Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$5x - y + 4z = 5$
$2x + 3y + 5z = 2$
$5x - 2y + 6z = -1$
આ સંહતિને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં:
$A = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 5 & -2 & 6 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$
હવે,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 5(3 \times 6 - (-2) \times 5) - (-1)(2 \times 6 - 5 \times 5) + 4(2 \times (-2) - 5 \times 3)$
$|A| = 5(18 + 10) + 1(12 - 25) + 4(-4 - 15)$
$|A| = 5(28) + 1(-13) + 4(-19)$
$|A| = 140 - 13 - 76 = 51$
અહીં $|A| = 51 \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (non-singular) છે અને તેનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,સમીકરણોની સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે અને તે સુસંગત છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (5 \times 3) - (2 \times 7) = 15 - 14 = 1$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત છે.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = A^{-1}B$ નો ઉપયોગ કરીને $X$ શોધીએ:
$X = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3 \times 4) + (-2 \times 5) \\ (-7 \times 4) + (5 \times 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 10 \\ -28 + 25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}$.
આમ,$x = 2$ અને $y = -3$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ $AX = B$ માં લખી શકાય છે,જ્યાં:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (2)(4) - (-1)(3) = 8 + 3 = 11$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી મેટ્રિક્સ $A$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$A$ નો વ્યસ્ત $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = A^{-1}B$ નો ઉપયોગ કરીને $X$ શોધો:
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} (4)(-2) + (1)(3) \\ (-3)(-2) + (2)(3) \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -8 + 3 \\ 6 + 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -5 \\ 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{5}{11} \\ \frac{12}{11} \end{bmatrix}$.
આમ,$x = -\frac{5}{11}$ અને $y = \frac{12}{11}$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (4)(-5) - (-3)(3) = -20 + 9 = -11$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -5 & 3 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = A^{-1}B$ નો ઉપયોગ કરીને $X$ શોધો:
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} (5)(3) + (-3)(7) \\ (3)(3) + (-4)(7) \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 15 - 21 \\ 9 - 28 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -6 \\ -19 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{6}{11} \\ -\frac{19}{11} \end{bmatrix}$.
આમ,$x = -\frac{6}{11}$ અને $y = -\frac{19}{11}$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (5 \times 2) - (2 \times 3) = 10 - 6 = 4$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = A^{-1}B$:
$X = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} (2 \times 3) + (-2 \times 5) \\ (-3 \times 3) + (5 \times 5) \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 6 - 10 \\ -9 + 25 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -4 \\ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}$.
આમ,$x = -1$ અને $y = 4$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & -5 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 9 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 2(10 + 3) - 1(-5 - 0) + 1(3 - 0) = 2(13) + 5 + 3 = 26 + 8 = 34 \neq 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ $X = A^{-1}B$ છે.
સહ-અવયવોનો મેટ્રિક્સ:
$C_{11} = 13, C_{12} = 5, C_{13} = 3$
$C_{21} = 8, C_{22} = -10, C_{23} = -6$
$C_{31} = 1, C_{32} = 3, C_{33} = -5$
આમ,$adj(A) = \begin{bmatrix} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{bmatrix}$.
$X = A^{-1}B = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 13 & 8 & 1 \\ 5 & -10 & 3 \\ 3 & -6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{3}{2} \\ 9 \end{bmatrix} = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 13 + 12 + 9 \\ 5 - 15 + 27 \\ 3 - 9 - 45 \end{bmatrix} = \frac{1}{34} \begin{bmatrix} 34 \\ 17 \\ -51 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} \end{bmatrix}$.
તેથી,$x = 1, y = \frac{1}{2}, z = -\frac{3}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX=B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે,જ્યાં
$A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$,$X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B=\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ શોધો:
$|A| = 1(1+3) - (-1)(2+3) + 1(2-1) = 4 + 5 + 1 = 10 \neq 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,મેટ્રિક્સ $A$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,સહ-અવયવ મેટ્રિક્સ $C$ શોધો:
$C_{11} = 4, C_{12} = -5, C_{13} = 1$
$C_{21} = 2, C_{22} = 0, C_{23} = -2$
$C_{31} = 2, C_{32} = 5, C_{33} = 3$
તેથી,$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = A^{-1}B = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$x=2, y=-1, z=1$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & -2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 2(4 + 1) - 3(-2 - 3) + 3(-1 + 6) = 2(5) - 3(-5) + 3(5) = 10 + 15 + 15 = 40 \neq 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,સિસ્ટમનો ઉકેલ $X = A^{-1}B$ દ્વારા મળે છે.
સહ-અવયવો (cofactors) નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = 5, C_{12} = 5, C_{13} = 5$
$C_{21} = 3, C_{22} = -13, C_{23} = 11$
$C_{31} = 9, C_{32} = 1, C_{33} = -7$
તેથી,$adj(A) = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = A^{-1}B = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 5 & 3 & 9 \\ 5 & -13 & 1 \\ 5 & 11 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 25 - 12 + 27 \\ 25 + 52 + 3 \\ 25 - 44 - 21 \end{bmatrix} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 40 \\ 80 \\ -40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$x = 1, y = 2, z = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX=B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં
$A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 4 & -5 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$,$X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B=\begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 12 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(12-5) - (-1)(9+10) + 2(-3-8) = 1(7) + 1(19) + 2(-11) = 7 + 19 - 22 = 4 \neq 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ $X = A^{-1}B$ છે.
કોફેક્ટર મેટ્રિક્સ $C$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = 7, C_{12} = -19, C_{13} = -11$
$C_{21} = 1, C_{22} = -1, C_{23} = -1$
$C_{31} = -3, C_{32} = 11, C_{33} = 7$
આમ,$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix}$.
$X = A^{-1}B = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 7 & 1 & -3 \\ -19 & -1 & 11 \\ -11 & -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 \\ -5 \\ 12 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \\ 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$.
તેથી,$x=2, y=1, z=3$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = 2(-4 + 4) + 3(-6 + 4) + 5(3 - 2) = 0 - 6 + 5 = -1 \neq 0$ શોધો.
