Word problem -Statistics Questions in Hindi

(A) माना दो धनात्मक पूर्णांक $x$ और $y$ हैं। दिया गया है $x + y = 100$,जहाँ $x, y \in \{1, 2, \dots, 99\}$ है।
कुल संभावित युग्मों $(x, y)$ की संख्या $99$ है।
हमें गुणनफल $xy > 1000$ चाहिए।
$y = 100 - x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(100 - x) > 1000$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - 100x + 1000 < 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात समीकरण $x^2 - 100x + 1000 = 0$ को हल करने पर,$x = 50 \pm 10\sqrt{15}$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान $(11.3, 88.7)$ के बीच होना चाहिए।
$x$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $12, 13, \dots, 88$ हैं।
ऐसी संख्याओं की कुल संख्या $88 - 12 + 1 = 77$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{77}{99} = \frac{7}{9}$ है।

(D) मान लीजिए कि चार शॉट्स में विमान को हिट करने की प्रायिकताएं $p_1 = 0.4$,$p_2 = 0.3$,$p_3 = 0.2$ और $p_4 = 0.1$ हैं।
गन द्वारा विमान को हिट करने की प्रायिकता $1$ में से उस प्रायिकता को घटाने के बराबर है कि गन चारों शॉट्स में विमान को मिस कर दे।
मान लीजिए $q_i = 1 - p_i$ शॉट $i$ को मिस करने की प्रायिकता है।
$q_1 = 1 - 0.4 = 0.6$
$q_2 = 1 - 0.3 = 0.7$
$q_3 = 1 - 0.2 = 0.8$
$q_4 = 1 - 0.1 = 0.9$
चारों शॉट्स को मिस करने की प्रायिकता $P(\text{miss}) = q_1 \times q_2 \times q_3 \times q_4 = 0.6 \times 0.7 \times 0.8 \times 0.9 = 0.3024$ है।
अतः,गन द्वारा विमान को हिट करने की प्रायिकता $P(\text{hit}) = 1 - P(\text{miss}) = 1 - 0.3024 = 0.6976$ है।

(D) माध्य का सूत्र $\text{Mean} = \frac{\sum (x_i \times f_i)}{\sum f_i}$ है।
दिए गए मान: $x = \{1, 2, 3, 4\}$ और $f = \{5, 4, 6, f\}$।
माध्य = $\frac{(1 \times 5) + (2 \times 4) + (3 \times 6) + (4 \times f)}{5 + 4 + 6 + f} = 3$.
$\frac{5 + 8 + 18 + 4f}{15 + f} = 3$.
$\frac{31 + 4f}{15 + f} = 3$.
$31 + 4f = 3(15 + f)$.
$31 + 4f = 45 + 3f$.
$4f - 3f = 45 - 31$.
$f = 14$.

(D) दिया गया है कि $20$ प्रेक्षणों के $30$ से विचलनों का योग $20$ है।
मान लीजिए प्रेक्षण $x_1, x_2, ..., x_{20}$ हैं।
अतः,$\sum_{i=1}^{20} (x_i - 30) = 20$.
योग का विस्तार करने पर,$\sum_{i=1}^{20} x_i - \sum_{i=1}^{20} 30 = 20$.
$\sum_{i=1}^{20} x_i - (20 \times 30) = 20$.
$\sum_{i=1}^{20} x_i - 600 = 20$.
$\sum_{i=1}^{20} x_i = 620$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{20} x_i}{20}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\bar{x} = \frac{620}{20} = 31$.

(B) भारित माध्य का सूत्र है: $\frac{\sum_{i=1}^{n} (i \cdot i^2)}{\sum_{i=1}^{n} i^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n} i^3}{\sum_{i=1}^{n} i^2}$।
हम जानते हैं कि $\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]^2$ और $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
भारित माध्य = $\frac{\left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]^2}{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}}$
$= \frac{n^2(n + 1)^2}{4} \cdot \frac{6}{n(n + 1)(2n + 1)}$
$= \frac{6n(n + 1)}{4(2n + 1)} = \frac{3n(n + 1)}{2(2n + 1)}$।

