यदि एक फलन $f$,$R$ पर अवकलनीय है और सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 4$ है; और यदि $f(2)=-6$ और $f(6)=8$ है,तो $f(4)$ का मान किस अंतराल में होगा?

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$ और $x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ के लिए $g(x) = f'(x)$ है। यदि $P$ वक्र $y = g(x)$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $P$ पर इस वक्र की स्पर्श रेखा,वक्र के बिंदुओं $\left( {\frac{1}{2}, g\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)$ और $(3, g(3))$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर है,तो बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f$ और $g$ अंतराल $(-2, 2)$ पर दो बार अवकलनीय सम फलन हैं,इस प्रकार कि $f(\frac{1}{4}) = 0, f(\frac{1}{2}) = 0, f(1) = 1$ और $g(\frac{3}{4}) = 0, g(1) = 2$ है। तब,$(-2, 2)$ में $f(x)g''(x) + f'(x)g'(x) = 0$ के हलों की न्यूनतम संख्या क्या है?

मान लीजिए कि $f(x)$,$[0,6]$ पर सतत है और $(0,6)$ पर अवकलनीय है। मान लीजिए $f(0)=12$ और $f(6)=-4$ है। यदि $g(x)=\frac{f(x)}{x+1}$ है,तो किसी लैग्रेंज स्थिरांक $c \in(0,6)$ के लिए,$g^{\prime}(c)=$

यदि फलन $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ अंतराल $[1,3]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $b c=$

मान लीजिए $y = f(x)$ और $y = g(x)$ अंतराल $[0, 2]$ में दो अवकलनीय फलन हैं,जहाँ $f(0) = 3$,$f(2) = 5$,$g(0) = 1$ और $g(2) = 2$ है। यदि कम से कम एक $c \in (0, 2)$ ऐसा विद्यमान है कि $f'(c) = k g'(c)$ हो,तो $k$ का मान क्या होगा?