Variance and Standard Deviation Questions in Hindi

$3$ के प्रथम $10$ गुणज $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ हैं।
यहाँ,प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$ है।
माध्य $\bar{x}$ की गणना इस प्रकार है:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = \frac{165}{10} = 16.5$.
प्रसरण के लिए गणना नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई है:

$x_i$	$(x_i - \bar{x})^2$
$3$	$182.25$
$6$	$110.25$
$9$	$56.25$
$12$	$20.25$
$15$	$2.25$
$18$	$2.25$
$21$	$20.25$
$24$	$56.25$
$27$	$110.25$
$30$	$182.25$

वर्गों का योग $\sum (x_i - \bar{x})^2 = 742.5$.
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{742.5}{10} = 74.25$.

(A) सबसे पहले,हम माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N}$ की गणना करते हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{760}{40} = 19$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1736}{40} = 43.4$.

(A) डेटा को निम्नलिखित तालिका में व्यवस्थित किया गया है:

$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$	$(x_i - \bar{x})^2$	$f_i(x_i - \bar{x})^2$
$92$	$3$	$276$	$64$	$192$
$93$	$2$	$186$	$49$	$98$
$97$	$3$	$291$	$9$	$27$
$98$	$2$	$196$	$4$	$8$
$102$	$6$	$612$	$4$	$24$
$104$	$3$	$312$	$16$	$48$
$109$	$3$	$327$	$81$	$243$
कुल	$N=22$	$\sum f_i x_i = 2200$	-	$\sum f_i(x_i - \bar{x})^2 = 640$

यहाँ,$N = 22$ और $\sum f_i x_i = 2200$ है।
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{2200}{22} = 100$ है।
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{N} \sum f_i(x_i - \bar{x})^2 = \frac{640}{22} \approx 29.09$ है।

(A) माना $A = 64$ और $h = 1$ है। हम $y_i = \frac{x_i - 64}{1}$ परिभाषित करते हैं।
गणना के अनुसार,$\sum f_i y_i = 0$ और $\sum f_i y_i^2 = 286$ है।
माध्य $\bar{x} = 64$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1^2}{100^2} [100 \times 286 - 0^2] = 2.86$ है।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{2.86} \approx 1.69$ है।

(A) माध्य और प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पद-विचलन विधि का उपयोग करते हैं।
माध्य $\bar{x} = A + \frac{\sum f_i y_i}{N} \times h = 105 + \frac{2}{30} \times 30 = 107$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{h^2}{N^2} [N \sum f_i y_i^2 - (\sum f_i y_i)^2] = \frac{30^2}{30^2} [30(76) - (2)^2] = 2280 - 4 = 2276$.

(A) माध्य $\bar{x} = 27$ और प्रसरण $\sigma^2 = 132$.

(A) गणनाएँ पद-विचलन विधि (step-deviation method) का उपयोग करके की जाती हैं जहाँ $h = 5$ और कल्पित माध्य $A = 92.5$ है।
माध्य $\bar{x} = A + \left( \frac{\sum f_i y_i}{N} \right) \times h = 92.5 + \left( \frac{6}{60} \right) \times 5 = 93$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{h^2}{N^2} [N \sum f_i y_i^2 - (\sum f_i y_i)^2] = 105.58$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{105.58} \approx 10.27$.

(A) सबसे पहले,हम वर्ग अंतरालों को सतत बनाते हैं:
(तालिका ऊपर दी गई है)
माध्य $\bar{x} = A + \frac{\sum f_i y_i}{N} \times h = 42.5 + \frac{25}{100} \times 4 = 43.5 \text{ mm}$.
प्रसरण $\sigma^2 = h^2 \left[ \frac{\sum f_i y_i^2}{N} - \left( \frac{\sum f_i y_i}{N} \right)^2 \right] = 16 \left[ 1.99 - 0.0625 \right] = 30.84$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{30.84} \approx 5.55 \text{ mm}$.

(B) व्यक्तिगत वेतन में परिवर्तनशीलता निर्धारित करने के लिए,हम दोनों संयंत्रों के मानक विचलन की तुलना करते हैं क्योंकि उनका औसत वेतन समान है।
संयंत्र $A$ में वेतन के वितरण का प्रसरण $\sigma_{1}^{2} = 81$ है।
इसलिए,संयंत्र $A$ में वेतन के वितरण का मानक विचलन $\sigma_{1} = \sqrt{81} = 9$ है।
संयंत्र $B$ में वेतन के वितरण का प्रसरण $\sigma_{2}^{2} = 100$ है।
इसलिए,संयंत्र $B$ में वेतन के वितरण का मानक विचलन $\sigma_{2} = \sqrt{100} = 10$ है।
चूंकि दोनों संयंत्रों में औसत मासिक वेतन समान $(Rs. 2500)$ है,इसलिए जिस संयंत्र का मानक विचलन अधिक होगा,उसमें परिवर्तनशीलता अधिक होगी।
चूंकि $\sigma_{2} > \sigma_{1}$ $(10 > 9)$,संयंत्र $B$ में व्यक्तिगत वेतन में अधिक परिवर्तनशीलता है।