(B) संयुक्त माध्य का सूत्र $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$ है।
दिया गया है,$\bar{x} = 30$,$\bar{x}_1 = 32$ (पुरुषों की औसत आयु),और $\bar{x}_2 = 27$ (महिलाओं की औसत आयु)।
मान लीजिए कि कुल व्यक्तियों की संख्या $100$ है। मान लीजिए $n_1$ पुरुषों की संख्या है और $n_2$ महिलाओं की संख्या है।
तब $n_2 = 100 - n_1$ होगा।
सूत्र में मान रखने पर:
$30 = \frac{32n_1 + 27(100 - n_1)}{100}$
$3000 = 32n_1 + 2700 - 27n_1$
$3000 - 2700 = 5n_1$
$300 = 5n_1$
$n_1 = 60$।
चूंकि $n_1$ पुरुषों की संख्या है,इसलिए महिलाओं की संख्या $n_2 = 100 - 60 = 40$ होगी।
अतः,समूह में महिलाओं का प्रतिशत $40\%$ है।

(D) माना शिक्षक का वजन $w \ kg$ है।
$35$ छात्रों का कुल वजन = $35 \times 40 = 1400 \ kg$.
जब शिक्षक को शामिल किया जाता है,तो कुल व्यक्तियों की संख्या $35 + 1 = 36$ हो जाती है।
नया औसत वजन = $40 + 0.5 = 40.5 \ kg$.
$36$ व्यक्तियों का कुल वजन = $36 \times 40.5 = 1458 \ kg$.
शिक्षक का वजन $w = 36$ व्यक्तियों का कुल वजन - $35$ छात्रों का कुल वजन।
$w = 1458 - 1400 = 58 \ kg$.

(D) मान लीजिए कि $n_1$ और $n_2$ दो समूहों में अवलोकनों की संख्या है जिनके माध्य क्रमशः $\bar{x}_1$ और $\bar{x}_2$ हैं।
तब,संयुक्त माध्य $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$ द्वारा दिया जाता है।
अब,$\bar{x} - \bar{x}_1 = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} - \bar{x}_1 = \frac{n_2(\bar{x}_2 - \bar{x}_1)}{n_1 + n_2}$ पर विचार करें।
चूंकि $\bar{x}_2 > \bar{x}_1$ और $n_1, n_2 > 0$ है,इसलिए $\bar{x} - \bar{x}_1 > 0$,जिसका अर्थ है $\bar{x} > \bar{x}_1$ $(i)$।
इसी प्रकार,$\bar{x} - \bar{x}_2 = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} - \bar{x}_2 = \frac{n_1(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)}{n_1 + n_2}$ है।
चूंकि $\bar{x}_1 < \bar{x}_2$ है,इसलिए $\bar{x} - \bar{x}_2 < 0$,जिसका अर्थ है $\bar{x} < \bar{x}_2$ (ii)।
$(i)$ और (ii) को मिलाने पर,हमें $\bar{x}_1 < \bar{x} < \bar{x}_2$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि सभी $n$ प्रेक्षणों का योग $S$ है। दिया गया है कि $n$ प्रेक्षणों का $A.M.$ $M$ है,इसलिए $S = nM$ है।
मान लीजिए कि शेष $4$ प्रेक्षणों का योग $S_4$ है। हमें दिया गया है कि $n - 4$ प्रेक्षणों का योग $a$ है।
इसलिए,$S = a + S_4$,जिसका अर्थ है कि $S_4 = S - a = nM - a$ है।
शेष $4$ प्रेक्षणों का माध्य $\frac{S_4}{4} = \frac{nM - a}{4}$ है।

(C) माध्य का सूत्र $\text{Mean} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ है।
दिए गए बंटन के लिए:
$\sum f_i x_i = (1 \times 4) + (2 \times 5) + (3 \times y) + (4 \times 1) + (5 \times 2) = 28 + 3y$.
$\sum f_i = 4 + 5 + y + 1 + 2 = 12 + y$.
चूंकि माध्य $2.6$ दिया गया है:
$2.6 = \frac{28 + 3y}{12 + y}$.
दोनों पक्षों को $(12 + y)$ से गुणा करने पर:
$2.6(12 + y) = 28 + 3y$.
$31.2 + 2.6y = 28 + 3y$.
$3.2 = 0.4y$.
$y = 8$.

