यदि e_1 और e_2 क्रमशः वक्रों 9x^2 - 16y^2 - 1 | vedclass

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Question

(B) दिए गए समीकरण हैं:$(i) \ 9x^2 - 16y^2 = 144 \Rightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$(ii) \ 9x^2 - 16y^2 = -144 \Rightarrow \frac{y^2}{9} -

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(B) दिए गए समीकरण हैं:$(i) \ 9x^2 - 16y^2 = 144 \Rightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$(ii) \ 9x^2 - 16y^2 = -144 \Rightarrow \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$समीकरण $(i)$ एक अतिपरवलय को दर्शाता है और समीकरण $(ii)$ इसके संयुग्मी अतिपरवलय को दर्शाता है।अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_1$ का मान $e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ है।संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_2$ का मान $e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ है।हम जानते हैं कि संयुग्मी अतिपरवलयों के लिए,$\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ होता है।मान रखने पर: $\frac{1}{25/16} + \frac{1}{25/9} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.अब,$\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = \frac{e_1^2 + e_2^2}{e_1^2 e_2^2} = 1$.अतः,$\frac{e_1^2 e_2^2}{e_1^2 + e_2^2} = 1$।

यदि $e_1$ और $e_2$ क्रमशः वक्रों $9x^2 - 16y^2 - 144 = 0$ और $9x^2 - 16y^2 + 144 = 0$ की उत्केंद्रताएँ हैं,तो $\frac{e_1^2 e_2^2}{e_1^2 + e_2^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ का सहायक वृत्त (auxiliary circle) है:

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