(A) परिवर्तनशीलता की तुलना करने के लिए,हमें उनके विचरण गुणांक $(C.V.)$ की गणना करनी होगी।
दिया गया है:
ऊंचाई का प्रसरण $= 127.69 \ cm^2$
ऊंचाई का मानक विचलन $(\sigma_h) = \sqrt{127.69} \ cm = 11.3 \ cm$
वजन का प्रसरण $= 23.1361 \ kg^2$
वजन का मानक विचलन $(\sigma_w) = \sqrt{23.1361} \ kg = 4.81 \ kg$
विचरण गुणांक $C.V. = \frac{\sigma}{\text{माध्य}} \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
ऊंचाई में $C.V. = \frac{11.3}{162.6} \times 100 \approx 6.95$
वजन में $C.V. = \frac{4.81}{52.36} \times 100 \approx 9.18$
स्पष्ट है कि $9.18 > 6.95$,इसलिए वजन में $C.V.$,ऊंचाई के $C.V.$ से अधिक है।
अतः,हम कह सकते हैं कि वजन में ऊंचाई की तुलना में अधिक परिवर्तनशीलता है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा समूह अधिक परिवर्तनशील है,हम उनके मानक विचलन की तुलना करते हैं। चूंकि दोनों समूहों का माध्य समान है,इसलिए जिस समूह का मानक विचलन अधिक है,वह अधिक परिवर्तनशील है।
समूह $A$ के लिए:
माध्य $\bar{x}_A = 44.6$,प्रसरण $\sigma_A^2 = 227.84$,मानक विचलन $\sigma_A = \sqrt{227.84} \approx 15.09$.
समूह $B$ के लिए:
माध्य $\bar{x}_B = 44.6$,प्रसरण $\sigma_B^2 = 243.84$,मानक विचलन $\sigma_B = \sqrt{243.84} \approx 15.61$.
चूंकि $\sigma_B > \sigma_A$,इसलिए समूह $B$ अधिक परिवर्तनशील है।

(B) स्थिरता निर्धारित करने के लिए,हम विचरण गुणांक $(C.V.)$ की गणना करते हैं। जिस शेयर का $C.V.$ कम होता है,वह अधिक स्थिर होता है।
शेयर $X$ के लिए: डेटा = $35, 54, 52, 53, 56, 58, 52, 50, 51, 49$। माध्य $\bar{x} = 51$। प्रसरण $\sigma_1^2 = 35$। मानक विचलन $\sigma_1 = \sqrt{35} \approx 5.916$।
$C.V._X = (\sigma_1 / \bar{x}) \times 100 = (5.916 / 51) \times 100 \approx 11.60$।
शेयर $Y$ के लिए: डेटा = $108, 107, 105, 105, 106, 107, 104, 103, 104, 101$। माध्य $\bar{y} = 105$। प्रसरण $\sigma_2^2 = 4$। मानक विचलन $\sigma_2 = \sqrt{4} = 2$।
$C.V._Y = (\sigma_2 / \bar{y}) \times 100 = (2 / 105) \times 100 \approx 1.90$।
चूंकि $C.V._Y < C.V._X$,इसलिए शेयर $Y$ अधिक स्थिर है।

(B) जब माध्य समान होते हैं तो वितरण की परिवर्तनशीलता उसके मानक विचलन या प्रसरण द्वारा निर्धारित की जाती है।
दिया गया है,फर्म $A$ का प्रसरण $(\sigma_{A}^{2}) = 100$.
दिया गया है,फर्म $B$ का प्रसरण $(\sigma_{B}^{2}) = 121$.
चूंकि दोनों फर्मों के लिए मासिक वेतन का माध्य समान $(5253)$ है,इसलिए जिस फर्म का प्रसरण अधिक होगा,वह अधिक परिवर्तनशीलता दर्शाएगी।
प्रसरण की तुलना करने पर,$121 > 100$,जिसका अर्थ है कि $\sigma_{B}^{2} > \sigma_{A}^{2}$.
अतः,फर्म $B$ व्यक्तिगत वेतन में अधिक परिवर्तनशीलता दर्शाती है।

(A) सबसे पहले,हम टीम $A$ के लिए माध्य और मानक विचलन की गणना करते हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{50}{25} = 2$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{130}{25} - (2)^2} = \sqrt{5.2 - 4} = \sqrt{1.2} \approx 1.095$.
टीम $B$ के लिए,माध्य $= 2$ और $\sigma = 1.25$.
चूंकि दोनों टीमों के लिए माध्य समान है,इसलिए कम मानक विचलन वाली टीम अधिक सुसंगत है। $1.095 < 1.25$ होने के कारण,टीम $A$ अधिक सुसंगत है।