ત્યારબાદ,સહઅવયવ શ્રેણિક $C = [C_{ij}]$ શોધો:
$C_{11} = 0, C_{12} = 2, C_{13} = 1$
$C_{21} = -1, C_{22} = -9, C_{23} = -5$
$C_{31} = 2, C_{32} = 23, C_{33} = 13$
તેથી,$\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = -1 \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & -9 & 23 \\ 1 & -5 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{bmatrix}$.
સમીકરણોની સંહતિ $AX = B$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix}$.
$X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -2 & 9 & -23 \\ -1 & 5 & -13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 - 5 + 6 \\ -22 - 45 + 69 \\ -11 - 25 + 39 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$.
તેથી,$x=1, y=2, z=3$.

(A) ધારો કે ડુંગળી,ઘઉં અને ચોખાની પ્રતિ $kg$ કિંમત અનુક્રમે $Rs \, x$,$Rs \, y$ અને $Rs \, z$ છે.
આપેલ પરિસ્થિતિને સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$4x + 3y + 2z = 60$
$2x + 4y + 6z = 90$
$6x + 2y + 3z = 70$
આ સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 60 \\ 90 \\ 70 \end{bmatrix}$
$|A| = 4(12 - 12) - 3(6 - 36) + 2(4 - 24) = 0 + 90 - 40 = 50 \neq 0$
$A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) ગણતા:
$A_{11} = 0, A_{12} = 30, A_{13} = -20$
$A_{21} = -5, A_{22} = 0, A_{23} = 10$
$A_{31} = 10, A_{32} = -20, A_{33} = 10$
$adj(A) = \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{50} \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B = \frac{1}{50} \begin{bmatrix} 0 & -5 & 10 \\ 30 & 0 & -20 \\ -20 & 10 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 60 \\ 90 \\ 70 \end{bmatrix} = \frac{1}{50} \begin{bmatrix} 250 \\ 400 \\ 400 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 8 \end{bmatrix}$
આમ,$x=5, y=8, z=8$. ડુંગળીની કિંમત $Rs \, 5/kg$,ઘઉંની કિંમત $Rs \, 8/kg$ અને ચોખાની કિંમત $Rs \, 8/kg$ છે.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4\end{array}\right]$ અને $B = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે ગુણાકાર $AB$ શોધીએ:
$AB = \left[\begin{array}{ccc}1(-2)+(-1)(9)+2(6) & 1(0)+(-1)(2)+2(1) & 1(1)+(-1)(-3)+2(-2) \\ 0(-2)+2(9)+(-3)(6) & 0(0)+2(2)+(-3)(1) & 0(1)+2(-3)+(-3)(-2) \\ 3(-2)+(-2)(9)+4(6) & 3(0)+(-2)(2)+4(1) & 3(1)+(-2)(-3)+4(-2)\end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{ccc}-2-9+12 & 0-2+2 & 1+3-4 \\ 0+18-18 & 0+4-3 & 0-6+6 \\ -6-18+24 & 0-4+4 & 3+6-8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = I$.
કારણ કે $AB = I$,તેથી $A^{-1} = B = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$.
સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX = C$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $X = \left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ અને $C = \left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$.
તેથી $X = A^{-1}C = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$.
$X = \left[\begin{array}{c}-2(1)+0(1)+1(2) \\ 9(1)+2(1)+(-3)(2) \\ 6(1)+1(1)+(-2)(2)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-2+0+2 \\ 9+2-6 \\ 6+1-4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0 \\ 5 \\ 3\end{array}\right]$.
આમ,$x=0, y=5, z=3$.

(C) ધારો કે $\frac{1}{x}=p, \frac{1}{y}=q, \frac{1}{z}=r$.
આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ બને છે:
$2p+3q+10r=4$
$4p-6q+5r=1$
$6p+9q-20r=2$
આ સિસ્ટમને $AX=B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં
$A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 4 & -6 & 5 \\ 6 & 9 & -20 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 2(120-45) - 3(-80-30) + 10(36+36) = 2(75) - 3(-110) + 10(72) = 150 + 330 + 720 = 1200$.
$|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ (adj $A$) શોધતા:
$A_{11} = 75, A_{12} = 110, A_{13} = 72$
$A_{21} = 150, A_{22} = -100, A_{23} = 0$
$A_{31} = 75, A_{32} = 30, A_{33} = -24$
$A^{-1} = \frac{1}{1200} \begin{bmatrix} 75 & 150 & 75 \\ 110 & -100 & 30 \\ 72 & 0 & -24 \end{bmatrix}$.
$X = A^{-1}B = \frac{1}{1200} \begin{bmatrix} 75 & 150 & 75 \\ 110 & -100 & 30 \\ 72 & 0 & -24 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{1200} \begin{bmatrix} 600 \\ 400 \\ 240 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/3 \\ 1/5 \end{bmatrix}$.
આમ,$p=1/2, q=1/3, r=1/5$.
તેથી,$x=2, y=3, z=5$.

(A) અહીં $A, B, C$ એ $2$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે,તેથી $D$ પણ $2$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક હશે.
ધારો કે $D=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$. તો $CD-AB=O$ પરથી:
$\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 3 & 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\ 3 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 7 & 4\end{array}\right]$
$AB$ નો ગુણાકાર કરતા:
$AB = \left[\begin{array}{cc}2(5)+(-1)(7) & 2(2)+(-1)(4) \\ 3(5)+4(7) & 3(2)+4(4)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\ 43 & 22\end{array}\right]$
હવે,$CD = \left[\begin{array}{cc}2a+5c & 2b+5d \\ 3a+8c & 3b+8d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\ 43 & 22\end{array}\right]$
શ્રેણિકોની સમાનતા મુજબ:
$2a+5c=3$ અને $3a+8c=43$ (ઉકેલતા $a=-191, c=77$ મળે)
$2b+5d=0$ અને $3b+8d=22$ (ઉકેલતા $b=-110, d=44$ મળે)
આમ,$D = \left[\begin{array}{cc}-191 & -110 \\ 77 & 44\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે વેચાણ શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 10000 & 2000 & 18000 \\ 6000 & 20000 & 8000 \end{bmatrix}$
ધારો કે કિંમત શ્રેણિક $P$ નીચે મુજબ છે:
$P = \begin{bmatrix} 2.50 \\ 1.50 \\ 1.00 \end{bmatrix}$
કુલ આવક શ્રેણિક $R$ એ $A \times P$ નો ગુણાકાર છે:
$R = \begin{bmatrix} 10000 & 2000 & 18000 \\ 6000 & 20000 & 8000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2.50 \\ 1.50 \\ 1.00 \end{bmatrix}$
બજાર $I$ માટે:
$10000 \times 2.50 + 2000 \times 1.50 + 18000 \times 1.00 = 25000 + 3000 + 18000 = 46000$
બજાર $II$ માટે:
$6000 \times 2.50 + 20000 \times 1.50 + 8000 \times 1.00 = 15000 + 30000 + 8000 = 53000$
આમ,બજાર $I$ માં કુલ આવક રૂ. $46,000$ અને બજાર $II$ માં રૂ. $53,000$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $X \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$.
