Variance and Standard Deviation Questions in Hindi

(B) माना मूल वजन $x_i$ है। दिया गया माध्य $\bar{x} = 30 \text{ g}$ और मानक विचलन $\sigma = 2 \text{ g}$ है।
चूंकि प्रत्येक वजन वास्तविक वजन से $2 \text{ g}$ कम दर्ज किया गया था,इसलिए सही वजन $y_i = x_i + 2$ होगा।
नया माध्य $\bar{y} = \bar{x} + 2 = 30 + 2 = 32 \text{ g}$ होगा।
मानक विचलन मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है। प्रत्येक अवलोकन में एक स्थिरांक जोड़ने से डेटा का फैलाव नहीं बदलता है।
इसलिए,सही मानक विचलन $\sigma = 2 \text{ g}$ ही रहेगा।
अतः,सही माध्य और मानक विचलन क्रमशः $32 \text{ g}$ और $2 \text{ g}$ हैं।

(D) माना $d_i = x_i - 8$ है। $x_i$ का मानक विचलन $d_i$ के मानक विचलन के समान होता है,जिसे $\sigma_d$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$\sigma_d = \sqrt{\frac{\sum d_i^2}{n} - \left( \frac{\sum d_i}{n} \right)^2}$
यहाँ $n = 18$,$\sum d_i = 9$,और $\sum d_i^2 = 45$ दिया गया है।
$\sigma_d = \sqrt{\frac{45}{18} - \left( \frac{9}{18} \right)^2}$
$\sigma_d = \sqrt{\frac{5}{2} - \left( \frac{1}{2} \right)^2}$
$\sigma_d = \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10 - 1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

(D) जनसंख्या $A$ में $100$ अवलोकन $101, 102, \dots, 200$ हैं और इसका प्रसरण $V_A$ है।
जनसंख्या $B$ में $100$ अवलोकन $151, 152, \dots, 250$ हैं।
इन अवलोकनों को $(101 + 50), (102 + 50), \dots, (200 + 50)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि प्रसरण मूलबिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है,इसलिए प्रत्येक अवलोकन में एक स्थिरांक जोड़ने से प्रसरण नहीं बदलता है।
अतः,$V_B = V_A$।
इस प्रकार,$\frac{V_A}{V_B} = 1$।

(A) माध्य $(\overline{x})$ की गणना $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ के रूप में की जाती है।
$\overline{x} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = \frac{30}{5} = 6$.
प्रसरण $(\sigma^2)$ की गणना $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n}$ के रूप में की जाती है।
$\sigma^2 = \frac{(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2}{5}$.
$\sigma^2 = \frac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5}$.
$\sigma^2 = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8$.

(C) दिया गया है: $n = 10$,$\sum x_i = 12$,और $\sum x_i^2 = 18$.
मानक विचलन $(\sigma)$ का सूत्र है:
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2}$
मान रखने पर:
$\sigma = \sqrt{\frac{18}{10} - \left(\frac{12}{10}\right)^2}$
$\sigma = \sqrt{1.8 - 1.44}$
$\sigma = \sqrt{0.36}$
$\sigma = 0.6 = \frac{3}{5}$

(B) दो श्रेणियों के संयुक्त प्रसरण का सूत्र है:
$\sigma^2 = \frac{n_1\sigma_1^2 + n_2\sigma_2^2}{n_1 + n_2} + \frac{n_1n_2}{(n_1 + n_2)^2}(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)^2$
दिया गया है:
$n_1 = 5, \bar{x}_1 = 8, \sigma_1^2 = 24$
$n_2 = 3, \bar{x}_2 = 8, \sigma_2^2 = 24$
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{5(24) + 3(24)}{5 + 3} + \frac{5(3)}{(5 + 3)^2}(8 - 8)^2$
चूंकि $(8 - 8) = 0$,इसलिए दूसरा पद $0$ हो जाएगा:
$\sigma^2 = \frac{120 + 72}{8} + 0$
$\sigma^2 = \frac{192}{8} = 24$

(D) $5$ संख्याओं $a, b, 8, 5, 10$ के लिए माध्य $\bar{x} = 6$ दिया गया है:
$\frac{a + b + 8 + 5 + 10}{5} = 6$
$a + b + 23 = 30 \Rightarrow a + b = 7$ $(1)$
प्रसरण $\sigma^2 = 6.80$ दिया गया है:
$\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \sigma^2$
$\frac{a^2 + b^2 + 8^2 + 5^2 + 10^2}{5} - 6^2 = 6.8$
$\frac{a^2 + b^2 + 64 + 25 + 100}{5} - 36 = 6.8$
$\frac{a^2 + b^2 + 189}{5} = 42.8$
$a^2 + b^2 + 189 = 214$
$a^2 + b^2 = 25$ $(2)$
$(1)$ से,$b = 7 - a$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 + (7 - a)^2 = 25$
$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$
$2a^2 - 14a + 24 = 0$
$a^2 - 7a + 12 = 0$
$(a - 3)(a - 4) = 0$
अतः,$a = 3$ या $a = 4$. यदि $a = 3$ है तो $b = 4$; यदि $a = 4$ है तो $b = 3$. इस प्रकार,$(a, b) = (3, 4)$ एक संभावित समाधान है।

