Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Gujarati

(D) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $AX = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ ($x = y = z = 0$ સિવાયનો ઉકેલ) મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
સહગુણક શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ \lambda & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ \lambda & -14 & 15 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$3((-14)(-3) - (15)(2)) - (-2)((\lambda)(-3) - (15)(1)) + 1((\lambda)(2) - (-14)(1)) = 0$
$3(42 - 30) + 2(-3\lambda - 15) + 1(2\lambda + 14) = 0$
$3(12) - 6\lambda - 30 + 2\lambda + 14 = 0$
$36 - 6\lambda - 30 + 2\lambda + 14 = 0$
$-4\lambda + 20 = 0$
$4\lambda = 20$
$\lambda = 5$

(C) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે શૂન્યતર ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & k & -1 \\ 3 & -k & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} 1 & k & -1 \\ 3 & -k & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-k - 3) - k(3 - (-1)) - 1(-9 - (-k)) = 0$
$1(-k - 3) - k(4) - 1(-9 + k) = 0$
$-k - 3 - 4k + 9 - k = 0$
$-6k + 6 = 0$
$6k = 6$
$k = 1$

(D) આપેલ સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x + y - z = 0$
$3x - y - z = 0$
$x - 3y + z = 0$
ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધીએ છીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1((-1)(1) - (-1)(-3)) - 1((3)(1) - (-1)(1)) + (-1)((3)(-3) - (-1)(1))$
$\Delta = 1(-1 - 3) - 1(3 + 1) - 1(-9 + 1)$
$\Delta = 1(-4) - 1(4) - 1(-8)$
$\Delta = -4 - 4 + 8 = 0$
કારણ કે સમપરિમાણીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ છે,તેથી આ સિસ્ટમ પાસે શૂન્યેતર ઉકેલો છે,જેનો અર્થ છે કે ત્યાં અનંત ઉકેલો છે.

(D) આપેલ સમરૂપ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + y - z = 0$
$3x - \alpha y - 3z = 0$
$x - 3y + z = 0$
સમરૂપ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta = 0$.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -\alpha & -3 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને સાપેક્ષ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(-\alpha - 9) - 1(3 - (-3)) - 1(-9 - (-\alpha)) = 0$
$-\alpha - 9 - 6 + 9 - \alpha = 0$
$-2\alpha - 6 = 0$
$-2\alpha = 6$
$\alpha = -3$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમઘાત સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + 4y - z = 0$
$3x - 4y - z = 0$
$x - 3y + z = 0$
ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 3 & -4 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1((-4)(1) - (-1)(-3)) - 4((3)(1) - (-1)(1)) + (-1)((3)(-3) - (-4)(1))$
$\Delta = 1(-4 - 3) - 4(3 + 1) - 1(-9 + 4)$
$\Delta = 1(-7) - 4(4) - 1(-5)$
$\Delta = -7 - 16 + 5 = -18$
અહીં $\Delta \neq 0$ હોવાથી,સમઘાત સમીકરણોની આ સંહતિનો માત્ર એક જ શૂન્યતર (trivial) ઉકેલ $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ મળે છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ એ $AX = 0$ સ્વરૂપની સુરેખ સમીકરણોની સમઘાત સંહતિ છે,જ્યાં $A$ એ સહગુણક શ્રેણિક છે અને $X = [x, y, z]^T$ છે.
સમઘાત સંહતિ $AX = 0$ માટે,ઉકેલનો પ્રકાર સહગુણક શ્રેણિકના નિશ્ચાયક $|A|$ પર આધાર રાખે છે.
જો $|A| \neq 0$ હોય,તો સંહતિને માત્ર શૂન્ય ઉકેલ $(x = 0, y = 0, z = 0)$ હોય છે.
જો $|A| = 0$ હોય,તો સંહતિને શૂન્ય ઉકેલ ઉપરાંત અનંત અસંખ્ય શૂન્યેતર ઉકેલો હોય છે.
અહીં પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $\left| \begin{matrix} {a_1} & {b_1} & {c_1} \\ {a_2} & {b_2} & {c_2} \\ {a_3} & {b_3} & {c_3} \end{matrix} \right| = 0$,એટલે કે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય છે.
તેથી,આ સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + 2y - 3z = 1$
$0x + 0y + (k + 3)z = 3$
$(2k + 1)x + 0y + z = 0$
આ સંહતિને શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & k+3 \\ 2k+1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
સંહતિ અસંગત હોવા માટે,નિશ્ચાયક $D = |A| = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = 1(0 - 0) - 2(0 - (k+3)(2k+1)) - 3(0 - 0)$
$D = 2(k+3)(2k+1)$
$D = 0$ લેતા,આપણને $k = -3$ અથવા $k = -1/2$ મળે છે.
જો $k = -3$ હોય,તો બીજું સમીકરણ $0 = 3$ બને છે,જે વિરોધાભાસ છે. તેથી,$k = -3$ માટે સંહતિ અસંગત છે.
જો $k = -1/2$ હોય,તો ત્રીજું સમીકરણ $0x + 0y + z = 0$ બને છે અને બીજું સમીકરણ $2.5z = 3$ બને છે,જે સુસંગત છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$a + b - 2c = 0$
$2a - 3b + c = 0$
$a - 5b + 4c = \alpha$
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને વિસ્તૃત નિશ્ચાયકો $D_1, D_2, D_3$ પણ શૂન્ય હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -5 & 4 \end{vmatrix}$
$D = 1((-3)(4) - (1)(-5)) - 1((2)(4) - (1)(1)) - 2((2)(-5) - (-3)(1))$
$D = 1(-12 + 5) - 1(8 - 1) - 2(-10 + 3)$
$D = 1(-7) - 1(7) - 2(-7) = -7 - 7 + 14 = 0$
અહીં $D = 0$ હોવાથી,જો નિશ્ચાયક $D_1$ (પ્રથમ સ્તંભને અચળ પદો વડે બદલતા) શૂન્ય હોય તો સંહતિ સુસંગત છે:
$D_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 1 \\ \alpha & -5 & 4 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$D_1 = \alpha \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = \alpha(1 - 6) = -5\alpha$
$D_1 = 0$ લેતા,આપણને $-5\alpha = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 0$.