(C) दिया गया है कि,वस्तुओं की संख्या $n = 100$ और प्रारंभिक माध्य $\bar{x} = 49$ है।
वस्तुओं का प्रारंभिक योग $S_{initial} = 100 \times 49 = 4900$ है।
सही वस्तुओं का योग $S_{correct} = 60 + 70 + 80 = 210$ है।
गलत तरीके से पढ़ी गई वस्तुओं का योग $S_{wrong} = 40 + 20 + 50 = 110$ है।
वस्तुओं का सही योग $S_{new} = S_{initial} + S_{correct} - S_{wrong} = 4900 + 210 - 110 = 5000$ है।
सही माध्य $\bar{x}_{new} = \frac{S_{new}}{n} = \frac{5000}{100} = 50$ है।

(C) $5$ संख्याओं का योग $18 \times 5 = 90$ है।
एक संख्या को निकालने के बाद,शेष $4$ संख्याओं का योग $16 \times 4 = 64$ है।
अतः,निकाली गई संख्या $90 - 64 = 26$ है।

(A) वर्ग माप को दो क्रमागत वर्ग चिह्नों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
वर्ग माप $= 10 - 6 = 4$।
वैकल्पिक रूप से,वर्ग माप $= 14 - 10 = 4$।
अतः,वर्ग माप $4$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी प्रेक्षणों के समूह के लिए,रूट मीन स्क्वायर,अंकगणितीय माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है,अर्थात $RMS \ge AM$।
$\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}} \ge \frac{\sum x_i}{n}$
दिए गए मान $\sum x_i^2 = 400$ और $\sum x_i = 80$ रखने पर:
$\sqrt{\frac{400}{n}} \ge \frac{80}{n}$
$\frac{20}{\sqrt{n}} \ge \frac{80}{n}$
$\frac{1}{\sqrt{n}} \ge \frac{4}{n}$
$\sqrt{n} \ge 4$
$n \ge 16$
दिए गए विकल्पों में से,$16$ से बड़ा या उसके बराबर एकमात्र मान $18$ है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) सतत आवृत्ति वितरण में $k^{th}$ दशमक $(D_k)$ की गणना करने का सूत्र है:
$D_k = l + \frac{(\frac{kN}{10} - C)}{f} \times i$
जहाँ:
$l$ दशमक वर्ग की निचली सीमा है,
$N$ कुल आवृत्ति है,
$C$ दशमक वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी आवृत्ति है,
$f$ दशमक वर्ग की आवृत्ति है,
$i$ वर्ग अंतराल की लंबाई है।
$7^{th}$ दशमक $(k=7)$ के लिए,सूत्र होगा:
$D_7 = l + \frac{(\frac{7N}{10} - C)}{f} \times i$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) कथन $(1)$ सही है: वर्गीकृत आवृत्ति वितरण का बहुलक हिस्टोग्राम का उपयोग करके ग्राफ़ द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।
कथन $(2)$ गलत है: माध्यिका मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र है,लेकिन यह पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है। यदि $y = a + bx$ है,तो $Median(y) = a + b \times Median(x)$। चूँकि यह $b$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है।
कथन $(3)$ गलत है: प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र है,लेकिन यह पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है। यदि $y = a + bx$ है,तो $Var(y) = b^2 \times Var(x)$। चूँकि यह $b^2$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है।
अतः,केवल कथन $(1)$ सही है।

(D) केंद्रीय प्रवृत्ति के माप वे सांख्यिकीय मान हैं जो डेटा सेट के केंद्र या विशिष्ट मान का प्रतिनिधित्व करते हैं।
केंद्रीय प्रवृत्ति के सामान्य मापों में $Mean$ (माध्य),$Median$ (माध्यिका),और $Mode$ (बहुलक) शामिल हैं।
$Range$ (परिसर) प्रकीर्णन (या परिवर्तनशीलता) का एक माप है,न कि केंद्रीय प्रवृत्ति का,क्योंकि यह अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर ज्ञात करके डेटा के फैलाव का वर्णन करता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिए गए बार ग्राफ से:
दूसरी तिमाही (अप्रैल से जून) में मृत्यु दर = $250$.
तीसरी तिमाही (जुलाई से सितंबर) में मृत्यु दर = $400$.
मृत्यु दर में वृद्धि = $400 - 250 = 150$.
प्रतिशत वृद्धि = $\frac{\text{वृद्धि}}{\text{मूल मान}} \times 100$
प्रतिशत वृद्धि = $\frac{150}{250} \times 100 = 0.6 \times 100 = 60\%$.

