યા $n = 6$ છે.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 20^{\circ} C = 20 \ K$ છે (કારણ કે સેલ્સિયસ અને કેલ્વિન સ્કેલ પર તાપમાનનો તફાવત સમાન હોય છે).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = 6 \times 8.31 \times 20$
$W = 120 \times 8.31$
$W = 997.2 \ J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln P + \gamma \ln V = \text{અચળ}$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$.
તેથી,દબાણમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$ થાય.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = \frac{7}{5} = 1.4$ છે.
કદમાં વધારો $\frac{dV}{V} = 0.5 \% = 0.005$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dP}{P} = -1.4 \times 0.5 \% = -0.7 \%$.
આમ,દબાણમાં થતો ફેરફાર $-0.7 \%$ છે.

(A) મોનોએટોમિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે. $STP$ પર,$1$ મોલ વાયુ $22.4$ લિટર જગ્યા રોકે છે. તેથી,મોલની સંખ્યા $n = 5.6 / 22.4 = 0.25$ મોલ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
અહીં $V_1 = 5.6$ $L$,$V_2 = 0.7$ $L$,અને $T_1 = 273$ $K$ આપેલ છે.
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 273 \times (5.6/0.7)^{5/3-1} = 273 \times (8)^{2/3} = 273 \times 4 = 1092$ $K$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = -\Delta U = -n C_v (T_2 - T_1)$ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,$C_v = 3R/2$ છે.
$W = -0.25 \times (3R/2) \times (1092 - 273) = -0.375 R \times 819 = -307.125 R$.
વાયુ પર થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય આશરે $307 R$ છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, થયેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર: $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$ છે.
$P_i V_i^\gamma = P_f V_f^\gamma$ હોવાથી, $P_f = P_i (V_i / V_f)^\gamma$ મળે.
અહીં $V_f = 8 V_i$ અને એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે $\gamma = 5/3$ છે, તેથી $P_f = P_i (1/8)^{5/3} = P_i / 32$ મળે.
આ કિંમતો કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા: $W = \frac{P_i V_i - (P_i / 32)(8 V_i)}{5/3 - 1} = \frac{P_i V_i - P_i V_i / 4}{2/3} = \frac{(3/4) P_i V_i}{2/3} = \frac{9}{8} P_i V_i$.
આપેલ છે કે $W = 180 \text{ J}$ અને $P_i = 100 \times 10^3 \text{ Pa}$, તેથી $180 = \frac{9}{8} \times 10^5 \times V_i$.
$V_i = \frac{180 \times 8}{9 \times 10^5} = \frac{160}{10^5} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ m}^3$.
તેને $\text{cm}^3$ માં ફેરવતા: $1.6 \times 10^{-3} \times 10^6 \text{ cm}^3 = 1600 \text{ cm}^3$.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સનો શૂન્ય ક્રમનો નિયમ જણાવે છે કે જો બે સિસ્ટમ ત્રીજી સિસ્ટમ સાથે થર્મલ સંતુલનમાં હોય,તો તેઓ એકબીજા સાથે પણ થર્મલ સંતુલનમાં હોય છે.
થર્મલ સંતુલન એટલે એવી સ્થિતિ જેમાં એકબીજાના સંપર્કમાં રહેલી બે સિસ્ટમ વચ્ચે કોઈ ચોખ્ખી ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી.
આ સ્થિતિ ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે બંને સિસ્ટમનું તાપમાન સમાન હોય.
તેથી,થર્મલ સંતુલનમાં રહેલા બે પદાર્થો માટે સમાન રહેતી ભૌતિક રાશિ તાપમાન છે.

(C) પ્લાન્ક અચળાંક $(h)$ એ ફોટોનની ઉર્જા $(E)$ અને તેની આવૃત્તિ $(
u)$ સાથે નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: $E = h
u$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ $h = \frac{E}{\nu}$.
ઉર્જા $(E)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2 T^{-2}]$ છે.
આવૃત્તિ $(
u)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{-1}]$ છે.
આ કિંમતોને $h$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2 T^{-2+1}] = [ML^2 T^{-1}]$.
તેથી,પ્લાન્ક અચળાંકનું સાચું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2 T^{-1}]$ છે.

(C) કઈ જોડીનું પારિમાણિક સૂત્ર સમાન નથી તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. કાર્ય અને ટોર્ક: બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
$2$. કોણીય વેગમાન અને પ્લાન્કનો અચળાંક: બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-1}]$ છે.
$3$. સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) અને રેખીય વેગમાન: સ્ટ્રેસ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ,જેનું સૂત્ર $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે. રેખીય વેગમાન એટલે દળ ગુણ્યા વેગ,જેનું સૂત્ર $[MLT^{-1}]$ છે. આ બંને સમાન નથી.
$4$. પૃષ્ઠતાણ અને બળ અચળાંક: બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[MT^{-2}]$ છે.
તેથી,જે જોડીનું પારિમાણિક સૂત્ર સમાન નથી તે સ્ટ્રેસ અને રેખીય વેગમાન છે.

(A) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $(t+c)$ પદ માટે,$c$ નું પરિમાણ સમય $t$ ના પરિમાણ જેટલું જ હોવું જોઈએ. તેથી,$[c] = [T]$.
$2$. $at$ પદ માટે,$at$ નું પરિમાણ વેગ $v$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ. કારણ કે $[v] = [LT^{-1}]$ અને $[t] = [T]$,તેથી $[a][T] = [LT^{-1}]$,જે આપણને $[a] = [LT^{-2}]$ આપે છે.
$3$. $\frac{b}{t+c}$ પદ માટે,આ પદનું પરિમાણ વેગ $v$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ. કારણ કે $[t+c] = [T]$ અને $[v] = [LT^{-1}]$,તેથી $\frac{[b]}{[T]} = [LT^{-1}]$,જે આપણને $[b] = [L]$ આપે છે.
આમ,પરિમાણો $[a] = [LT^{-2}]$,$[b] = [L]$,અને $[c] = [T]$ છે.

(B) સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ:
$1$. અગ્રણી શૂન્યો (પ્રથમ શૂન્યતર અંકની ડાબી બાજુના શૂન્યો) સાર્થક હોતા નથી. $0.03240$ માં,$3$ ની આગળના શૂન્યો સાર્થક નથી.
$2$. શૂન્યતર અંકો હંમેશા સાર્થક હોય છે. અહીં,$3, 2, 4$ સાર્થક છે.
$3$. દશાંશ સંખ્યામાં અંતમાં આવતા શૂન્યો સાર્થક હોય છે. $0.03240$ ના અંતમાં રહેલ શૂન્ય સાર્થક છે.
તેથી,સાર્થક અંકો $3, 2, 4, 0$ છે,જે કુલ $4$ સાર્થક અંકો આપે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\text{Force} = \frac{\alpha}{\text{density} + \beta^3}$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જે ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો થાય છે,તેમના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$\beta^3$ નું પરિમાણ એ ઘનતા (density) ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
ઘનતાનું પરિમાણ = $[M L^{-3} T^0]$.
તેથી,$[\beta^3] = [M L^{-3} T^0]$.
ઘનમૂળ લેતા,$[\beta] = [M^{1/3} L^{-1} T^0]$.
હવે,બળ (force) નું પરિમાણ $[M L T^{-2}]$ છે.
સમીકરણ પરથી,$\alpha = \text{Force} \times (\text{density} + \beta^3)$.
કારણ કે $(\text{density} + \beta^3)$ નું પરિમાણ ઘનતા જેટલું જ છે,તેથી $[\alpha] = [M L T^{-2}] \times [M L^{-3} T^0] = [M^2 L^{-2} T^{-2}]$.
આમ,પરિમાણો $[M^2 L^{-2} T^{-2}]$ અને $[M^{1/3} L^{-1} T^0]$ છે.

