Relation between mean, median and mode Questions in Hindi

(C) सतत आवृत्ति वितरण के लिए बहुलक की गणना का सूत्र इस प्रकार है:
$Mode = l + \left( \frac{f_m - f_{m-1}}{2f_m - f_{m-1} - f_{m+1}} \right) \times C$
जहाँ:
$l$ बहुलक वर्ग की निचली सीमा है,
$f_m$ बहुलक वर्ग की आवृत्ति है,
$f_{m-1}$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की आवृत्ति है,
$f_{m+1}$ बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की आवृत्ति है,
$C$ (या $i$) वर्ग अंतराल की चौड़ाई है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) आंकड़ों का बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है।
दी गई आवृत्तियाँ:
$4$ तीन बार आता है।
$5$ पाँच बार आता है।
$6$ छह बार आता है।
$8$ आठ बार आता है।
$10$ सात बार आता है।
चूंकि संख्या $8$ की आवृत्ति सबसे अधिक ($8$ बार) है,इसलिए इस समूह का बहुलक $8$ है।

(C) बहुलक ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक प्रेक्षण की आवृत्ति गिनते हैं:
$0$,$3$ बार आता है।
$1$,$1$ बार आता है।
$2$,$2$ बार आता है।
$3$,$1$ बार आता है।
$5$,$1$ बार आता है।
$6$,$5$ बार आता है।
$7$,$2$ बार आता है।
चूंकि प्रेक्षण $6$ की आवृत्ति सबसे अधिक ($5$ बार) है,इसलिए बहुलक $6$ है।

(B) बहुलक वह मान है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है।
दी गई तालिका से,हम अंकों की आवृत्तियों का अवलोकन करते हैं:
- $4$ अंकों के लिए,आवृत्ति $6$ है।
- $5$ अंकों के लिए,आवृत्ति $7$ है।
- $6$ अंकों के लिए,आवृत्ति $10$ है।
- $7$ अंकों के लिए,आवृत्ति $8$ है।
- $8$ अंकों के लिए,आवृत्ति $3$ है।
अधिकतम आवृत्ति $10$ है,जो $6$ अंक के संगत है।
अतः,वितरण का बहुलक $6$ है।

(C) माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का अनुभवजन्य संबंध इस प्रकार है: $\text{Mode} = 3 \text{median} - 2 \text{mean}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $2 \text{mean} = 3 \text{median} - \text{mode}$.
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है: $\text{mean} = \frac{1}{2} (3 \text{median} - \text{mode})$.
इसे दिए गए समीकरण $\text{mean} = (3 \text{median} - \text{mode}) k$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $k = \frac{1}{2}$ है।

(B) एक मध्यम असममित वितरण के लिए,माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का अनुभवजन्य संबंध इस प्रकार है:
$\text{बहुलक} = 3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times \text{माध्य}$
दिया गया है:
$\text{बहुलक} = 7$
$\text{माध्य} = 4$
सूत्र में मान रखने पर:
$7 = 3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times 4$
$7 = 3 \times \text{माध्यिका} - 8$
$7 + 8 = 3 \times \text{माध्यिका}$
$15 = 3 \times \text{माध्यिका}$
$\text{माध्यिका} = \frac{15}{3} = 5$
अतः,माध्यिका $5$ है।

(A) एक मध्यम असममित (skewed) वितरण के लिए,माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध है:
बहुलक = $3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times \text{माध्य}$
दिया गया है:
बहुलक = $6 \lambda$
माध्य = $9 \lambda$
सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$6 \lambda = 3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times (9 \lambda)$
$6 \lambda = 3 \times \text{माध्यिका} - 18 \lambda$
$3 \times \text{माध्यिका} = 6 \lambda + 18 \lambda$
$3 \times \text{माध्यिका} = 24 \lambda$
माध्यिका = $\frac{24 \lambda}{3} = 8 \lambda$