(B) आयतचित्र में,प्रत्येक बार की ऊँचाई वर्ग अंतराल की आवृत्ति के अनुरूप होती है।
दिए गए आंकड़ों को देखने पर,आवृत्तियाँ इस प्रकार हैं:
- $150-300$: $300$
- $300-500$: $500$
- $500-800$: $900$
- $800-1200$: $1000$
- $1200-1800$: $1200$
अधिकतम आवृत्ति $1200$ है,जो $1200-1800$ के आय समूह के अनुरूप है।
इसलिए,आयतचित्र में सबसे ऊँचा बार $1200-1800$ वर्ग के अनुरूप होगा।

(B) $Pie \ diagram$ (पाई चार्ट) किसी उद्योग के कुल व्यय को विभिन्न शीर्षों में वितरित रूप में दर्शाने का सबसे प्रभावी तरीका है,क्योंकि यह संपूर्ण के सापेक्ष प्रत्येक भाग का अनुपात दिखाता है।

(C) कुल खर्च $= 560 + 420 + 180 + 160 + 120 = 1440$.
कपड़ों के लिए सेक्टर का कोण इस प्रकार निकाला जाता है:
$\text{कोण} = \left( \frac{\text{कपड़ों पर खर्च}}{\text{कुल खर्च}} \right) \times 360^o$
$\text{कोण} = \left( \frac{180}{1440} \right) \times 360^o$
$\text{कोण} = \frac{1}{8} \times 360^o = 45^o$.

(B) अवलोकनों के समूह का परिसर (range) अधिकतम मान और न्यूनतम मान के बीच का अंतर होता है।
परिसर $= X_{\max} - X_{\min}$
दिए गए अवलोकन: $2, 3, 5, 9, 8, 7, 6, 5, 7, 4, 3$
अधिकतम मान $(X_{\max}) = 9$
न्यूनतम मान $(X_{\min}) = 2$
परिसर $= 9 - 2 = 7$.

(B) दिए गए अवलोकन ${x_1}, -{x_1}, {x_2}, -{x_2}, \dots, {x_n}, -{x_n}, 0$ हैं। कुल $(2n+1)$ अवलोकन हैं।
$1$. माध्यिका $(M.D.)$: अवलोकनों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,मध्य पद $0$ प्राप्त होता है। अतः,$M.D. = 0$.
$2$. मानक विचलन $(S.D.)$: $S.D.$ का सूत्र $\sqrt{\frac{1}{N} \sum (x_i - \bar{x})^2}$ है।
यहाँ,माध्य $\bar{x} = 0$ है।
अतः,$S.D. = \sqrt{\frac{2 \sum x_i^2}{2n+1}}$.
चूंकि सभी $x_i$ भिन्न और गैर-शून्य हैं,$\sum x_i^2 > 0$,जिसका अर्थ है कि $S.D. > 0$.
इस प्रकार,$S.D. > M.D.$

(C) मान लीजिए $n$ वस्तुएं ${x_1}, {x_2}, \dots, {x_n}$ हैं। तो,मूल माध्य $\bar x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} {x_i}$ है।
मान लीजिए नई वस्तुएं ${y_i} = {x_i} + i$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है।
नया माध्य $\bar y = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} {y_i} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} ({x_i} + i)$ है।
इसे $\bar y = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} {x_i} + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} i$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$,इसलिए $\bar y = \bar x + \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,नया माध्य $\bar x + \frac{n+1}{2}$ है।

(B) दिया गया है,प्रेक्षणों की संख्या $n = 100$ और माध्य $\bar{x} = 45$ है।
$100$ प्रेक्षणों का योग $= 100 \times 45 = 4500$ है।
गलत प्रेक्षणों का योग $= 91 + 13 = 104$ है।
सही प्रेक्षणों का योग $= 19 + 31 = 50$ है।
सही योग $= 4500 - 104 + 50 = 4446$ है।
सही माध्य $= \frac{4446}{100} = 44.46$ है।