(B) लंबाई $x$ के लिए:
माध्य $\bar{x} = \frac{212}{50} = 4.24$
प्रसरण $\sigma_x^2 = \frac{1}{N} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{902.8}{50} - (4.24)^2 = 18.056 - 17.9776 = 0.0784$
मानक विचलन $\sigma_x = \sqrt{0.0784} = 0.28$
विचरण गुणांक $C.V._x = \frac{\sigma_x}{\bar{x}} \times 100 = \frac{0.28}{4.24} \times 100 \approx 6.60$
वजन $y$ के लिए:
माध्य $\bar{y} = \frac{261}{50} = 5.22$
प्रसरण $\sigma_y^2 = \frac{1}{N} \sum y_i^2 - (\bar{y})^2 = \frac{1457.6}{50} - (5.22)^2 = 29.152 - 27.2484 = 1.9036$
मानक विचलन $\sigma_y = \sqrt{1.9036} \approx 1.38$
विचरण गुणांक $C.V._y = \frac{\sigma_y}{\bar{y}} \times 100 = \frac{1.38}{5.22} \times 100 \approx 26.44$
चूंकि $C.V._y > C.V._x$,इसलिए वजन लंबाई की तुलना में अधिक परिवर्तनशील है।

(B) माना प्रेक्षण $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{20}$ हैं और उनका माध्य $\bar{x}$ है। दिया गया है कि प्रसरण $= 5$ और $n = 20$.
हम जानते हैं कि प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$.
अतः,$5 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2$,जिसका अर्थ है कि $\sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2 = 100$.
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $k = 2$ से गुणा किया जाता है,तो नए प्रेक्षण $y_i = 2x_i$ हैं।
नया माध्य $\bar{y} = 2\bar{x}$ है।
नया प्रसरण $\sigma_{new}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (2x_i - 2\bar{x})^2$ है।
$\sigma_{new}^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} 4(x_i - \bar{x})^2 = 4 \times \left( \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_i - \bar{x})^2 \right) = 4 \times 5 = 20$.
अतः,नया प्रसरण $20$ है।

माना $\bar{x}$,$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ का माध्य है। मूल प्रेक्षणों का प्रसरण इस प्रकार है:
$\sigma_1^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$
यदि प्रत्येक प्रेक्षण में $a$ जोड़ा जाता है,तो नए प्रेक्षण $y_i = x_i + a$ होंगे।
नया माध्य $\bar{y}$ है:
$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i + a) = \frac{1}{n} (\sum_{i=1}^{n} x_i + na) = \bar{x} + a$.
नए प्रेक्षणों का प्रसरण $\sigma_2^2$ है:
$\sigma_2^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ((x_i + a) - (\bar{x} + a))^2$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \sigma_1^2$.
अतः,प्रसरण अपरिवर्तित रहता है।

(A) माना मूल प्रेक्षण $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ हैं,जिनका माध्य $\bar{x} = 8$ और मानक विचलन $\sigma = 4$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $k = 3$ से गुणा किया जाता है,तो नए प्रेक्षण $y_{i} = 3x_{i}$ प्राप्त होते हैं।
नया माध्य $\bar{y} = k \bar{x} = 3 \times 8 = 24$ होता है।
नया मानक विचलन $\sigma_{y} = |k| \sigma = |3| \times 4 = 12$ होता है।
अतः,नया माध्य $24$ और नया मानक विचलन $12$ है।

दिए गए $n$ प्रेक्षण $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ हैं।
माध्य $= \bar{x}$.
प्रसरण $= \sigma^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$.
माना नए प्रेक्षण $y_{i} = a x_{i}$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \ldots, n$.
नया माध्य $\bar{y}$ इस प्रकार है:
$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (a x_{i}) = a \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right) = a \bar{x}$.
नया प्रसरण $\sigma_{y}^{2}$ इस प्रकार है:
$\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (a x_{i} - a \bar{x})^{2}$.
$\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a^{2} (x_{i} - \bar{x})^{2} = a^{2} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \right)$.
चूँकि $\sigma^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}$,इसलिए $\sigma_{y}^{2} = a^{2} \sigma^{2}$.
अतः,माध्य $a \bar{x}$ है और प्रसरण $a^{2} \sigma^{2}$ है।

(D) विचरण गुणांक $(C.V.)$ को $\frac{\text{मानक विचलन}}{\text{माध्य}} \times 100$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणित के लिए: $C.V. = \frac{12}{42} \times 100 \approx 28.57$.
भौतिकी के लिए: $C.V. = \frac{15}{32} \times 100 \approx 46.87$.
रसायन विज्ञान के लिए: $C.V. = \frac{20}{40.9} \times 100 \approx 48.90$.
उच्च $C.V.$ अधिक परिवर्तनशीलता को दर्शाता है।
मानों की तुलना करने पर,रसायन विज्ञान में सबसे अधिक $C.V.$ $(48.90)$ है और गणित में सबसे कम $C.V.$ $(28.57)$ है।
अतः,रसायन विज्ञान में सबसे अधिक परिवर्तनशीलता और गणित में सबसे कम परिवर्तनशीलता है।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots, n$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$ है।
वर्गों का योग $\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$ है।
$\sigma^2 = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{4n+2-3n-3}{6} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$ है।
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$ है।