(A) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_n$ हैं। प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
यदि हम मूलबिंदु को $a$ से बदलते हैं,तो नए प्रेक्षण $y_i = x_i + a$ होते हैं। माध्य $\bar{y} = \bar{x} + a$ हो जाता है।
नया प्रसरण $\frac{1}{n} \sum (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i + a - (\bar{x} + a))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \sigma^2$ होता है।
अतः,प्रसरण मूलबिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र है।
यदि हम पैमाने को $b$ से बदलते हैं,तो नया प्रसरण $b^2 \sigma^2$ हो जाता है।
इसलिए,प्रसरण केवल मूलबिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र है।

(A) जनसंख्या $A$ में $100$ क्रमिक पूर्णांक हैं: $101, 102, . . ., 200$.
जनसंख्या $B$ में $100$ क्रमिक पूर्णांक हैं: $151, 152, . . ., 250$.
हम जानते हैं कि अवलोकनों के एक समूह का प्रसरण मूलबिंदु (origin) के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है। अर्थात,यदि $y_i = x_i + c$ है,तो $Var(y) = Var(x)$.
यहाँ,जनसंख्या $B$ का प्रत्येक अवलोकन $y_i = x_i + 50$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $x_i$ जनसंख्या $A$ के अवलोकन हैं।
चूंकि प्रसरण मूलबिंदु के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $V_A = V_B$.
अतः,$\frac{V_A}{V_B} = 1$.

(D) संख्याओं $a, b, 8, 5, 10$ के लिए माध्य $\bar{x} = 6$ दिया गया है:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$
$a+b+23 = 30 \Rightarrow a+b = 7$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = 6.80$ है।
$\frac{(a-6)^2 + (b-6)^2 + (8-6)^2 + (5-6)^2 + (10-6)^2}{5} = 6.80$
$(a-6)^2 + (b-6)^2 + 4 + 1 + 16 = 34$
$(a-6)^2 + (b-6)^2 = 13$.
चूंकि $a+b=7$,$b = 7-a$ रखने पर:
$(a-6)^2 + (1-a)^2 = 13$
$2a^2 - 14a + 24 = 0$
$a^2 - 7a + 12 = 0$
$(a-3)(a-4) = 0$.
अतः,यदि $a=3$ है तो $b=4$ होगा।

(D) दिए गए प्रेक्षण ${x_1}, {x_2}, \ldots, {x_n}$ हैं जिनका माध्य $\bar x$ और प्रसरण ${\sigma ^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2$ है।
कथन-$2$ के लिए: $2{x_1}, 2{x_2}, \ldots, 2{x_n}$ का माध्य $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i) = 2 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right) = 2\bar x$ है।
अतः कथन-$2$ गलत है।
कथन-$1$ के लिए: $2{x_1}, 2{x_2}, \ldots, 2{x_n}$ का प्रसरण $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i - 2\bar x)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 4(x_i - \bar x)^2 = 4 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2 \right) = 4{\sigma ^2}$ है।
अतः कथन-$1$ सही है।
इसलिए,कथन-$1$ सही है और कथन-$2$ गलत है।

(D) मान लीजिए कि मूल अंक $x_i$ हैं और नए अंक $y_i = x_i + 10$ हैं।
केंद्रीय प्रवृत्ति के माप जैसे माध्य,माध्यिका और बहुलक मूल बिंदु के परिवर्तन (एक स्थिरांक जोड़ने) से प्रभावित होते हैं।
विशेष रूप से,यदि प्रत्येक अवलोकन में $c$ जोड़ा जाता है,तो माध्य,माध्यिका और बहुलक भी $c$ से बढ़ जाते हैं।
हालाँकि,प्रसरण और मानक विचलन जैसे परिक्षेपण के माप मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होते हैं।
प्रसरण को $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
नए अंकों $y_i$ के लिए,प्रसरण $\sigma_y^2 = \frac{1}{n} \sum (y_i - \overline{y})^2 = \frac{1}{n} \sum ((x_i + 10) - (\overline{x} + 10))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2 = \sigma_x^2$ है।
अतः,प्रसरण अपरिवर्तित रहता है।