જમણી બાજુનો શ્રેણિક $2 \times 3$ છે. તેથી $X$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક હોવો જોઈએ.
ધારો કે $X = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+4c & 2a+5c & 3a+6c \\ b+4d & 2b+5d & 3b+6d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -8 & -9 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$1$) $a+4c = -7$ અને $2a+5c = -8$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$a = -7-4c$. બીજામાં મૂકતા: $2(-7-4c) + 5c = -8 \Rightarrow -14 - 8c + 5c = -8 \Rightarrow -3c = 6 \Rightarrow c = -2$.
તેથી $a = -7 - 4(-2) = 1$.
$2$) $b+4d = 2$ અને $2b+5d = 4$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$b = 2-4d$. બીજામાં મૂકતા: $2(2-4d) + 5d = 4 \Rightarrow 4 - 8d + 5d = 4 \Rightarrow -3d = 0 \Rightarrow d = 0$.
તેથી $b = 2 - 4(0) = 2$.
આમ,$X = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{2} = \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & -i \\ -i & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A^{4} = (A^{2})^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{4} = \left( 2 \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \right)^{2} = 8 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.
પછી,$A^{8} = (A^{4})^{2}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{8} = \left( 8 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \right)^{2} = 128 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.
સમીકરણોની સંહતિ $128 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 64 \end{bmatrix}$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $128(x - y) = 8 \Rightarrow x - y = \frac{1}{16}$ અને $128(-x + y) = 64 \Rightarrow -x + y = \frac{1}{2}$,એટલે કે $x - y = -\frac{1}{2}$.
અહીં $\frac{1}{16} \neq -\frac{1}{2}$ હોવાથી,આ સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$kx + y + z = 1$
$x + ky + z = k$
$x + y + kz = k^2$
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$
$= k(k^2 - 1) - 1(k - 1) + 1(1 - k)$
$= (k - 1)^2(k + 2)$
સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$\Delta = 0$ હોવું જોઈએ અને ક્રેમરના નિશ્ચાયકો $(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
જો $k = 1$ હોય,તો સમીકરણો $x + y + z = 1$ બને છે,જે અનંત ઉકેલો આપે છે.
જો $k = -2$ હોય,તો $\Delta = 0$ થાય છે. હવે $\Delta_1$ તપાસીએ:
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 9 \neq 0$.
તેથી,$k = -2$ માટે સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & \lambda \\ 1 & \lambda & 1 \end{vmatrix} = 2(-2 - \lambda^2) + 1(1 - \lambda) + 2(\lambda + 2) = -2\lambda^2 + \lambda + 1$
$D = 0$ લેતા:
$-2\lambda^2 + \lambda + 1 = 0 \Rightarrow (2\lambda + 1)(\lambda - 1) = 0$
આમ,$\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -\frac{1}{2}$.
હવે,આ કિંમતો માટે $D_x$ તપાસીએ:
$D_x = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -4 & -2 & \lambda \\ 4 & \lambda & 1 \end{vmatrix} = -2\lambda^2 - 12\lambda + 8$
$\lambda = 1$ માટે,$D_x = -6 \neq 0$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ માટે,$D_x = 13.5 \neq 0$.
બંને કિંમતો માટે $D=0$ અને $D_x \neq 0$ હોવાથી,સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,$S = \{1, -\frac{1}{2}\}$ છે,જે બરાબર બે ઘટકો ધરાવે છે.

(B) આપેલ છે $P = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & 9 & -1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $P$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|P| = 1(-3 + 36) - 2(2 + 4) + 1(-18 - 3) = 33 - 12 - 21 = 0$.
કારણ કે $|P| = 0$,સમીકરણ સંહતિ $PX = 0$ ને અનંત ઉકેલો છે.
સમીકરણો છે:
$x + 2y + z = 0$ $(i)$
$-2x + 3y - 4z = 0$ (ii)
$x + 9y - z = 0$ (iii)
$(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા $2x + 11y = 0 \Rightarrow x = -\frac{11}{2}y$ મળે.
$x$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $-\frac{11}{2}y + 2y + z = 0 \Rightarrow z = \frac{7}{2}y$.
ધારો કે $y = \lambda$,તો $x = -\frac{11}{2}\lambda$ અને $z = \frac{7}{2}\lambda$.
આપેલ છે $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$,કિંમતો મૂકતા:
$(-\frac{11}{2}\lambda)^{2} + \lambda^{2} + (\frac{7}{2}\lambda)^{2} = 1$
$\frac{121}{4}\lambda^{2} + \lambda^{2} + \frac{49}{4}\lambda^{2} = 1$
$\frac{121 + 4 + 49}{4}\lambda^{2} = 1 \Rightarrow \frac{174}{4}\lambda^{2} = 1 \Rightarrow \lambda^{2} = \frac{4}{174} = \frac{2}{87}$.
કારણ કે $\lambda^{2} = \frac{2}{87}$,$\lambda$ માટે બે શક્ય કિંમતો મળે $(\lambda = \pm \sqrt{\frac{2}{87}})$.
આમ,$(x, y, z)$ માટે બરાબર બે ઉકેલો મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$x - 2y + 5z = 0$ $(1)$
$-2x + 4y + z = 0$ $(2)$
$-7x + 14y + 9z = 0$ $(3)$
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ -2 & 4 & 1 \\ -7 & 14 & 9 \end{vmatrix} = 1(36 - 14) - (-2)(-18 + 7) + 5(-28 + 28) = 1(22) + 2(-11) + 0 = 22 - 22 = 0$.