दिया गया है: $n_{1} = 25, \bar{x}_{1} = 18.2, \sigma_{1} = 3.25$.
प्रथम सेट के लिए,$\sum x_{i} = n_{1} \times \bar{x}_{1} = 25 \times 18.2 = 455$.
सूत्र $\sigma_{1}^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n_{1}} - (\bar{x}_{1})^{2}$ का उपयोग करते हुए:
$(3.25)^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{25} - (18.2)^{2}$
$10.5625 = \frac{\sum x_{i}^{2}}{25} - 331.24$
$\frac{\sum x_{i}^{2}}{25} = 341.8025 \implies \sum x_{i}^{2} = 8545.0625$.
दूसरे सेट के लिए: $n_{2} = 15, \sum x_{i} = 279, \sum x_{i}^{2} = 5524$.
वर्गों का संयुक्त योग: $\sum x_{total}^{2} = 8545.0625 + 5524 = 14069.0625$.
अवलोकनों का संयुक्त योग: $\sum x_{total} = 455 + 279 = 734$.
संयुक्त माध्य: $\bar{x} = \frac{734}{40} = 18.35$.
संयुक्त मानक विचलन: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_{total}^{2}}{n_{1} + n_{2}} - (\bar{x})^{2}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{14069.0625}{40} - (18.35)^{2}}$
$\sigma = \sqrt{351.7265625 - 336.7225} = \sqrt{15.0040625} \approx 3.87$.

(D) सबसे पहले,हम माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 4) + (3 \times 9) + (4 \times 16) + (5 \times 14) + (6 \times 11) + (7 \times 6)}{4 + 9 + 16 + 14 + 11 + 6} = \frac{8 + 27 + 64 + 70 + 66 + 42}{60} = \frac{277}{60} \approx 4.6167$ की गणना करते हैं।
मानक विचलन के सूत्र $\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum f_i x_i^2 = (4 \times 4) + (9 \times 9) + (16 \times 16) + (14 \times 25) + (11 \times 36) + (6 \times 49) = 16 + 81 + 256 + 350 + 396 + 294 = 1393$.
$\sigma = \sqrt{\frac{1393}{60} - (4.6167)^2} = \sqrt{23.2167 - 21.3139} = \sqrt{1.9028} \approx 1.38$.

(7) कुल बारंबारता $N = \sum f_i = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7$ है।
$\sum f_i x_i = (2 \times A) + (1 \times 2A) + (1 \times 3A) + (1 \times 4A) + (1 \times 5A) + (1 \times 6A) = 22A$ की गणना करें।
$\sum f_i x_i^2 = (2 \times A^2) + (1 \times 4A^2) + (1 \times 9A^2) + (1 \times 16A^2) + (1 \times 25A^2) + (1 \times 36A^2) = 92A^2$ की गणना करें।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i x_i}{N}\right)^2$ सूत्र का उपयोग करते हुए।
मान रखने पर: $160 = \frac{92A^2}{7} - \left(\frac{22A}{7}\right)^2$.
$160 = \frac{92A^2}{7} - \frac{484A^2}{49} = \frac{644A^2 - 484A^2}{49} = \frac{160A^2}{49}$.
$160 = \frac{160A^2}{49} \implies A^2 = 49$.
चूंकि $A$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $A = 7$।

(A) दिया गया है: $n = 100$,$\bar{x} = 50$,और $\sigma = 4$।
$1$. सभी मदों का योग $(\Sigma x_i)$:
$\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n}$ $\Rightarrow 50 = \frac{\Sigma x_i}{100}$ $\Rightarrow \Sigma x_i = 5000$।
$2$. मदों के वर्गों का योग $(\Sigma x_i^2)$:
सूत्र $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करने पर:
$4^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - (50)^2$
$16 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - 2500$
$\frac{\Sigma x_i^2}{100} = 2516$
$\Sigma x_i^2 = 251600$।

दिया गया है: $n=18$,$\Sigma(x-5)=3$,और $\Sigma(x-5)^{2}=43$.
माना $d = x-5$. तब $\Sigma d = 3$ और $\Sigma d^2 = 43$.
$d$ का माध्य $\bar{d} = \frac{\Sigma d}{n} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \approx 0.167$.
$x$ का माध्य $\bar{x} = 5 + \bar{d} = 5 + 0.167 = 5.167$.
मानक विचलन मूल बिंदु से स्वतंत्र होता है,इसलिए $SD(x) = SD(d)$.
$SD(d) = \sqrt{\frac{\Sigma d^2}{n} - (\bar{d})^2} = \sqrt{\frac{43}{18} - (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{2.3889 - 0.0278} = \sqrt{2.3611} \approx 1.537$.