(A) ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $(S)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M T^{-2}]$ છે.
ધારો કે જરૂરી ભૌતિક રાશિ $X = \sqrt{\frac{K.E.}{S}}$ છે.
પરિમાણો મૂકતા: $X = \sqrt{\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[M T^{-2}]}}$.
સાદું રૂપ આપતા: $X = \sqrt{[L^2]} = [L]$.
પરિમાણ $[L]$ એ લંબાઈ અથવા અંતર દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે મહત્તમ તાપમાન $T_1 = 44^{\circ} C \pm 0.5^{\circ} C$ છે અને ન્યૂનતમ તાપમાન $T_2 = 22^{\circ} C \pm 0.5^{\circ} C$ છે.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = T_1 - T_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તફાવતનું મૂલ્ય $44^{\circ} C - 22^{\circ} C = 22^{\circ} C$ છે.
બાદબાકી માટે ભૂલ પ્રસરણના નિયમ મુજબ,જ્યારે બે રાશિઓની બાદબાકી કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની નિરપેક્ષ ભૂલોનો સરવાળો થાય છે.
તેથી,તફાવતમાં ભૂલ $\Delta(\Delta T) = \Delta T_1 + \Delta T_2 = 0.5^{\circ} C + 0.5^{\circ} C = 1.0^{\circ} C$ થશે.
આમ,તાપમાનનો તફાવત $22^{\circ} C \pm 1^{\circ} C$ છે.

(A) પગલું $1$: કૌંસની અંદરની બાદબાકી કરો. $0.312 - 0.03 = 0.282$. બાદબાકી માટે સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,પરિણામમાં દશાંશ ચિહ્ન પછી તેટલા જ અંકો હોવા જોઈએ જેટલા સૌથી ઓછા દશાંશ અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે. અહીં,$0.03$ માં બે દશાંશ અંકો છે,તેથી પરિણામ $0.282$ ને $0.28$ (બે દશાંશ અંકો) તરીકે રાઉન્ડ ઓફ કરવામાં આવે છે.
પગલું $2$: ભાગાકાર કરો. $\frac{0.501}{0.05} = 10.02$.
પગલું $3$: પરિણામોનો ગુણાકાર કરો. $10.02 \times 0.28 = 2.8056$.
પગલું $4$: ગુણાકાર માટેના નિયમો લાગુ કરો. પરિણામમાં સાર્થક અંકોની સંખ્યા તેટલી જ હોવી જોઈએ જેટલી સૌથી ઓછા સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યામાં છે. $0.05$ માં $1$ સાર્થક અંક છે અને $0.28$ માં $2$ સાર્થક અંકો છે. તેથી,અંતિમ પરિણામને $1$ સાર્થક અંક સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ. આમ,સાર્થક અંકોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $S$ એ $S = 4\pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
પૃષ્ઠફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta S}{S} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta S}{S} \times 100 = 1.2 \%$,તેથી $2 \frac{\Delta r}{r} \times 100 = 1.2 \%$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.6 \%$.
ગોળાનું કદ $V$ એ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{\Delta r}{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 0.6 \% = 1.8 \%$ મળે છે.

(C) બે તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત તેમના આર્ગ્યુમેન્ટ્સના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $\phi_1 = \omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda}$ અને $\phi_2 = \omega t - \frac{2 \pi x}{\lambda} + \phi$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \phi$.
પથ તફાવત $(\Delta x)$ અને કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$.
પથ તફાવત $\Delta x$ માટે આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \Delta \phi$.
સમીકરણમાં $\Delta \phi = \phi$ મૂકતા:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2 \pi} \phi$.

(D) સ્થિત તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 0.7 \sin \left(\frac{7 \pi}{4} x\right) \cos (350 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{7 \pi}{4} \ m^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 350 \pi \ rad \ s^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{\omega}{k}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{350 \pi}{7 \pi / 4}$
$v = 350 \pi \times \frac{4}{7 \pi}$
$v = 50 \times 4 = 200 \ m \ s^{-1}$
આમ,તરંગની ઝડપ $200 \ m \ s^{-1}$ છે.

(C) ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે。
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L}$.
આપેલ છે: $m = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$, $L = 81 \text{ cm} = 0.81 \text{ m}$, $T = 50 \text{ N}$.
$\mu$ ની ગણતરી કરો: $\mu = \frac{5 \times 10^{-3}}{0.81} \text{ kg/m}$.
હવે, કિંમતોને ઝડપના સૂત્રમાં મૂકો:
$v = \sqrt{\frac{50}{\frac{5 \times 10^{-3}}{0.81}}} = \sqrt{\frac{50 \times 0.81}{5 \times 10^{-3}}} = \sqrt{10 \times 0.81 \times 10^3} = \sqrt{8100} = 90 \text{ m s}^{-1}$.
આમ, લંબગત તરંગની ઝડપ $90 \text{ m s}^{-1}$ છે.

(C) તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 1.5 \sin((5 \times 10^{-3} x) + 20 t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 5 \times 10^{-3} \ cm^{-1}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 20 \ rad/s$
તરંગની ઝડપ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{20}{5 \times 10^{-3}} = 4000 \ cm/s = 40 \ m/s$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{m}{L} = \frac{3 \ g}{80 \ cm} = \frac{3 \times 10^{-3} \ kg}{0.8 \ m} = 3.75 \times 10^{-3} \ kg/m$.
ખેંચાયેલી દોરીમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે.
તેથી,$T = v^2 \mu = (40)^2 \times (3.75 \times 10^{-3}) = 1600 \times 0.00375 = 6 \ N$.

(D) ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \ m \ s^{-1}$ છે.
તરંગલંબાઈઓ $\lambda_1 = 0.99 \ m$ અને $\lambda_2 = 1.00 \ m$ છે.
આવૃત્તિઓ $f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{330}{0.99} = \frac{33000}{99} = \frac{1000}{3} \ Hz$ અને $f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{330}{1.00} = 330 \ Hz$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_1 - f_2| = |\frac{1000}{3} - 330| = |\frac{1000 - 990}{3}| = \frac{10}{3} \ Hz$ થાય.
બીટ આવૃત્તિ એટલે પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા. તેથી,$f_b = \frac{\text{બીટ્સની સંખ્યા}}{t}$.
આપેલ છે કે $t$ સેકન્ડમાં $10$ બીટ્સ ઉત્પન્ન થાય છે,તેથી $\frac{10}{3} = \frac{10}{t}$.
આમ,$t = 3 \ s$ મળે.