(C) ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ છીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(3 \times 2 - 1 \times 1) - 2(2 \times 2 - 3 \times 1) + 3(2 \times 1 - 3 \times 3)$
$D = 1(6 - 1) - 2(4 - 3) + 3(2 - 9)$
$D = 1(5) - 2(1) + 3(-7)$
$D = 5 - 2 - 21 = -18$
અહીં $D \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણોની આ સિસ્ટમ માટે $a, b, c$ ની કોઈપણ કિંમત માટે અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(D) સમઘાત સુરેખ સમીકરણ સંહતિનો શૂન્યેતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આપેલ સંહતિ:
$3x - 2y + z = 0$
$\lambda x - 14y + 15z = 0$
$x + 2y + 3z = 0$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ \lambda & -14 & 15 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$3((-14)(3) - (15)(2)) - (-2)((\lambda)(3) - (15)(1)) + 1((\lambda)(2) - (-14)(1)) = 0$
$3(-42 - 30) + 2(3\lambda - 15) + (2\lambda + 14) = 0$
$3(-72) + 6\lambda - 30 + 2\lambda + 14 = 0$
$-216 + 8\lambda - 16 = 0$
$8\lambda - 232 = 0$
$8\lambda = 232$
$\lambda = \frac{232}{8} = 29$
આમ,$\lambda$ ની કિંમત $29$ છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = B$ ને અનન્ય ઉકેલ હોય જો અને માત્ર જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $|A| \ne 0$.
અહીં સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & k \end{bmatrix}$
આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(1 \cdot k - (-1) \cdot 2) - 1(2 \cdot k - (-1) \cdot 3) + 1(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)$
$|A| = 1(k + 2) - 1(2k + 3) + 1(4 - 3)$
$|A| = k + 2 - 2k - 3 + 1$
$|A| = -k$
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે $|A| \ne 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $-k \ne 0$,અથવા $k \ne 0$.

(C) સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x_1 - x_2 + x_3 = 2$
$3x_1 - x_2 + 2x_3 = -6$
$3x_1 + x_2 + x_3 = -18$
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(-1 - 2) - (-1)(3 - 6) + 1(3 + 3) = 1(-3) + 1(-3) + 1(6) = -3 - 3 + 6 = 0$
ત્યારબાદ,પ્રથમ સ્તંભને અચળાંકો સાથે બદલીને $D_1$ શોધીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -6 & -1 & 2 \\ -18 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(-1 - 2) - (-1)(-6 + 36) + 1(-6 - 18) = 2(-3) + 1(30) - 24 = -6 + 30 - 24 = 0$
તે જ રીતે,$D_2$ અને $D_3$ ની ગણતરી કરતા:
$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -6 & 2 \\ 3 & -18 & 1 \end{vmatrix} = 1(-6 + 36) - 2(3 - 6) + 1(-54 + 18) = 30 - 2(-3) - 36 = 30 + 6 - 36 = 0$
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & -6 \\ 3 & 1 & -18 \end{vmatrix} = 1(18 + 6) - (-1)(-54 + 18) + 2(3 + 3) = 24 - 36 + 12 = 0$
અહીં $D = D_1 = D_2 = D_3 = 0$ હોવાથી,સિસ્ટમ સુસંગત છે અને તેના અનંત ઉકેલો છે.

