Solution of the Linear equations using Matrices Questions in Gujarati

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ સુસંગત હોવા માટે,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 2\alpha & 1 & 5 \\ 1 & -6 & \alpha \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2\alpha(-12 - \alpha) - 1(2 - \alpha) + 5(1 + 6) = 0$
$-24\alpha - 2\alpha^2 - 2 + \alpha + 35 = 0$
$-2\alpha^2 - 23\alpha + 33 = 0$
$2\alpha^2 + 23\alpha - 33 = 0$
બીજના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ $\alpha_1 + \alpha_2 = -b/a = -23/2$.
તેથી $|2(\alpha_1 + \alpha_2)| = |2(-23/2)| = |-23| = 23$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનન્ય ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્યતર હોવો જોઈએ $(D \neq 0)$.
સહગુણક શ્રેણિક:
$D = \begin{vmatrix} k & 2 & -1 \\ k-1 & k & 1 \\ 1 & k-1 & k \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = k(k^2 - (k-1)) - 2(k(k-1) - 1) - 1((k-1)^2 - k)$
$D = k^3 - 4k^2 + 6k + 1$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$k^3 - 4k^2 + 6k + 1 \neq 0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $f(k) = k^3 - 4k^2 + 6k + 1$. અહીં $f'(k) = 3k^2 - 8k + 6$ છે,જેનો વિવેચક $-8 < 0$ છે,તેથી $f(k)$ એ વધતું વિધેય છે.
આથી,$f(k) = 0$ નો માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ $k_0$ મળે. આમ,$k \in \mathbb{R} \setminus \{k_0\}$ માટે સંહતિને અનન્ય ઉકેલ મળે,જેની સંખ્યા અનંત છે.

(C) આપેલ સમઘાત સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$4x + y - 2z = 0$
$x - 2y + z = 0$
$x + y - z = 0$
ઉકેલના પ્રકારને ચકાસવા માટે,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધીએ છીએ:
$D = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 4((-2)(-1) - (1)(1)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) - 2((1)(1) - (-2)(1))$
$D = 4(2 - 1) - 1(-1 - 1) - 2(1 + 2)$
$D = 4(1) - 1(-2) - 2(3)$
$D = 4 + 2 - 6 = 0$
અહીં નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવાથી,આ સમઘાત સમીકરણોની સિસ્ટમ અનંત (non-trivial) ઉકેલો ધરાવે છે.

(D) સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત હોવા માટે,નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(k - 2) - k(k^2 - 2) + 1(k - 1) = 0$
$-k^3 + 4k - 3 = 0 \Rightarrow k^3 - 4k + 3 = 0$
$(k - 1)(k^2 + k - 3) = 0$
જો $k = 1$ હોય,તો સમીકરણો અસંગત બને છે.
તેથી,$k^2 + k - 3 = 0$. જેના બીજ $k = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$ છે.
ધારો કે $k_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$ અને $k_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}$.
$k_1^2 + k_2^2 = (k_1 + k_2)^2 - 2k_1k_2 = (-1)^2 - 2(-3) = 1 + 6 = 7$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,$X = [x, y, z]^T$,અને $B = [1, -1, 0]^T$ છે.
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = B$ માટે,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ (અસંગત),$1$ (અનન્ય ઉકેલ),અથવા અનંત હોઈ શકે છે (જો સંહતિ સુસંગત અને અવલંબી હોય).
સુરેખ સંહતિનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ એ છે કે જો કોઈ સંહતિને એક કરતા વધુ ઉકેલ હોય,તો તેને અનંત ઉકેલો હોવા જ જોઈએ.
તેથી,સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને બરાબર $3$ ભિન્ન ઉકેલો હોવા અશક્ય છે.
આમ,આવા શ્રેણિક $A$ ની સંખ્યા $0$ છે.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX = B$ માટે અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $|A| \neq 0$.
અહીં સહગુણક શ્રેણિક $A$ છે:
$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 10 & -1 & \alpha \\ 4 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 2((-1)(-1) - (3)(\alpha)) - 1((10)(-1) - (4)(\alpha)) + 1((10)(3) - (4)(-1))$
$|A| = 2(1 - 3\alpha) - 1(-10 - 4\alpha) + 1(30 + 4)$
$|A| = 2 - 6\alpha + 10 + 4\alpha + 34$
$|A| = 46 - 2\alpha$
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે:
$46 - 2\alpha \neq 0$
$2\alpha \neq 46$
$\alpha \neq 23$
આમ,અનન્ય ઉકેલની શરત માત્ર $\alpha$ ની કિંમત પર આધાર રાખે છે અને તે $\beta$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી અનન્ય ઉકેલનું અસ્તિત્વ માત્ર $\alpha$ પર આધાર રાખે છે.

(A) રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ $AX = B$ નો અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $|A| \neq 0$.
સહગુણક શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & \alpha \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1((-1)(-1) - (3)(\alpha)) - 1((5)(-1) - (2)(\alpha)) + 1((5)(3) - (2)(-1))$
$|A| = 1(1 - 3\alpha) - 1(-5 - 2\alpha) + 1(15 + 2)$
$|A| = 1 - 3\alpha + 5 + 2\alpha + 17$
$|A| = 23 - \alpha$
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $23 - \alpha \neq 0$,અથવા $\alpha \neq 23$.
અનન્ય ઉકેલની શરત માત્ર $\alpha$ ના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે અને $\beta$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી સાચો વિકલ્પ માત્ર $\alpha$ છે.