(D) બે ધ્વનિ તરંગોના આપેલા સમીકરણો $y_1 = 3 \sin(250 \pi t)$ અને $y_2 = 2 \sin(260 \pi t)$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_1 = 250 \pi \text{ rad/s}$ અને $\omega_2 = 260 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ એ $f = \frac{\omega}{2 \pi}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$f_1 = \frac{250 \pi}{2 \pi} = 125 \text{ Hz}$ અને $f_2 = \frac{260 \pi}{2 \pi} = 130 \text{ Hz}$.
બીટ આવૃત્તિ $f_b$ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_b = |f_2 - f_1| = |130 - 125| = 5 \text{ Hz}$.
બે ક્રમિક મહત્તમ તીવ્રતાઓ વચ્ચેનો સમયગાળો એ બીટ્સનો સમયગાળો છે,જે $T_b = \frac{1}{f_b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_b = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ s}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે. સ્ત્રોતની ઝડપ $v_s = 0.1v$ અને અવલોકનકારની ઝડપ $v_o = 0.1v$ છે.
બંને એકબીજાની નજીક આવી રહ્યા હોવાથી,ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ સંભળાતી આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$f' = f \left( \frac{v + 0.1v}{v - 0.1v} \right) = f \left( \frac{1.1v}{0.9v} \right) = f \left( \frac{11}{9} \right)$
$f' \approx 1.222f$
આવૃત્તિમાં થતો ફેરફાર $\Delta f = f' - f = 1.222f - f = 0.222f$ છે.
ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = 0.222 \times 100 = 22.2 \%$ થાય.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે, $n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n \cdot f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ $(n = 1, 3, 5, 7, 9, ...)$.
$L$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં, $n^{th}$ હાર્મોનિક માટે બનતા નોડ્સની સંખ્યા $N$ એ સૂત્ર $N = \frac{n+1}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમા હાર્મોનિક $(n = 5)$ માટે:
$N_5 = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
નવમા હાર્મોનિક $(n = 9)$ માટે:
$N_9 = \frac{9+1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
તેથી, બનતા નોડ્સની સંખ્યા અનુક્રમે $3$ અને $5$ છે.

(D) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y(x, t) = A \sin (kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y(x, t) = 0.5 \sin (70.1 x - 10 \pi t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10 \pi \text{ rad/s}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi f$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$10 \pi = 2 \pi f$ મળે છે.
$f$ માટે ઉકેલતા,$f = \frac{10 \pi}{2 \pi} = 5 \text{ Hz}$ મળે છે.
તેથી,તરંગની આવૃત્તિ $5 \text{ Hz}$ છે.

(A) ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ $f = 500 \text{ Hz}$ છે.
તરંગને $X$ થી $Y$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = 2 \text{ s}$ છે.
સમય $t$ માં ઉદગમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા તરંગોની સંખ્યા $N$ એ સૂત્ર $N = f \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $N = 500 \text{ Hz} \times 2 \text{ s} = 1000$.
આમ,બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચે $1000$ તરંગો છે.

(C) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
તણાવ $T$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$f \propto \frac{1}{L}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $fL = \text{અચળ} = k$.
તેથી,$L = \frac{k}{f}$.
જ્યારે $L$ લંબાઈના તારને $L_1, L_2, L_3$ લંબાઈના ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે $L = L_1 + L_2 + L_3$ થાય.
સમીકરણમાં $L = \frac{k}{f}$,$L_1 = \frac{k}{f_1}$,$L_2 = \frac{k}{f_2}$,અને $L_3 = \frac{k}{f_3}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{k}{f} = \frac{k}{f_1} + \frac{k}{f_2} + \frac{k}{f_3}$.
બંને બાજુ $k$ વડે ભાગતા,આપણને સંબંધ મળે છે: $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$.

(B) આપેલ છે: દડાનું દળ $m = 0.25 \ kg$,અંતિમ વેગ $v = 12 \ m \ s^{-1}$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m \ s^{-1}$,અને અંતર $s = 0.9 \ m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $(12)^2 = (0)^2 + 2 \times a \times 0.9$.
$144 = 1.8 \times a$.
$a = 144 / 1.8 = 80 \ m \ s^{-2}$.
હવે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F = ma$.
$F = 0.25 \ kg \times 80 \ m \ s^{-2} = 20 \ N$.
તેથી,દડા પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $20 \ N$ છે.

(B) કણની ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
કણ અચળ ઝડપ $v$ સાથે ગતિ કરતો હોવાથી,તેની ગતિની સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તેના વેગનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
દળ $m$ અને ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,વર્તુળાકાર માર્ગના દરેક બિંદુએ ગતિઊર્જા $K$ અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta K)$ એ અંતિમ ગતિઊર્જા $(K_f)$ અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i)$ નો તફાવત છે.
અહીં $K_f = K_i = \frac{1}{2} m v^2$ હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 0$ થાય છે.

(A) આડી સ્થિતિમાં ગોળાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $PE_i = mgh$ છે,જ્યાં $h = L = 200 \ cm = 2 \ m$ છે.
તેથી,$PE_i = m \times 10 \times 2 = 20m$ (અહીં $g=10$ છે).
જ્યારે ગોળો મધ્યમાન સ્થિતિએ પહોંચે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઉર્જા ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ઉર્જાના $10 \%$ ગુમાવાય છે,તેથી બાકી રહેલી ઉર્જા પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જાના $90 \%$ છે.
$KE_f = 0.9 \times PE_i = 0.9 \times mgL = 0.9 \times m \times 10 \times 2 = 18m$.
મધ્યમાન સ્થિતિએ,$KE_f = \frac{1}{2}mv^2$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = 18m$.
$v^2 = 36$.
$v = 6 \ m \ s^{-1}$.

(B) આપેલ છે: પદાર્થ $A$ નું દળ $(m_A = 20 \ kg)$,પદાર્થ $B$ નું દળ $(m_B = 5 \ kg)$,બળ $(F = 40 \ N)$.
બંને પદાર્થો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી તેમની ગતિઊર્જા $K_A = K_B = K$ છે.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K = \frac{p^2}{2m}$ છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
$K_A = K_B$ હોવાથી,$\frac{p_A^2}{2m_A} = \frac{p_B^2}{2m_B} \implies \frac{p_A}{p_B} = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$.
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,$F \cdot t = \Delta p$. પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,$p = F \cdot t$.
આમ,$\frac{p_A}{p_B} = \frac{F \cdot t_A}{F \cdot t_B} = \frac{t_A}{t_B}$.
તેથી,$\frac{t_A}{t_B} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $t_A: t_B = 2: 1$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2000 \ kg$,પાવર $P = 10 \ kW = 10000 \ W$,સમય $t = 10 \ s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પાવર $P = F \cdot v = (m \cdot a) \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$.
તેથી,$P \cdot dt = m \cdot v \cdot dv$.
બંને બાજુ $t = 0$ થી $t = 10 \ s$ અને $v = 0$ થી $v = v$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{10} P \, dt = \int_{0}^{v} m \cdot v \, dv$.
$P \cdot t = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.
$10000 \times 10 = \frac{1}{2} \times 2000 \times v^2$.
$100000 = 1000 \times v^2$.
$v^2 = 100$.
$v = 10 \ m \ s^{-1}$.

