यदि [x] महत्तम पूर्णांक leq x को दर्शाता है,त | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $[r^2 x] = r^2 x - \{r^2 x\}$,जहाँ $\{r^2 x\}$ का $r^2 x$ भिन्नात्मक भाग है। इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता ह

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$\frac{x}{3}$

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(B) हम जानते हैं कि $[r^2 x] = r^2 x - \{r^2 x\}$,जहाँ $\{r^2 x\}$ का $r^2 x$ भिन्नात्मक भाग है। इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n [r^2 x] = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n (r^2 x - \{r^2 x\})$ $= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{x}{n^3} \sum_{r=1}^n r^2 - \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n \{r^2 x\} \right)$ सूत्र $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है: $= \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{x \cdot n(n+1)(2n+1)}{6n^3} - \frac{1}{n^3} \sum_{r=1}^n \{r^2 x\} \right)$ चूंकि $0 \leq \{r^2 x\} अतः,सीमा $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x(2n^3 + 3n^2 + n)}{6n^3} = \frac{2x}{6} = \frac{x}{3}$ है।

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है,तो $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \{[1^2 x] + [2^2 x] + [3^2 x] + \ldots + [n^2 x] \} = $

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