(D) सबसे पहले,परिवारों की कुल संख्या की गणना करें:
$Total = 150 + 400 + 40 + 250 + 160 = 1000$.
किसी श्रेणी के लिए केंद्रीय कोण की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{Central Angle} = \left( \frac{\text{Value of category}}{\text{Total value}} \right) \times 360^\circ$.
भोजन और कपड़ों के लिए,मान $400$ है:
$\text{Central Angle} = \left( \frac{400}{1000} \right) \times 360^\circ = 0.4 \times 360^\circ = 144^\circ$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है $n = 200$,गलत माध्य $\bar{x} = 40$,गलत $S.D. \sigma = 15$.
गलत $\Sigma x = n \times \bar{x} = 200 \times 40 = 8000$.
सही $\Sigma x = 8000 - 50 + 40 = 7990$.
सही माध्य $\bar{x}_{new} = \frac{7990}{200} = 39.95$.
गलत $\Sigma x^2 = n(\sigma^2 + \bar{x}^2) = 200(15^2 + 40^2) = 200(225 + 1600) = 200(1825) = 365000$.
सही $\Sigma x^2 = 365000 - 50^2 + 40^2 = 365000 - 2500 + 1600 = 364100$.
सही $\sigma_{new} = \sqrt{\frac{\Sigma x^2}{n} - (\bar{x}_{new})^2} = \sqrt{\frac{364100}{200} - (39.95)^2}$.
$\sigma_{new} = \sqrt{1820.5 - 1596.0025} = \sqrt{224.4975} \approx 14.98$.

(A) परिसर $r$ को $r = \max |x_i - x_j|$ के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ $i \neq j$ है।
दिया गया प्रसरण $S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^n (x_i - \bar{x})^2$ है।
$n$ अवलोकनों के किसी भी समूह के लिए,मानक विचलन $S$ और परिसर $r$ के बीच का संबंध $S \le r \sqrt{\frac{n}{n - 1}}$ होता है।

(A) माध्य का सूत्र है: $\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i}$।
सबसे पहले,$\Sigma f_i x_i = (1 \times 5) + (2 \times 4) + (3 \times f) + (4 \times 2) + (5 \times 3) = 5 + 8 + 3f + 8 + 15 = 3f + 36$ की गणना करें।
इसके बाद,$\Sigma f_i = 5 + 4 + f + 2 + 3 = f + 14$ की गणना करें।
चूंकि माध्य $2.6$ दिया गया है:
$2.6 = \frac{3f + 36}{f + 14}$
दोनों पक्षों को $(f + 14)$ से गुणा करने पर:
$2.6(f + 14) = 3f + 36$
$2.6f + 36.4 = 3f + 36$
$f$ के लिए हल करने पर:
$36.4 - 36 = 3f - 2.6f$
$0.4 = 0.4f$
$f = 1$।

(A) दिया है $\Sigma f = 17 + f_1 + 32 + f_2 + 19 = 120$.
$\Rightarrow f_1 + f_2 + 68 = 120$ $\Rightarrow f_1 + f_2 = 52$ $(1)$
वर्ग चिह्न $(x)$ $10, 30, 50, 70, 90$ हैं।
$\Sigma fx = (10 \times 17) + (30 \times f_1) + (50 \times 32) + (70 \times f_2) + (90 \times 19)$
$\Sigma fx = 170 + 30f_1 + 1600 + 70f_2 + 1710 = 30f_1 + 70f_2 + 3480$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma fx}{\Sigma f} = 50$.
$\frac{30f_1 + 70f_2 + 3480}{120} = 50$
$30f_1 + 70f_2 + 3480 = 6000$
$30f_1 + 70f_2 = 2520 \Rightarrow 3f_1 + 7f_2 = 252$ $(2)$
$(1)$ से,$f_1 = 52 - f_2$. $(2)$ में मान रखने पर:
$3(52 - f_2) + 7f_2 = 252$
$156 - 3f_2 + 7f_2 = 252$
$4f_2 = 96 \Rightarrow f_2 = 24$.
अतः $f_1 = 52 - 24 = 28$.
इस प्रकार,लुप्त बारंबारताएँ $28$ और $24$ हैं।

(B) माना लड़कों और लड़कियों की संख्या क्रमशः $n_1$ और $n_2$ है।
संयुक्त माध्य का सूत्र:
$\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$
दिए गए मान रखने पर:
$50 = \frac{52n_1 + 42n_2}{n_1 + n_2}$
$50(n_1 + n_2) = 52n_1 + 42n_2$
$50n_1 + 50n_2 = 52n_1 + 42n_2$
$8n_2 = 2n_1$
$n_1 = 4n_2$
लड़कों का प्रतिशत:
$\text{प्रतिशत} = \frac{n_1}{n_1 + n_2} \times 100$
$n_1 = 4n_2$ रखने पर:
$\text{प्रतिशत} = \frac{4n_2}{4n_2 + n_2} \times 100 = \frac{4n_2}{5n_2} \times 100 = \frac{4}{5} \times 100 = 80\%$