(N/A) माध्य और प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रत्येक अंतराल के लिए वर्ग चिह्न $(x_i)$ निर्धारित करते हैं:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{वर्ग} & f_i & x_i & f_i x_i & f_i x_i^2 \\ \hline 1-3 & 6 & 2 & 12 & 24 \\ \hline 3-5 & 4 & 4 & 16 & 64 \\ \hline 5-7 & 5 & 6 & 30 & 180 \\ \hline 7-10 & 1 & 8.5 & 8.5 & 72.25 \\ \hline \text{कुल} & N=16 & & \Sigma f_i x_i = 66.5 & \Sigma f_i x_i^2 = 340.25 \\ \hline \end{array}$
$\text{माध्य } (\bar{x}) = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{66.5}{16} = 4.15625 \approx 4.16$
$\text{प्रसरण } (\sigma^2) = \frac{\Sigma f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = \frac{340.25}{16} - (4.15625)^2$
$\sigma^2 = 21.265625 - 17.274414 = 3.991211 \approx 3.99$

(N/A) सबसे पहले,माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ की गणना करें।
$\sum f_i = 40$.
$\sum f_i x_i = 239$.
माध्य $\bar{x} = \frac{239}{40} = 5.975$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2}$ ज्ञात करने के लिए,$\sum f_i x_i^2 = 1753$ की गणना करें।
$\sigma = \sqrt{\frac{1753}{40} - (5.975)^2} = \sqrt{43.825 - 35.700625} = \sqrt{8.124375} \approx 2.85$.

$A.P.$ के पद $x_i = a + (i-1)d$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है।
$\text{माध्य } (\bar{x}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [a + (i-1)d] = a + \frac{(n-1)d}{2}$.
मानक विचलन $(\sigma)$ ज्ञात करने के लिए,$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ सूत्र का उपयोग करें।
माना $y_i = x_i - a = (i-1)d$ है। तब $\bar{y} = \frac{d(n-1)}{2}$ होगा।
$\sum y_i^2 = d^2 \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ है।
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - (\bar{y})^2 = \frac{d^2(n-1)(2n-1)}{6} - \frac{d^2(n-1)^2}{4}$ है।
$\sigma^2 = \frac{d^2(n^2-1)}{12}$ है।
अतः,$\sigma = |d| \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन अधिक बुद्धिमान है,हम उनके औसत अंकों $(\bar{x})$ की तुलना करते हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि कौन अधिक सुसंगत है,हम उनके विचरण गुणांक $(CV)$ की तुलना करते हैं।
रवि के लिए:
औसत $\bar{x}_R = 44.1$
मानक विचलन $\sigma_R \approx 13.00$
$CV_R \approx 29.48\%$
हसीना के लिए:
औसत $\bar{x}_H = 53.0$
मानक विचलन $\sigma_H \approx 24.35$
$CV_H \approx 45.94\%$
निष्कर्ष:
चूंकि $\bar{x}_H > \bar{x}_R$,हसीना अधिक बुद्धिमान है।
चूंकि $CV_R < CV_H$,रवि अधिक सुसंगत है।

(A) दिया गया है $X = \{1, 2, \dots, 17\}$। $X$ का माध्य $\bar{x} = \frac{1+17}{2} = 9$ है। $X$ का प्रसरण $\sigma_X^2 = \frac{17^2 - 1}{12} = \frac{288}{12} = 24$ है।
$Y = aX + b$ के लिए,माध्य $\bar{Y} = a\bar{x} + b = 9a + b = 17$ (समीकरण $1$)।
$Y$ का प्रसरण $\sigma_Y^2 = a^2 \sigma_X^2 = a^2(24) = 216$ है।
$a^2 = \frac{216}{24} = 9$। चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 3$ है।
समीकरण $1$ में $a = 3$ रखने पर: $9(3) + b = 17$ $\Rightarrow 27 + b = 17$ $\Rightarrow b = -10$।
अतः,$a + b = 3 + (-10) = -7$।

(A) माना $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है। चूँकि $A.P.$ वर्धमान है,$d > 0$ है।
पद $a, a+d, a+2d, \ldots, a+10d$ हैं।
माध्य $\bar{X} = a + 5d$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=0}^{10} (a + id - (a + 5d))^2 = \frac{d^2}{11} \sum_{i=0}^{10} (i-5)^2$ है।
योगफल: $\sum_{i=0}^{10} (i-5)^2 = 110$ है।
अतः,$90 = \frac{d^2}{11} \times 110 = 10d^2$ है।
$d^2 = 9 \Rightarrow d = 3$ (क्योंकि $d > 0$ है)।

(C) अवलोकनों $x_{i}$ का प्रसरण $p$ के विस्थापन से स्वतंत्र होता है। मान लीजिए $y_{i} = x_{i} - p$.
दिया गया है कि $\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 3$ और $\sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2} = 9$.
प्रसरण $\sigma^{2}$ का सूत्र है:
$\sigma^{2} = \frac{\sum y_{i}^{2}}{n} - \left( \frac{\sum y_{i}}{n} \right)^{2}$
$n = 10$ रखने पर:
$\sigma^{2} = \frac{9}{10} - \left( \frac{3}{10} \right)^{2}$
$\sigma^{2} = 0.9 - 0.09 = 0.81$
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{0.81} = 0.9 = \frac{9}{10}$.