(B) કૂવાની ત્રિજ્યા $r = 1 \ m$ અને ઊંડાઈ $h = 14 \ m$ છે.
પાણીનું કદ $V = \pi r^2 h = \pi \times (1)^2 \times 14 = 14\pi \ m^3$.
પાણીનું દળ $m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = 1000 \ kg/m^3 \times 14\pi \ m^3 = 14000\pi \ kg$.
કૂવો ખાલી કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ પાણીની સ્થિતિઊર્જા જેટલું હોય છે,જ્યાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h/2 = 7 \ m$ ઊંડાઈએ છે.
$W = mgh_{cm} = (14000\pi) \times 10 \times 7 = 980000\pi \ J$.
પાવર $P = 1.4 \ kW = 1400 \ W$.
સમય $t = W / P = (980000\pi) / 1400 = 700\pi \ s$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$t = 700 \times 3.14 = 2198 \ s \approx 2200 \ s$.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય પદાર્થની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$F \cdot d = \frac{1}{2} m v^2$
અહીં બંને પદાર્થો માટે પ્રતિરોધક બળ $F$ સમાન હોવાથી,સ્થિર થાય તે પહેલાં કાપેલું અંતર $d$ નીચે મુજબ મળે:
$d = \frac{m v^2}{2F}$
પદાર્થ $A$ માટે:
$d_A = \frac{m_A v_A^2}{2F} = \frac{1.5 \times (20)^2}{2F} = \frac{1.5 \times 400}{2F} = \frac{600}{2F}$
પદાર્થ $B$ માટે:
$d_B = \frac{m_B v_B^2}{2F} = \frac{3 \times (15)^2}{2F} = \frac{3 \times 225}{2F} = \frac{675}{2F}$
અંતરનો ગુણોત્તર:
$\frac{d_A}{d_B} = \frac{600}{675} = \frac{24}{27} = \frac{8}{9}$
આમ,ગુણોત્તર $8: 9$ છે.

(A) કણની સ્થિતિઊર્જા $U(x) = 5x(x-4) = 5x^2 - 20x \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંરક્ષી ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$F = -\frac{d}{dx}(5x^2 - 20x) = -(10x - 20) = 20 - 10x$.
જ્યારે કણ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય (સંતુલન સ્થિતિ),ત્યારે કણની ઝડપ મહત્તમ હોય છે.
$F = 0$ લેતા,આપણને $20 - 10x = 0$ મળે છે.
$10x = 20$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2 \ m$.
આ સ્થાને સ્થિતિઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે,અને ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિઊર્જા મહત્તમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ઝડપ મહત્તમ છે.

(A) પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે।
જમીન પર $(h=0)$ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (20)^2 = 200m \,J$ છે।
જમીન પર પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = 0 \,J$ છે।
કુલ ઊર્જા $E = K_i + U_i = 200m \,J$.
$5 \,m$ ની ઊંચાઈએ, સ્થિતિઊર્જા $U_5 = mgh = m(10)(5) = 50m \,J$.
આપેલ છે કે $U_5 = 100 \,J$, તેથી $50m = 100$, જેનું સાદું રૂપ આપતા $m = 2 \,kg$ મળે છે।
કુલ ઊર્જા $E = 200(2) = 400 \,J$.
$10 \,m$ ની ઊંચાઈએ, સ્થિતિઊર્જા $U_{10} = mgh = 2(10)(10) = 200 \,J$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $E = K_{10} + U_{10}$.
$400 = K_{10} + 200$.
$K_{10} = 200 \,J$.

(B) આપેલ છે: ટ્રેનનું દળ $m = 10^6 \ kg$,ઝડપ $v = 108 \ km/h$.
પ્રથમ,ઝડપને $SI$ એકમોમાં ફેરવો: $v = 108 \times \frac{5}{18} \ m/s = 30 \ m/s$.
દર $100 \ kg$ દીઠ ઘર્ષણ બળ $0.5 \ N$ છે.
કુલ ઘર્ષણ બળ $F = \frac{10^6 \ kg}{100 \ kg} \times 0.5 \ N = 10^4 \times 0.5 \ N = 5000 \ N$.
ટ્રેન અચળ ઝડપે ગતિ કરતી હોવાથી,ડ્રાઇવિંગ ફોર્સ ઘર્ષણ બળ જેટલું જ હોવું જોઈએ: $F_{drive} = F = 5000 \ N$.
પાવર $P = F_{drive} \times v = 5000 \ N \times 30 \ m/s = 150,000 \ W = 150 \ kW$.

(A) ધારો કે કાચના સ્લેબનો વક્રીભવનાંક $\mu$ છે. બિંદુ $A$ આગળ આપાતકોણ $i = 45^\circ$ છે. ધારો કે $A$ આગળ વક્રીભવન કોણ $r$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ,$1 \cdot \sin(45^\circ) = \mu \cdot \sin(r)$,તેથી $\sin(r) = \frac{1}{\mu\sqrt{2}}$.
બિંદુ $B$ આગળ,આપાતકોણ $r' = 90^\circ - r$ છે. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ,જ્યાં $\sin(C) = \frac{1}{\mu}$.
તેથી,$\sin(90^\circ - r) \ge \frac{1}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(r) \ge \frac{1}{\mu}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^2(r) \ge \frac{1}{\mu^2}$,તેથી $1 - \sin^2(r) \ge \frac{1}{\mu^2}$.
$\sin^2(r) = \frac{1}{2\mu^2}$ મૂકતા,આપણને $1 - \frac{1}{2\mu^2} \ge \frac{1}{\mu^2}$ મળે છે,જેનું સાદુરૂપ આપતા $1 \ge \frac{3}{2\mu^2}$ મળે.
આમ,$\mu^2 \ge \frac{3}{2}$,અથવા $\mu \ge \sqrt{\frac{3}{2}}$. લઘુત્તમ વક્રીભવનાંક $\sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(C) સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું સામાન્ય લઘુત્તમ અંતર $(D)$ $25 \ cm$ છે. છોકરાનું લઘુત્તમ અંતર $35 \ cm$ હોવાથી,તે દૂરદ્રષ્ટિની ખામી (hypermetropia) થી પીડાય છે.
આ ખામીને સુધારવા માટે,આપણે એવા બહિર્ગોળ લેન્સનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ જે $25 \ cm$ પર મૂકેલી વસ્તુનું આભાસી પ્રતિબિંબ છોકરાના વાસ્તવિક નજીકના બિંદુ $35 \ cm$ પર બનાવે.
અહીં,વસ્તુ અંતર $u = -25 \ cm$ અને પ્રતિબિંબ અંતર $v = -35 \ cm$ છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{-35} - \frac{1}{-25} = \frac{1}{25} - \frac{1}{35}$.
$\frac{1}{f} = \frac{7 - 5}{175} = \frac{2}{175}$.
$f = \frac{175}{2} = 87.5 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોવાથી,તે બહિર્ગોળ લેન્સ છે.

(D) ટૂંકી દ્રષ્ટિની ખામી (માયોપિયા) ધરાવતી વ્યક્તિ દૂરની વસ્તુઓ સ્પષ્ટ રીતે જોઈ શકતી નથી કારણ કે પ્રતિબિંબ રેટિનાની આગળ રચાય છે। આ ખામીને સુધારવા માટે અંતર્ગોળ લેન્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
વ્યક્તિ અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુઓ $(u = \infty)$ જોઈ શકે તે માટે, લેન્સે વ્યક્તિના દૂરબિંદુ $(v = -400 \ cm = -4 \ m)$ પર આભાસી પ્રતિબિંબ રચવું જોઈએ.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-4} - \frac{1}{\infty} = -0.25 \ m^{-1}$.
પાવર $P = \frac{1}{f(\text{meters માં})}$ હોવાથી, આપણને $P = -0.25 \ D$ મળે છે.

