નીચેની યાદીઓનું અવલોકન કરો. ત્યારબાદ યાદી-$I$ માટે યાદી-$II$ માંથી સાચી જોડ પસંદ કરો:

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(A)$ $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$	$1. |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
$(B)$ $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b}$	$2. (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$
$(C)$ $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$	$3. \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
$(D)$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	$4. |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$
	$5. (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

ધારો કે $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $\overrightarrow{PQ} = a \hat{i} + b \hat{j}$ અને $\overrightarrow{PS} = a \hat{i} - b \hat{j}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ની પાસપાસેની બાજુઓ છે. ધારો કે $\overrightarrow{u}$ અને $\overrightarrow{v}$ એ $\overrightarrow{w} = \hat{i} + \hat{j}$ ના અનુક્રમે $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ પરના પ્રક્ષેપ સદિશો છે. જો $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}|$ અને જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $8$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $a + b = 4$
$(B)$ $a - b = 2$
$(C)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણ $PR$ ની લંબાઈ $4$ છે
$(D)$ $\overrightarrow{w}$ એ સદિશો $\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે

જો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય અને જો $\vec{d}$ એવું હોય કે $\vec{d} = \frac{1}{x}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ અને $\vec{d} = \frac{1}{y}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ જ્યાં $x$ અને $y$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો $\frac{1}{xy}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$ ની કિંમત શું થાય?

જો $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{c}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{d}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ હોય,તો નીચેની List-$I$ ને List-$II$ સાથે જોડો:

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$	$(A)$ $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}$
(ii) $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$	$(B)$ $3$
(iii) $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$	$(C)$ $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$
(iv) $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$	$(D)$ $2\hat{i}-2\hat{k}$
	$(E)$ $2\hat{j}+2\hat{k}$
	$(F)$ $4$

ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,બિંદુ $P$ એ $DC$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે અને $Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. જો $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{PQ}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

આપેલ છે કે $a$ અને $b$ બે એકમ અસમરેખ સદિશો છે,જો $u = a - (a \cdot b)b$ અને $v = a \times b$ હોય,તો $|v| =$ શોધો.