यदि परवलय y^2=4x पर बिंदु (t^2, 2t) पर खींची | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^2=4x$ के लिए $(t^2, 2t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt = x + t^2$ है,जिसे $y = \frac{1}{t}x + t$ के रूप में लिखा जा सकता है ... $(i)$.दीर्

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$5t^4+4t^2=1$

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(A) परवलय $y^2=4x$ के लिए $(t^2, 2t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt = x + t^2$ है,जिसे $y = \frac{1}{t}x + t$ के रूप में लिखा जा सकता है ... $(i)$.दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2+5y^2=20$ है,या $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$.दीर्घवृत्त पर बिंदु $(x_1, y_1) = (\sqrt{5} \cos 	heta, 2 \sin 	heta)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।यहाँ $a^2=5$ और $b^2=4$ है,इसलिए $\frac{5x}{\sqrt{5} \cos 	heta} - \frac{4y}{2 \sin 	heta} = 5 - 4 = 1$.$\sqrt{5} \sec 	heta \cdot x - 2 \csc 	heta \cdot y = 1$.$y$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $2 \csc 	heta \cdot y = \sqrt{5} \sec 	heta \cdot x - 1$ $\Rightarrow y = \frac{\sqrt{5}}{2} 	an 	heta \cdot x - \frac{1}{2} \sin 	heta$ ... $(ii)$.$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:$\frac{1}{t} = \frac{\sqrt{5}}{2} 	an 	heta$ ... $(iii)$$t = -\frac{1}{2} \sin 	heta \Rightarrow \sin 	heta = -2t$ ... $(iv)$$(iv)$ से,$\cos^2 	heta = 1 - \sin^2 	heta = 1 - 4t^2$,इसलिए $	an^2 	heta = \frac{\sin^2 	heta}{\cos^2 	heta} = \frac{4t^2}{1-4t^2}$.$(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{t^2} = \frac{5}{4} 	an^2 	heta = \frac{5}{4} \cdot \frac{4t^2}{1-4t^2} = \frac{5t^2}{1-4t^2}$.$1 - 4t^2 = 5t^4 \Rightarrow 5t^4 + 4t^2 = 1$.

यदि परवलय $y^2=4x$ पर बिंदु $(t^2, 2t)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा,दीर्घवृत्त $4x^2+5y^2=20$ के बिंदु $(\sqrt{5} \cos \theta, 2 \sin \theta)$ पर अभिलंब है,तो

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