(B) સિસ્ટમનો બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 12 & b & c \\ a & 24 & c \\ a & b & 36 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$12(24 \times 36 - bc) - b(36a - ac) + c(ab - 24a) = 0$
$12(864 - bc) - 36ab + abc + abc - 24ac = 0$
$10368 - 12bc - 36ab + 2abc - 24ac = 0$
આ સમીકરણને $(a-12)(b-24)(c-36)$ વડે ભાગતા અથવા પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{12}{a-12} + \frac{24}{b-24} + \frac{36}{c-36} = -1$
બંને બાજુ $12$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{a-12} + \frac{2}{b-24} + \frac{3}{c-36} = -\frac{1}{12}$

(B) ધારો કે $S = a + b + c + d + e$. આપેલ સમીકરણોને આ રીતે લખી શકાય:
$S + a = 6$ $(1)$
$S + b = 12$ $(2)$
$S + c = 24$ $(3)$
$S + d = 48$ $(4)$
$S + e = 96$ $(5)$
આ પાંચેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$5S + (a + b + c + d + e) = 6 + 12 + 24 + 48 + 96$
$5S + S = 186$
$6S = 186 \Rightarrow S = 31$
હવે,$S = 31$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$31 + c = 24$
$c = 24 - 31 = -7$
તેથી,$|c| = |-7| = 7$.

(D) સમીકરણોની સંહતિનો શૂન્યેતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણકોના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આપેલ સમીકરણો:
$1x + ky + 3z = 0$
$3x + ky - 2z = 0$
$2x + 3y - 4z = 0$
સહગુણકોનો નિશ્ચાયક:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -4 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-4)(k) - (3)(-2)) - k((3)(-4) - (2)(-2)) + 3((3)(3) - (2)(k)) = 0$
$1(-4k + 6) - k(-12 + 4) + 3(9 - 2k) = 0$
$-4k + 6 + 8k + 27 - 6k = 0$
$-2k + 33 = 0$
$2k = 33$
$k = \frac{33}{2}$