(D) मानक विचलन $(SD)$ का सूत्र $SD = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2}$ है।
दिया है $SD = 3.5 = \frac{7}{2}$,अतः $SD^2 = \frac{49}{4}$।
संख्याएँ $2, 3, a, 11$ हैं,इसलिए $n = 4$।
$\sum x_i = 2 + 3 + a + 11 = 16 + a$।
$\sum x_i^2 = 2^2 + 3^2 + a^2 + 11^2 = 134 + a^2$।
विचरण के सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{49}{4} = \frac{134 + a^2}{4} - \left(\frac{16 + a}{4}\right)^2$।
हर को हटाने के लिए $16$ से गुणा करने पर:
$49 \times 4 = 4(134 + a^2) - (16 + a)^2$।
$196 = 536 + 4a^2 - (256 + 32a + a^2)$।
$196 = 280 + 3a^2 - 32a$।
$3a^2 - 32a + 84 = 0$।

(B) माना $y_i = x_i - 5$ है। तब $\sum_{i=1}^9 y_i = 9$ और $\sum_{i=1}^9 y_i^2 = 45$ है।
अवलोकनों के एक समूह का प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तित रहता है। इसलिए,$x_i$ का मानक विचलन $y_i$ के मानक विचलन के समान ही होता है।
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{45}{9} - \left( \frac{9}{9} \right)^2$
$\sigma^2 = 5 - 1 = 4$
मानक विचलन $(\sigma) = \sqrt{4} = 2$.

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का $S.D.$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum x^2 - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2}$.
योग $\sum x = \frac{n(n + 1)}{2}$ और $\sum x^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma = \sqrt{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6n} - \left[\frac{n(n + 1)}{2n}\right]^2}$
$= \sqrt{\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6} - \left(\frac{n + 1}{2}\right)^2}$
$= \sqrt{\frac{n + 1}{2} \left(\frac{2n + 1}{3} - \frac{n + 1}{2}\right)}$
$= \sqrt{\frac{n + 1}{2} \left(\frac{4n + 2 - 3n - 3}{6}\right)}$
$= \sqrt{\frac{n + 1}{2} \cdot \frac{n - 1}{6}}$
$= \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$.

(C) माना $y_i = x_i - 10$. तब $\sum_{i=1}^{5} y_i = 5$ और $\sum_{i=1}^{5} y_i^2 = 5$ है।
$y_i$ का प्रसरण $\operatorname{Var}(y) = \frac{\sum y_i^2}{n} - \left(\frac{\sum y_i}{n}\right)^2 = \frac{5}{5} - (1)^2 = 0$ है।
नए प्रेक्षणों $z_i = 2x_i + 7$ के लिए,$\operatorname{Var}(z_i) = 2^2 \operatorname{Var}(x_i) = 4 \times 0 = 0$ है।
यदि प्रश्न में $\sum (x_i-10)^2 = 25$ होता,तो प्रसरण $5-1=4$ होता और मानक विचलन $2 \times \sqrt{4} = 4$ प्राप्त होता।

(D) प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=0}^{10} x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum_{i=0}^{10} x_i}{n}\right)^2$ है,जहाँ $n = 11$ प्रेक्षणों की संख्या है।
यहाँ,$\sum_{i=0}^{10} {^{10}C_i} = 2^{10}$ और $\sum_{i=0}^{10} (^{10}C_i)^2 = ^{20}C_{10}$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma^2 = \frac{^{20}C_{10}}{11} - \left(\frac{2^{10}}{11}\right)^2$
$\sigma^2 = \frac{11 \cdot ^{20}C_{10} - (2^{10})^2}{121}$
$\sigma^2 = \frac{11 \cdot ^{20}C_{10} - 2^{20}}{121}$

(D) हम जानते हैं कि प्रेक्षणों के समूह का प्रसरण (variance) $\sigma^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,अर्थात $\sigma^2 \geq 0$।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right)^2$ है।
दिए गए मान $\sum x_i^2 = 400$ और $\sum x_i = 100$ रखने पर:
$\frac{400}{n} - \left(\frac{100}{n}\right)^2 \geq 0$
$\frac{400}{n} - \frac{10000}{n^2} \geq 0$
$n^2$ से गुणा करने पर (चूंकि $n > 0$):
$400n - 10000 \geq 0$
$400n \geq 10000$
$n \geq 25$।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $27$ ही शर्त $n \geq 25$ को संतुष्ट करता है।

(B) मान लीजिए मूल प्रेक्षण $x_i$ हैं,जिनका माध्य $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i$ और प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ है।
नए प्रेक्षणों $y_i = 2x_i$ के लिए,नया माध्य $\bar{y}$ है:
$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum (2x_i) = 2 \left( \frac{1}{n} \sum x_i \right) = 2\bar{x}$।
अतः,कथन $-2$ असत्य है क्योंकि माध्य $2\bar{x}$ है,$4\bar{x}$ नहीं।
नया प्रसरण $\sigma_y^2$ है:
$\sigma_y^2 = \frac{1}{n} \sum (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum (2x_i - 2\bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum 4(x_i - \bar{x})^2 = 4 \sigma^2$।
अतः,कथन $-1$ सत्य है।

(C) मानक विचलन ज्ञात करने के लिए,हम मध्य-बिंदु $(y_i)$ की गणना करते हैं और कल्पित माध्य विधि $(A = 25)$ का उपयोग करते हैं:
(तालिका ऊपर दी गई है)
प्रसरण $(\sigma^2)$ का सूत्र:
$\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left( \frac{\sum f_i d_i}{N} \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{900}{10} - \left( \frac{-30}{10} \right)^2 = 90 - 9 = 81$
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{81} = 9$.