(D) ધારો કે બે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ અને $f_2$ છે.
જ્યારે લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
અહીં $F = 4 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{4}$.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
આપણને $f_1 + f_2 = 18 \ cm$ આપેલ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{18}{f_1 f_2} = \frac{1}{4}$,જેથી $f_1 f_2 = 72 \ cm^2$ મળે.
આમ,આપણી પાસે સરવાળો $f_1 + f_2 = 18$ અને ગુણાકાર $f_1 f_2 = 72$ છે.
આ કિંમતો દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 18x + 72 = 0$ ના બીજ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 6)(x - 12) = 0$.
તેથી,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $6 \ cm$ અને $12 \ cm$ છે.
પાવર $P$ એ કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(P = \frac{1}{f})$.
જે લેન્સનો પાવર ઓછો હોય તેની કેન્દ્રલંબાઈ વધારે હોય.
તેથી,ઓછા પાવર ધરાવતા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $12 \ cm$ છે.

(D) ધારો કે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે. લેન્સ દ્વારા મળતી મોટવણી $m = \frac{f}{f+u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ વસ્તુનું અંતર છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,જો પ્રતિબિંબનું કદ સમાન હોય,તો મોટવણી $m = 1$ (આભાસી પ્રતિબિંબ) અથવા $m = -1$ (વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ) હોવી જોઈએ.
કિસ્સો $1$: વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,$m = -1$. સૂત્ર $m = \frac{f}{f+u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$-1 = \frac{f}{f+u_1}$,જેનો અર્થ છે $f+u_1 = -f$,તેથી $u_1 = -2f$. આપેલ છે $u_1 = -20 \ cm$,તેથી $2f = 20 \ cm$,એટલે કે $f = 10 \ cm$.
કિસ્સો $2$: જો બે અલગ-અલગ સ્થાનો માટે પ્રતિબિંબનું કદ સમાન હોય,તો એક પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને એક આભાસી હોવું જોઈએ. બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ છે. પ્રતિબિંબનું કદ સમાન હોવાથી,$|m_1| = |m_2|$.
વસ્તુના અંતર $u_1 = -20 \ cm$ અને $u_2 = -10 \ cm$ છે. મોટવણી $m = \frac{f}{f+u}$ છે.
$u_1 = -20$ માટે,$m_1 = \frac{f}{f-20}$. $u_2 = -10$ માટે,$m_2 = \frac{f}{f-10}$.
પ્રતિબિંબના કદ સમાન હોવાથી,$|m_1| = |m_2|$. તેથી,$\left| \frac{f}{f-20} \right| = \left| \frac{f}{f-10} \right|$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{f}{20-f} = \frac{f}{f-10}$ (કારણ કે એક પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક અને એક આભાસી છે,એક મોટવણી ઋણ છે).
$20-f = f-10 \implies 2f = 30 \implies f = 15 \ cm$.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_l - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવામાં લેન્સ માટે $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
પ્રવાહીમાં લેન્સ માટે $(\mu_{liq})$: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_l}{\mu_{liq}} - 1) K$.
આપેલ છે કે $\frac{f_a}{f_l} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{f_l}{f_a} = 2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f_a}{f_l} = \frac{(\frac{\mu_l}{\mu_{liq}} - 1)}{(\mu_l - 1)} = \frac{1}{2}$.
$\mu_l = 1.5$ મૂકતા: $\frac{(\frac{1.5}{\mu_{liq}} - 1)}{(1.5 - 1)} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1.5}{\mu_{liq}} - 1 = 0.5 \times 0.5 = 0.25$.
$\frac{1.5}{\mu_{liq}} = 1.25$.
$\mu_{liq} = \frac{1.5}{1.25} = 1.2$.

(B) બહિર્ગોળ અરીસા માટે,મોટવણી $m$ એ $m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{v}{u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રતિબિંબનું કદ વસ્તુના કદ કરતાં $1/n$ ગણું છે,તેથી $m = 1/n$.
આમ,$1/n = -v/u$,જે સૂચવે છે કે $v = -u/n$.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f$ એ બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ (ધન) છે.
અરીસાના સૂત્રમાં $v = -u/n$ મૂકતા:
$\frac{1}{-u/n} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$-\frac{n}{u} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1-n}{u} = \frac{1}{f}$
$u = f(1-n)$.
વસ્તુનું અંતર $u$ પરંપરાગત રીતે ઋણ હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $|u| = f(n-1)$ થાય છે.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
જ્યારે પ્રિઝમની અંદર પ્રકાશનું કિરણ પાયાને સમાંતર ગતિ કરે છે,ત્યારે કિરણ લઘુત્તમ વિચલન અનુભવે છે,જેનો અર્થ છે કે આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમન કોણ $e$ જેટલો હોય છે,અને વક્રીભવન કોણ $r_1$ એ $r_2$ જેટલો હોય છે.
કારણ કે $r_1 + r_2 = A$,તેથી $2r = 60^{\circ}$,જે આપણને $r = 30^{\circ}$ આપે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
અહીં $\mu = \sqrt{3}$ અને $r = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{3} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $\sin i = \sqrt{3} \times 0.5 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$i = 60^{\circ}$.

(D) ચાંદીની બીજી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી પ્રકાશનું કિરણ પોતાનો માર્ગ પાછો ખેંચે તે માટે, તેણે બીજી સપાટી પર લંબરૂપે (સપાટી સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે $i = 60^{\circ}$ એ પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ છે, $r_1$ એ પ્રથમ સપાટી પરનો વક્રીભૂતકોણ છે અને $A = 30^{\circ}$ એ પ્રિઝમનો ખૂણો છે.
કિરણ બીજી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી, બીજી સપાટી પરનો વક્રીભૂતકોણ $r_2 = 0^{\circ}$ થશે.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ મુજબ, આપણે જાણીએ છીએ કે $A = r_1 + r_2$.
કિંમતો મૂકતા, $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$, તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mu = \frac{\sin(i)}{\sin(r_1)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$.
$\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
આમ, પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\sqrt{3}$ છે.

(C) પરિપથમાં $40 \ V$ નો $DC$ સ્ત્રોત,શ્રેણી અવરોધ $R_s = 2 \ k\Omega$,$20 \ V$ ના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ ધરાવતો ઝેનર ડાયોડ અને લોડ અવરોધ $R_L = 5 \ k\Omega$ જોડાયેલ છે.
સૌ પ્રથમ,શ્રેણી અવરોધ $R_s$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ ગણો:
$I = \frac{V_{source} - V_z}{R_s} = \frac{40 \ V - 20 \ V}{2 \ k\Omega} = \frac{20 \ V}{2 \times 10^3 \ \Omega} = 10 \ mA$.
ત્યારબાદ,લોડ અવરોધ $R_L$ માંથી વહેતો લોડ પ્રવાહ $I_L$ ગણો:
$I_L = \frac{V_z}{R_L} = \frac{20 \ V}{5 \ k\Omega} = \frac{20 \ V}{5 \times 10^3 \ \Omega} = 4 \ mA$.
ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_z$ એ કુલ પ્રવાહ અને લોડ પ્રવાહનો તફાવત છે:
$I_z = I - I_L = 10 \ mA - 4 \ mA = 6 \ mA$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $Zener$ $diode$ એ એક ખાસ પ્રકારનો $PN$ જંકશન ડાયોડ છે જે રિવર્સ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરવા માટે બનાવવામાં આવ્યો છે.
જ્યારે $Zener$ $diode$ પરનો રિવર્સ વોલ્ટેજ $Zener$ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ સુધી પહોંચે છે,ત્યારે તેમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ બદલાવા છતાં તેની આસપાસનો વોલ્ટેજ અચળ રહે છે.
આ ગુણધર્મને કારણે તે ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટમાં સ્થિર આઉટપુટ વોલ્ટેજ જાળવી રાખવા માટે વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર તરીકે વાપરવા માટે આદર્શ છે.