(B) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શૂન્યતર હોવો જોઈએ $(D \neq 0)$.
સહગુણક શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} k & 2 & -1 \\ 0 & k-1 & -2 \\ 0 & 0 & k+2 \end{vmatrix}$
આ એક અપર ટ્રાયંગ્યુલર મેટ્રિક્સ હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક વિકર્ણ ઘટકોનો ગુણાકાર થશે:
$D = k(k-1)(k+2)$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$:
$k(k-1)(k+2) \neq 0$
આનો અર્થ એ છે કે $k \neq 0, k \neq 1, k \neq -2$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જો $k = -1$ હોય,તો શરત $D \neq 0$ સંતોષાય છે કારણ કે $(-1)(-1-1)(-1+2) = (-1)(-2)(1) = 2 \neq 0$.
તેથી,જ્યારે $k = -1$ હોય ત્યારે સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(C) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -a \\ 2 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \end{vmatrix}$ છે.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $\Delta = 1(-a - 1) - 1(-2 - a) - a(2 - a^2) = -a - 1 + 2 + a - 2a + a^3 = a^3 - 2a + 1$.
ઘન પદાવલિના અવયવ પાડતા: $\Delta = (a - 1)(a^2 + a - 1)$.
$\Delta = 0$ ના બીજ $a = 1$ અને $a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
$a = 1$ માટે,સમીકરણો $x + y - z = 1$,$2x + y + z = 1$,$x + y - z = 2$ બને છે. પ્રથમ અને ત્રીજું સમીકરણ વિરોધાભાસી છે $(1 \ne 2)$,તેથી કોઈ ઉકેલ નથી.
$a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ માટે,$\Delta = 0$ થાય છે. ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક તપાસતા,આ કિંમતો માટે પણ સિસ્ટમ અસંગત છે.
આમ,જે તમામ કિંમતો માટે $\Delta = 0$ થાય છે,તે માટે સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x - 2y + 5z = 3$
$2x - y + z = 1$
$11x - 7y + pz = q$
સમીકરણ સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 2 & -1 & 1 \\ 11 & -7 & p \end{vmatrix} = 1(-p + 7) + 2(2p - 11) + 5(-14 + 11) = 0$
$-p + 7 + 4p - 22 - 15 = 0$
$3p - 30 = 0 \Rightarrow p = 10$
હવે,અનંત ઉકેલો માટે $\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0$ હોવું જોઈએ.
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 \\ q & -7 & 10 \end{vmatrix} = 3(-10 + 7) + 2(10 - q) + 5(-7 + q) = 0$
$3(-3) + 20 - 2q - 35 + 5q = 0$
$-9 + 20 - 35 + 3q = 0$
$3q - 24 = 0 \Rightarrow q = 8$
આમ,$p - q = 10 - 8 = 2$.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચે મુજબ છે:
$x + y + z = 2$
$2x + y - z = 3$
$3x + 2y + kz = 4$
સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ ત્યારે જ હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય.
ધારો કે $D$ એ સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & k \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(1 \cdot k - (-1) \cdot 2) - 1(2 \cdot k - (-1) \cdot 3) + 1(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)$
$D = 1(k + 2) - 1(2k + 3) + 1(4 - 3)$
$D = k + 2 - 2k - 3 + 1$
$D = -k$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $-k \neq 0$,અથવા $k \neq 0$.
તેથી,$S = R - \{0\}$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\Delta$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 5 & 3 \end{vmatrix} = 1(6 - 10) - a(3 - 2) + 1(5 - 2) = -4 - a + 3 = -a - 1$.
$\Delta = 0$ લેતા,આપણને $-a - 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a = -1$.
હવે,$\Delta_2$ ની ગણતરી કરીએ (બીજા સ્તંભને અચળાંકો $3, 6, b$ વડે બદલતા):
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & 2 \\ 1 & b & 3 \end{vmatrix} = 1(18 - 2b) - 3(3 - 2) + 1(b - 6) = 18 - 2b - 3 + b - 6 = 9 - b$.
સંહતિને ઉકેલ ન હોય તે માટે,$\Delta_2 \neq 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $9 - b \neq 0$,જેનો અર્થ છે $b \neq 9$.
આમ,શરત $a = -1$ અને $b \neq 9$ છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ છે:
$(k + 2)x + 10y = k$
$kx + (k + 3)y = k - 1$
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને સંહતિ અસંગત હોવી જોઈએ.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} k + 2 & 10 \\ k & k + 3 \end{bmatrix}$.
$|A| = 0$ લેતા:
$(k + 2)(k + 3) - 10k = 0$
$k^2 + 5k + 6 - 10k = 0$
$k^2 - 5k + 6 = 0$
$(k - 2)(k - 3) = 0$
તેથી,$k = 2$ અથવા $k = 3$.
કિસ્સો $1$: જો $k = 2$ હોય,તો સમીકરણો $4x + 10y = 2$ અને $2x + 5y = 1$ બને છે. પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા $2x + 5y = 1$ મળે છે,જે બીજા સમીકરણ જેવું જ છે. આમ,અહીં અનંત ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $k = 3$ હોય,તો સમીકરણો $5x + 10y = 3$ અને $3x + 6y = 2$ બને છે. પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે અને બીજાને $5$ વડે ગુણતા $15x + 30y = 9$ અને $15x + 30y = 10$ મળે છે. કારણ કે $9 \neq 10$,તેથી આ સંહતિ અસંગત છે અને તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,$k$ ની માત્ર $1$ કિંમત એવી છે જેના માટે સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
સહગુણક શ્રેણિક:
$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -\lambda \\ 4 & \lambda & 2 \\ \lambda & 2 & 2 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$|A| = 2(2\lambda - 4) - 4(8 - 2\lambda) - \lambda(8 - \lambda^2) = 0$
$|A| = 4\lambda - 8 - 32 + 8\lambda - 8\lambda + \lambda^3 = 0$
$|A| = \lambda^3 + 4\lambda - 40 = 0$
ધારો કે $f(\lambda) = \lambda^3 + 4\lambda - 40$.
અહીં $f'(\lambda) = 3\lambda^2 + 4 > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(\lambda)$ સતત વધતું વિધેય છે.
તેથી,તેને માત્ર એક જ વાસ્તવિક બીજ હોય.
આમ,$\lambda$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ:
$x + 8y + 7z = 0$ $(1)$
$9x + 2y + 3z = 0$ $(2)$
$x + y + z = 0$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$x = -y - z$. આ કિંમત $(1)$ અને $(2)$ માં મૂકતા:
$(-y - z) + 8y + 7z = 0 \implies 7y + 6z = 0 \implies z = -\frac{7}{6}y$
$9(-y - z) + 2y + 3z = 0 \implies -7y - 6z = 0 \implies z = -\frac{7}{6}y$
આ સમીકરણો સમપરિમાણીય હોવાથી અને નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,અનંત ઉકેલો મળે. ધારો કે $y = 6\lambda$. તો $z = -7\lambda$ અને $x = -6\lambda - (-7\lambda) = \lambda$.
તેથી,$(a, b, c) = (\lambda, 6\lambda, -7\lambda)$.
આ બિંદુ સમતલ $x + 2y + z = 6$ પર હોવાથી:
$\lambda + 2(6\lambda) + (-7\lambda) = 6$
$\lambda + 12\lambda - 7\lambda = 6$
$6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$.
આમ,$(a, b, c) = (1, 6, -7)$.
હવે $2a + b + c = 2(1) + 6 + (-7) = 2 + 6 - 7 = 1$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX = B$ માં લખી શકાય,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & a \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ b \end{bmatrix}$ છે.
સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને શ્રેણિકનો ક્રમ ચલની સંખ્યા કરતા ઓછો હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = 1(3a - 25) - 2(a - 10) + 3(5 - 6) = 3a - 25 - 2a + 20 - 3 = a - 8$.
અનંત ઉકેલો માટે,$|A| = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
હવે,$a = 8$ ને ઓગમેન્ટેડ શ્રેણિક $[A|B] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 1 & 3 & 5 & | & 9 \\ 2 & 5 & 8 & | & b \end{bmatrix}$ માં મૂકો.
હારની પ્રક્રિયાઓ કરો: $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - 2R_1$:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & 2 & | & b - 12 \end{bmatrix}$.
સંહતિ સુસંગત અને અનંત ઉકેલો ધરાવે તે માટે,છેલ્લી બે હાર સમાન હોવી જોઈએ,તેથી $b - 12 = 3$,જે $b = 15$ આપે છે.
આમ,$a = 8$ અને $b = 15$.