(A) સુરેખ સમીકરણ સંહતિને અનન્ય ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્યતર હોવો જોઈએ $(D \neq 0)$.
અહીં સહગુણક શ્રેણિક:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & \mu \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને સાપેક્ષ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1((-1)(-1) - (3)(\mu)) - 1((5)(-1) - (2)(\mu)) + 1((5)(3) - (2)(-1))$
$D = 1(1 - 3\mu) - 1(-5 - 2\mu) + 1(15 + 2)$
$D = 1 - 3\mu + 5 + 2\mu + 17$
$D = 23 - \mu$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $23 - \mu \neq 0$,એટલે કે $\mu \neq 23$.
આમ,$D \neq 0$ ની શરત માત્ર $\mu$ ની કિંમત પર આધાર રાખે છે અને $\lambda$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી અનન્ય ઉકેલનું અસ્તિત્વ માત્ર $\mu$ પર આધાર રાખે છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX = B$ માં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -18 \end{bmatrix}$
ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સહગુણક મેટ્રિક્સ $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1((-1)(1) - (2)(1)) - 1((3)(1) - (2)(3)) + 1((3)(1) - (-1)(3))$
$|A| = 1(-1 - 2) - 1(3 - 6) + 1(3 + 3)$
$|A| = 1(-3) - 1(-3) + 1(6) = -3 + 3 + 6 = 6$
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,મેટ્રિક્સ $A$ એ નોન-સિંગ્યુલર છે અને તેનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,સમીકરણોની સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + \lambda z = 12$
સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $AX = B$ અસંગત હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોય.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 3) + 1(2 - 2)$
$D = 2\lambda - 6 - \lambda + 3 + 0$
$D = \lambda - 3$
સંહતિ અસંગત હોવા માટે,આપણે $D = 0$ લઈએ:
$\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$
હવે,$\lambda = 3$ માટે $D_z$ ની ગણતરી કરીને ચકાસીએ:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 10 \\ 1 & 2 & 12 \end{vmatrix}$
$D_z = 1(24 - 20) - 1(12 - 10) + 6(2 - 2)$
$D_z = 1(4) - 1(2) + 6(0) = 4 - 2 = 2$
અહીં $D = 0$ અને $D_z \neq 0$ હોવાથી,$\lambda = 3$ માટે સંહતિ અસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ સમઘાત (homogeneous) છે:
$x + ay + 0z = 0$
$0x + y + az = 0$
$ax + 0y + z = 0$
સમઘાત સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો (બિન-તુચ્છ ઉકેલો) હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 \times 1 - a \times 0) - a(0 \times 1 - a \times a) + 0(0 \times 0 - 1 \times a) = 0$
$1(1) - a(-a^2) + 0 = 0$
$1 + a^3 = 0$
$a^3 = -1$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $a = -1$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$1) 3x + y + 2z = 3$
$2) 2x - 3y - z = -3$
$3) x + 2y + z = 4$
આપણે આને આદેશની રીત અથવા આપેલા વિકલ્પો ચકાસીને ઉકેલી શકીએ છીએ.
ચાલો વિકલ્પ $(d)$ ચકાસીએ જ્યાં $x = 1, y = 2, z = -1$ છે:
સમીકરણ $(1)$ માટે: $3(1) + (2) + 2(-1) = 3 + 2 - 2 = 3$ (સંતોષાય છે)
સમીકરણ $(2)$ માટે: $2(1) - 3(2) - (-1) = 2 - 6 + 1 = -3$ (સંતોષાય છે)
સમીકરણ $(3)$ માટે: $(1) + 2(2) + (-1) = 1 + 4 - 1 = 4$ (સંતોષાય છે)
બધા સમીકરણો સંતોષાય છે,તેથી સાચા મૂલ્યો $x = 1, y = 2, z = -1$ છે.