(B) જ્યારે $P$-ટર્મિનલ પરનું પોટેન્શિયલ $(V_P)$ એ $N$-ટર્મિનલ પરના પોટેન્શિયલ $(V_N)$ કરતા વધારે હોય ત્યારે ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે.
વિકલ્પ $A$ માં: $V_P = +2 \ V$,$V_N = +3 \ V$. $V_P < V_N$ હોવાથી,તે રિવર્સ બાયસ છે.
વિકલ્પ $B$ માં: $V_P = +2 \ V$,$V_N = -2 \ V$. $V_P > V_N$ હોવાથી,તે ફોરવર્ડ બાયસ છે.
વિકલ્પ $C$ માં: $V_P = -2 \ V$,$V_N = +2 \ V$. $V_P < V_N$ હોવાથી,તે રિવર્સ બાયસ છે.
વિકલ્પ $D$ માં: $V_P = +2 \ V$,$V_N = +2 \ V$. $V_P = V_N$ હોવાથી,કોઈ બાયસ નથી (ઝીરો બાયસ).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બેન્ડ ગેપ ઉર્જા $E_g = 3 \ eV$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$.
કિંમતો મૂકતા,$\lambda = \frac{hc}{E_g} = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{3 \ eV}$ મળે છે.
$\lambda \approx 413.33 \ nm$.
તેથી,તે જે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ શોધી શકે છે તે આશરે $413 \ nm$ છે.

(C) જ્યારે એમ્પ્લીફાયર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય, ત્યારે કુલ વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_v)$ એ વ્યક્તિગત એમ્પ્લીફાયરના વોલ્ટેજ ગેઇનનો ગુણાકાર હોય છે.
આપેલ છે: $A_1 = 8$, $A_2 = 12.5$.
કુલ વોલ્ટેજ ગેઇન $A_v = A_1 \times A_2 = 8 \times 12.5 = 100$.
ઇનપુટ સિગ્નલ વોલ્ટેજ $V_{in} = 200 \mu V = 200 \times 10^{-6} \text{ V}$.
આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{out}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $V_{out} = A_v \times V_{in}$.
$V_{out} = 100 \times 200 \times 10^{-6} \text{ V} = 20000 \times 10^{-6} \text{ V} = 20 \times 10^{-3} \text{ V}$.
$10^{-3} \text{ V} = 1 \text{ mV}$ હોવાથી, આઉટપુટ વોલ્ટેજ $20 \text{ mV}$ થાય છે.

(A) ટ્રાન્ઝિસ્ટરને એમ્પ્લીફિકેશન માટે જરૂરી એક્ટિવ રિજનમાં કાર્ય કરવા માટે,એમિટર-બેઝ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોવું જોઈએ અને બેઝ-કલેક્ટર જંકશન રિવર્સ બાયસ્ડ હોવું જોઈએ.
ફોરવર્ડ બાયસ્ડ એમિટર-બેઝ જંકશનમાં,ચાર્જ કેરિયર્સ એમિટરથી બેઝમાં દાખલ થાય છે.
રિવર્સ બાયસ્ડ બેઝ-કલેક્ટર જંકશનમાં,આ કેરિયર્સ કલેક્ટર દ્વારા એકત્રિત કરવામાં આવે છે,જે કરંટ કંટ્રોલ અને સિગ્નલ એમ્પ્લીફિકેશનને શક્ય બનાવે છે.

(D) આપેલ છે:
વોલ્ટેજ ગેઈન $(A_v)$ = $300$
કરંટ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર $(\beta)$ = $60$
કલેક્ટર અવરોધ $(R_C)$ = $5 \, k\Omega$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોમન એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં વોલ્ટેજ ગેઈન $(A_v)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$A_v = \beta \times \frac{R_C}{R_B}$
બેઝ અવરોધ $(R_B)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$R_B = \beta \times \frac{R_C}{A_v}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$R_B = 60 \times \frac{5 \, k\Omega}{300}$
$R_B = 60 \times \frac{5}{300} \, k\Omega$
$R_B = \frac{300}{300} \, k\Omega$
$R_B = 1 \, k\Omega$
તેથી, બેઝ અવરોધ $1 \, k\Omega$ છે.

(D) કોમન એમિટર એમ્પ્લીફાયર માટે,વોલ્ટેજ ગેઈન $(A_v)$ નું સૂત્ર છે: $A_v = \beta \times \frac{R_C}{R_B}$,જ્યાં $\beta$ એ કરંટ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર છે,$R_C$ એ કલેક્ટર અવરોધ છે અને $R_B$ એ બેઝ અવરોધ છે.
આપેલ છે કે વોલ્ટેજ ગેઈન $(A_v)$ અને કરંટ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર $(\beta)$ નો ગુણોત્તર $4$ છે,તેથી: $\frac{A_v}{\beta} = 4$.
$A_v$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\beta \times (R_C / R_B)}{\beta} = 4$.
આથી સાદું રૂપ આપતા: $\frac{R_C}{R_B} = 4$.
તેથી,કલેક્ટર અવરોધ અને બેઝ અવરોધનો ગુણોત્તર $4 : 1$ છે.

(C) પ્રમાણભૂત બાયપોલર જંકશન ટ્રાન્ઝિસ્ટર $(BJT)$ માં,ત્રણેય ભાગોને કાર્યક્ષમતા વધારવા માટે ચોક્કસ ભૌતિક પરિમાણો સાથે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે.
$1$. $Base$ $(Y)$ ને ખૂબ જ પાતળો અને હળવો ડોપ્ડ બનાવવામાં આવે છે જેથી મોટાભાગના ચાર્જ કેરિયર્સ કલેક્ટર સુધી પહોંચી શકે.
$2$. $Collector$ $(Z)$ ને કદમાં સૌથી મોટું બનાવવામાં આવે છે જેથી એમિટર દ્વારા એકત્રિત કરવામાં આવેલી પાવરને કારણે ઉત્પન્ન થતી ગરમીનો નિકાલ થઈ શકે.
$3$. $Emitter$ $(X)$ મધ્યમ કદનું હોય છે,જે બેઝ કરતા મોટું પણ કલેક્ટર કરતા નાનું હોય છે,અને તે મોટી સંખ્યામાં ચાર્જ કેરિયર્સ પૂરા પાડવા માટે ભારે ડોપ્ડ હોય છે.
તેથી,કદનો ક્રમ $Collector > Emitter > Base$ છે,જે $Z > X > Y$ ને અનુરૂપ છે.