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$[p, q, r] \begin{bmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} = [3, 0, 1]$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$[3p + 3q + 2r, 4p + 2q, p + 3q + 2r] = [3, 0, 1]$
અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની નીચે મુજબની સિસ્ટમ મળે છે:
$1) 3p + 3q + 2r = 3$
$2) 4p + 2q = 0 \Rightarrow q = -2p$
$3) p + 3q + 2r = 1$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(3p + 3q + 2r) - (p + 3q + 2r) = 3 - 1$
$2p = 2 \Rightarrow p = 1$
$p = 1$ ને $q = -2p$ માં મૂકતા:
$q = -2(1) = -2$
$p = 1$ અને $q = -2$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$1 + 3(-2) + 2r = 1$
$1 - 6 + 2r = 1$
$-5 + 2r = 1 \Rightarrow 2r = 6 \Rightarrow r = 3$
હવે,$2p + q - r$ ની ગણતરી કરતા:
$2(1) + (-2) - 3 = 2 - 2 - 3 = -3$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $AX = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $|A| = 0$.
વિધાન $-1$ માટે,નિશ્ચાયક છે:
$\Delta_1 = \left| \begin{matrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \\ 1 & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લેતા:
$\Delta_1 = \left| \begin{matrix} 1 & \sin \alpha & \cos \alpha \\ 0 & \cos \alpha - \sin \alpha & \sin \alpha - \cos \alpha \\ 0 & -2\sin \alpha & -2\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$= 1 \cdot [(\cos \alpha - \sin \alpha)(-2\cos \alpha) - (\sin \alpha - \cos \alpha)(-2\sin \alpha)]$
$= -2\cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + 2\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 2(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = -2\cos(2\alpha)$.
$\Delta_1 = 0$ લેતા,આપણને $\cos(2\alpha) = 0$ મળે છે. $(0, \frac{\pi}{2})$ માં,$2\alpha \in (0, \pi)$,તેથી $2\alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}$. આમ,વિધાન $-1$ સત્ય છે.
વિધાન $-2$ માટે,નિશ્ચાયક છે:
$\Delta_2 = \left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & \cos \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$C_3 \to C_3 - C_1$ લેતા:
$\Delta_2 = \left| \begin{matrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & -2\cos \alpha \end{matrix} \right|$
$= -2\cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -2\cos \alpha \cos(2\alpha) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \alpha = 0$ અથવા $\cos(2\alpha) = 0$. $(0, \frac{\pi}{2})$ માં,$\cos \alpha \neq 0$ અને $\cos(2\alpha) = 0$ માત્ર $\alpha = \frac{\pi}{4}$ પર થાય છે. આમ,વિધાન $-2$ સત્ય છે અને વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ સમઘાત (homogeneous) છે:
$x + ay = 0$
$y + az = 0$
$z + ax = 0$
આને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX = 0$ માં લખી શકાય,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
સમઘાત સિસ્ટમનો અનન્ય (શૂન્ય) ઉકેલ ત્યારે જ હોય જો નિશ્ચાયક $|A| \neq 0$ હોય.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 0(0 - a) = 1 + a^3$.
અનન્ય ઉકેલ માટે,આપણે $|A| \neq 0$ ની જરૂર છે,તેથી $1 + a^3 \neq 0$.
$a^3 \neq -1$,જેનો અર્થ છે કે $a \neq -1$.
આમ,$a$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતોનો ગણ $R - \{-1\}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + \lambda z = 0$
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનન્ય ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix} \neq 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 3) + 1(2 - 2) \neq 0$
$D = 2\lambda - 6 - \lambda + 3 + 0 \neq 0$
$D = \lambda - 3 \neq 0$
તેથી,$\lambda \neq 3$.

(A) સમઘાત સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જરૂરી છે.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા: $\left| \begin{matrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -4 \end{matrix} \right| = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-4k - (-6)) - k(-12 - (-4)) + 3(9 - 2k) = 0$
$1(-4k + 6) - k(-8) + 27 - 6k = 0$
$-4k + 6 + 8k + 27 - 6k = 0$
$-2k + 33 = 0$
$2k = 33 \Rightarrow k = \frac{33}{2}$.
અહીં $k$ નું ગણતરી કરેલ મૂલ્ય $\frac{33}{2}$ છે,$\frac{31}{2}$ નથી,તેથી વિધાન $1$ ખોટું છે.
વિધાન $2$ એ સુરેખ બીજગણિતનો પ્રમાણિત પ્રમેય છે,તેથી તે સાચું છે.

(D) સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + y + z = 2$
$2x + 3y + 2z = 5$
$2x + 3y + (a^2 - 1)z = a + 1$
પ્રથમ,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ શોધો:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & a^2 - 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(3(a^2 - 1) - 6) - 1(2(a^2 - 1) - 4) + 1(6 - 6)$
$D = 3a^2 - 3 - 6 - 2a^2 + 2 + 4$
$D = a^2 - 3$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $a^2 - 3 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $|a| \neq \sqrt{3}$.
જો $|a| = \sqrt{3}$ હોય,તો $a^2 = 3$. સમીકરણો આ મુજબ બને:
$x + y + z = 2$
$2x + 3y + 2z = 5$
$2x + 3y + 2z = a + 1$
બીજા અને ત્રીજા સમીકરણની સરખામણી કરતા,આપણને $5 = a + 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a = 4$. પરંતુ,આપણે ધાર્યું છે કે $|a| = \sqrt{3}$,તેથી $a^2 = 3$. કારણ કે $4^2 \neq 3$,તેથી જ્યારે $|a| = \sqrt{3}$ હોય ત્યારે સંહતિ અસંગત છે કારણ કે બીજા અને ત્રીજા સમીકરણની ડાબી બાજુ સમાન છે,પરંતુ અચળાંકો અલગ છે ($5 \neq a + 1$ જ્યારે $a^2 = 3$).
આમ,$|a| = \sqrt{3}$ માટે સંહતિ અસંગત છે.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x - 4y + 7z = g$ $(1)$
$0x + 3y - 5z = h$ $(2)$
$-2x + 5y - 9z = k$ $(3)$
સંહતિ સુસંગત હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ,અથવા સમીકરણોનું એવું સુરેખ સંયોજન અસ્તિત્વ ધરાવતું હોવું જોઈએ જે સુસંગત પરિણામ આપે.
ધારો કે સમીકરણો $L_1, L_2, L_3$ છે. આપણે $c_1 L_1 + c_2 L_2 + c_3 L_3 = 0$ માટે ચકાસણી કરીએ.
$c_1(x - 4y + 7z) + c_2(3y - 5z) + c_3(-2x + 5y - 9z) = c_1 g + c_2 h + c_3 k$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x: c_1 - 2c_3 = 0 \implies c_1 = 2c_3$
$y: -4c_1 + 3c_2 + 5c_3 = 0$
$c_1 = 2c_3$ મૂકતા: $-4(2c_3) + 3c_2 + 5c_3 = 0 \implies -8c_3 + 3c_2 + 5c_3 = 0 \implies 3c_2 = 3c_3 \implies c_2 = c_3$
$z: 7c_1 - 5c_2 - 9c_3 = 0$
$c_1 = 2c_3$ અને $c_2 = c_3$ મૂકતા: $7(2c_3) - 5(c_3) - 9c_3 = 14c_3 - 14c_3 = 0$. આ કોઈપણ $c_3$ માટે સાચું છે.
ધારો કે $c_3 = 1$,તો $c_1 = 2$ અને $c_2 = 1$.
આમ,સુરેખ સંયોજન $2L_1 + L_2 + L_3 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2g + h + k = 0$.