(D) સમીકરણ સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોય.
પ્રથમ, સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}$
$D = 2(-2\lambda - 1) - (-1)(\lambda - 1) + (-1)(1 - (-2))$
$D = -4\lambda - 2 + \lambda - 1 - 3$
$D = -3\lambda - 6$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય અથવા અનંત ઉકેલો હોય તે માટે, આપણે $D = 0$ લઈએ છીએ:
$-3\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$
હવે, $\lambda = -2$ માટે $D_x$ તપાસો:
$D_x = \begin{vmatrix} 12 & -1 & -1 \\ -4 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 12(4 - 1) - (-1)(8 - 4) + (-1)(-4 + 8)$
$D_x = 12(3) + 1(4) - 1(4) = 36 \neq 0$
આમ, $D = 0$ અને $D_x \neq 0$ હોવાથી, $\lambda = -2$ માટે સમીકરણ સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) ક્રેમરના નિયમ મુજબ,સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$,$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$,અને $a_3x + b_3y + c_3z = d_3$ માટે,$x$ ની કિંમત $x = \frac{D_1}{D}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$D$ એ સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 9 & 3 \\ 5 & 10 & 5 \end{vmatrix}$.
$D_1$ એ $D$ ના પ્રથમ સ્તંભને અચળાંકો $d_1, d_2, d_3$ દ્વારા બદલીને મેળવેલ નિશ્ચાયક છે:
$D_1 = \begin{vmatrix} 9 & 3 & 4 \\ 10 & 9 & 3 \\ 11 & 10 & 5 \end{vmatrix}$.
આમ,$x = \frac{D_1}{D} = \frac{\begin{vmatrix} 9 & 3 & 4 \\ 10 & 9 & 3 \\ 11 & 10 & 5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 9 & 3 \\ 5 & 10 & 5 \end{vmatrix}}$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + \lambda z = \mu$
સહગુણક શ્રેણિક $A$:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & \lambda \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A| = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 3) + 1(2 - 2) = \lambda - 3$.
સંહતિને ઉકેલ ન હોય અથવા અનંત ઉકેલો હોય તે માટે $|A| = 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\lambda = 3$.
જ્યારે $\lambda = 3$ હોય,ત્યારે સમીકરણો:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + 3z = \mu$
બીજા સમીકરણને ત્રીજા સમીકરણમાંથી બાદ કરતા,$0 = \mu - 10$ મળે.
જો $\mu \ne 10$ હોય,તો આ વિરોધાભાસ દર્શાવે છે,તેથી સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,ઉકેલ ન હોવા માટેની શરત $\lambda = 3$ અને $\mu \ne 10$ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિનો શૂન્યેતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - 2C_3$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ 1 & b & b \\ 1 & 2c & c \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & b & b-a \\ 0 & 2c-b & c-b \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$1 \cdot [b(c - b) - (b - a)(2c - b)] = 0$
$bc - b^2 - (2bc - b^2 - 2ac + ab) = 0$
$bc - b^2 - 2bc + b^2 + 2ac - ab = 0$
$2ac - ab - bc = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ શરત દર્શાવે છે કે $a, b, c$ હરાત્મક શ્રેણી ($H$.$P$.) માં છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય અથવા અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha(\alpha^2 - 1) - 1(\alpha - 1) + 1(1 - \alpha) = 0$
$(\alpha - 1)^2(\alpha + 2) = 0$
તેથી,$\alpha = 1$ અથવા $\alpha = -2$.
જો $\alpha = 1$ હોય,તો સમીકરણો $x + y + z = 0$ બને છે,જેના અનંત ઉકેલો મળે છે.
જો $\alpha = -2$ હોય,તો સમીકરણો:
$-2x + y + z = -3$
$x - 2y + z = -3$
$x + y - 2z = -3$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $0 = -9$ મળે છે,જે અશક્ય છે. તેથી,$\alpha = -2$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$. આપણી પાસે $AX = B$ છે,જેનો અર્થ છે કે $X = A^{-1}B$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = (3)(1) - (1)(4) = 3 - 4 = -1$.
ત્યારબાદ,$A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક શોધો: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}$.
પછી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$X = \begin{bmatrix} (-1)(5) + (1)(2) & (-1)(-1) + (1)(3) \\ (4)(5) + (-3)(2) & (4)(-1) + (-3)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5+2 & 1+3 \\ 20-6 & -4-9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 14 & -13 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$.
$AX = B$ પરથી,આપણને મળે $X = A^{-1}B$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (-1)(-1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3$ શોધો.
$A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક $adj(A) = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = A^{-1}B = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$X = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} (1)(3) + (2)(1) \\ (2)(3) + (1)(1) \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 + 2 \\ 6 + 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix}$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે સમીકરણની જમણી બાજુએ શ્રેણિક ગુણાકાર કરીએ:
$\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 0 & -6 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4(2) + (-2)(1) \\ 0(2) + (-6)(1) \\ -1(2) + 2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 - 2 \\ 0 - 6 \\ -2 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -6 \\ 0 \end{bmatrix}$
હવે,આપણે તેને ડાબી બાજુ સાથે સરખાવીએ:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -6 \\ 0 \end{bmatrix}$
આનાથી આપણને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$1) \ x + 2y + 3z = 6$
$2) \ 3x + y + 2z = -6$
$3) \ 2x + 3y + z = 0$
ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(x + 3x + 2x) + (2y + y + 3y) + (3z + 2z + z) = 6 - 6 + 0$
$6x + 6y + 6z = 0 \implies x + y + z = 0$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$z = -2x - 3y$. તેને $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 2y + 3(-2x - 3y) = 6 \implies x + 2y - 6x - 9y = 6 \implies -5x - 7y = 6$
આ સિસ્ટમને ઉકેલતા,આપણને $x = -4, y = 2, z = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ મળે છે:
$x + z = 1$ $(1)$
$-x + y = 1$ $(2)$
$-y + z = 2$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = x + 1$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$z = 1 - x$.
$y$ અને $z$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મુકતા:
$(1 - x) - (x + 1) = 2$
$1 - x - x - 1 = 2$
$-2x = 2$
$x = -1$.
હવે,$y$ અને $z$ શોધો:
$y = -1 + 1 = 0$
$z = 1 - (-1) = 2$.
આમ,$(x, y, z) = (-1, 0, 2)$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$x + 2y + 3z = 1$
$2x + y + 3z = 2$
$5x + 5y + 9z = 4$
આને $AX = B$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 9 \end{bmatrix}$ છે.
હવે,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(1 \times 9 - 3 \times 5) - 2(2 \times 9 - 3 \times 5) + 3(2 \times 5 - 1 \times 5)$
$|A| = 1(9 - 15) - 2(18 - 15) + 3(10 - 5)$
$|A| = 1(-6) - 2(3) + 3(5)$
$|A| = -6 - 6 + 15 = 3$
અહીં $|A| = 3 \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$0x_1 + 1x_2 - 1x_3 = 1$
$-1x_1 + 0x_2 + 2x_3 = -2$
$1x_1 - 2x_2 + 0x_3 = 3$
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ:
$D = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 0(0 - (-4)) - 1(0 - 2) + (-1)(2 - 0) = 0 + 2 - 2 = 0$
કારણ કે $D = 0$ છે,તેથી સિસ્ટમ અસંગત છે અથવા તેના અનંત ઉકેલો છે. આપણે પ્રથમ સ્તંભને અચળાંકો સાથે બદલીને $D_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - (-4)) - 1(0 - 6) + (-1)(4 - 0) = 4 + 6 - 4 = 6$
અહીં $D = 0$ અને $D_1 \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સિસ્ટમ અસંગત છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$.
આ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1) x + y + z = 0$
$2) x - 2y - 2z = 3$
$3) x + 3y + z = 4$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(x + 3y + z) - (x + y + z) = 4 - 0$
$2y = 4 \implies y = 2$.
હવે $y = 2$ ને સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માં મૂકતા:
$x + 2 + z = 0 \implies x + z = -2$ $(4)$
$x - 2(2) - 2z = 3 \implies x - 2z = 7$ $(5)$
સમીકરણ $(4)$ માંથી સમીકરણ $(5)$ બાદ કરતા:
$(x + z) - (x - 2z) = -2 - 7$
$3z = -9 \implies z = -3$.
$z = -3$ ને સમીકરણ $(4)$ માં મૂકતા:
$x - 3 = -2 \implies x = 1$.
આમ,ઉકેલ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}$ છે.