(C) माना मूल माध्य $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ है।
नए मान $(x_1 + 1), (x_2 + 2), \dots, (x_n + n)$ हैं।
नया माध्य $\bar{x}_{new} = \frac{(x_1 + 1) + (x_2 + 2) + \dots + (x_n + n)}{n}$ होगा।
$\bar{x}_{new} = \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_n) + (1 + 2 + \dots + n)}{n}$.
$\bar{x}_{new} = \frac{\sum x_i}{n} + \frac{\sum_{i=1}^{n} i}{n}$.
चूंकि $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$,इसलिए $\bar{x}_{new} = \bar{x} + \frac{n(n+1)}{2n}$.
$\bar{x}_{new} = \bar{x} + \frac{n+1}{2}$.

(B) माना कि नया प्रेक्षण $x$ है।
$9$ प्रेक्षणों का योग $9 \times 15 = 135$ है।
नया प्रेक्षण $x$ जोड़ने के बाद,प्रेक्षणों की कुल संख्या $10$ हो जाती है और नया माध्य $16$ है।
अतः,नया योग $10 \times 16 = 160$ है।
इसलिए,$135 + x = 160$.
$x = 160 - 135 = 25$.

(D) किसी भी वितरण का हरात्मक माध्य $(H.M.)$ इस प्रकार दिया जाता है:
$H.M. = \frac{\text{पदों की संख्या}}{\text{प्रत्येक पद के व्युत्क्रम का योग}}$
यहाँ,$3, 7, 8, 10, 14$ के लिए पदों की संख्या $n = 5$ है।
अतः,हरात्मक माध्य = $\frac{5}{\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{1}{14}}$

(B) मान लीजिए दो डेटा सेट $X$ और $Y$ हैं जिनका आकार $n_1 = 5$ और $n_2 = 5$ है।
दिया गया है: $\sigma_1^2 = 4$,$\sigma_2^2 = 5$,$\bar{x}_1 = 2$,$\bar{x}_2 = 4$.
सेट $X$ के लिए: $\sigma_1^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n_1} - \bar{x}_1^2 \implies 4 = \frac{\Sigma x_i^2}{5} - 4 \implies \Sigma x_i^2 = 40$.
सेट $Y$ के लिए: $\sigma_2^2 = \frac{\Sigma y_i^2}{n_2} - \bar{x}_2^2 \implies 5 = \frac{\Sigma y_i^2}{5} - 16 \implies \Sigma y_i^2 = 105$.
संयुक्त माध्य $\bar{x}_{comb} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{5(2) + 5(4)}{10} = 3$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2 + \Sigma y_i^2}{n_1 + n_2} - (\bar{x}_{comb})^2$.
$\sigma^2 = \frac{40 + 105}{10} - (3)^2 = \frac{145}{10} - 9 = 14.5 - 9 = 5.5 = \frac{11}{2}$.

(B) कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{Mean} = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i}$
जहाँ:
$a$ कल्पित माध्य है।
$f_i$ $i$-वें वर्ग की बारंबारता है।
$d_i = x_i - a$ कल्पित माध्य $a$ से $i$-वें प्रेक्षण का विचलन है।
अतः,$a$ कल्पित माध्य को दर्शाता है।

(C) दी गई संख्याओं का अधिकतम मान $14$ है और न्यूनतम मान $6$ है।
परिसर (range) अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर होता है।
परिसर $= 14 - 6 = 8$.

(D) दिया गया है कि श्रेणी का माध्य $\bar{X} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ है।
इसका अर्थ है कि प्रेक्षणों का योग $\sum_{i=1}^{n} x_i = n\bar{X}$ है।
जब $x_2$ को $\lambda$ से प्रतिस्थापित किया जाता है,तो नया योग $S_{new} = (n\bar{X} - x_2 + \lambda)$ हो जाता है।
नया माध्य $\bar{X}_{new} = \frac{S_{new}}{n} = \frac{n\bar{X} - x_2 + \lambda}{n}$ होगा।

(B) भारित माध्य का सूत्र है: $\text{Weighted Mean} = \frac{\sum x_i w_i}{\sum w_i}$।
यहाँ,$x_i = i$ और $w_i = i$ है,जहाँ $i = 1, 2, \ldots, n$ है।
अतः,$\text{Weighted Mean} = \frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$।
मानक योग सूत्रों $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\text{Weighted Mean} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$।