(B) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ અને $D_1, D_2, D_3$ પણ $0$ હોવા જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & \alpha \end{vmatrix} = 1(2\alpha - 9) - 1(\alpha - 3) + 1(3 - 2) = \alpha - 5$.
$D = 0$ લેતા,$\alpha = 5$ મળે છે.
હવે,$D_3 = 0$ માટે:
$D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 9 \\ 1 & 3 & \beta \end{vmatrix} = 1(2\beta - 27) - 1(\beta - 9) + 5(3 - 2) = \beta - 13$.
$D_3 = 0$ લેતા,$\beta = 13$ મળે છે.
તેથી,$\beta - \alpha = 13 - 5 = 8$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$2x + 2y + 3z = a$ $(1)$
$3x - y + 5z = b$ $(2)$
$x - 3y + 2z = c$ $(3)$
સમીકરણોની સંહતિને એકથી વધુ ઉકેલ હોય તે માટે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ અને સંહતિ સુસંગત હોવી જોઈએ.
નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 3 & -1 & 5 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 2(-2 + 15) - 2(6 - 5) + 3(-9 + 1) = 26 - 2 - 24 = 0$.
અહીં $D = 0$ હોવાથી,સંહતિને અનંત ઉકેલો હોઈ શકે છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $(2x+x) + (2y-3y) + (3z+2z) = a+c \Rightarrow 3x - y + 5z = a+c$.
આ સમીકરણ $(2)$ સાથે સરખાવતા,$b = a+c$ મળે,એટલે કે $b - c - a = 0$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિનો ઉકેલ અનન્ય હોય જો અને માત્ર જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D \neq 0$ હોય.
સહગુણક શ્રેણિક:
$D = \begin{vmatrix} 1 + \alpha & \beta & 1 \\ \alpha & 1 + \beta & 1 \\ \alpha & \beta & 2 \end{vmatrix}$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$D = \begin{vmatrix} \alpha + \beta + 2 & \beta & 1 \\ \alpha + \beta + 2 & 1 + \beta & 1 \\ \alpha + \beta + 2 & \beta & 2 \end{vmatrix}$
$C_1$ માંથી $(\alpha + \beta + 2)$ સામાન્ય લેતા:
$D = (\alpha + \beta + 2) \begin{vmatrix} 1 & \beta & 1 \\ 1 & 1 + \beta & 1 \\ 1 & \beta & 2 \end{vmatrix}$
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$D = (\alpha + \beta + 2) \begin{vmatrix} 1 & \beta & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\alpha + \beta + 2)(1) = \alpha + \beta + 2$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$D \neq 0$,તેથી $\alpha + \beta + 2 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta \neq -2$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A: 2 + 4 = 6 \neq -2$ (સાચું)
$B: -3 + 1 = -2$ (ખોટું)
$C: -4 + 2 = -2$ (ખોટું)
$D: 1 - 3 = -2$ (ખોટું)
આમ,ક્રમિત જોડ $(2, 4)$ અનન્ય ઉકેલ આપે છે.