(B) ધારો કે $\frac{x^2}{a^2} = X, \frac{y^2}{b^2} = Y$ અને $\frac{z^2}{c^2} = Z$.
આપેલ સમીકરણ પ્રણાલી નીચે મુજબ બને છે:
$X + Y - Z = 1$
$X - Y + Z = 1$
$-X + Y + Z = 1$
સહગુણક શ્રેણિક $A$ આ મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1((-1)(1) - (1)(1)) - 1((1)(1) - (1)(-1)) + (-1)((1)(1) - (-1)(-1))$
$|A| = 1(-2) - 1(2) - 1(0) = -4$
અહીં $|A| = -4 \neq 0$ હોવાથી,$(X, Y, Z)$ માટે અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
${x^a}{y^b} = {e^m}$ અને ${x^c}{y^d} = {e^n}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(ln)$ લેતા:
$a \ln x + b \ln y = m$
$c \ln x + d \ln y = n$
આ $\ln x$ અને $\ln y$ ના સ્વરૂપમાં સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ છે.
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,નિશ્ચાયકો નીચે મુજબ છે:
${\Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ c & d \end{array}} \right|$
${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} m & b \\ n & d \end{array}} \right|$
${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & m \\ c & n \end{array}} \right|$
ક્રેમરના નિયમ મુજબ:
$\ln x = \frac{{{\Delta _1}}}{{{\Delta _3}}}$ અને $\ln y = \frac{{{\Delta _2}}}{{{\Delta _3}}}$
તેથી,$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$x = {e^{{\Delta _1}/{\Delta _3}}}$ અને $y = {e^{{\Delta _2}/{\Delta _3}}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો:
$3X + 2Y = I$ $(i)$
$2X - Y = O$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4X - 2Y = 2O = O$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3X + 2Y) + (4X - 2Y) = I + O$
$7X = I$
$X = \frac{1}{7}I$
$X$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$2(\frac{1}{7}I) - Y = O$
$Y = \frac{2}{7}I$
આમ,$X = \frac{1}{7}I$ અને $Y = \frac{2}{7}I$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$x + y = 10$ $(i)$
$2x + y = 18$ $(ii)$
$4x - 3y = 26$ $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(2x + y) - (x + y) = 18 - 10$
$x = 8$
$x = 8$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$8 + y = 10$
$y = 2$
હવે,ચકાસો કે બિંદુ $(8, 2)$ સમીકરણ $(iii)$ નું સમાધાન કરે છે કે નહીં:
$L.H.S. = 4(8) - 3(2) = 32 - 6 = 26$
$R.H.S. = 26$
$L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,બિંદુ $(8, 2)$ ત્રણેય સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,સમીકરણોની આ સિસ્ટમનો માત્ર એક જ સામાન્ય ઉકેલ છે.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_1$ અથવા $\Delta_2$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} k+1 & 8 \\ k & k+3 \end{vmatrix} = (k+1)(k+3) - 8k = k^2 + 4k + 3 - 8k = k^2 - 4k + 3 = (k-3)(k-1)$.
$\Delta = 0$ લેતા,આપણને $k = 1$ અથવા $k = 3$ મળે છે.
હવે,આ કિંમતો માટે $\Delta_1$ અને $\Delta_2$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 4k & 8 \\ 3k-1 & k+3 \end{vmatrix} = 4k(k+3) - 8(3k-1) = 4k^2 + 12k - 24k + 8 = 4k^2 - 12k + 8 = 4(k-1)(k-2)$.
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} k+1 & 4k \\ k & 3k-1 \end{vmatrix} = (k+1)(3k-1) - 4k^2 = 3k^2 + 2k - 1 - 4k^2 = -k^2 + 2k - 1 = -(k-1)^2$.
કિસ્સો $k=1$: $\Delta = 0, \Delta_1 = 0, \Delta_2 = 0$. આ કિસ્સામાં અનંત ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $k=3$: $\Delta = 0, \Delta_1 = 4(3-1)(3-2) = 8 \neq 0, \Delta_2 = -(3-1)^2 = -4 \neq 0$.
જ્યારે $k=3$ હોય ત્યારે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1, \Delta_2 \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,$k$ ની માત્ર $1$ કિંમત શક્ય છે.