(B) हम जानते हैं कि माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का अनुभवजन्य संबंध इस प्रकार है:
बहुलक = $3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times \text{माध्य}$
यहाँ,माध्य = $21$ और माध्यिका = $22$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
बहुलक = $3(22) - 2(21)$
बहुलक = $66 - 42$
बहुलक = $24$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एक पूर्णतः सममित वितरण में,जैसे कि सामान्य वितरण,माध्य,माध्यिका और बहुलक एक ही केंद्रीय बिंदु पर संपाती होते हैं।
अतः,$M = M_d = M_0$।

(B) कार्ल पियर्सन का विषमता गुणांक $(S_k)$ का सूत्र है: $S_k = \frac{\text{Mean} - \text{Mode}}{\sigma}$.
दिया गया है: $S_k = 0.32$,माध्य $(M)$ = $39.6$,और $\sigma = 6.5$.
मान रखने पर: $0.32 = \frac{39.6 - M_o}{6.5}$.
$39.6 - M_o = 0.32 \times 6.5 = 2.08$.
$M_o = 39.6 - 2.08 = 37.52$.
हम जानते हैं कि: $\text{Mode} = 3 \times \text{Median} - 2 \times \text{Mean}$.
$37.52 = 3 \times \text{Median} - 2 \times 39.6$.
$37.52 = 3 \times \text{Median} - 79.2$.
$3 \times \text{Median} = 37.52 + 79.2 = 116.72$.
$\text{Median} = \frac{116.72}{3} \approx 38.9067$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $38.81$ है।

(D) एक सामान्य वितरण में,वक्र केंद्र के चारों ओर पूरी तरह से सममित (symmetrical) होता है।
इस समरूपता के कारण,माध्य,माध्यिका और बहुलक के मान वितरण के केंद्रीय शिखर पर एक समान होते हैं।
इसलिए,सामान्य वितरण के लिए,$Mean = Median = Mode$ होता है।

(C) माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का अनुभवजन्य संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Mode} = 3 \times \text{Median} - 2 \times \text{Mean}$.
माध्य के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 \times \text{Mean} = 3 \times \text{Median} - \text{Mode}$.
$\text{Mean} = \frac{1}{2}(3 \times \text{Median} - \text{Mode})$.
दिए गए समीकरण $\text{Mean} = x(3 \times \text{Median} - \text{Mode})$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 1/2$ प्राप्त होता है।

(A) माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का अनुभवजन्य संबंध इस प्रकार है:
$\text{बहुलक} = 3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times \text{माध्य}$
दिया गया है:
$\text{माध्य} = 21$
$\text{माध्यिका} = 22$
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{बहुलक} = 3 \times 22 - 2 \times 21$
$\text{बहुलक} = 66 - 42$
$\text{बहुलक} = 24$

(C) मानक विचलन का सूत्र $S.D. = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}}$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन का सूत्र $M.D. = \frac{\sum|x_i - \bar{x}|}{n}$ है।
मान लीजिए $|x_i - \bar{x}| = y_i$ है। तब $(x_i - \bar{x})^2 = |x_i - \bar{x}|^2 = y_i^2$ होगा।
$(S.D.)^2 - (M.D.)^2 = \frac{\sum y_i^2}{n} - \left(\frac{\sum y_i}{n}\right)^2$ पर विचार करें।
यह व्यंजक $y_i$ मानों का प्रसरण (variance) दर्शाता है,जो हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। चूँकि सभी मान समान नहीं हैं,इसलिए प्रसरण शून्य से बड़ा है।
अतः,$(S.D.)^2 - (M.D.)^2 > 0$,जिसका अर्थ है $(S.D.)^2 > (M.D.)^2$।
इस प्रकार,$S.D. > M.D.$ या $M.D. < S.D.$ प्राप्त होता है।

(D) एक मध्यम विषम वितरण के लिए,केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों मापों के बीच का अनुभवजन्य संबंध इस प्रकार है:
$\text{बहुलक} = 3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times \text{माध्य}$