(B) સમીકરણ સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 & k \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -k \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-k + 1) - (-2)(-2k - 3) + k(-2 - 3) = 0$
$-k + 1 + 2(-2k - 3) - 5k = 0$
$-k + 1 - 4k - 6 - 5k = 0$
$-10k - 5 = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$
$k = -\frac{1}{2}$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x - 2y - \frac{1}{2}z = 1 \Rightarrow 2x - 4y - z = 2$ $(1)$
$2x + y + z = 2$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2x - 4y - z) + (2x + y + z) = 2 + 2$
$4x - 3y = 4$
આમ,$(x, y)$ એ $4x - 3y - 4 = 0$ રેખા પર આવેલું છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,ત્રીજું સમીકરણ એ પ્રથમ બે સમીકરણોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ. ધારો કે ત્રીજું સમીકરણ $L_3 = a L_1 + b L_2$ છે.
$x + 3y + \lambda z = \mu = a(x + y + z - 5) + b(x + 2y + 2z - 6)$.
$x, y, z$ ના સહગુણકો અને અચળ પદની સરખામણી કરતા:
$a + b = 1$ ($x$ નો સહગુણક)
$a + 2b = 3$ ($y$ નો સહગુણક)
$a + 2b = \lambda$ ($z$ નો સહગુણક)
$5a + 6b = \mu$ (અચળ પદ)
પ્રથમ બે સમીકરણો ઉકેલતા:
$(a + 2b = 3)$ માંથી $(a + b = 1)$ બાદ કરતા $b = 2$ મળે છે.
$a + b = 1$ માં $b = 2$ મૂકતા $a = -1$ મળે છે.
હવે,$\lambda$ અને $\mu$ શોધો:
$\lambda = a + 2b = -1 + 2(2) = 3$.
$\mu = 5a + 6b = 5(-1) + 6(2) = -5 + 12 = 7$.
તેથી,$\lambda + \mu = 3 + 7 = 10$.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને અનંત ઉકેલો હોય તે માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & \lambda & -\lambda \\ 3 & 2 & -4 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(-4\lambda - (-2\lambda)) - 1(-16 - (-3\lambda)) + 1(8 - 3\lambda) = 0$
$D = (-4\lambda + 2\lambda) - (-16 + 3\lambda) + (8 - 3\lambda) = 0$
$-2\lambda + 16 - 3\lambda + 8 - 3\lambda = 0$
$-8\lambda + 24 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$ માટે: $\lambda^2 - \lambda - 6 = 0 \Rightarrow (\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$. અહીં,$\lambda = 3$ એ બીજ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$[\sin \theta ]x + [-\cos \theta ]y = 0 \dots (1)$
$[\cot \theta ]x + y = 0 \dots (2)$
કિસ્સો $I$: જ્યારે $\theta \in \left( \frac{\pi }{2}, \frac{2\pi }{3} \right)$
$\sin \theta \in \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right) \implies [\sin \theta ] = 0$
$-\cos \theta \in \left( 0, \frac{1}{2} \right) \implies [-\cos \theta ] = 0$
$\cot \theta \in \left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, 0 \right) \implies [\cot \theta ] = -1$
આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$0x + 0y = 0$
$-x + y = 0$
પ્રથમ સમીકરણ તમામ $(x, y)$ માટે સંતોષાય છે,અને બીજું સમીકરણ $y = x$ સૂચવે છે. આમ,સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.
કિસ્સો $II$: જ્યારે $\theta \in \left( \pi, \frac{7\pi}{6} \right)$
$\sin \theta \in \left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \implies [\sin \theta ] = -1$
$-\cos \theta \in \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right) \implies [-\cos \theta ] = 0$
$\cot \theta \in (\sqrt{3}, \infty) \implies [\cot \theta ] = k$,જ્યાં $k \in \{1, 2, 3, \dots\}$
આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$-x + 0y = 0 \implies x = 0$
$kx + y = 0 \implies k(0) + y = 0 \implies y = 0$
આમ,સંહતિને અનન્ય ઉકેલ $(0, 0)$ છે.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને બે કરતાં વધુ ઉકેલો હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે તેને અનંત ઉકેલો છે. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય અને સુસંગતતાની શરતનું પાલન થાય.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & \lambda \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક $|A| = 0$ લેતા:
$|A| = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 9) + 1(2 - 6) = 0$
$2\lambda - 6 - \lambda + 9 - 4 = 0$
$\lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
હવે,અનંત ઉકેલો માટે,અચળ પદના સ્તંભને બદલીને મળતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ $(D_z = 0)$:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 10 \\ 3 & 2 & \mu \end{vmatrix} = 0$
$1(2\mu - 20) - 1(\mu - 30) + 6(2 - 6) = 0$
$2\mu - 20 - \mu + 30 - 24 = 0$
$\mu - 14 = 0 \Rightarrow \mu = 14$.
અંતે,$\mu - \lambda^{2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\mu - \lambda^{2} = 14 - (1)^{2} = 14 - 1 = 13$.

(D) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યતર ઉકેલ હોય તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} 2 & 2a & a \\ 2 & 3b & b \\ 2 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા:
$2 \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$2 \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 0 & 3b-2a & b-a \\ 0 & 4c-2a & c-a \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(3b-2a)(c-a) - (b-a)(4c-2a) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(3bc - 3ab - 2ac + 2a^2) - (4bc - 2ab - 4ac + 2a^2) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - 4bc + 2ab + 4ac - 2a^2 = 0$
$-bc - ab + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a, b, c \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ શરત સૂચવે છે કે $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.

(D) સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 2 \\ 2\lambda & 3 & 5 \\ 4 & \lambda & 6 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$D = \lambda(18 - 5\lambda) - 2(12\lambda - 20) + 2(2\lambda^2 - 12)$
$D = 18\lambda - 5\lambda^2 - 24\lambda + 40 + 4\lambda^2 - 24$
$D = -\lambda^2 - 6\lambda + 16 = -(\lambda + 8)(\lambda - 2) = (\lambda + 8)(2 - \lambda)$
જ્યારે $\lambda = 2$ હોય,ત્યારે $D = 0$ થાય છે. સમીકરણોમાં $\lambda = 2$ મૂકતા:
$2x + 2y + 2z = 5$
$4x + 3y + 5z = 8$
$4x + 2y + 6z = 10$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણના $2$ ગણા બાદ કરતા: $(4x + 3y + 5z) - 2(2x + 2y + 2z) = 8 - 10 \implies -y + z = -2 \implies y - z = 2$.
ત્રીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણના $2$ ગણા બાદ કરતા: $(4x + 2y + 6z) - 2(2x + 2y + 2z) = 10 - 10 \implies -2y + 2z = 0 \implies y - z = 0$.
અહીં $y - z = 2$ અને $y - z = 0$ એ વિરોધાભાસી પરિણામો છે,તેથી $\lambda = 2$ માટે કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી.

