lim _{n} {rightarrow infty} n^{-n k} left{(n+ | vedclass

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Question

(B) माना $P = \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} n^{-n k} \left\{(n+1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{1}{2^2}\right) \ldots\left(n+\frac{1}{2^{k

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$e^{2\left(1-\frac{1}{2^k}\right)}$

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(B) माना $P = \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} n^{-n k} \left\{(n+1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{1}{2^2}\right) \ldots\left(n+\frac{1}{2^{k-1}}\right)\right\}^n$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log P = \lim _{n \rightarrow \infty} n \left[ \sum_{j=0}^{k-1} \log \left(1 + \frac{1}{2^j n}\right) \right]$। मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+ax)}{x} = a$ का उपयोग करने पर: $\log P = \sum_{j=0}^{k-1} \lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{\log \left(1 + \frac{1}{2^j n}\right)}{1/n} = \sum_{j=0}^{k-1} \frac{1}{2^j}$। यह $k$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=1/2$ है: $\sum_{j=0}^{k-1} \left(\frac{1}{2}\right)^j = \frac{1(1-(1/2)^k)}{1-1/2} = 2 \left(1 - \frac{1}{2^k}\right)$। अतः,$P = e^{2 \left(1 - \frac{1}{2^k}\right)}$।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} n^{-n k} \left\{(n+1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(n+\frac{1}{2^2}\right) \ldots\left(n+\frac{1}{2^{k-1}}\right)\right\}^n=$

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अभिकथन $(A)$: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} = \infty$
तर्क $(R)$: जैसे-जैसे $x$ का मान घटता है,$\frac{1}{x}$ का मान बढ़ता है।

दिए गए सीमा (limit) का मूल्यांकन करें: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{3x^{2}-x-10}{x^{2}-4}$

$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} \frac{{\cot^2 \theta - 3}}{{\csc \theta - 2}} = $

$a > 1$ के लिए $\mathop {\text{Limit}}\limits_{x \to \infty } \frac{{\cot ^{ - 1}}\left( {{x^{ - a}}\log _a x} \right)}{{\sec ^{ - 1}}\left( {{a^x}\log _x a} \right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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