$\Delta = 0$ હોવાથી,સિસ્ટમના અનંત ઉકેલો છે.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$x - 2y = -5z$
$-2x + 4y = -z$
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,$2x - 4y = -10z$ મળે છે. આને બીજા સમીકરણમાં ઉમેરતા $0 = -11z$ મળે છે,તેથી $z = 0$.
$z = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$x - 2y = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = 2y$.
ધારો કે $y = k$,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે. તો $x = 2k$ અને $z = 0$.
શરત $15 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 150$ નીચે મુજબ બને છે:
$15 \leq (2k)^{2} + k^{2} + 0^{2} \leq 150$
$15 \leq 5k^{2} \leq 150$
$3 \leq k^{2} \leq 30$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k^{2}$ ની કિંમત $4, 9, 16, 25$ હોઈ શકે.
આમ,$k \in \{ \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5 \}$.
$k$ માટે $8$ શક્ય કિંમતો છે,જે દરેક એક અનન્ય ઉકેલ $(x, y, z)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $8$ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને વિસ્તૃત નિશ્ચાયકો $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta = 0$ ની ગણતરી કરો:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 1(4\lambda + 2) - 1(2\lambda + 3) + 1(4 - 12) = 0$
$4\lambda + 2 - 2\lambda - 3 - 8 = 0$
$2\lambda - 9 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{9}{2}$.
ત્યારબાદ,$\Delta_x = 0$ ની ગણતરી કરો:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 6 & 4 & -1 \\ \mu & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 2(4\lambda + 2) - 1(6\lambda + \mu) + 1(12 - 4\mu) = 0$
$\lambda = \frac{9}{2}$ મૂકતા:
$2(18 + 2) - (27 + \mu) + 12 - 4\mu = 0$
$40 - 27 - \mu + 12 - 4\mu = 0$
$25 - 5\mu = 0 \Rightarrow \mu = 5$.
હવે,$\lambda = 4.5$ અને $\mu = 5$ માટે વિકલ્પો તપાસો:
$2\lambda + \mu = 2(4.5) + 5 = 9 + 5 = 14$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને નિશ્ચાયકો $D_1, D_2, D_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -7 & a \end{vmatrix} = 0$ ની ગણતરી કરો.
$1(a + 7) + 2(2a - 1) + 3(-14 - 1) = 0$
$a + 7 + 4a - 2 - 45 = 0$
$5a - 40 = 0 \Rightarrow a = 8$.
ત્યારબાદ,$D_1 = \begin{vmatrix} 9 & -2 & 3 \\ b & 1 & 1 \\ 24 & -7 & 8 \end{vmatrix} = 0$ ની ગણતરી કરો.
$9(8 + 7) + 2(8b - 24) + 3(-7b - 24) = 0$
$9(15) + 16b - 48 - 21b - 72 = 0$
$135 - 5b - 120 = 0$
$15 - 5b = 0 \Rightarrow b = 3$.
તેથી,$a - b = 8 - 3 = 5$.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y+3z=0$ $(i)$
$x+3y+k^{2}z=0$ (ii)
$3x+y+3z=0$ (iii)
શૂન્યેતર ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & k^{2} \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(9 - k^{2}) - 1(3 - 3k^{2}) + 3(1 - 9) = 0$
$9 - k^{2} - 3 + 3k^{2} - 24 = 0$
$2k^{2} - 18 = 0$
$2k^{2} = 18 \Rightarrow k^{2} = 9$
હવે,$k^{2} = 9$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$(i)$ $x+y+3z=0$
(iii) $3x+y+3z=0$
(iii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(3x+y+3z) - (x+y+3z) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$
$x=0$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $0 + y + 3z = 0 \Rightarrow y = -3z$
તેથી,$\frac{y}{z} = -3$
અંતે,$x + \frac{y}{z} = 0 + (-3) = -3$

(A) સમીકરણોની સંહતિ અસંગત ત્યારે હોય જ્યારે નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય ન હોય.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -4 & \lambda \\ 1 & -6 & 1 \\ \lambda & -10 & 4 \end{vmatrix} = 2(-24 + 10) + 4(4 - \lambda) + \lambda(-10 + 6\lambda)$
$D = 2(-14) + 16 - 4\lambda - 10\lambda + 6\lambda^{2} = 6\lambda^{2} - 14\lambda - 12 = 2(3\lambda + 2)(\lambda - 3)$.
$D = 0$ લેતા,આપણને $\lambda = 3$ અથવા $\lambda = -\frac{2}{3}$ મળે છે.
હવે $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ ની ગણતરી કરીએ:
$D_{1} = \begin{vmatrix} 1 & -4 & \lambda \\ 2 & -6 & 1 \\ 3 & -10 & 4 \end{vmatrix} = 1(-24 + 10) + 4(8 - 3) + \lambda(-20 + 18) = -14 + 20 - 2\lambda = 6 - 2\lambda = -2(\lambda - 3)$.
જ્યારે $\lambda = 3$ હોય,ત્યારે $D = 0$ અને $D_{1} = 0$ થાય છે. $\lambda = 3$ માટે $D_{2}$ અને $D_{3}$ પણ $0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે અનંત ઉકેલો મળે છે.
જ્યારે $\lambda = -\frac{2}{3}$ હોય,ત્યારે $D = 0$ પરંતુ $D_{1} = -2(-\frac{2}{3} - 3) = -2(-\frac{11}{3}) = \frac{22}{3} \neq 0$ થાય છે.
તેથી,$\lambda = -\frac{2}{3}$ માટે સંહતિ અસંગત છે,જે $\lambda$ ની એક ઋણ કિંમત છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને $D_1, D_2, D_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 0$ ની ગણતરી કરીએ.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2) = 0$.
$2\lambda - 9 - \lambda + 3 + 1 = 0 \implies \lambda - 5 = 0 \implies \lambda = 5$.
ત્યારબાદ,આપણે $D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 3 \\ \mu & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$ લઈએ.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $2(10 - 9) - 1(25 - 3\mu) + 1(15 - 2\mu) = 0$.
$2(1) - 25 + 3\mu + 15 - 2\mu = 0$.
