यदि int frac{sin 2x , dx}{sin^4 x + cos^4 x} | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{\sin 2x \, dx}{\sin^4 x + \cos^4 x}$ है।हम जानते हैं कि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,इसलिए $I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\s

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$3$

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(C) माना $I = \int \frac{\sin 2x \, dx}{\sin^4 x + \cos^4 x}$ है।हम जानते हैं कि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,इसलिए $I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$ है।अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर:$I = \int \frac{2 \sin x \cos x / \cos^4 x}{(\sin^4 x + \cos^4 x) / \cos^4 x} \, dx = \int \frac{2 	an x \sec^2 x}{1 + 	an^4 x} \, dx$ प्राप्त होता है।माना $t = 	an^2 x$,तो $dt = 2 	an x \sec^2 x \, dx$ होगा।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{dt}{1 + t^2} = 	an^{-1}(t) + c = 	an^{-1}(	an^2 x) + c$ प्राप्त होता है।इसकी तुलना $	an^{-1}(f(x)) + c$ से करने पर,हमें $f(x) = 	an^2 x$ प्राप्त होता है।अतः,$f\left(\frac{\pi}{3}ight) = 	an^2\left(\frac{\pi}{3}ight) = (\sqrt{3})^2 = 3$ है।

यदि $\int \frac{\sin 2x \, dx}{\sin^4 x + \cos^4 x} = \tan^{-1}(f(x)) + c$ है,तो $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = $

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फलन $\frac{(\log x)^{2}}{x}$ का समाकलन कीजिए।

यदि $\int \cos ^k(x) \sin (x) d x = \frac{-1}{4} \cos ^4(x) + C$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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