(D) यहाँ सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग $30-40$ है। अतः,बहुलक वर्ग $30-40$ है।
यहाँ,$l = 30$,$f_1 = 45$,$f_0 = 30$,$f_2 = 35$,और $h = 10$ है।
बहुलक का सूत्र:
$\text{Mode} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
मान रखने पर:
$\text{Mode} = 30 + \left( \frac{45 - 30}{2(45) - 30 - 35} \right) \times 10$
$\text{Mode} = 30 + \left( \frac{15}{90 - 65} \right) \times 10$
$\text{Mode} = 30 + \left( \frac{15}{25} \right) \times 10$
$\text{Mode} = 30 + \left( \frac{3}{5} \right) \times 10 = 30 + 6 = 36$.

(B) मानक विचलन मूल बिंदु (origin) के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है। इसलिए,प्रत्येक पद में $2$ जोड़ने पर मानक विचलन में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
माध्यिका के लिए,यदि डेटा सेट के प्रत्येक पद में $k$ की वृद्धि की जाती है,तो माध्यिका भी $k$ से बढ़ जाती है। अतः,माध्यिका $2$ से बढ़ जाएगी।

(B) सबसे पहले,हम वर्ग अंतरालों को सतत रूप में बदलेंगे।

वर्ग	$0.5 - 10.5$	$10.5 - 20.5$	$20.5 - 30.5$	$30.5 - 40.5$	$40.5 - 50.5$
$f_i$	$5$	$7$	$8$	$6$	$4$

यहाँ बहुलक वर्ग $20.5 - 30.5$ है क्योंकि इसकी आवृत्ति सबसे अधिक $f_1 = 8$ है।
यहाँ,$\ell = 20.5$,$f_1 = 8$,$f_0 = 7$,$f_2 = 6$,और $h = 10$ है।
बहुलक $= \ell + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
बहुलक $= 20.5 + \left( \frac{8 - 7}{2(8) - 7 - 6} \right) \times 10$
बहुलक $= 20.5 + \left( \frac{1}{16 - 13} \right) \times 10$
बहुलक $= 20.5 + \frac{10}{3} = 20.5 + 3.33 = 23.83$.

(C) हम जानते हैं कि माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का अनुभवजन्य संबंध है:
$\text{बहुलक} = 3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times \text{माध्य}$
दिया गया है:
$\text{बहुलक} = 18$
$\text{माध्य} = 24$
सूत्र में मान रखने पर:
$18 = 3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times 24$
$18 = 3 \times \text{माध्यिका} - 48$
$18 + 48 = 3 \times \text{माध्यिका}$
$66 = 3 \times \text{माध्यिका}$
$\text{माध्यिका} = \frac{66}{3}$
$\text{माध्यिका} = 22$

(A) कथन $(1)$ सत्य है: वर्गीकृत बारंबारता वितरण का बहुलक हिस्टोग्राम का उपयोग करके ग्राफ़ीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
कथन $(2)$ सत्य है: माध्यिका पैमाने के परिवर्तन से प्रभावित होती है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो माध्यिका भी $k$ से गुणा हो जाती है।
कथन $(3)$ असत्य है: प्रसरण मूलबिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र है,लेकिन यह पैमाने के परिवर्तन से स्वतंत्र नहीं है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण मूल प्रसरण का $k^2$ गुना हो जाता है।
अतः,कथन $(1)$ और $(2)$ सत्य हैं।

(D) माध्यिका केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप है जो मूलबिंदु और पैमाना दोनों के परिवर्तन से प्रभावित होता है। यदि एक चर $X$ को $Y = aX + b$ में परिवर्तित किया जाता है,तो $Y$ की माध्यिका $M_Y = aM_X + b$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M_X$ चर $X$ की माध्यिका है। इसलिए,यह न तो मूलबिंदु और न ही पैमाने से स्वतंत्र है।