(D) डेटा की सीमा अंतराल $[0, 10]$ द्वारा दी गई है।
किसी भी आवृत्ति वितरण के लिए,मानक विचलन $\sigma$ असमिका $\sigma \leq \frac{1}{2}(M - m)$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $M$ और $m$ क्रमशः चर के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं।
यहाँ,$M = 10$ और $m = 0$ है।
इसलिए,$\sigma \leq \frac{1}{2}(10 - 0) = 5$।
चूंकि मान अलग-अलग हैं $(x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{15})$,इसलिए मानक विचलन $5$ से कम होना चाहिए।
अतः,$\sigma < 5$।
दिए गए विकल्पों में से,$6$ का मान $5$ से अधिक है,इसलिए मानक विचलन $6$ नहीं हो सकता है।

(A) माना वर्गों के मध्य बिंदु $x_i = 15, 25, 35$ हैं।
सरलता के लिए,मूल बिंदु को $d_i = x_i - 25$ द्वारा स्थानांतरित करें,जिससे $d_i = -10, 0, 10$ प्राप्त होता है।
बारंबारताएँ $f_i = 2, x, 2$ हैं।
माध्य $\bar{d} = \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} = \frac{2(-10) + x(0) + 2(10)}{2+x+2} = \frac{0}{x+4} = 0$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{\sum f_i} - (\bar{d})^2$.
दिया गया है कि $\sigma^2 = 50$,इसलिए $50 = \frac{2(-10)^2 + x(0)^2 + 2(10)^2}{x+4} - 0^2$.
$50 = \frac{200 + 0 + 200}{x+4}$.
$50 = \frac{400}{x+4}$.
$x+4 = \frac{400}{50} = 8$.
$x = 8 - 4 = 4$.

(B) मानक विचलन $(S.D.)$ का सूत्र:
$S.D. = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)^{2}}{n} - \left(\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)}{n}\right)^{2}}$
दिया गया है कि $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a) = n$ और $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-a)^{2} = na$:
$S.D. = \sqrt{\frac{na}{n} - \left(\frac{n}{n}\right)^{2}}$
$S.D. = \sqrt{a - 1^{2}}$
$S.D. = \sqrt{a-1}$

(A) मान लीजिए अवलोकन $x_{i}$ हैं जहाँ $1 \leq i \leq 2n$ है।
मूल अवलोकनों का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{2n} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = 0$ है।
मूल अवलोकनों का प्रसरण $\sigma_{x}^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{2n} - (\bar{x})^{2} = \frac{n(a^{2}) + n(-a)^{2}}{2n} - 0 = \frac{2na^{2}}{2n} = a^{2}$ है।
अतः,मानक विचलन $\sigma_{x} = \sqrt{a^{2}} = |a|$ है।
जब प्रत्येक अवलोकन में एक स्थिरांक $b$ जोड़ा जाता है,तो नया माध्य $\bar{y} = \bar{x} + b = 0 + b = 5$,इसलिए $b = 5$ है।
स्थिरांक जोड़ने से मानक विचलन में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए $\sigma_{y} = \sigma_{x} = |a| = 20$ है।
इसलिए,$a^{2} = 20^{2} = 400$ और $b^{2} = 5^{2} = 25$ है।
अंत में,$a^{2} + b^{2} = 400 + 25 = 425$ है।

(B) प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{\Sigma x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2}$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ $n = 10$ है।
$\Sigma x_{i} = 9 + k$ और $\Sigma x_{i}^{2} = 9 + k^{2}$ है।
$\frac{9 + k^{2}}{10} - \left(\frac{9 + k}{10}\right)^{2} < 10$.
$10(9 + k^{2}) - (9 + k)^{2} < 1000$.
$9k^{2} - 18k + 9 < 1000$.
$9(k - 1)^{2} < 1000$.
$(k - 1)^{2} < 111.11$.
$k - 1 < 10.54$.
$k < 11.54$.
चूंकि $k$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $k$ का अधिकतम मान $11$ है।

(A) दिया गया है $\sum_{i=1}^{18}(X_{i}-\alpha)=36 \implies \sum X_{i} - 18\alpha = 36 \implies \sum X_{i} = 18(\alpha+2)$.
दिया गया है $\sum_{i=1}^{18}(X_{i}-\beta)^{2}=90 \implies \sum X_{i}^{2} - 2\beta \sum X_{i} + 18\beta^{2} = 90$.
$\sum X_{i} = 18(\alpha+2)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sum X_{i}^{2} = 90 - 18\beta^{2} + 36\beta(\alpha+2)$.
प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{\sum X_{i}^{2}}{18} - (\frac{\sum X_{i}}{18})^{2} = 1^{2} = 1$.
मान रखने पर: $\frac{90 - 18\beta^{2} + 36\beta(\alpha+2)}{18} - (\alpha+2)^{2} = 1$.
$5 - \beta^{2} + 2\beta(\alpha+2) - (\alpha^{2} + 4\alpha + 4) = 1$.
$5 - \beta^{2} + 2\alpha\beta + 4\beta - \alpha^{2} - 4\alpha - 4 = 1$.
$-(\alpha^{2} - 2\alpha\beta + \beta^{2}) + 4(\beta - \alpha) = 0$.
$-(\alpha-\beta)^{2} - 4(\alpha-\beta) = 0$.
$(\alpha-\beta)^{2} + 4(\alpha-\beta) = 0$.
$(\alpha-\beta)(\alpha-\beta+4) = 0$.
चूंकि $\alpha \neq \beta$,इसलिए $\alpha-\beta = -4$,अतः $|\alpha-\beta| = 4$.