$2 - 10 + \mu = 0 \implies \mu - 8 = 0 \implies \mu = 8$.
આમ,$\lambda = 5$ અને $\mu = 8$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $AB = B$,જેને $AB - B = O$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
આ સૂચવે છે કે $(A - I)B = O$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$B \neq O$ હોવાથી,શ્રેણિક $(A - I)$ અસામાન્ય (singular) હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $|A - I| = 0$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$|A - I| = \begin{vmatrix} a - 1 & b \\ c & d - 1 \end{vmatrix} = (a - 1)(d - 1) - bc = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $ad - a - d + 1 - bc = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણી પાસે $ad - bc = a + d - 1$ છે.
આપેલ છે કે $a + d = 2021$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$ad - bc = 2021 - 1 = 2020$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિનો શૂન્યતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવો જોઈએ.
$\begin{vmatrix} 4 & \lambda & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \mu & 2 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$4((-1)(3) - (1)(2)) - \lambda((2)(3) - (1)(\mu)) + 2((2)(2) - (-1)(\mu)) = 0$
$4(-5) - 6\lambda + \lambda\mu + 8 + 2\mu = 0$
$\lambda\mu - 6\lambda + 2\mu - 12 = 0$
$\lambda(\mu - 6) + 2(\mu - 6) = 0$
$(\lambda + 2)(\mu - 6) = 0$
આ સમીકરણ કોઈપણ $\lambda \in R$ માટે સાચું ઠરે તે માટે $\mu - 6 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\mu = 6$.
આમ,કોઈપણ $\lambda \in R$ માટે $\mu = 6$ એ શરત છે.

(D) સમીકરણોની સંહતિ અસંગત હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & -k \\ 2 & -4 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 3(4 + 4) + 2(-2 + 2) - k(4 + 4) = 24 - 8k$ શોધો.
$\Delta = 0$ લેતા,$24 - 8k = 0$ મળે,તેથી $k = 3$.
હવે,$k = 3$ માટે $\Delta_z$ તપાસો:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 10 \\ 2 & -4 & 6 \\ 1 & 2 & 5m \end{vmatrix} = 3(-20m - 12) + 2(10m - 6) + 10(4 + 4) = -60m - 36 + 20m - 12 + 80 = -40m + 32$.
અસંગતતા માટે,$\Delta_z \neq 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $-40m + 32 \neq 0 \Rightarrow 40m \neq 32 \Rightarrow m \neq \frac{32}{40} \Rightarrow m \neq \frac{4}{5}$.
આમ,સંહતિ અસંગત છે જો $k = 3$ અને $m \neq \frac{4}{5}$ હોય.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$1) kx + y + 2z = 1$
$2) 3x - y - 2z = 2$
$3) -2x - 2y - 4z = 3$
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને વિસ્તૃત શ્રેણિક સુસંગત હોવો જોઈએ.
ધારો કે સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} k & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -4 \end{bmatrix}$ છે.
$|A| = 0$ લેતા:
$|A| = k(4 - 4) - 1(-12 - 4) + 2(-6 - 2) = 0 - 1(-16) + 2(-8) = 16 - 16 = 0$.
નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોવાથી,આપણે વિસ્તૃત શ્રેણિક $[A|B]$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા ચકાસીએ છીએ.
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x - y - 2z) + (-2x - 2y - 4z) = 2 + 3$
$x - 3y - 6z = 5 \Rightarrow x = 3y + 6z + 5$.
અનંત ઉકેલો માટે,સંહતિ સુસંગત હોવી જોઈએ. પ્રથમ બે સમીકરણોનો સરવાળો કરતા અને સુસંગતતાની શરત ચકાસતા,આપણને $k = 21$ મળે છે.

(D) સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x - 2y + 0z = 1$
$x - y + kz = -2$
$0x + ky + 4z = 6$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & k \\ 0 & k & 4 \end{vmatrix} = 1(-4 - k^2) - (-2)(4 - 0) + 0 = -4 - k^2 + 8 = 4 - k^2$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $4 - k^2 \neq 0$,તેથી $k \neq 2$ અને $k \neq -2$. આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
જો $k = 2$ હોય,તો $D = 0$. આપણે $D_1$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ:
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1(-4 - 4) - (-2)(-8 - 12) + 0 = -8 - 40 = -48 \neq 0$.
કારણ કે $D = 0$ અને $D_1 \neq 0$,તેથી $k = 2$ માટે સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી. આમ,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(A)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 3y + 2z = 9 \quad (1)$
$3x + 2y + 2z = 9 \quad (2)$
$x - y + 4z = 8 \quad (3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(3x + 2y + 2z) - (2x + 3y + 2z) = 9 - 9$
$x - y = 0 \Rightarrow x = y$
$x = y$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$x - x + 4z = 8 \Rightarrow 4z = 8 \Rightarrow z = 2$
$z = 2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + 3y + 2(2) = 9$
$2x + 3y = 5$
$x = y$ હોવાથી,$2x + 3x = 5 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1$
આમ,$x = 1, y = 1, z = 2$.
આ સંહતિ અનન્ય ઉકેલ $(1, 1, 2)$ ધરાવે છે.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણો છે:
$P_{1}: x+2y-3z=a$
$P_{2}: 2x+6y-11z=b$
$P_{3}: x-2y+7z=c$
પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિક $D$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 6 & -11 \\ 1 & -2 & 7 \end{vmatrix} = 1(42-22) - 2(14+11) - 3(-4-6) = 20 - 50 + 30 = 0$.
કારણ કે $D=0$,સિસ્ટમ પાસે અનન્ય ઉકેલ નથી.
હવે,સમીકરણોના રેખીય સંયોજનને તપાસો:
$2P_{2} + P_{3} = 2(2x+6y-11z) + (x-2y+7z) = 4x+12y-22z + x-2y+7z = 5x+10y-15z = 5(x+2y-3z) = 5P_{1}$.
આમ,જો $5a = 2b + c$ હોય,તો ત્રીજું સમીકરણ પ્રથમ બે સમીકરણોનું રેખીય સંયોજન છે,જેનો અર્થ છે કે સમતલો સુસંગત છે અને સામાન્ય છેદરેખા ધરાવે છે.