(D) સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$(i) x + 2y + 3z = 1$
$(ii) 3x + 4y + 5z = \mu$
$(iii) 4x + 4y + 4z = \delta$
અસંગતતા તપાસવા માટે,આપણે ચલ દૂર કરીએ.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતાં: $(3x-x) + (4y-2y) + (5z-3z) = \mu - 1 \Rightarrow 2x + 2y + 2z = \mu - 1$.
આને $2$ વડે ગુણતા: $4x + 4y + 4z = 2(\mu - 1)$.
સમીકરણ $(iii)$ સાથે સરખાવતા,$4x + 4y + 4z = \delta$.
જો $\delta \neq 2(\mu - 1)$ હોય,તો સંહતિ અસંગત છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A) (1, 0): \delta = 0, 2(\mu - 1) = 0$. અહીં $\delta = 2(\mu - 1)$,તેથી તે સુસંગત છે.
$(B) (4, 6): \delta = 6, 2(\mu - 1) = 6$. અહીં $\delta = 2(\mu - 1)$,તેથી તે સુસંગત છે.
$(C) (3, 4): \delta = 4, 2(\mu - 1) = 4$. અહીં $\delta = 2(\mu - 1)$,તેથી તે સુસંગત છે.
$(D) (4, 3): \delta = 3, 2(\mu - 1) = 6$. અહીં $\delta \neq 2(\mu - 1)$,તેથી સંહતિ અસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ સમઘાત છે:
$7x + 6y - 2z = 0 \dots (1)$
$3x + 4y + 2z = 0 \dots (2)$
$x - 2y - 6z = 0 \dots (3)$
સૌ પ્રથમ,આપણે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta$ શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 7 & 6 & -2 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & -2 & -6 \end{vmatrix}$
$= 7(-24 + 4) - 6(-18 - 2) - 2(-6 - 4)$
$= 7(-20) - 6(-20) - 2(-10) = -140 + 120 + 20 = 0$
$\Delta = 0$ હોવાથી,સંહતિને અનંત ઉકેલો છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$10x + 10y = 0 \Rightarrow y = -x$
સમીકરણ $(1)$ માં $y = -x$ મૂકતા:
$7x + 6(-x) - 2z = 0$
$x - 2z = 0 \Rightarrow x = 2z$
આમ,ઉકેલો $x = 2z$ નું પાલન કરે છે.

(N/A) દરેક શહેરમાં ખર્ચવામાં આવેલી કુલ રકમ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકાર $BA$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$BA = \begin{bmatrix} 1000 & 500 & 5000 \\ 3000 & 1000 & 10000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 40 \\ 100 \\ 50 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} (1000 \times 40) + (500 \times 100) + (5000 \times 50) \\ (3000 \times 40) + (1000 \times 100) + (10000 \times 50) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 40000 + 50000 + 250000 \\ 120000 + 100000 + 500000 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 340000 \\ 720000 \end{bmatrix}$
આમ,શહેર $X$ માં ખર્ચવામાં આવેલી કુલ રકમ $340,000$ પૈસા (રૂ. $3400$) છે અને શહેર $Y$ માં $720,000$ પૈસા (રૂ. $7200$) છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ બોન્ડમાં રોકાણ કરેલી રકમ Rs. $x$ છે અને બીજા બોન્ડમાં રોકાણ કરેલી રકમ Rs. $(30000 - x)$ છે.
મેટ્રિક્સ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને,આપણે રોકાણને રો મેટ્રિક્સ $A = [x \quad 30000 - x]$ તરીકે અને વ્યાજના દરને કોલમ મેટ્રિક્સ $B = \begin{bmatrix} 0.05 \\ 0.07 \end{bmatrix}$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ.
કુલ વ્યાજ ગુણાકાર $AB = [1800]$ દ્વારા મળે છે.
$[x \quad 30000 - x] \begin{bmatrix} 0.05 \\ 0.07 \end{bmatrix} = [1800]$
$0.05x + 0.07(30000 - x) = 1800$
$0.05x + 2100 - 0.07x = 1800$
$-0.02x = 1800 - 2100$
$-0.02x = -300$
$x = \frac{300}{0.02} = 15000$.
આમ,પ્રથમ બોન્ડમાં Rs. $15000$ અને બીજા બોન્ડમાં Rs. $(30000 - 15000) = 15000$ નું રોકાણ કરવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ બોન્ડમાં Rs. $x$ રોકવામાં આવે છે. તો,બીજા બોન્ડમાં રોકવામાં આવતી રકમ Rs. $(30000 - x)$ થશે.
કુલ વ્યાજ દર્શાવવા માટે શ્રેણિક ગુણાકારનો ઉપયોગ કરતા:
$[x \quad (30000 - x)] \begin{bmatrix} 0.05 \\ 0.07 \end{bmatrix} = 2000$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$0.05x + 0.07(30000 - x) = 2000$
દશાંશ દૂર કરવા માટે $100$ વડે ગુણતા:
$5x + 7(30000 - x) = 200000$
$5x + 210000 - 7x = 200000$
$-2x = 200000 - 210000$
$-2x = -10000$
$x = 5000$
તેથી,પ્રથમ બોન્ડમાં રોકવામાં આવતી રકમ Rs. $5000$ છે અને બીજા બોન્ડમાં રોકવામાં આવતી રકમ Rs. $(30000 - 5000) = 25000$ છે.

(B) બુકશોપમાં $10$ ડઝન કેમિસ્ટ્રીના પુસ્તકો,$8$ ડઝન ફિઝિક્સના પુસ્તકો અને $10$ ડઝન ઇકોનોમિક્સના પુસ્તકો છે. $1$ ડઝન $= 12$ પુસ્તકો હોવાથી,કુલ પુસ્તકોની સંખ્યા $120$ કેમિસ્ટ્રી,$96$ ફિઝિક્સ અને $120$ ઇકોનોમિક્સના પુસ્તકો છે.
કેમિસ્ટ્રી,ફિઝિક્સ અને ઇકોનોમિક્સના પુસ્તકની વેચાણ કિંમત અનુક્રમે રૂ. $80$,રૂ. $60$ અને રૂ. $40$ છે.
જથ્થાને હાર શ્રેણિક $A$ તરીકે અને કિંમતને સ્તંભ શ્રેણિક $B$ તરીકે દર્શાવતા:
$A = [120 \quad 96 \quad 120]$
$B = \begin{bmatrix} 80 \\ 60 \\ 40 \end{bmatrix}$
કુલ રકમ ગુણાકાર $AB$ દ્વારા મળે છે:
$Total = [120 \quad 96 \quad 120] \begin{bmatrix} 80 \\ 60 \\ 40 \end{bmatrix}$
$= (120 \times 80) + (96 \times 60) + (120 \times 40)$
$= 9600 + 5760 + 4800$
$= 20160$
આમ,બુકશોપને તમામ પુસ્તકોના વેચાણમાંથી રૂ. $20160$ મળશે.