(D) ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયરનો પાવર ગેઇન $(A_p)$ એ કરંટ ગેઇન $(\beta)$ અને વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_v)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$A_p = \beta \times A_v$
વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_v)$ એ કરંટ ગેઇન $(\beta)$ અને આઉટપુટ અવરોધ $(R_c)$ તથા ઇનપુટ અવરોધ $(R_b)$ ના ગુણોત્તરના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$A_v = \beta \times \frac{R_c}{R_b}$
આપેલ છે:
$\beta = 100$
$R_c = 3 \ k\Omega$
$R_b = 2 \ k\Omega$
$A_v$ ની ગણતરી કરતા:
$A_v = 100 \times \frac{3 \ k\Omega}{2 \ k\Omega} = 100 \times 1.5 = 150$
હવે,પાવર ગેઇન $(A_p)$ ની ગણતરી કરતા:
$A_p = \beta \times A_v = 100 \times 150 = 15000$
તેથી,પાવર ગેઇન $15000$ છે.

(C) આપેલ છે કે કલેક્ટર પ્રવાહ $I_C = 0.98 I_E$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એમિટર પ્રવાહ એ બેઝ પ્રવાહ અને કલેક્ટર પ્રવાહનો સરવાળો છે: $I_E = I_B + I_C$.
$I_C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $I_E = I_B + 0.98 I_E$.
$I_B$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા: $I_B = I_E - 0.98 I_E = 0.02 I_E$.
હવે,આપણે બેઝ પ્રવાહ અને કલેક્ટર પ્રવાહનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે: $\frac{I_B}{I_C} = \frac{0.02 I_E}{0.98 I_E}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{I_B}{I_C} = \frac{2}{98} = \frac{1}{49}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 49$ છે.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A=0, B=1, C=0$ છે.
$1$. ઉપરના $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ $A=0$ અને $B=1$ છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ છે.
$2$. બીજા $NAND$ ગેટમાં ઇનપુટ $A=0$ અને પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $(1)$ છે. તેનું આઉટપુટ $y_1 = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ છે.
$3$. નીચેના $NOR$ ગેટમાં ઇનપુટ $B=1$ અને $C=0$ છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{1 + 0} = \overline{1} = 0$ છે.
$4$. બીજા $NOR$ ગેટમાં ઇનપુટ $C=0$ અને પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $(0)$ છે. તેનું આઉટપુટ $y_2 = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ છે.
$5$. અંતિમ $OR$ ગેટમાં ઇનપુટ $y_1=1$ અને $y_2=1$ છે. તેનું આઉટપુટ $y_3 = 1 + 1 = 1$ છે.
આમ,મૂલ્યો $y_1=1, y_2=1, y_3=1$ છે.

(C) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ બે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા છે,જે તેમને $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરવા માટે મજબૂર કરે છે.
તેથી,પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A}$ છે અને બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{B}$ છે.
આ આઉટપુટ $\overline{A}$ અને $\overline{B}$ ને ત્રીજા $NAND$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
ત્રીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{(\overline{A} \cdot \overline{B})}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$.
તેથી,$Y = \overline{(\overline{A})} + \overline{(\overline{B})} = A + B$.
આમ,આઉટપુટ $Y = A + B$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે,તેથી સમકક્ષ લોજિક ગેટ $OR$ છે.

(B) આ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
ઉપરના $AND$ ગેટને $A$ અને $B$ ઇનપુટ મળે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_1 = A \cdot B$ છે.
નીચેના $OR$ ગેટને $B$ અને $A$ ઇનપુટ મળે છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y_2 = B + A$ છે.
અંતિમ $NAND$ ગેટને $Y_1$ અને $Y_2$ ઇનપુટ તરીકે મળે છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y_1 \cdot Y_2} = \overline{(A \cdot B) \cdot (A + B)}$ છે.
બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \overline{(A \cdot B) \cdot A + (A \cdot B) \cdot B} = \overline{(A \cdot B) + (A \cdot B)} = \overline{A \cdot B}$.
આ $NAND$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ છે:
જો $A=0, B=0$ હોય,તો $Y = \overline{0 \cdot 0} = 1$.
જો $A=0, B=1$ હોય,તો $Y = \overline{0 \cdot 1} = 1$.
જો $A=1, B=0$ હોય,તો $Y = \overline{1 \cdot 0} = 1$.
જો $A=1, B=1$ હોય,તો $Y = \overline{1 \cdot 1} = 0$.
આ પરિણામોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
દરેક ઇનપુટ એક $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી પ્રથમ તબક્કાના $NAND$ ગેટ માટેના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ બને છે.
પ્રથમ તબક્કાના $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. આમ,પ્રથમ તબક્કાના આઉટપુટ $\overline{\bar{A}} = A$ અને $\overline{\bar{B}} = B$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $A$ અને $B$ ને અંતિમ $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ $NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
તેથી,આ સર્કિટ $NAND$ ગેટને સમકક્ષ છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOR$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ આઉટપુટ $NOR$ ગેટ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$ થાય છે.
સમીકરણ $y = A \cdot B$ એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,આ સંયોજન $AND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(C) આ સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
$1$. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $y_1 = \overline{A+B}$ છે.
અહીં $A=0$ અને $B=1$ આપેલ છે,તેથી $y_1 = \overline{0+1} = \overline{1} = 0$.
$2$. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $y_2 = y_1 \cdot C$ છે.
અહીં $y_1 = 0$ અને $C=1$ છે,તેથી $y_2 = 0 \cdot 1 = 0$.
તેથી,$y_1$ અને $y_2$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $0$ અને $0$ છે.

(D) ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં ત્રણ વિસ્તારો હોય છે: એમિટર,બેઝ અને કલેક્ટર.
$1$. $Base$ ખૂબ જ પાતળો અને હળવા ડોપિંગ વાળો હોય છે જેથી મોટાભાગના ચાર્જ કેરિયર્સ કલેક્ટર સુધી પહોંચી શકે.
$2$. $Collector$ મધ્યમ ડોપિંગ વાળો અને કદમાં મોટો હોય છે જેથી ગરમીનો નિકાલ થઈ શકે.
$3$. $Emitter$ ભારે ડોપિંગ વાળો હોય છે જેથી મોટી સંખ્યામાં ચાર્જ કેરિયર્સ પૂરા પાડી શકાય.
તેથી,ડોપિંગ લેવલના વધતા ક્રમમાં ગોઠવણી $Base < Collector < Emitter$ થાય છે.

(C) પરમ શૂન્ય તાપમાને $(T = 0 \ K)$,બધા જ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન સ્ફટિક લેટીસમાં તેમના સંબંધિત પરમાણુઓ સાથે મજબૂતીથી બંધાયેલા હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનને સંયોજકતા બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઉત્તેજિત કરવા માટે કોઈ ઉષ્મીય ઉર્જા ઉપલબ્ધ હોતી નથી.
વહન માટે કોઈ મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અથવા હોલ) ઉપલબ્ધ ન હોવાથી,આંતરિક અર્ધવાહક એક સંપૂર્ણ અવાહક તરીકે વર્તે છે.

(B) સિંગલ-સ્લિટ વિવર્તનમાં $n$-માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $n$ એ ન્યૂનતમનો ક્રમ છે.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$,તેથી $a \sin \theta = \lambda$.
ખૂણો $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{D}$,જ્યાં $y$ એ મધ્યસ્થ અધિકતમથી અંતર છે અને $D$ એ પડદા સુધીનું અંતર છે.
આમ,$y = \frac{n \lambda D}{a}$.
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n = 1)$ માટે,$y_1 = \frac{\lambda D}{a}$.
મધ્યસ્થ અધિકતમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
આપેલ છે: $a = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$,$D = 1 \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $2y_1 = \frac{2 \times 500 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \times 10^{-6} \ m = 0.5 \times 10^{-3} \ m = 0.5 \ mm$.

