ધારો કે $a, b, c$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. $x, y, z$ માં નીચેની સમીકરણ પ્રણાલી:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$
$-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$
શું ધરાવે છે?

બે સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે. તેના પરના અંકોને $\lambda$ અને $\mu$ તરીકે લેવામાં આવે છે,અને સુરેખ સમીકરણોની એક સિસ્ટમ
$x+y+z=5$
$x+2y+3z=\mu$
$x+3y+\lambda z=1$
બનાવવામાં આવે છે. જો $p$ એ સિસ્ટમને અનન્ય ઉકેલ હોવાની સંભાવના હોય અને $q$ એ સિસ્ટમને કોઈ ઉકેલ ન હોવાની સંભાવના હોય,તો:

ધારો કે $\alpha$ એ $x^2+x+1=0$ નો ઉકેલ છે,અને કેટલાક $a$ અને $b$ માટે $\mathbb{R}$ માં,$\begin{bmatrix} 4 & a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 16 & 13 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -14 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે. જો $\frac{4}{\alpha^4} + \frac{m}{\alpha^a} + \frac{n}{\alpha^b} = 3$ હોય,તો $m + n$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ સંહતિ $x-y+z=4, 2x+y-3z=0, x+y+z=2$ માટે,$x, y, z$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું થશે?

$\alpha$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ
$\begin{aligned}
& x+(\sin \alpha) y+(\cos \alpha) z=0 \\
& x+(\cos \alpha) y+(\sin \alpha) z=0 \\
& -x+(\sin \alpha) y-(\cos \alpha) z=0
\end{aligned}$
નો બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય તે છે

સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x + 2y + z = -3$,$3x + 3y - 2z = -1$,અને $2x + 7y + 7z = -4$ માટે: