$(1+2x)^n$ के द्विपद विस्तार में सभी गुणांकों का योग $6561$ है। मान लीजिए $R=(1+2x)^n=I+F$,जहाँ $I \in N$ और $0 < F < 1$ है। यदि $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ है,तो $1-\frac{F}{1+(\sqrt{2}-1)^4}=$

मान लीजिए $S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n$ और $T_n = 1 + \left( \frac{q + 1}{2} \right) + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^2 + ...... + \left( \frac{q + 1}{2} \right)^n$ जहाँ $q$ एक वास्तविक संख्या है और $q \ne 1$ है। यदि $^{101}C_1 + ^{101}C_2 \cdot S_1 + ...... + ^{101}C_{101} \cdot S_{100} = \alpha \cdot T_{100}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है और $(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ है,तो $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ का मान क्या होगा?

यदि $(1 + x - 3x^2)^{2145} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$ है,तो $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots$ का अंतिम अंक क्या होगा?

यदि $1 + (2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49})({}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50})$ का मान $2^{n} \cdot m$ के बराबर है,जहाँ $m$ एक विषम संख्या है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ है,तो $\sum_{k=0}^7 (-1)^k a_{2k}$ का मान ज्ञात कीजिए।