(C) दिया गया है $n = 5$,माध्य $\bar{x} = 4$,और प्रसरण $\sigma^2 = 5.2$ है। मान लीजिए अन्य दो प्रेक्षण $x_1$ और $x_2$ हैं।
माध्य का सूत्र: $\frac{x_1 + x_2 + 1 + 2 + 6}{5} = 4$.
$x_1 + x_2 + 9 = 20 \implies x_1 + x_2 = 11$.
प्रसरण का सूत्र: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$5.2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + 1^2 + 2^2 + 6^2}{5} - 4^2$.
$5.2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + 41}{5} - 16$.
$21.2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + 41}{5} \implies x_1^2 + x_2^2 = 65$.
अब,$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2$ से $121 = 65 + 2x_1x_2 \implies x_1x_2 = 28$.
द्विघात समीकरण $t^2 - 11t + 28 = 0$ को हल करने पर,हमें $t = 4$ और $t = 7$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि समूह में कुल व्यक्तियों की संख्या $100$ है। मान लीजिए महिलाओं की संख्या $n_w$ है और पुरुषों की संख्या $n_m$ है,ताकि $n_w + n_m = 100$ हो।
समूह की औसत आयु का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{32n_m + 27n_w}{100} = 30$
समीकरण में $n_m = 100 - n_w$ प्रतिस्थापित करने पर:
$32(100 - n_w) + 27n_w = 3000$
$3200 - 32n_w + 27n_w = 3000$
$3200 - 5n_w = 3000$
$5n_w = 200$
$n_w = 40$
अतः,समूह में महिलाओं का प्रतिशत $40\%$ है।

(C) दिया गया है: कुल अवलोकन $N = 100$,इसलिए $\frac{N}{2} = 50$।
माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी आवृत्ति $F = 45$।
माध्यिका वर्ग की निचली सीमा $l = 20$।
वर्ग-चौड़ाई $h = 30 - 20 = 10$।
माध्यिका $= 25$।
माना माध्यिका वर्ग की आवृत्ति $f$ है।
माध्यिका का सूत्र: $\text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h$।
मान रखने पर: $25 = 20 + \left( \frac{50 - 45}{f} \right) \times 10$।
$25 - 20 = \left( \frac{5}{f} \right) \times 10$।
$5 = \frac{50}{f}$।
$f = \frac{50}{5} = 10$।

(B) दिए गए प्रेक्षण हैं: $2, 3, 5, 9, 8, 7, 6, 5, 7, 4, 3$.
सबसे बड़ा मान $(x_{max})$ $9$ है।
सबसे छोटा मान $(x_{min})$ $2$ है।
परिसर (Range) = सबसे बड़ा मान - सबसे छोटा मान।
$\text{परिसर} = 9 - 2 = 7$.

(D) वितरण का बहुलक $140$ दिया गया है। चूंकि $140$,$100-150$ वर्ग अंतराल में स्थित है,इसलिए बहुलक वर्ग $100-150$ है।
बहुलक का सूत्र $Z = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$ है।
यहाँ,$l = 100$ (बहुलक वर्ग की निचली सीमा),$f_1 = 37$ (बहुलक वर्ग की आवृत्ति),$f_0 = 33$ (पूर्ववर्ती वर्ग की आवृत्ति),$f_2 = b$ (अनुवर्ती वर्ग की आवृत्ति),और $h = 50$ (वर्ग का आकार)।
मान रखने पर:
$140 = 100 + \left( \frac{37 - 33}{2(37) - 33 - b} \right) \times 50$
$40 = \left( \frac{4}{74 - 33 - b} \right) \times 50$
$40 = \frac{200}{41 - b}$
$40(41 - b) = 200$
$41 - b = 5$
$b = 41 - 5 = 36$.
अतः,$b$ का मान $36$ है।