(A) સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2)(2) - (5)(3) = 4 - 15 = -11$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ $X = A^{-1}B$ દ્વારા મળે છે.
$A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
હવે,$X = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix}$.
$X = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} (2)(1) + (-5)(7) \\ (-3)(1) + (2)(7) \end{bmatrix} = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 2 - 35 \\ -3 + 14 \end{bmatrix} = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} -33 \\ 11 \end{bmatrix}$.
$X = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$.
આમ,$x = 3$ અને $y = -1$ મળે છે.

(B) આ સમીકરણ પ્રણાલીને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = 3(2 - 3) + 2(4 + 4) + 3(-6 - 4) = 3(-1) + 2(8) + 3(-10) = -3 + 16 - 30 = -17$ શોધીએ.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આગળ,આપણે $A$ ના સહઅવયવ શ્રેણિક શોધીએ:
$C_{11} = -1, C_{12} = -8, C_{13} = -10$
$C_{21} = -5, C_{22} = -6, C_{23} = 1$
$C_{31} = -1, C_{32} = 9, C_{33} = 7$
તેથી,$adj(A) = \begin{bmatrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{bmatrix}$.
હવે,$X = A^{-1}B = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix} -1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix} -17 \\ -34 \\ -51 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$.
તેથી,$x = 1, y = 2, z = 3$.

(C) ધારો કે પ્રથમ,બીજી અને ત્રીજી સંખ્યાઓ અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ છે.
આપેલ શરતો મુજબ,આપણી પાસે નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો છે:
$x + y + z = 6$
$y + 3z = 11$
$x + z = 2y \implies x - 2y + z = 0$
આ પદ્ધતિને $AX = B$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 6 \\ 11 \\ 0 \end{bmatrix}$
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(1 - (-6)) - 1(0 - 3) + 1(0 - 1) = 1(7) + 3 - 1 = 9 \neq 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,પદ્ધતિનો ઉકેલ $X = A^{-1}B$ છે.
સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ ની ગણતરી કરતા:
$C_{11} = 7, C_{12} = 3, C_{13} = -1$
$C_{21} = -3, C_{22} = 0, C_{23} = 3$
$C_{31} = 2, C_{32} = -3, C_{33} = 1$
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 7 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 42 - 33 + 0 \\ 18 + 0 + 0 \\ -6 + 33 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$
આમ,$x = 1, y = 2, z = 3$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+2y=2$
$2x+3y=3$
આ સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX=B$ માં લખી શકાય,જ્યાં:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$
હવે,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (1)(3) - (2)(2) = 3 - 4 = -1$
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (non-singular) છે અને તેનો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,સમીકરણોની આ સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે અને તે સુસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$2x - y = 5$
$x + y = 4$
આ સંહતિને શ્રેણિક સ્વરૂપ $AX = B$ માં લખી શકાય,જ્યાં:
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$.
હવે,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2)(1) - (-1)(1) = 2 + 1 = 3$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (non-singular) છે અને તેનો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણોની સંહતિનો અનન્ય ઉકેલ મળે છે અને તે સુસંગત છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+3y=5$
$2x+6y=8$
આ સંહતિને $AX=B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (1)(6) - (3)(2) = 6 - 6 = 0$
અહીં $|A| = 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક છે. હવે આપણે $(adj A)B$ શોધીએ:
$adj A = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$
$(adj A)B = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 - 24 \\ -10 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -2 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
અહીં $(adj A)B \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સંહતિનો કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણોની સંહતિ અસુસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x+y+z=1$
$2x+3y+2z=2$
$ax+ay+2az=4$
આ સંહતિને $AX=B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ a & a & 2a \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(6a - 2a) - 1(4a - 2a) + 1(2a - 3a)$
$|A| = 4a - 2a - a = a$.
કિસ્સો $1$: જો $a \neq 0$,તો $|A| \neq 0$. શ્રેણિક $A$ અસામાન્ય (non-singular) છે,તેથી સંહતિનો ઉકેલ અનન્ય છે અને તે સુસંગત છે.
કિસ્સો $2$: જો $a = 0$,તો સમીકરણો નીચે મુજબ બને:
$x+y+z=1$
$2x+3y+2z=2$
$0=4$
અહીં $0=4$ એ વિરોધાભાસ છે,તેથી $a=0$ માટે સંહતિ અસુસંગત છે.
આમ,સંહતિ બધા $a \neq 0$ માટે સુસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$3x - y - 2z = 2$
$2y - z = -1$
$3x - 5y = 3$
આ સંહતિને $AX = B$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં
$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{bmatrix}$,$X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$,અને $B = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 3(0 - 5) - (-1)(0 - (-3)) + (-2)(0 - 6)$
$|A| = 3(-5) + 1(-3) - 2(-6) = -15 - 3 + 12 = -6$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,આ સંહતિ સુસંગત છે અને તેનો ઉકેલ અનન્ય છે.