(C) ધારો કે આપાત અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે।
પ્રથમ પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થયા પછી, તીવ્રતા $I_1 = I_0 / 2$ થાય છે।
મેલસના નિયમ મુજબ, પોલરાઇઝરમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{in} \cos^2 \theta$ છે, જ્યાં $\theta$ એ આપાત પ્રકાશની ધ્રુવીભવન ધરી અને પોલરાઇઝરની ધરી વચ્ચેનો ખૂણો છે।
બીજી શીટ માટે, પ્રથમ અને બીજી શીટ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે। તેથી, $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = (I_0 / 2) \times (\sqrt{3} / 2)^2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3I_0 / 8$.
ત્રીજી શીટ માટે, બીજી અને ત્રીજી શીટ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\theta = 30^{\circ}$ છે। તેથી, $I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = (3I_0 / 8) \times (3 / 4) = 9I_0 / 32$.
બીજી અને ત્રીજી શીટમાંથી બહાર આવતી તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_2 / I_3 = (3I_0 / 8) / (9I_0 / 32) = (3 / 8) \times (32 / 9) = 4 / 3$ છે।
તેથી, ગુણોત્તર $4: 3$ છે।

(B) રેલેના પ્રકીર્ણનના નિયમ મુજબ, જ્યારે કણોનું કદ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ કરતા ઘણું નાનું હોય, ત્યારે પ્રકીર્ણન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ તેની તરંગલંબાઈની ચતુર્થ ઘાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, આને $I \propto \frac{1}{\lambda^4}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આને $I \propto \lambda^{-4}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.
આપેલ સમીકરણ $I \propto \lambda^n$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = -4$ મળે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ પોલેરોઇડ પર આપાત થતા અધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ બે પોલેરોઇડની અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $I_2 = 37.5 \% \text{ of } I_0 = 0.375 I_0$.
સમીકરણમાં $I_1 = \frac{I_0}{2}$ મૂકતા: $0.375 I_0 = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$.
$0.375 = 0.5 \cos^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{0.375}{0.5} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાન માટેની શરત $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ છે.
લાલ પ્રકાશ $(\lambda_r = 7.5 \times 10^{-5} \text{ cm})$ ની $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા માટે,સ્થાન $y_r = \frac{n \lambda_r D}{d}$ છે.
વાદળી પ્રકાશ $(\lambda_b = 5 \times 10^{-5} \text{ cm})$ ની $(n+1)^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા માટે,સ્થાન $y_b = \frac{(n+1) \lambda_b D}{d}$ છે.
શલાકાઓ સંપાત થતી હોવાથી,$y_r = y_b$,જેનો અર્થ છે કે $n \lambda_r = (n+1) \lambda_b$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $n(7.5 \times 10^{-5}) = (n+1)(5 \times 10^{-5})$.
બંને બાજુ $10^{-5}$ વડે ભાગતા,આપણને $7.5n = 5(n+1)$ મળે છે.
$7.5n = 5n + 5$.
$2.5n = 5$.
$n = \frac{5}{2.5} = 2$.
આમ,$n$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે $\lambda' = \lambda + 0.20\lambda = 1.20\lambda$ અને $d' = d - 0.25d = 0.75d$.
નવી ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d'} = \frac{1.20\lambda D}{0.75d}$ દ્વારા મળે છે.
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$ મૂકતા,આપણને $\beta' = \frac{1.20}{0.75} \beta = 1.6 \beta$ મળે છે.
પ્રારંભિક ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta = 0.3 \ mm$ આપેલ હોવાથી,અંતિમ ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta' = 1.6 \times 0.3 \ mm = 0.48 \ mm$ થશે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં,તરંગલંબાઇ $\lambda = 5000 \ Å = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
પડદા અને સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $D = 1 \ m$.
સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 0.2 \ cm = 0.2 \times 10^{-2} \ m = 2 \times 10^{-3} \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{2 \times 10^{-3}}$
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \ m$
આને મિલીમીટરમાં ફેરવતા:
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \times 10^3 \ mm = 0.25 \ mm$.
તેથી,બે ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $0.25 \ mm$ છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ એ સ્લિટના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\beta \propto \frac{1}{d}$.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્લિટ અંતર $d_1 = d$ છે અને પ્રારંભિક ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_1 = \beta$ છે.
આપેલ છે કે અંતિમ સ્લિટ અંતર $d_2 = 3d$ છે.
તેથી,અંતિમ ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_2 = \frac{\lambda D}{3d} = \frac{\beta}{3}$ થાય.
પ્રારંભિક ફ્રિન્જ પહોળાઈ અને અંતિમ ફ્રિન્જ પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{\beta}{\beta/3} = 3:1$ મળે છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,$d_1 = 2 \ mm$,$D_1 = 100 \ cm = 1000 \ mm$,અને $\beta_1 = 0.36 \ mm$.
તેથી,$0.36 = \frac{\lambda \times 1000}{2} \implies \lambda = \frac{0.36 \times 2}{1000} = 0.00072 \ mm$.
હવે,સ્લિટ્સ વચ્ચેનું નવું અંતર $d_2 = 2 \ mm - 0.5 \ mm = 1.5 \ mm$ છે.
પડદાનું નવું અંતર $D_2 = 100 \ cm + 50 \ cm = 150 \ cm = 1500 \ mm$ છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta_2$ એ $\beta_2 = \frac{\lambda D_2}{d_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\beta_2 = \frac{0.00072 \times 1500}{1.5} = \frac{0.00072 \times 1000}{1} = 0.72 \ mm$.

(A) આપેલ છે: બલ્બનો પાવર $P = 200 \ W$,અંતર $r = 100 \ cm = 1 \ m$,અને કાર્યક્ષમતા $\eta = 11 \% = 0.11$.
દ્રશ્યમાન વિકિરણમાં રૂપાંતરિત પાવર $P_{vis} = \eta \times P = 0.11 \times 200 \ W = 22 \ W$ છે.
ધારો કે બલ્બ બિંદુવત ઉદગમ તરીકે વર્તે છે,તો પ્રકાશ $r$ ત્રિજ્યાના ગોળા પર સમાન રીતે ફેલાય છે.
$r$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P_{vis}}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{22}{4 \times 3.14 \times (1)^2} = \frac{22}{12.56} \approx 1.75 \ W \ m^{-2}$.

(B) પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસર મુજબ તરંગલંબાઇમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v$ એ સ્ત્રોતનો સાપેક્ષ વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^8 \, \text{m} \, \text{s}^{-1})$ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 6600 \, \text{Å}$, $\Delta \lambda = 22 \, \text{Å}$.
પ્રકાશ રેડ-શિફ્ટ થયેલ હોવાથી, તરંગલંબાઇ વધે છે, જે સૂચવે છે કે તારો પૃથ્વીથી દૂર જઈ રહ્યો છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $v = c \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = (3 \times 10^8 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}) \times \frac{22 \, \text{Å}}{6600 \, \text{Å}}$.
$v = (3 \times 10^8) \times \frac{1}{300} = 10^6 \, \text{m} \, \text{s}^{-1} = 10 \times 10^5 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}$.
આમ, તારો $10 \times 10^5 \, \text{m} \, \text{s}^{-1}$ ની ઝડપે પૃથ્વીથી દૂર જઈ રહ્યો છે.