(C) मान लीजिए कि मूल प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ हैं।
दिया गया है,$\text{प्रसरण} (\sigma^2) = 16$ है।
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $a$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $\text{Var}(ax_i) = a^2 \text{Var}(x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 2$,इसलिए नया प्रसरण $2^2 \times 16 = 4 \times 16 = 64$ होगा।
नया मानक विचलन नए प्रसरण का वर्गमूल है:
$\text{नया मानक विचलन} = \sqrt{64} = 8$.

(B) दिया गया माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{100} = 0$ है।
माध्य से माध्य विचलन $\frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{100} = 5$ है,जिसका अर्थ है कि $\sum |x_i| = 500$।
हम जानते हैं कि $(\sum |x_i|)^2 = \sum x_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le 100} |x_i x_j|$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(500)^2 = \sum x_i^2 + 2(80000)$।
$250000 = \sum x_i^2 + 160000$,इसलिए $\sum x_i^2 = 90000$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{100} = \frac{\sum x_i^2}{100} = \frac{90000}{100} = 900$ है।
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{900} = 30$ है।

(A) यदि प्रत्येक प्रेक्षण से एक अचर घटाया जाता है,तो प्रसरण अपरिवर्तित रहता है।
माना आंकड़े $x_i = 1001, 1003, 1006, 1007, 1009, 1010$ हैं।
प्रत्येक प्रेक्षण से $1000$ घटाने पर,नए आंकड़े प्राप्त होते हैं: $y_i = 1, 3, 6, 7, 9, 10$।
नए आंकड़ों का माध्य $\bar{y} = \frac{1+3+6+7+9+10}{6} = \frac{36}{6} = 6$ है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum y_i^2}{n} - (\bar{y})^2$ है।
$\sum y_i^2 = 1^2 + 3^2 + 6^2 + 7^2 + 9^2 + 10^2 = 1 + 9 + 36 + 49 + 81 + 100 = 276$।
$\sigma^2 = \frac{276}{6} - (6)^2 = 46 - 36 = 10$।

(C) प्रेक्षणों के एक समूह का प्रसरण हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि वर्गों का माध्य,माध्य के वर्ग से बड़ा या उसके बराबर होता है: $\frac{\sum x_i^2}{n} \geq \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$.
दिए गए मान $\sum x_i^2 = 300$ और $\sum x_i = 60$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{300}{n} \geq \left(\frac{60}{n}\right)^2$
$\frac{300}{n} \geq \frac{3600}{n^2}$
चूँकि $n > 0$,दोनों पक्षों को $n^2$ से गुणा करने पर:
$300n \geq 3600$
$n \geq 12$.
दिए गए विकल्पों में से,केवल $15$ ही $n \geq 12$ की शर्त को पूरा करता है।

(D) संख्याओं के समूह ${a, a+d, a+2d, \dots, a+nd}$ का प्रसरण ${0, d, 2d, \dots, nd}$ के प्रसरण के बराबर होता है,जो $d^2 \times \text{Var}(\{0, 1, 2, \dots, n\})$ है।
प्रथम समूह $S_1 = \{13, 16, 19, \dots, 103\}$ के लिए,सार्व अंतर $d_1 = 3$ है। अतः,$v_1 = 3^2 \times \text{Var}(\{0, 1, 2, \dots, 30\}) = 9 \times \text{Var}(\{0, 1, 2, \dots, 30\})$.
द्वितीय समूह $S_2 = \{20, 26, 32, \dots, 200\}$ के लिए,सार्व अंतर $d_2 = 6$ है। अतः,$v_2 = 6^2 \times \text{Var}(\{0, 1, 2, \dots, 30\}) = 36 \times \text{Var}(\{0, 1, 2, \dots, 30\})$.
अतः,अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है।

(C) माना $y_i = x_i - 8$ है। $y_i$ का प्रसरण (variance) इस प्रकार है:
$Var(y) = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \left(\frac{1}{n} \sum y_i\right)^2$
$Var(y) = \frac{45}{18} - \left(\frac{9}{18}\right)^2$
$Var(y) = \frac{5}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{2} - \frac{1}{4} = \frac{10-1}{4} = \frac{9}{4}$
चूंकि मानक विचलन मूल बिंदु के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $x_i$ का मानक विचलन $y_i$ के मानक विचलन के समान होगा।
$S.D. = \sqrt{Var(y)} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

