निम्नलिखित आँकड़ों से बताइए कि $A$ या $B$ में से किस में अधिक बिखराव है
अंक | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ | $50-60$ | $60-70$ | $70-80$ |
समूह $A$ | $9$ | $17$ | $32$ | $33$ | $40$ | $10$ | $9$ |
समूह $B$ | $10$ | $20$ | $30$ | $25$ | $43$ | $15$ | $7$ |
Firstly, the standard deviation of group $A$ is calculated as follows.
Marks |
Group $A$ ${f_i}$ |
Mid-point ${x_i}$ |
${y_i} = \frac{{{x_i} - 45}}{{10}}$ | ${y_i}^2$ | ${f_i}{y_i}$ | ${f_i}{y_i}^2$ |
$10-20$ | $9$ | $15$ | $-3$ | $9$ | $-27$ | $81$ |
$20-30$ | $17$ | $25$ | $-2$ | $4$ | $-34$ | $68$ |
$30-40$ | $32$ | $35$ | $-1$ | $1$ | $-32$ | $32$ |
$40-50$ | $33$ | $45$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
$50-60$ | $40$ | $55$ | $1$ | $1$ | $40$ | $40$ |
$60-70$ | $10$ | $65$ | $2$ | $4$ | $20$ | $40$ |
$70-80$ | $9$ | $75$ | $3$ | $9$ | $27$ | $81$ |
$150$ | $-6$ | $342$ |
Here, $h =10, N =150, A =45$
Mean $ = A + \frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {{x_i}} }}{N} \times h$
$ = 45 + \frac{{\left( { - 6} \right) \times 10}}{{150}} \times 45 - 0.4 = 44.6$
$\sigma _1^2 = \frac{{{h^2}}}{{{N^2}}}\left[ {N\sum\limits_{i = 1}^7 {{f_i}{y_i}^2 - {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^7 {{f_i}{y_i}} } \right)}^2}} } \right]$
$=\frac{100}{22500}\left[150 \times 342-(-6)^{2}\right]$
$=\frac{1}{225}(51264)$
$=227.84$
$\therefore$ Standard deviation $\left(\sigma_{1}\right)=\sqrt{227.84}=15.09$
The standard deviation of group $B$ is calculated as follows.
Marks |
Group $A$ ${f_i}$ |
Mid-point ${x_i}$ |
${y_i} = \frac{{{x_i} - 45}}{{10}}$ | ${y_i}^2$ | ${f_i}{y_i}$ | ${f_i}{y_i}^2$ |
$10-20$ | $9$ | $15$ | $-3$ | $9$ | $9$ | $-30$ |
$20-30$ | $17$ | $25$ | $-2$ | $4$ | $4$ | $-40$ |
$30-40$ | $32$ | $35$ | $-1$ | $1$ | $1$ | $-30$ |
$40-50$ | $33$ | $45$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
$50-60$ | $40$ | $55$ | $1$ | $1$ | $1$ | $43$ |
$60-70$ | $10$ | $65$ | $2$ | $4$ | $4$ | $30$ |
$70-80$ | $9$ | $75$ | $3$ | $9$ | $9$ | $21$ |
$150$ | $-6$ |
Mean $ = A + \frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {{f_i}{y_i}} }}{N} \times h$
$ = 45 + \frac{{\left( { - 6} \right) \times 10}}{{150}} \times 45 - 0.4 = 44.6$
$\sigma _2^2 = \frac{{{h^2}}}{{{N^2}}}\left[ {N\sum\limits_{i = 1}^7 {{f_i}{y_i}^2 - {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^7 {{f_i}{y_i}} } \right)}^2}} } \right]$
$=\frac{100}{22500}\left[150 \times 366-(-6)^{2}\right]$
$=\frac{1}{225}(54864)=243.84$
$\therefore$ Standard deviation $\left(\sigma_{1}\right)=\sqrt{243.84}=15.61$
Since the mean of both the groups is same, the group with greater standard deviation will be more variable.
Thus, group $B$ has more variability in the marks.
$7$ प्रेक्षणों के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $8$ तथा $16$ हैं यदि एक प्रेक्षण $14$ को हटाने पर शेष $6$ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $a$ तथा $b$ है, तो $a+3 b-5$ बराबर है____________.
$15$ प्रेक्षणों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः $12$ तथा 3 प्राप्त किए गए। पुनः जाँच पर यह पाया गया कि एक प्रेक्षण को $12$ की जगह $10$ पढ़ा गया था। यदि सही प्रेक्षणों के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $\mu$ तथा $\sigma^2$ है, तो $15\left(\mu+\mu^2+\sigma^2\right)$ बराबर है ................|
यदि संख्याओं $2,3, a$ तथा $11$ का मानक विचलन $3.5$ है, तो निम्न में से कौन-सा सत्य है?
$10$ प्रेक्षणों का माध्य $50$ है, इस माध्य से विचलनों के वर्गों का योग $250$ है। प्रसरण गुणांक का मान......$\%$ है
$20$ प्रेक्षणों का प्रसरण $5$ है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को $2$ से गुणा किया गया हो तो प्राप्त प्रेक्षणों का प्रसरण ज्ञात कीजिए।