તેથી,જ્યારે $5a = 2b + c$ હોય ત્યારે સિસ્ટમ અનંત ઉકેલો ધરાવે છે.

(B) જો નિશ્ચાયક $D \neq 0$ હોય તો સિસ્ટમને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \lambda \end{vmatrix} = 1(2\lambda - 9) - 1(\lambda - 3) + 1(3 - 2) = \lambda - 5$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0 \Rightarrow \lambda \neq 5$.
પાસાના $6$ પરિણામોમાંથી,$\lambda \neq 5$ માટે $5$ શક્યતાઓ છે. તેથી,$p = \frac{5}{6}$.
કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,$D = 0 \Rightarrow \lambda = 5$. આપણે $D_1, D_2, D_3$ નો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ.
$D_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 1 \\ \mu & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 6 - 2\mu$.
કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,$D=0$ અને $D_1, D_2, D_3$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યતર હોવું જોઈએ. જો $\lambda=5$,તો $D_1 = 6-2\mu \neq 0 \Rightarrow \mu \neq 3$.
$\mu$ ના $6$ પરિણામોમાંથી,$\mu \neq 3$ માટે $5$ શક્યતાઓ છે. તેથી,$q = P(\lambda=5) \times P(\mu \neq 3) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$(i) \ 2x + y - z = 3$
$(ii) \ x - y - z = \alpha$
$(iii) \ 3x + 3y + \beta z = 3$
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગત હોવો જોઈએ.
ધારો કે સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 3 & 3 & \beta \end{bmatrix}$ છે.
$|A| = 0$ લેતા:
$2(-\beta + 3) - 1(\beta + 3) - 1(3 + 3) = 0$
$-2\beta + 6 - \beta - 3 - 6 = 0$
$-3\beta - 3 = 0 \Rightarrow \beta = -1$.
$\beta = -1$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$2x + y - z = 3$
$x - y - z = \alpha$
$3x + 3y - z = 3$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા $x + 2y = 3 - \alpha$ મળે છે.
સમીકરણ $(iii)$ પરથી,$3(x + y) - z = 3$. $(i) + (ii)$ નો ઉપયોગ કરતા,$3x = 3 + \alpha$,તેથી $x = 1 + \alpha/3$.
સુસંગતતા માટે,સમીકરણો એક જ સમતલ અથવા રેખા દર્શાવતા હોવા જોઈએ. ઉકેલતા $\alpha = 3$ મળે છે.
આમ,$\alpha + \beta - \alpha \beta = 3 + (-1) - (3)(-1) = 3 - 1 + 3 = 5$.

(A) સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત છે જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્ય ન હોય (અનન્ય ઉકેલ) અથવા જો $D=0$ હોય અને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક સુસંગતતાની શરતનું પાલન કરે.
નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 5 \\ 9 & 4 & 28+[\lambda] \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(2(28+[\lambda]) - 20) - 1(3(28+[\lambda]) - 45) + 1(12 - 18)$
$D = (56 + 2[\lambda] - 20) - (84 + 3[\lambda] - 45) - 6$
$D = (36 + 2[\lambda]) - (39 + 3[\lambda]) - 6$
$D = -[\lambda] - 9$
જો $D \neq 0$,એટલે કે $[\lambda] \neq -9$,તો સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.
જો $D = 0$,એટલે કે $[\lambda] = -9$,તો આપણે ક્રેમરના નિયમ અથવા હાર ઘટાડાની રીતનો ઉપયોગ કરીને સુસંગતતા તપાસીએ.
$[\lambda] = -9$ માટે,ત્રીજું સમીકરણ $9x + 4y + 19z = -9$ બને છે.
આમ,તમામ $\lambda \in R$ માટે સંહતિનો ઉકેલ મળે છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = 2(-a - 1) - 1(a - 1) + 1(1 + 1) = 1 - 3a$.
$D = 0$ લેતા,$1 - 3a = 0$ મળે,તેથી $a = \frac{1}{3}$.
હવે,જો $a = \frac{1}{3}$ હોય,તો સમીકરણોની સંહતિ તપાસતા,કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટેની શરત $b \neq \frac{7}{3}$ મળે છે.

(C) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & -a & 5 \\ 2 & -2 & -a \end{vmatrix}$ છે.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -1(a^2 + 10) - 1(-3a - 10) + 2(-6 + 2a)$
$= -a^2 - 10 + 3a + 10 - 12 + 4a = -a^2 + 7a - 12 = -(a-3)(a-4)$.
સિસ્ટમ અસંગત હોય અથવા અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,આપણે $\Delta = 0$ હોવું જોઈએ,જે $a = 3$ અથવા $a = 4$ આપે છે.
હવે,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & -a & 5 \\ 7 & -2 & -a \end{vmatrix}$ ની ગણતરી કરીએ.
$\Delta_1 = 0(a^2 + 10) - 1(-a - 35) + 2(-2 + 7a) = a + 35 - 4 + 14a = 15a + 31$.
$a = 3$ માટે,$\Delta_1 = 15(3) + 31 = 76 \neq 0$.
$a = 4$ માટે,$\Delta_1 = 15(4) + 31 = 91 \neq 0$.
કારણ કે $a=3$ અને $a=4$ બંને માટે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 \neq 0$ છે,તેથી સિસ્ટમ આ કિંમતો માટે અસંગત છે. આમ,$S_1 = \{3, 4\}$ અને $n(S_1) = 2$.
અનંત ઉકેલો માટે,આપણે $\Delta = 0$ અને $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ ની જરૂર છે. કારણ કે $a=3$ અને $a=4$ માટે $\Delta_1 \neq 0$ છે,તેથી એવી કોઈ $a$ ની કિંમત નથી જેના માટે સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય. આમ,$S_2 = \emptyset$ અને $n(S_2) = 0$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = 0$.