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण ज्ञात करने का सूत्र $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ है।
दिया गया है कि प्रसरण $14$ है,इसलिए:
$\frac{n^2 - 1}{12} = 14$
$n^2 - 1 = 14 \times 12$
$n^2 - 1 = 168$
$n^2 = 169$
$n = \sqrt{169} = 13$.
चूंकि $13$ एक विषम प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $n$ का मान $13$ है।

(C) दिया गया डेटा: $6, 10, 7, 13, a, 12, b, 12$. प्रेक्षणों की कुल संख्या $n = 8$.
माध्य $\bar{x} = \frac{6+10+7+13+a+12+b+12}{8} = 9$.
$60 + a + b = 72 \implies a + b = 12$ $(1)$.
प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{\sum x_{i}^{2}}{n} - (\bar{x})^{2} = \frac{37}{4}$.
$\sum x_{i}^{2} = a^{2} + b^{2} + 642$.
$\frac{a^{2} + b^{2} + 642}{8} - 81 = \frac{37}{4}$.
$\frac{a^{2} + b^{2} + 642}{8} = \frac{361}{4}$.
$a^{2} + b^{2} + 642 = 722 \implies a^{2} + b^{2} = 80$ $(2)$.
$(a-b)^{2} = (a+b)^{2} - 4ab$.
$(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab \implies 144 = 80 + 2ab \implies 2ab = 64$.
अतः,$(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab = 80 - 64 = 16$.

(D) दिया गया है $n = 15$,$\text{माध्य} (\bar{x}) = 8$,और $\text{मानक विचलन} (\sigma) = 3$.
$\text{प्रसरण} = \sigma^2 = 3^2 = 9$.
सूत्र $\text{प्रसरण} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए,$9 = \frac{\sum x_i^2}{15} - 8^2$.
$\frac{\sum x_i^2}{15} = 9 + 64 = 73 \Rightarrow \sum x_i^2 = 15 \times 73 = 1095$.
साथ ही,$\sum x_i = n \times \bar{x} = 15 \times 8 = 120$.
मानों को सही करते हुए: $20$ को $5$ के रूप में गलत पढ़ा गया था,इसलिए $5$ घटाकर $20$ जोड़ेंगे।
सही $\sum x_i = 120 - 5 + 20 = 135$.
सही $\sum x_i^2 = 1095 - 5^2 + 20^2 = 1095 - 25 + 400 = 1470$.
सही $\text{माध्य} (\bar{x}_{new}) = \frac{135}{15} = 9$.
सही $\text{प्रसरण} = \frac{1470}{15} - (9)^2 = 98 - 81 = 17$.

(C) दिया गया है $n = 10$,गलत माध्य $\bar{x} = 15$,और गलत प्रसरण $\sigma^2 = 15$ है।
प्रेक्षणों का गलत योग: $\sum x_i = n \times \bar{x} = 10 \times 15 = 150$ है।
प्रेक्षणों का सही योग: $\sum x_{i, \text{correct}} = 150 - 25 + 15 = 140$ है।
सही माध्य: $\bar{x}_{\text{correct}} = \frac{140}{10} = 14$ है।
प्रसरण के सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करने पर,$15 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 15^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{\sum x_i^2}{10} = 15 + 225 = 240 \implies \sum x_i^2 = 2400$ है।
वर्गों का सही योग: $\sum x_{i, \text{correct}}^2 = 2400 - 25^2 + 15^2 = 2400 - 625 + 225 = 2000$ है।
सही प्रसरण: $\sigma_{\text{correct}}^2 = \frac{\sum x_{i, \text{correct}}^2}{n} - (\bar{x}_{\text{correct}})^2 = \frac{2000}{10} - 14^2 = 200 - 196 = 4$ है।
सही मानक विचलन: $\sigma_{\text{correct}} = \sqrt{4} = 2$ है।

(D) माना दो समूह $S_1$ और $S_2$ हैं जहाँ $n_1 = 15, n_2 = 15$ है।
दिया गया है: $\bar{x}_1 = 12, \sigma_1^2 = 14$ और $\bar{x}_2 = 14, \sigma_2^2 = \sigma^2$।
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2_{comb}$ का सूत्र:
$\sigma^2_{comb} = \frac{n_1 \sigma_1^2 + n_2 \sigma_2^2}{n_1 + n_2} + \frac{n_1 n_2 (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)^2}{(n_1 + n_2)^2}$
मान रखने पर:
$13 = \frac{15(14) + 15(\sigma^2)}{30} + \frac{15 \times 15 (12 - 14)^2}{30^2}$
$13 = \frac{14 + \sigma^2}{2} + 1$
$12 = \frac{14 + \sigma^2}{2}$
$24 = 14 + \sigma^2$
$\sigma^2 = 10$