(A) સમીકરણ સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોય.
નિશ્ચાયક $D$ આ મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix} = 1(a - b) - 1(1 - a) + 1(b - a^2) = a - b - 1 + a + b - a^2 = -a^2 + 2a - 1 = -(a - 1)^2$.
સંહતિને ઉકેલ ન હોય અથવા અનંત ઉકેલો હોય તે માટે $D = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $-(a - 1)^2 = 0$,તેથી $a = 1$.
$a = 1$ ને સંહતિમાં મૂકતા:
$x + y + z = 1$
$x + y + z = 1$
$x + by + z = 0$
સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,ત્રીજું સમીકરણ પ્રથમ બે સમીકરણો સાથે અસંગત હોવું જોઈએ. પ્રથમ બે સમીકરણો એક જ સમતલ $x + y + z = 1$ દર્શાવે છે,તેથી ત્રીજું સમીકરણ $x + by + z = 0$ એ પ્રથમ સમતલને સમાંતર હોવું જોઈએ પણ તે જ હોવું જોઈએ નહીં.
$x + y + z = 1$ અને $x + by + z = 0$ ની સરખામણી કરતા,સમતલો સમાંતર હોવા માટે $x, y, z$ ના સહગુણકો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ. આમ,$1/1 = b/1 = 1/1$,જે સૂચવે છે કે $b = 1$.
જો $b = 1$ હોય,તો ત્રીજું સમીકરણ $x + y + z = 0$ બને છે,જે $x + y + z = 1$ ને સમાંતર છે પણ અલગ છે (કારણ કે $0 \neq 1$). આમ,$b = 1$ માટે સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,$S = \{1\}$,જે એક સિંગલટન ગણ છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિનો શૂન્યેતર ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 4 & -3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-3k + 8) - k(-9 + 4) + 3(12 - 2k) = 0$
$-3k + 8 + 5k + 36 - 6k = 0$
$-4k + 44 = 0 \Rightarrow k = 11$
$k = 11$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x + 11y + 3z = 0$ $(1)$
$3x + 11y - 2z = 0$ $(2)$
$2x + 4y - 3z = 0$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(3x - x) + (11y - 11y) + (-2z - 3z) = 0 \Rightarrow 2x - 5z = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}z$
$x = \frac{5}{2}z$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{5}{2}z + 11y + 3z = 0 \Rightarrow 11y = -\frac{11}{2}z \Rightarrow y = -\frac{1}{2}z$
હવે,$\frac{xz}{y^2}$ ની કિંમત શોધીએ:
$\frac{xz}{y^2} = \frac{(\frac{5}{2}z)(z)}{(-\frac{1}{2}z)^2} = \frac{\frac{5}{2}z^2}{\frac{1}{4}z^2} = \frac{5}{2} \times 4 = 10$

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ $AX = B$ છે.
બંને બાજુ ડાબી બાજુએ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $A^{-1}(AX) = A^{-1}B$ મળે છે.
$A^{-1}A = I$ હોવાથી,$IX = A^{-1}B$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $X = A^{-1}B$ થાય છે.
હવે,આપેલ શ્રેણિકોની કિંમતો મૂકતા:
$X = \begin{bmatrix} 3 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -4 & \frac{3}{4} & \frac{5}{4} \\ 2 & -\frac{1}{4} & -\frac{3}{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 \\ 52 \\ 0 \end{bmatrix}$
ગુણાકાર કરતા:
$X = \begin{bmatrix} (3 \times 9) + (-\frac{1}{2} \times 52) + (-\frac{1}{2} \times 0) \\ (-4 \times 9) + (\frac{3}{4} \times 52) + (\frac{5}{4} \times 0) \\ (2 \times 9) + (-\frac{1}{4} \times 52) + (-\frac{3}{4} \times 0) \end{bmatrix}$
$X = \begin{bmatrix} 27 - 26 + 0 \\ -36 + 39 + 0 \\ 18 - 13 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$a_1x + b_1y + c_1z = -d_1$
$a_2x + b_2y + c_2z = -d_2$
$a_3x + b_3y + c_3z = -d_3$
ક્રેમરના નિયમ મુજબ,$x$ ની કિંમત $x = \frac{D_x}{D}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $D = \Delta (a,b,c) = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ અને $D_x = \begin{vmatrix} -d_1 & b_1 & c_1 \\ -d_2 & b_2 & c_2 \\ -d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ છે.
$D_x$ ના પ્રથમ સ્તંભમાંથી $-1$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$D_x = -1 \times \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = -\Delta (d,b,c) = -\Delta (b,c,d)$.
આમ,$x = \frac{-\Delta (bcd)}{\Delta (abc)}$.

(B) $n$ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX = B$ માટે અનન્ય ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્યતર $(|A| \neq 0)$ હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે શ્રેણિક $A$ નોન-સિંગ્યુલર છે. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે અનન્ય ઉકેલ માટે નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિકની જરૂર હોય છે.
વિધાન $(C)$ માટે,જો $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તો $|A| \neq 0$. કારણ કે $|adj A| = |A|^{n-1}$,તેથી $|adj A| \neq 0$,એટલે કે $(adj A)^{-1}$ નું અસ્તિત્વ હોવું જ જોઈએ.
વિધાન $(D)$ માટે,આપેલ શ્રેણિકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$F(x) \cdot F(y) = F(x + y)$ થાય,$F(x - y)$ નહીં.