(C) माना $n_1 = 200, n_2 = 300$ दो नमूनों के आकार हैं।
माना $\overline{x}_1 = 25, \overline{x}_2 = 10$ उनके माध्य हैं।
माना $\sigma_1 = 3, \sigma_2 = 4$ उनके मानक विचलन हैं।
संयुक्त माध्य $\overline{x} = \frac{n_1 \overline{x}_1 + n_2 \overline{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{200 \times 25 + 300 \times 10}{500} = \frac{5000 + 3000}{500} = 16$.
संयुक्त नमूने का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d_1 = \overline{x}_1 - \overline{x}$ और $d_2 = \overline{x}_2 - \overline{x}$ है।
$d_1 = 25 - 16 = 9$ और $d_2 = 10 - 16 = -6$ है।
$\sigma^2 = \frac{200(3^2 + 9^2) + 300(4^2 + (-6)^2)}{500} = \frac{200(9 + 81) + 300(16 + 36)}{500} = \frac{200(90) + 300(52)}{500} = \frac{18000 + 15600}{500} = \frac{33600}{500} = 67.2$.

(D) दिया गया है: $n_{1}=10, n_{2}=10$
माध्य: $m_{1}=60, m_{2}=40$
मानक विचलन: $\sigma_{1}=4, \sigma_{2}=6$
संयुक्त मानक विचलन $\sigma$ का सूत्र:
$\sigma=\sqrt{\frac{n_{1} \sigma_{1}^{2}+n_{2} \sigma_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}+\frac{n_{1} n_{2}(m_{1}-m_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$
मान रखने पर:
$\sigma=\sqrt{\frac{10 \times 4^{2}+10 \times 6^{2}}{10+10}+\frac{10 \times 10(60-40)^{2}}{(10+10)^{2}}}$
$\sigma=\sqrt{\frac{160+360}{20}+\frac{100(20)^{2}}{400}}$
$\sigma=\sqrt{26+100}=\sqrt{126} \approx 11.22$

(C) दिया गया है कि माध्य $\bar{x} = 9$ और मानक विचलन $\sigma = 0$ है,जहाँ $n = 5$ प्रेक्षण हैं।
चूंकि $\sigma = 0$ है,इसलिए सभी पाँच प्रेक्षण माध्य के बराबर होने चाहिए।
अतः,प्रेक्षण $9, 9, 9, 9, 9$ हैं।
मान लीजिए कि एक मान बदलने के बाद नया प्रेक्षण $x_5'$ है। अन्य चार प्रेक्षणों का योग $9 \times 4 = 36$ है।
नया माध्य $10$ दिया गया है,इसलिए $\frac{36 + x_5'}{5} = 10.$
$36 + x_5' = 50 \Rightarrow x_5' = 14.$
प्रेक्षणों का नया समूह $9, 9, 9, 9, 14$ है।
नया मानक विचलन $\sigma_{new} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x}_{new})^2}{n}}.$
$\sigma_{new} = \sqrt{\frac{4(9 - 10)^2 + (14 - 10)^2}{5}} = \sqrt{\frac{4(1) + 16}{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2.$

(D) दिया गया है: $N = 100$,$\sum x_i = 400$,$\sum x_i^2 = 2475$.
गलत प्रेक्षणों $3, 4, 5$ को हटाने पर:
नया योग $\sum x_i' = 400 - (3 + 4 + 5) = 388$.
वर्गों का नया योग $\sum (x_i')^2 = 2475 - (9 + 16 + 25) = 2425$.
प्रेक्षणों की नई संख्या $N' = 97$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i')^2}{N'} - \left( \frac{\sum x_i'}{N'} \right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{2425}{97} - \left( \frac{388}{97} \right)^2 = 25 - 16 = 9$.

(A) माना $5$वाँ प्रेक्षण $x$ है।
दिया गया माध्य $= 7$.
$\therefore 7 = \frac{6 + 7 + 8 + 10 + x}{5}$
$35 = 31 + x$
$x = 4$.
प्रेक्षण $6, 7, 8, 10, 4$ हैं।
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$
$\sigma^2 = \frac{(6-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2 + (4-7)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2 + (-3)^2}{5}$
$\sigma^2 = \frac{1 + 0 + 1 + 9 + 9}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

(A) अवलोकनों का माध्य $\bar{x} = \frac{n(a) + n(-a)}{2n} = \frac{0}{2n} = 0$ है।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{2n}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\sigma = 2$ दिया गया है,इसलिए $2 = \sqrt{\frac{n(a - 0)^2 + n(-a - 0)^2}{2n}}$.
$2 = \sqrt{\frac{n(a^2) + n(a^2)}{2n}} = \sqrt{\frac{2na^2}{2n}} = \sqrt{a^2} = |a|$.
अतः,$|a| = 2$.

