परवलय x^2=4ay रेखा y=2x+1 पर sqrt{40} इकाई लं | vedclass

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Question

(B) परवलय का समीकरण $x^2=4ay$ है और रेखा $y=2x+1$ है। यहाँ $m=2$ और $c=1$ है। $x = \frac{y-1}{2}$ को परवलय के समीकरण में रखने पर: $(\frac{y-1}{2})^2 =

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$-2$

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(B) परवलय का समीकरण $x^2=4ay$ है और रेखा $y=2x+1$ है। यहाँ $m=2$ और $c=1$ है। $x = \frac{y-1}{2}$ को परवलय के समीकरण में रखने पर: $(\frac{y-1}{2})^2 = 4ay$ $\Rightarrow y^2 - 2y + 1 = 16ay$ $\Rightarrow y^2 - (16a+2)y + 1 = 0$. माना मूल $y_1$ और $y_2$ हैं। तब $y_1+y_2 = 16a+2$ और $y_1y_2 = 1$. प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं। अंतःखंड की लंबाई $L = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ है। चूंकि $y=2x+1$,$x_2-x_1 = \frac{y_2-y_1}{2}$. $L = \sqrt{\frac{5}{4}(y_2-y_1)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{(y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2}$. $L = \sqrt{40}$ दिया गया है,इसलिए $40 = \frac{5}{4} ((16a+2)^2 - 4)$. $32 = (16a+2)^2 - 4 \Rightarrow (16a+2)^2 = 36$. $16a+2 = 6$ या $16a+2 = -6$. $16a = 4$ $\Rightarrow a = 1/4$ $\Rightarrow 4a = 1$ (विकल्पों में नहीं है)। $16a = -8$ $\Rightarrow a = -1/2$ $\Rightarrow 4a = -2$. अतः,$4a$ का मान $-2$ है।

परवलय $x^2=4ay$ रेखा $y=2x+1$ पर $\sqrt{40}$ इकाई लंबाई का अंतःखंड बनाता है। $4a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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