$10$ पुरुषों और $8$ महिलाओं के समूह से,$8$ सदस्यों की एक समिति बनाने के तरीकों की संख्या जिसमें $5$ से अधिक पुरुष न हों और $5$ से कम महिलाएं न हों,है

$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से $4$ पत्ते चुनने के कुल कितने तरीके हैं? इनमें से कितने तरीकों में $4$ पत्ते एक ही रंग के हैं?

एक समूह में $4$ लड़कियाँ और $7$ लड़के हैं। यदि टीम में कम से कम $3$ लड़कियाँ हों,तो $5$ सदस्यों की एक टीम कितने तरीकों से चुनी जा सकती है?

क्रमित युग्मों $(r, k)$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot ^{36}C_{r+1}$ है,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।

दो विशिष्ट स्टेशनों के बीच एक रेलवे लाइन पर $10$ मध्यवर्ती स्टेशन हैं। एक ट्रेन को इन $10$ मध्यवर्ती स्टेशनों में से $3$ स्टेशनों पर इस प्रकार रोकने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि कोई भी दो स्टेशन लगातार न हों:

$^nC_r + ^{n-1}C_r + ...... + ^rC_r =$