(D) वर्ग चिह्न $(x_i)$ क्रमशः $5, 15, 25, 35, 45$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = 28$ दिया गया है।
$\frac{2(5) + 3(15) + x(25) + 5(35) + 4(45)}{2 + 3 + x + 5 + 4} = 28$
$\frac{410 + 25x}{14 + x} = 28 \implies 410 + 25x = 392 + 28x \implies 3x = 18 \implies x = 6$.
कुल आवृत्ति $N = 20$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2 = \frac{18700}{20} - 28^2 = 935 - 784 = 151$.

(B) दिया गया है $\sum f_i = 62$।
गणना करने पर $k=4$ प्राप्त होता है।
$\mu = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{148}{62}$।
$\sum f_i x_i^2 = 468$।
$\mu^2 + \sigma^2 = E[X^2] = \frac{468}{62} \approx 7.548$।
अतः,$[\mu^2 + \sigma^2] = 7$।

(B) मान लीजिए $X = \alpha - \beta$ है। $X$ के संभावित मान $-5$ से $5$ तक हैं।
चूँकि $\alpha$ और $\beta$ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ पर स्वतंत्र और समान रूप से वितरित असतत समान चर हैं,$\alpha$ का प्रसरण $\text{Var}(\alpha) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{36 - 1}{12} = \frac{35}{12}$ है।
इसी प्रकार,$\text{Var}(\beta) = \frac{35}{12}$ है।
चूँकि $\alpha$ और $\beta$ स्वतंत्र हैं,$\text{Var}(\alpha - \beta) = \text{Var}(\alpha) + \text{Var}(-\beta) = \text{Var}(\alpha) + \text{Var}(\beta)$ होगा।
$\text{Var}(\alpha - \beta) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{70}{12} = \frac{35}{6}$ है।
यहाँ,$p = 35$ और $q = 6$ है। चूँकि $35$ और $6$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $p = 35$ है।
$p$ का अभाज्य गुणनखंडन $35 = 5^1 \times 7^1$ है।
$p$ के धनात्मक भाजकों का योग $(5^0 + 5^1)(7^0 + 7^1) = (1 + 5)(1 + 7) = 6 \times 8 = 48$ है।

(B) दिया गया है $n = 10$,$\text{माध्य} (\bar{x}) = 20$,और $\text{मानक विचलन} (\sigma) = 2$.
सबसे पहले,प्रेक्षणों का योग ज्ञात करें: $\sum x_i = n \times \bar{x} = 10 \times 20 = 200$.
संशोधित प्रेक्षणों का योग: $\sum x_{i, \text{new}} = 200 - 50 + 40 = 190$.
संशोधित माध्य: $\bar{x}_{\text{new}} = \frac{190}{10} = 19$.
प्रसरण के सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए:
$2^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 20^2 \implies 4 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 400 \implies \sum x_i^2 = 4040$.
संशोधित वर्गों का योग: $\sum x_{i, \text{new}}^2 = 4040 - 50^2 + 40^2 = 4040 - 2500 + 1600 = 3140$.
संशोधित प्रसरण: $\sigma_{\text{new}}^2 = \frac{\sum x_{i, \text{new}}^2}{n} - (\bar{x}_{\text{new}})^2 = \frac{3140}{10} - 19^2 = 314 - 361 = 13$ (गणना के अनुसार)।

(B) दिया गया है $\sum_{k=1}^{10} a_k = 50$ और $\sum_{k < j} a_k a_j = 1100$।
हम जानते हैं कि $(\sum_{i=1}^{10} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2 \sum_{k < j} a_k a_j$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(50)^2 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2(1100)$।
$2500 = \sum_{i=1}^{10} a_i^2 + 2200$।
$\sum_{i=1}^{10} a_i^2 = 2500 - 2200 = 300$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum a_i^2 - (\bar{a})^2$,जहाँ $\bar{a} = \frac{\sum a_i}{n} = \frac{50}{10} = 5$।
$\sigma^2 = \frac{300}{10} - (5)^2 = 30 - 25 = 5$।
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{5}$।

(C) दी गई जानकारी: $65, 68, 58, 44, 48, 45, 60, \alpha, \beta, 60$. प्रेक्षणों की कुल संख्या $n = 10$.
माध्य $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 56$.
$\frac{448+\alpha+\beta}{10} = 56 \Rightarrow \alpha+\beta = 112$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\overline{x})^2 = 66.2$.
$\frac{25678+\alpha^2+\beta^2}{10} - 3136 = 66.2$.
$\frac{25678+\alpha^2+\beta^2}{10} = 3202.2$.
$\alpha^2+\beta^2 = 32022 - 25678 = 6344$.