(D) प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याएँ $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n$ है।
वर्गों का योग $\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{4n^2-1}{3} - n^2 = \frac{n^2-1}{3}$ है।
अतः,कथन $1$ और कथन $2$ दोनों सत्य हैं और कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(C) माना $5$ छात्रों की ऊँचाई $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ है।
दिया गया माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i}{5} = 150 \implies \sum_{i=1}^5 x_i = 750$.
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\bar{x})^2 = 18$.
$\frac{\sum x_i^2}{5} - (150)^2 = 18 \implies \frac{\sum x_i^2}{5} = 22500 + 18 = 22518$.
$\sum_{i=1}^5 x_i^2 = 112590$.
अब,$156 \, cm$ ऊँचाई वाला एक नया छात्र $x_6 = 156$ जुड़ता है।
ऊँचाई का नया योग $750 + 156 = 906$ है।
नया माध्य $\bar{x}_{new} = \frac{906}{6} = 151$.
वर्गों का नया योग $\sum_{i=1}^6 x_i^2 = 112590 + (156)^2 = 112590 + 24336 = 136926$.
नया प्रसरण $\frac{\sum_{i=1}^6 x_i^2}{6} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{136926}{6} - (151)^2$.
$= 22821 - 22801 = 20 \, cm^2$.

(B) दिया गया है: $\sum_{i=1}^n (x_i + 1)^2 = 9n$ $(1)$
$\sum_{i=1}^n (x_i - 1)^2 = 5n$ $(2)$
दोनों समीकरणों का विस्तार करने पर:
$\sum (x_i^2 + 2x_i + 1) = 9n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 + 2\sum x_i + n = 9n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 + 2\sum x_i = 8n$ $(3)$
$\sum (x_i^2 - 2x_i + 1) = 5n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 - 2\sum x_i + n = 5n$ $\Rightarrow \sum x_i^2 - 2\sum x_i = 4n$ $(4)$
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$2\sum x_i^2 = 12n \Rightarrow \frac{\sum x_i^2}{n} = 6$
$(3)$ में से $(4)$ को घटाने पर:
$4\sum x_i = 4n \Rightarrow \frac{\sum x_i}{n} = 1$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2 = 6 - (1)^2 = 5$
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{5}$

(D) दिया गया है,$n_1 = 5$,$\bar{x} = 10$,और $\sigma = 3$.
प्रेक्षणों का योग $\sum x_i = n_1 \times \bar{x} = 5 \times 10 = 50$.
प्रसरण $\sigma^2 = 9 = \frac{\sum x_i^2}{n_1} - (\bar{x})^2$.
$9 = \frac{\sum x_i^2}{5} - 100 \implies \frac{\sum x_i^2}{5} = 109 \implies \sum x_i^2 = 545$.
अब,हमारे पास $6$ प्रेक्षण हैं: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ और $-50$.
नया योग $\sum x_{new} = 50 + (-50) = 0$.
नया माध्य $\bar{x}_{new} = \frac{0}{6} = 0$.
वर्गों का नया योग $\sum x_{new}^2 = \sum x_i^2 + (-50)^2 = 545 + 2500 = 3045$.
नया प्रसरण $\sigma_{new}^2 = \frac{\sum x_{new}^2}{n_2} - (\bar{x}_{new})^2 = \frac{3045}{6} - 0^2 = 507.5$.

(D) मान लीजिए कि अवलोकन $x_i$ हैं। कुल $30$ वस्तुएं हैं।
$10$ वस्तुओं का मान $\frac{1}{2} - d$,$10$ वस्तुओं का मान $\frac{1}{2}$,और $10$ वस्तुओं का मान $\frac{1}{2} + d$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{10(\frac{1}{2} - d) + 10(\frac{1}{2}) + 10(\frac{1}{2} + d)}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{1}{30} [10(\frac{1}{2} - d - \frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2} + d - \frac{1}{2})^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{30} [10(-d)^2 + 10(0)^2 + 10(d)^2] = \frac{20d^2}{30} = \frac{2d^2}{3}$.
दिया गया है कि $\sigma^2 = \frac{4}{3}$,इसलिए $\frac{2d^2}{3} = \frac{4}{3}$.
$2d^2 = 4 \Rightarrow d^2 = 2$.
अतः,$|d| = \sqrt{2}$.

