वक्र f(x) = e^x sin x अंतराल [0, 2 pi] में पर | vedclass

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Question

(B) दिया गया है: $f(x) = e^x \sin x$। स्पर्श रेखा की ढाल $m(x) = f'(x)$ द्वारा दी जाती है। $f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$।

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है: $f(x) = e^x \sin x$। स्पर्श रेखा की ढाल $m(x) = f'(x)$ द्वारा दी जाती है। $f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x (\sin x + \cos x)$। मान लीजिए $g(x) = f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$। अधिकतम ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $g'(x) = 0$ रखते हैं। $g'(x) = e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x) = 2 e^x \cos x$। $g'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2 e^x \cos x = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि सभी $x$ के लिए $e^x 
eq 0$,इसलिए $\cos x = 0$। अंतराल $[0, 2 \pi]$ में,$x = \frac{\pi}{2}$ या $x = \frac{3 \pi}{2}$। अब,हम द्वितीय अवकलज $g''(x) = 2 e^x \cos x - 2 e^x \sin x = 2 e^x (\cos x - \sin x)$ की जांच करते हैं। $x = \frac{\pi}{2}$ पर,$g''(\frac{\pi}{2}) = 2 e^{\frac{\pi}{2}} (0 - 1) = -2 e^{\frac{\pi}{2}} $x = \frac{3 \pi}{2}$ पर,$g''(\frac{3 \pi}{2}) = 2 e^{\frac{3 \pi}{2}} (0 - (-1)) = 2 e^{\frac{3 \pi}{2}} > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है। अतः,$x = \frac{\pi}{2}$ पर ढाल अधिकतम है।

वक्र $f(x) = e^x \sin x$ अंतराल $[0, 2 \pi]$ में परिभाषित है। $x$ का वह मान जिसके लिए वक्र पर खींचे गए स्पर्श रेखा की ढाल अधिकतम है,है

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$x$ के उन मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन $f(x) = \cos x + \cos (\sqrt{2} x)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

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