(D) સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને $D_x = D_y = D_z = 0$ હોવું જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & p & 2 \\ 1 & 4 & \mu \end{bmatrix}$ છે.
$D = 0$ લેતા:
$1(p\mu - 8) - 2(\mu - 2) + 3(4 - p) = 0$
$p\mu - 8 - 2\mu + 4 + 12 - 3p = 0$
$p\mu - 3p - 2\mu + 8 = 0$
$(p - 2)(\mu - 3) = 2$ મળે છે.
ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિકનો ઉપયોગ કરતા:
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ કરતા:
$R_2: (0, p-2, -1, | -1)$
$R_3: (0, 2, \mu-3, | -1)$
અનંત ઉકેલો માટે,હાર પ્રમાણસર હોવી જોઈએ: $\frac{p-2}{2} = \frac{-1}{\mu-3} = 1$.
તેથી,$p-2 = 2 \implies p = 4$ અને $\mu-3 = -1 \implies \mu = 2$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ $p=4, \mu=2$ સાથે મેળ ખાતું નથી,તેથી સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(B) જો કોઈ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોય,તો તે શ્રેણિકને સિંગ્યુલર શ્રેણિક કહેવાય છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 3 \\ 2 & 2 - \lambda \end{bmatrix}$.
$A - \lambda I$ સિંગ્યુલર હોવા માટે,$\det(A - \lambda I) = 0$ થવું જોઈએ.
$\det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - (3)(2) = 0$.
$2 - \lambda - 2\lambda + \lambda^2 - 6 = 0$.
$\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$a^2 x - ay = 1 - a$ $(1)$
$bx + (3 - 2b) y = 3 + a$ $(2)$
કારણ કે $(x, y) = (1, 1)$ એ ઉકેલ છે,તેથી આ કિંમતો બંને સમીકરણોમાં મૂકતા:
સમીકરણ $(1)$ માટે: $a^2(1) - a(1) = 1 - a \implies a^2 - a = 1 - a \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$.
સમીકરણ $(2)$ માટે: $b(1) + (3 - 2b)(1) = 3 + a \implies b + 3 - 2b = 3 + a \implies 3 - b = 3 + a \implies b = -a$.
કિસ્સો $I$: જો $a = 1$,તો $b = -1$. અનન્યતા માટે તપાસતા: સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} a^2 & -a \\ b & 3 - 2b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 1 = 4 \neq 0$. આમ,$a = 1, b = -1$ અનન્ય ઉકેલ આપે છે.
કિસ્સો $II$: જો $a = -1$,તો $b = 1$. અનન્યતા માટે તપાસતા: $D = \begin{vmatrix} (-1)^2 & -(-1) \\ 1 & 3 - 2(1) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 1 = 0$. $D = 0$ હોવાથી,$a = -1, b = 1$ માટે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ નથી.
તેથી,સાચો ઉકેલ $a = 1, b = -1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ સંહતિ:
$ax - by = 2a - b$ $(1)$
$(c + 1)x + cy = 10 - a + 3b$ $(2)$
$(x = 1, y = 3)$ ઉકેલ હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
સમીકરણ $(1)$ માં: $a(1) - b(3) = 2a - b \implies a - 3b = 2a - b \implies a = -2b$.
સમીકરણ $(2)$ માં: $(c + 1)(1) + c(3) = 10 - a + 3b \implies 4c + 1 = 10 - a + 3b$.
$a = -2b$ મૂકતા: $4c + 1 = 10 - (-2b) + 3b \implies 4c = 9 + 5b \implies c = \frac{9 + 5b}{4}$.
અનંત ઉકેલો માટે સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{a}{c + 1} = \frac{-b}{c} = \frac{2a - b}{10 - a + 3b}$.
$\frac{a}{c + 1} = \frac{-b}{c}$ માં $a = -2b$ મૂકતા: $\frac{-2b}{c + 1} = \frac{-b}{c}$.
આથી $b = 0$ અથવા $c = 1$ મળે.
કિસ્સો $1$: જો $b = 0$,તો $a = 0$ અને $c = 9/4$. ત્રિપુટી $(0, 0, 9/4)$.
કિસ્સો $2$: જો $c = 1$,તો $b = -1$ અને $a = 2$. ત્રિપુટી $(2, -1, 1)$.
આમ,કુલ બે ત્રિપુટીઓ મળે છે.

(B) સમીકરણ સંહતિના પ્રકારને નક્કી કરવા માટે,આપણે તેને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX = B$ માં લખીએ,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 3 & -7 & 5 \\ 3 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 5 \end{bmatrix}$ છે.
આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 3(1 \times 5 - 5 \times 3) - (-7)(3 \times 5 - 5 \times 2) + 5(3 \times 3 - 1 \times 2)$
$|A| = 3(5 - 15) + 7(15 - 10) + 5(9 - 2)$
$|A| = 3(-10) + 7(5) + 5(7)$
$|A| = -30 + 35 + 35 = 40$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,સંહતિનો ઉકેલ અનન્ય છે.
ક્રેમરના નિયમ અથવા શ્રેણિક વ્યસ્તની મદદથી,આપણે $x, y, z$ ની કિંમતો શોધી શકીએ છીએ. જમણી બાજુના અચળાંકો શૂન્યતર હોવાથી,ઉકેલ શૂન્યતર છે.
આમ,આ સંહતિ સુસંગત છે અને અનન્ય શૂન્યતર ઉકેલ ધરાવે છે.