(D) मान लीजिए छठी परीक्षा का स्कोर $x$ है। छह परीक्षाओं का औसत इस प्रकार है:
$\frac{45 + 54 + 41 + 57 + 43 + x}{6} = 48$
$240 + x = 288$
$x = 48$
अब,छह स्कोर $41, 43, 45, 48, 54, 57$ हैं।
प्रसरण $\sigma^2$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$
$\sigma^2 = \frac{41^2 + 43^2 + 45^2 + 48^2 + 54^2 + 57^2}{6} - 48^2$
$\sigma^2 = \frac{1681 + 1849 + 2025 + 2304 + 2916 + 3249}{6} - 2304$
$\sigma^2 = \frac{14024}{6} - 2304 = \frac{7012}{3} - \frac{6912}{3} = \frac{100}{3}$
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$।

(A) दिया गया है: माध्य $\mu = \frac{1}{50} \sum x_i = 16$ और मानक विचलन $\sigma = 16$.
मानक विचलन के सूत्र से: $\sigma^2 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - \mu^2$.
मान रखने पर: $16^2 = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 16^2$.
$\frac{1}{50} \sum x_i^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$.
हमें $(x_i - 4)^2$ का माध्य ज्ञात करना है,जो $\frac{1}{50} \sum (x_i - 4)^2$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $\frac{1}{50} \sum (x_i^2 - 8x_i + 16) = \frac{1}{50} \sum x_i^2 - 8 \left( \frac{1}{50} \sum x_i \right) + \frac{1}{50} \sum 16$.
ज्ञात मान रखने पर: $512 - 8(16) + 16 = 512 - 128 + 16 = 400$.

(B) दिया गया है कि पहले चार अवलोकनों का माध्य $11$ है,इसलिए $\sum_{i=1}^{4} x_i = 4 \times 11 = 44$.
शेष छह अवलोकनों का माध्य $16$ है,इसलिए $\sum_{i=5}^{10} x_i = 6 \times 16 = 96$.
सभी अवलोकनों का कुल योग $\sum_{i=1}^{10} x_i = 44 + 96 = 140$ है।
आँकड़ों का माध्य $\bar{x} = \frac{140}{10} = 14$ है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ है।
दिए गए मानों को रखने पर,$\sigma^2 = \frac{2000}{10} - (14)^2 = 200 - 196 = 4$.
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{4} = 2$ है।

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\frac{n^{2}-1}{12}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\frac{n^{2}-1}{12} = 10$,अतः $n^{2}-1 = 120$,जिससे $n^{2} = 121$,अर्थात $n = 11$ प्राप्त होता है।
प्रथम $m$ सम प्राकृतिक संख्याओं $(2, 4, 6, ..., 2m)$ का प्रसरण,प्रथम $m$ प्राकृतिक संख्याओं के प्रसरण का $4$ गुना होता है।
अतः,प्रसरण $\frac{m^{2}-1}{3}$ है।
दिया गया है $\frac{m^{2}-1}{3} = 16$,अतः $m^{2}-1 = 48$,जिससे $m^{2} = 49$,अर्थात $m = 7$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$m + n = 7 + 11 = 18$.

(D) मान लीजिए $y_{i} = x_{i} - 5$ है। तब $\sum_{i=1}^{10} y_{i} = 10$ और $\sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2} = 40$ है।
$y_{i}$ का माध्य $\bar{y} = \frac{1}{10} \sum y_{i} = \frac{10}{10} = 1$ है।
$y_{i}$ का प्रसरण $\sigma_{y}^{2} = \frac{1}{10} \sum y_{i}^{2} - (\bar{y})^{2} = \frac{40}{10} - (1)^{2} = 4 - 1 = 3$ है।
अब,मान लीजिए $z_{i} = x_{i} - 3$ है। हम लिख सकते हैं $z_{i} = (x_{i} - 5) + 2 = y_{i} + 2$।
$z_{i}$ का माध्य $\mu$ है $\bar{z} = \bar{y} + 2 = 1 + 2 = 3$।
$z_{i}$ का प्रसरण $\lambda$ है $\text{Var}(y_{i} + 2) = \text{Var}(y_{i}) = 3$।
अतः,क्रमित युग्म $(\mu, \lambda) = (3, 3)$ है।

(A) दिया गया डेटा $6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24$ है। प्रेक्षणों की संख्या $n = 10$ है।
सबसे पहले,माध्य $\bar{x}$ ज्ञात करें:
$\bar{x} = \frac{6+8+10+12+14+16+18+20+22+24}{10} = \frac{150}{10} = 15$.
अब,सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ का उपयोग करके प्रसरण $\sigma^2$ ज्ञात करें।
वर्गित विचलन $(x_i - \bar{x})^2$ इस प्रकार हैं:
$(6-15)^2 = 81, (8-15)^2 = 49, (10-15)^2 = 25, (12-15)^2 = 9, (14-15)^2 = 1, (16-15)^2 = 1, (18-15)^2 = 9, (20-15)^2 = 25, (22-15)^2 = 49, (24-15)^2 = 81$.
वर्गित विचलनों का योग = $330$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{330}{10} = 33$.