$D = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & -3 \\ 6 & 5 & k \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$3(2k - (-15)) - (-1)(k - (-18)) + 4(5 - 12) = 0$
$3(2k + 15) + 1(k + 18) + 4(-7) = 0$
$6k + 45 + k + 18 - 28 = 0$
$7k + 35 = 0$
$7k = -35$
$k = -5$
$k = -5$ માટે સુસંગતતા તપાસતા:
$3x - y + 4z = 3$ $(i)$
$x + 2y - 3z = -2$ $(ii)$
$6x + 5y - 5z = -3$ $(iii)$
$(i) \times 2 - (ii)$ લેતા: $6x - 2y + 8z - (x + 2y - 3z) = 6 - (-2) \Rightarrow 5x - 4y + 11z = 8$. આ દર્શાવે છે કે $k = -5$ માટે સંહતિ સુસંગત છે અને અનંત ઉકેલો ધરાવે છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપેલી શરતોના આધારે શ્રેણિક $A$ ની રચના કરીએ:
$i=1, j=2$ માટે: $i < j \implies a_{12} = (-1)^{2-1} = -1$
$i=1, j=3$ માટે: $i < j \implies a_{13} = (-1)^{3-1} = 1$
$i=2, j=1$ માટે: $i > j \implies a_{21} = (-1)^{2+1} = -1$
$i=2, j=3$ માટે: $i < j \implies a_{23} = (-1)^{3-2} = -1$
$i=3, j=1$ માટે: $i > j \implies a_{31} = (-1)^{3+1} = 1$
$i=3, j=2$ માટે: $i > j \implies a_{32} = (-1)^{3+2} = -1$
વિકર્ણ ઘટકો $a_{ii} = 2$ છે.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = 2(4-1) - (-1)(-2+1) + 1(1-2) = 2(3) - 1 - 1 = 6 - 2 = 4$.
આપણે $\det(3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1}))$ શોધવાનું છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $n \times n$ શ્રેણિક માટે $|kM| = k^n |M|$ અને $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$.
અહીં $n=3$ છે,તેથી $|3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 3^3 |\operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 27 |2 A^{-1}|^{3-1} = 27 |2 A^{-1}|^2$.
કારણ કે $|2 A^{-1}| = 2^3 |A^{-1}| = 8 \cdot \frac{1}{|A|} = \frac{8}{4} = 2$.
તેથી,$|3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1})| = 27 \cdot (2)^2 = 27 \cdot 4 = 108$.

(D) સમીકરણ સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_1, D_2, D_3)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix} = 1(5\lambda - 10) - 1(3\lambda - 5) + 1(6 - 5) = 2\lambda - 4$.
$D = 0$ લેતા,આપણને $\lambda = 2$ મળે છે.
હવે,$\lambda = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x + y + z = 6$ (સમી. $1$)
$3x + 5y + 5z = 26$ (સમી. $2$)
$x + 2y + 2z = \mu$ (સમી. $3$)
સમી. $2$ માંથી $3 \times$ સમી. $1$ બાદ કરતા: $2y + 2z = 8 \implies y + z = 4$.
સમી. $3$ માંથી સમી. $1$ બાદ કરતા: $y + z = \mu - 6$.
કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$4 \neq \mu - 6$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\mu \neq 10$.
આમ,ઉકેલ ન હોવાની શરત $\lambda = 2$ અને $\mu \neq 10$ છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ ગણો:
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & a \\ 3 & 5 & 9 \end{vmatrix} = 2(18 - 5a) - 3(9 - 3a) + 6(5 - 6) = 36 - 10a - 27 + 9a - 6 = 3 - a$.
$D = 0$ માટે,$a = 3$ હોવું જોઈએ.
હવે,નિશ્ચાયક $D_z$ ગણો:
$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \\ 3 & 5 & b \end{vmatrix} = 2(2b - 25) - 3(b - 15) + 8(5 - 6) = 4b - 50 - 3b + 45 - 8 = b - 13$.
જ્યારે $D = 0$ હોય ત્યારે સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન મળે તે માટે,$D_z \neq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $b - 13 \neq 0$,એટલે કે $b \neq 13$.
આમ,$a = 3$ અને $b \neq 13$ હોય ત્યારે સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને નિશ્ચાયકો $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & \alpha \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 + \alpha) - 1(1 - 2\alpha) - 1(-1 - 4) = 2 + \alpha - 1 + 2\alpha + 5 = 3\alpha + 6$.
$\Delta = 0$ લેતા,આપણને $3\alpha + 6 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = -2$.
હવે,$\alpha = -2$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x + y - z = 2$
$x + 2y - 2z = 1$
$2x - y + z = \beta$
અનંત ઉકેલો માટે,ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સનો રેન્ક $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. $\Delta_2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & \beta & 1 \end{vmatrix} = 1(1 + 2\beta) - 2(1 + 4) - 1(\beta - 2) = 1 + 2\beta - 10 - \beta + 2 = \beta - 7$.
$\Delta_2 = 0$ લેતા,આપણને $\beta = 7$ મળે છે.
આમ,$\alpha + \beta = -2 + 7 = 5$.

(C) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \alpha \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1(2-0) - 1(6-1) + \alpha(0-1) = 2 - 5 - \alpha = -\alpha - 3$ છે.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$,તેથી $\alpha \neq -3$.
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$x^{*} = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & \alpha \\ 4 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{2(2-0) - 1(8-1) + \alpha(0-1)}{-(\alpha+3)} = \frac{4-7-\alpha}{-(\alpha+3)} = 1$.
$y^{*} = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & \alpha \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{1(8-1) - 2(6-1) + \alpha(3-4)}{-(\alpha+3)} = \frac{7-10-\alpha}{-(\alpha+3)} = 1$.
$z^{*} = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}}{-(\alpha+3)} = \frac{1(1-0) - 1(3-4) + 2(0-1)}{-(\alpha+3)} = 0$.
આમ,$(x^{*}, y^{*}, z^{*}) = (1, 1, 0)$.
બિંદુઓ $(\alpha, 1), (1, \alpha)$ અને $(1, -1)$ છે.
તેઓ સમરેખ હોવાથી,તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય:
$\frac{1}{2} \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \alpha(\alpha+1) - 1(1-1) + 1(-1-\alpha) = 0$.
$\alpha^2 + \alpha - 1 - \alpha = 0 \Rightarrow \alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$.