(A) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ ને શૂન્યતર (non-trivial) ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
સહગુણક શ્રેણિક:
$A = \begin{bmatrix} \lambda & -1 & \cos\theta \\ 3 & 1 & 2 \\ \cos\theta & 1 & 2 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = \lambda(1 \times 2 - 1 \times 2) - (-1)(3 \times 2 - \cos\theta \times 2) + \cos\theta(3 \times 1 - \cos\theta \times 1)$
$|A| = \lambda(0) + (6 - 2\cos\theta) + \cos\theta(3 - \cos\theta)$
$|A| = 6 - 2\cos\theta + 3\cos\theta - \cos^2\theta$
$|A| = 6 + \cos\theta - \cos^2\theta$
શૂન્યતર ઉકેલ માટે,$|A| = 0$:
$-\cos^2\theta + \cos\theta + 6 = 0$
$\cos^2\theta - \cos\theta - 6 = 0$
ધારો કે $t = \cos\theta$. તો $t^2 - t - 6 = 0$.
$(t - 3)(t + 2) = 0$
તેથી,$\cos\theta = 3$ અથવા $\cos\theta = -2$.
$\cos\theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,કોઈ પણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે $\cos\theta = 3$ કે $\cos\theta = -2$ શક્ય નથી.
તેથી,કોઈ પણ $\theta \in (0, 2\pi)$ માટે $|A|$ ક્યારેય શૂન્ય થતો નથી.
આમ,$\lambda$ અને $\theta$ ના તમામ મૂલ્યો માટે આ સંહતિનો માત્ર શૂન્ય ઉકેલ $(x=0, y=0, z=0)$ જ મળે છે.

(B) સમીકરણોની સિસ્ટમને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX = B$ માં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} \sin\theta & 0 & 2 \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ 0 & \cos\theta & 2 \end{bmatrix}$ છે.
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે નિશ્ચાયક $D = |A|$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$D = \sin\theta (\sin\theta \cdot 2 - 0 \cdot \cos\theta) - 0 + 2 (\cos\theta \cdot \cos\theta - 0 \cdot \sin\theta)$
$D = 2\sin^2\theta + 2\cos^2\theta = 2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 2(1) = 2$.
અહીં $D = 2 \neq 0$ હોવાથી,સિસ્ટમનો ઉકેલ અનન્ય છે.
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{D_x}{D}$,$y = \frac{D_y}{D}$,અને $z = \frac{D_z}{D}$.
$D_x = -2a\sin\theta$,$D_y = -2a\cos\theta$,અને $D_z = a\sin^2\theta$.
તેથી,$x = -a\sin\theta$,$y = -a\cos\theta$,અને $z = \frac{a\sin^2\theta}{2}$.
આમ,ઉકેલ $a$ અને $\theta$ બંને પર આધારિત છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $Ax = b$ ના ઉકેલના પ્રકારને નક્કી કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીશું.
$|A| = 1(0 \times 1 - 5 \times 2) - 2(2 \times 1 - 5 \times 0) + 3(2 \times 2 - 0 \times 0)$
$|A| = 1(0 - 10) - 2(2 - 0) + 3(4 - 0)$
$|A| = -10 - 4 + 12 = -2$
અહીં $|A| = -2$ છે,જે $0$ નથી,તેથી શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત શ્રેણિક ધરાવે છે.
સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $Ax = b$ ને અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ હોય જો શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત હોય $(|A| \neq 0)$.
તેથી,$Ax = b$ નો ઉકેલ અનન્ય છે.

(B) વિધાન $-1$: જો બે રેખાઓ સમાંતર ન હોય અને એકબીજા પર સંપાતી પણ ન હોય,તો તે એક બિંદુમાં છેદે છે. તેથી,સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે. આ વિધાન $T$ છે.
વિધાન $-2$: સમીકરણ સંહતિ $ax + by = 0$ અને $cx + dy = 0$ એ સમઘાત સંહતિ છે. જો તેનો શૂન્યતર ઉકેલ હોય,તો નિશ્ચાયક $ad - bc = 0$ થાય. આનો અર્થ એ કે રેખાઓ સંપાતી છે,જે અનંત ઉકેલો તરફ દોરી જાય છે. આ વિધાન $T$ છે.
વિધાન $-3$: $x + y + z = 1$ માં $x = y$ અને $y = 1 + z$ મૂકતા,આપણને $(1 + z) + (1 + z) + z = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3z + 2 = 1$ એટલે કે $3z = -1$ અથવા $z = -1/3$ થાય છે. આનાથી $y = 2/3$ અને $x = 2/3$ મળે છે. ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી સંહતિ સુસંગત છે. આ વિધાન $F$ છે.
વિધાન $-4$: જો સંહતિના બે સમીકરણો અસંગત હોય (દા.ત.,$x + y = 1$ અને $x + y = 2$),તો તે એકસાથે સંતોષાઈ શકતા નથી,જે આખી સંહતિને અસંગત બનાવે છે. આ વિધાન $T$ છે.
સાચો ક્રમ $TTFT$ છે.

(D) ઉકેલના પ્રકારને જાણવા માટે,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & \alpha \end{vmatrix}$
$D = 1(-\alpha + 2) - (-1)(2\alpha - 1) + 3(-4 + 1)$
$D = -\alpha + 2 + 2\alpha - 1 - 9 = \alpha - 8$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \neq 8$. તેથી,વિકલ્પ $b$ સાચો છે.
જો $\alpha = 8$ હોય,તો $D = 0$. આપણે $D_1, D_2, D_3$ ની ગણતરી કરીને સુસંગતતા તપાસીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 8 \end{vmatrix} = 2(-8 + 2) + 1(32 - 3) + 3(-8 + 3) = -12 + 29 - 15 = 2 \neq 0$
કારણ કે $D = 0$ અને $D_1 \neq 0$,તેથી $\alpha = 8$ માટે સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી. તેથી,વિકલ્પ $c$ પણ સાચો છે.
આમ,$b$ અને $c$ બંને સાચા છે.