(A) सबसे पहले,हम माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ की गणना करते हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{420}{30} = 14$.
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{N} = \frac{1374}{30} = 45.8$.
मानक विचलन $(\sigma) = \sqrt{45.8} \approx 6.77$.

(A) दी गई जानकारी से,हम निम्नलिखित तालिका बनाते हैं:

वर्ग	$f_i$	$x_i$	$f_ix_i$	$(x_i - \bar{x})^2$	$f_i(x_i - \bar{x})^2$
$30-40$	$3$	$35$	$105$	$729$	$2187$
$40-50$	$7$	$45$	$315$	$289$	$2023$
$50-60$	$12$	$55$	$660$	$49$	$588$
$60-70$	$15$	$65$	$975$	$9$	$135$
$70-80$	$8$	$75$	$600$	$49$	$392$
$80-90$	$3$	$85$	$255$	$529$	$1587$
$90-100$	$2$	$95$	$190$	$1089$	$2178$
कुल	$N=50$	-	$3100$	-	$9090$

माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_ix_i}{N} = \frac{3100}{50} = 62$.
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{N} \sum f_i(x_i - \bar{x})^2 = \frac{9090}{50} = 181.8$.
मानक विचलन $(\sigma) = \sqrt{181.8} \approx 13.48$.

(A) आइए निम्नलिखित तालिका बनाएं:
(तालिका गणना के अनुसार)
मानक विचलन का सूत्र है:
$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum f_i x_i^2 - \left( \frac{\sum f_i x_i}{N} \right)^2}$
मान रखने पर:
$\sigma = \sqrt{\frac{9652}{48} - \left( \frac{614}{48} \right)^2}$
$\sigma = \sqrt{201.0833 - 163.625}$
$\sigma = \sqrt{37.4583} \approx 6.12$

(A) माना कल्पित माध्य $A = 65$ है। यहाँ,वर्ग अंतराल $h = 10$ है।
हम निम्नलिखित तालिका बनाते हैं:

वर्ग	बारंबारता $({f_i})$	मध्य-बिंदु $({x_i})$	${y_i} = \frac{{{x_i} - 65}}{{10}}$	${f_i}{y_i}$	${f_i}{y_i}^2$
$30-40$	$3$	$35$	$-3$	$-9$	$27$
$40-50$	$7$	$45$	$-2$	$-14$	$28$
$50-60$	$12$	$55$	$-1$	$-12$	$12$
$60-70$	$15$	$65$	$0$	$0$	$0$
$70-80$	$8$	$75$	$1$	$8$	$8$
$80-90$	$3$	$85$	$2$	$6$	$12$
$90-100$	$2$	$95$	$3$	$6$	$18$
कुल	$N = 50$	-	-	$\sum {f_i}{y_i} = -15$	$\sum {f_i}{y_i}^2 = 105$

माध्य $\bar{x} = A + \frac{{\sum {{f_i}{y_i}} }}{N} \times h = 65 + \frac{{-15}}{{50}} \times 10 = 65 - 3 = 62$.
प्रसरण ${\sigma ^2} = \frac{{{h^2}}}{{{N^2}}}\left[ {N\sum {{f_i}{y_i}^2} - {{\left( {\sum {{f_i}{y_i}} } \right)}^2}} \right] = \frac{{100}}{{2500}}\left[ {50(105) - (-15)^2} \right] = \frac{1}{{25}}[5250 - 225] = \frac{{5025}}{{25}} = 201$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{201} \approx 14.18$.

(A) Given data: $6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12$.
Number of observations,$n = 8$.
Mean,$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8} = \frac{72}{8} = 9$.
Calculation of variance:

$x_i$	$(x_i - \bar{x})^2$
$6$	$(6-9)^2 = 9$
$7$	$(7-9)^2 = 4$
$10$	$(10-9)^2 = 1$
$12$	$(12-9)^2 = 9$
$13$	$(13-9)^2 = 16$
$4$	$(4-9)^2 = 25$
$8$	$(8-9)^2 = 1$
$12$	$(12-9)^2 = 9$
Sum	$74$

Variance,$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{74}{8} = 9.25$.

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का माध्य इस प्रकार ज्ञात किया जाता है:
माध्य $= \frac{\text{सभी प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की संख्या}} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n} = \frac{n+1}{2}$
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$.
सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ का उपयोग करते हुए:
$\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$
$\sigma^2 = \frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(n+1) [2(2n+1) - 3(n+1)]}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(n+1) [4n+2 - 3n-3]}{12} = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$
अतः,माध्य $\frac{n+1}{2}$ है और प्रसरण $\frac{n^2-1}{12}$ है।