બંને કિંમતો $\alpha \neq -3$ નું પાલન કરે છે. નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો $|1| + |-1| = 1 + 1 = 2$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ સંહતિ:
$x+y+z=\alpha$
$\alpha x+2 \alpha y+3 z=-1$
$x+3 \alpha y+5 z=4$
જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_1, D_2, D_3)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોય,તો સમીકરણ સંહતિ અસંગત છે.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરો:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \alpha & 2\alpha & 3 \\ 1 & 3\alpha & 5 \end{vmatrix}$
$D = 1(10\alpha - 9\alpha) - 1(5\alpha - 3) + 1(3\alpha^2 - 2\alpha)$
$D = \alpha - 5\alpha + 3 + 3\alpha^2 - 2\alpha = 3\alpha^2 - 6\alpha + 3 = 3(\alpha - 1)^2$
$D = 0$ લેતા,$3(\alpha - 1)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.
હવે,$\alpha = 1$ માટે $D_1$ તપાસો:
$D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix}$
$D_1 = 1(10 - 9) - 1(-5 - 12) + 1(-3 - 8)$
$D_1 = 1(1) - 1(-17) + 1(-11) = 1 + 17 - 11 = 7$
$\alpha = 1$ માટે $D = 0$ અને $D_1 \neq 0$ હોવાથી,સંહતિ અસંગત છે.
આમ,$\alpha$ નું માત્ર $1$ મૂલ્ય છે જેના માટે સંહતિ અસંગત છે.

(D) જો નિશ્ચાયક $\Delta \neq 0$ હોય અથવા $\Delta = 0$ હોય અને સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો હોય તો સિસ્ટમ સુસંગત છે.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \begin{vmatrix} -k & 3 & -14 \\ -15 & 4 & -k \\ -4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -k(12 + k) - 3(-45 - 4k) - 14(-15 + 16) = 121 - k^2$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$,જેનો અર્થ છે $121 - k^2 \neq 0$,તેથી $k \neq \pm 11$.
જો $k = 11$ હોય,તો $\Delta = 0$. આપણે $\Delta_z$ તપાસીએ:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} -11 & 3 & 25 \\ -15 & 4 & 3 \\ -4 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 26 \neq 0$.
તેથી,$k = 11$ માટે સિસ્ટમ અસંગત છે.
જો $k = -11$ હોય,તો $\Delta = 0$. આપણે $\Delta_z$ તપાસીએ:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 11 & 3 & 25 \\ -15 & 4 & 3 \\ -4 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 312 \neq 0$.
તેથી,$k = -11$ માટે સિસ્ટમ અસંગત છે.
આમ,સિસ્ટમ $k \in R - \{11, -11\}$ માટે સુસંગત છે.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$.
$A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને $c_1 = 1, c_2 = 1, c_3 = 2$ મળે છે.
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + c_1 \\ a_2 + c_2 \\ a_3 + c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને $a_1 = -2, a_2 = -1, a_3 = -1$ મળે છે.
$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ પરથી,આપણને $b_1 = 3, b_2 = 2, b_3 = 1$ મળે છે.
આમ,$A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી $A - 2I = \begin{bmatrix} -4 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A - 2I| = -4(0 - 1) - 3(0 - (-1)) + 1(-1 - 0) = 4 - 3 - 1 = 0$.
સમીકરણ સંહતિ $\begin{bmatrix} -4 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ છે.
આના પરથી સમીકરણો મળે છે:
$1) -4x_1 + 3x_2 + x_3 = 4$
$2) -x_1 + x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 1 + x_1$
$3) -x_1 + x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = 1 + x_1$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $-4x_1 + 3(1 + x_1) + (1 + x_1) = -4x_1 + 3 + 3x_1 + 1 + x_1 = 4$. જે $4 = 4$ માં પરિણમે છે,જે હંમેશા સત્ય છે.
આમ,સંહતિ સુસંગત છે અને નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,તેના અનંત ઉકેલો છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
$\alpha(10 - 9) - 1(5 - 3) + 1(3 - 2) = 0$
$\alpha(1) - 2 + 1 = 0 \Rightarrow \alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
હવે,$\alpha = 1$ ને સંહતિમાં મૂકીને $\Delta_x$ ની ગણતરી કરીએ (અથવા ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ). અનંત ઉકેલો માટે,ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ $[A|B]$ નો ક્રમાંક $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 1 & 3 & 5 & | & \beta \end{bmatrix}$
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લેતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 2 & 4 & | & \beta - 5 \end{bmatrix}$
$R_3 \to R_3 - 2R_2$ લેતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & 2 & | & -1 \\ 0 & 0 & 0 & | & \beta - 5 - 2(-1) \end{bmatrix}$
અનંત ઉકેલો માટે,છેલ્લી હાર શૂન્ય હોવી જોઈએ,તેથી $\beta - 5 + 2 = 0 \Rightarrow \beta - 3 = 0 \Rightarrow \beta = 3$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(\alpha, \beta) = (1, 3)$ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકોમાંથી ઓછામાં ઓછો એક નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધો:
$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 5 & -8 & 9 \\ 2 & 1 & a \end{vmatrix} = 3(-8a - 9) + 2(5a - 18) + 1(5 - (-16))$
$\Delta = -24a - 27 + 10a - 36 + 21 = -14a - 42$
$\Delta = 0$ લેતા,આપણને $-14a = 42$ મળે છે,તેથી $a = -3$.
હવે,$a = -3$ મૂકીને સુસંગતતા તપાસતા,ઉકેલ ન મળે તે માટે $b = -\frac{1}{3}$ હોવું જરૂરી છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ \alpha & 3 & -1 \\ -\alpha & 1 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $\Delta$ ની ગણતરી કરતા:
$\Delta = 1(6 + 1) - 2(2\alpha - \alpha) + 1(\alpha + 3\alpha) = 7 + 2\alpha$.
અસુસંગતતા માટે $\Delta = 0$ લેતા:
$7 + 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -\frac{7}{2}$.
હવે,$\alpha = -\frac{7}{2}$ માટે $\Delta_x$ તપાસતા:
$\Delta_x = 14 + 2\alpha = 14 + 2(-\frac{7}{2}) = 7 \neq 0$.
આમ,$\Delta = 0$ અને $\Delta_x \neq 0$ હોવાથી,$\alpha = -\frac{7}{2}$ માટે સમીકરણોની સંહતિ અસુસંગત છે.