જો સમીકરણોની સંહતિ $x + 2y - 3z = 1$,$(k + 3)z = 3$,અને $(2k + 1)x + z = 0$ અસંગત હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

એક ટ્રસ્ટ ફંડ પાસે Rs. $30,000$ છે જે બે અલગ-અલગ પ્રકારના બોન્ડમાં રોકવાના છે. પ્રથમ બોન્ડ વાર્ષિક $5 \%$ વ્યાજ આપે છે અને બીજો બોન્ડ વાર્ષિક $7 \%$ વ્યાજ આપે છે. શ્રેણિક ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને,નક્કી કરો કે જો ટ્રસ્ટ ફંડને વાર્ષિક કુલ Rs. $2000$ વ્યાજ મેળવવું હોય,તો Rs. $30,000$ ને બે પ્રકારના બોન્ડ વચ્ચે કેવી રીતે વહેંચવા જોઈએ.

જો $p, q, r$ એ $3$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય જે શ્રેણિક સમીકરણ $[p, q, r] \begin{bmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} = [3, 0, 1]$ નું સમાધાન કરે છે,તો $2p + q - r$ ની કિંમત શોધો.

એકસાથેના સુરેખ સમીકરણો $\beta x + \alpha y - z = -1$,$3x - \beta y + \alpha z = 0$,અને $\alpha x + \beta y + z = 1$ ધ્યાનમાં લો. ક્રેમરના નિયમમાં વપરાતી સામાન્ય સંજ્ઞામાં,જો $\frac{\Delta_1}{\Delta} = -1$,$\frac{\Delta_2}{\Delta} = 1$,અને $\frac{\Delta_3}{\Delta} = 2$ આપેલ હોય,તો $(\alpha, \beta) = $

ધારો કે $(x, y, z)$ એ પૂર્ણાંક યામ ધરાવતા બિંદુઓ છે જે સમપરિમાણીય સમીકરણોની સિસ્ટમનું પાલન કરે છે:
$3x - y - z = 0$,$-3x + z = 0$,$-3x + 2y + z = 0$.
તો આવા બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે જેના માટે $x^2 + y^2 + z^2 \leq 100$ થાય?

સમીકરણોની સંહતિની સુસંગતતા તપાસો: $x+3y=5$ અને $2x+6y=8$.