(D) माना कि दो श्रेणियाँ $x_1, x_2, \dots, x_{n_1}$ और $y_1, y_2, \dots, y_{n_2}$ हैं जिनका आकार क्रमशः $n_1$ और $n_2$ है।
$G_1 = (x_1 \times x_2 \times \dots \times x_{n_1})^{1/n_1} \implies G_1^{n_1} = x_1 \times x_2 \times \dots \times x_{n_1} \dots (1)$
$G_2 = (y_1 \times y_2 \times \dots \times y_{n_2})^{1/n_2} \implies G_2^{n_2} = y_1 \times y_2 \times \dots \times y_{n_2} \dots (2)$
संयुक्त गुणोत्तर माध्य $G$ इस प्रकार दिया गया है:
$G = [(x_1 \times x_2 \times \dots \times x_{n_1}) \times (y_1 \times y_2 \times \dots \times y_{n_2})]^{\frac{1}{n_1 + n_2}}$
$G$ के व्यंजक में $(1)$ और $(2)$ का मान रखने पर:
$G = (G_1^{n_1} \times G_2^{n_2})^{\frac{1}{n_1 + n_2}}$
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log G = \log [(G_1^{n_1} \times G_2^{n_2})^{\frac{1}{n_1 + n_2}}]$
$\log(a^b) = b \log a$ और $\log(ab) = \log a + \log b$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log G = \frac{1}{n_1 + n_2} \log (G_1^{n_1} \times G_2^{n_2})$
$\log G = \frac{n_1 \log G_1 + n_2 \log G_2}{n_1 + n_2}$

(C) माना लड़कों की संख्या $n_1$ है और लड़कियों की संख्या $n_2$ है।
संयुक्त माध्य का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{65n_1 + 55n_2}{n_1 + n_2} = 61$
दोनों पक्षों को $(n_1 + n_2)$ से गुणा करने पर:
$65n_1 + 55n_2 = 61n_1 + 61n_2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$65n_1 - 61n_1 = 61n_2 - 55n_2$
$4n_1 = 6n_2$
अतः,अनुपात:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
इस प्रकार,लड़कों और लड़कियों की संख्या का अनुपात $3 : 2$ है।

(A) माना कि दो समूहों में व्यक्तियों की संख्या क्रमशः $n_1$ और $n_2$ है।
दिया गया है: $\bar{x}_1 = 400$,$\bar{x}_2 = 480$,और संयुक्त माध्य $\bar{x} = 430$.
संयुक्त माध्य का सूत्र: $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$.
मान रखने पर: $430 = \frac{400n_1 + 480n_2}{n_1 + n_2}$.
$430(n_1 + n_2) = 400n_1 + 480n_2$.
$430n_1 + 430n_2 = 400n_1 + 480n_2$.
$430n_1 - 400n_1 = 480n_2 - 430n_2$.
$30n_1 = 50n_2$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$.

(C) माना पहले समूह में व्यक्तियों की संख्या $n_1 = 4k$ और दूसरे समूह में $n_2 = 3k$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
संयुक्त औसत आय का सूत्र है:
$\text{संयुक्त औसत} = \frac{n_1\bar{x} + n_2\bar{y}}{n_1 + n_2}$
मान रखने पर:
$\text{संयुक्त औसत} = \frac{(4k)\bar{x} + (3k)\bar{y}}{4k + 3k}$
$\text{संयुक्त औसत} = \frac{k(4\bar{x} + 3\bar{y})}{7k}$
$\text{संयुक्त औसत} = \frac{4\bar{x} + 3\bar{y}}{7}$

(A) विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र है:
$CV = \left( \frac{\sigma}{\bar{x}} \right) \times 100$
जहाँ $\sigma$ मानक विचलन है और $\bar{x}$ माध्य है।
दिया गया है: $CV = 50\%$ और $\sigma = 20$।
सूत्र में मान रखने पर:
$50 = \left( \frac{20}{\bar{x}} \right) \times 100$
$50 = \frac{2000}{\bar{x}}$
$\bar{x} = \frac{2000}{50}$
$\bar{x} = 40$।
अतः,माध्य $40$ है।

(A) माना लड़कों की संख्या $x$ है और लड़कियों की संख्या $y$ है।
लड़कों के कुल अंक $52x$ हैं और लड़कियों के कुल अंक $42y$ हैं।
संयुक्त औसत अंक $\frac{52x + 42y}{x + y} = 50$ द्वारा दिए गए हैं।
दोनों पक्षों को $(x + y)$ से गुणा करने पर,हमें $52x + 42y = 50(x + y)$ प्राप्त होता है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $52x + 42y = 50x + 50y$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $52x - 50x = 50y - 42y$।
$2x = 8y$,जो सरल होकर $x = 4y$ हो जाता है।
छात्रों की कुल संख्या $x + y = 4y + y = 5y$ है।
लड़कों का प्रतिशत $\frac{x}{x + y} \times 100 = \frac{4y}{5y} \times 100 = 80\%$ है।