वक्र 9 b^2 x^2 - 4 a^2 y^2 = 36 a^2 b^2 की एक | vedclass

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Question

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $9 b^2 x^2 - 4 a^2 y^2 = 36 a^2 b^2$ है,जिसे $\frac{x^2}{4 a^2} - \frac{y^2}{9 b^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। म

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$4 x^2 - 9 y^2 = 1$

Vedclass · Answer

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $9 b^2 x^2 - 4 a^2 y^2 = 36 a^2 b^2$ है,जिसे $\frac{x^2}{4 a^2} - \frac{y^2}{9 b^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। माना स्पर्श बिंदु $(x_0, y_0) = (2 a \sec 	heta, 3 b 	an 	heta)$ है। $(x_0, y_0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x x_0}{4 a^2} - \frac{y y_0}{9 b^2} = 1$ है। बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{x (2 a \sec 	heta)}{4 a^2} - \frac{y (3 b 	an 	heta)}{9 b^2} = 1$,जो सरल होकर $\frac{x \sec 	heta}{2 a} - \frac{y 	an 	heta}{3 b} = 1$ हो जाता है। अक्षों पर अंतःखंड $x = 2 a \cos 	heta$ और $y = -3 b \cot 	heta$ हैं। चूंकि अंतःखंड इकाई लंबाई के हैं,इसलिए $|2 a \cos 	heta| = 1$ और $|-3 b \cot 	heta| = 1$ है। अतः,$\cos 	heta = \frac{1}{2 a}$ और $\cot 	heta = -\frac{1}{3 b}$ है। सर्वसमिका $\csc^2 	heta - \cot^2 	heta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{\cos^2 	heta} - \frac{1}{\cot^2 	heta} = 1$ प्राप्त होता है। मान रखने पर,$(2 a)^2 - (-3 b)^2 = 1$,जिससे $4 a^2 - 9 b^2 = 1$ प्राप्त होता है। इसलिए,बिंदु $(a, b)$ का बिंदुपथ $4 x^2 - 9 y^2 = 1$ है।

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