(B) आवृत्ति वितरण का बहुलक वह प्रेक्षण मान है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है।
दी गई तालिका को देखने पर:
- $x = 4$ के लिए,$f = 6$
- $x = 5$ के लिए,$f = 7$
- $x = 6$ के लिए,$f = 10$
- $x = 7$ के लिए,$f = 8$
- $x = 8$ के लिए,$f = 3$
सबसे अधिक आवृत्ति $10$ है,जो प्रेक्षण $x = 6$ के संगत है।
अतः,दिए गए वितरण का बहुलक $6$ है।

(C) बहुलक वह मान है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है।
दी गई आवृत्तियाँ:
$4$ तीन बार आता है
$5$ चार बार आता है
$6$ पाँच बार आता है
$7$ आठ बार आता है
$8$ सात बार आता है
$9$ छह बार आता है
चूँकि संख्या $7$ की आवृत्ति सबसे अधिक $8$ है,इसलिए श्रेणी का बहुलक $7$ है।

(D) एक थोड़े असममित वितरण के लिए,माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{बहुलक} = 3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times \text{माध्य}$
दिया गया है:
$\text{माध्य} = 5$
$\text{माध्यिका} = 6$
सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{बहुलक} = 3(6) - 2(5)$
$\text{बहुलक} = 18 - 10$
$\text{बहुलक} = 8$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) किसी भी आवृत्ति वितरण के लिए,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन $(M.D.)$ और मानक विचलन $(S.D.)$ के बीच का संबंध असमिका $M.D. \le S.D.$ द्वारा दिया जाता है।
ऐसा इसलिए है क्योंकि माध्य से निरपेक्ष विचलनों का प्रसरण हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है।
विशेष रूप से,मानों के एक समूह के लिए,$S.D.$ को $\sqrt{\frac{1}{N}\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है और माध्य के सापेक्ष $M.D.$ को $\frac{1}{N}\sum f_i|x_i - \bar{x}|$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
प्रकीर्णन के गुणों के अनुसार,रूट मीन स्क्वायर विचलन हमेशा माध्य निरपेक्ष विचलन से बड़ा या उसके बराबर होता है,इसलिए $M.D. \le S.D.$

(B) संख्याओं के एक समूह का माध्य वर्ग विचलन तब न्यूनतम होता है जब इसे माध्य के परितः लिया जाता है।
यह दिया गया है कि माध्य वर्ग विचलन $a_{51}$ के परितः न्यूनतम है,जिसका अर्थ है कि समूह का माध्य $a_{51}$ है।
चूंकि अनुक्रम $a_1, a_2, \dots, a_{101}$ सख्ती से घट रहा है $(a_i > a_{i+1})$,समूह की माध्यिका मध्य पद है,जो $a_{51}$ है।
एक सममित वितरण या ऐसे अनुक्रम के लिए जहाँ माध्य,माध्यिका और बहुलक संपाती होते हैं,बहुलक भी $a_{51}$ होगा।

(C) बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक है। यहाँ,सबसे अधिक बारंबारता $11$ है,जो वर्ग $15-20$ के संगत है।
अतः,$l = 15$,$h = 5$,$f_1 = 7$,$f_0 = 11$,और $f_2 = 2$ है।
बहुलक का सूत्र: $\text{Mode} = l + \left( \frac{f_0 - f_1}{2f_0 - f_1 - f_2} \right) \times h$
मान रखने पर:
$\text{Mode} = 15 + \left( \frac{11 - 7}{2(11) - 7 - 2} \right) \times 5$
$\text{Mode} = 15 + \left( \frac{4}{13} \right) \times 5$
$\text{Mode} = 15 + \frac{20}{13} = \frac{215}{13}$

(B) निरपेक्ष विचलनों का योग $S = \sum |X_i - A|$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सांख्यिकी में यह एक ज्ञात गुण है कि निरपेक्ष विचलनों का योग $\sum |X_i - A|$ तब न्यूनतम होता है जब $A$ डेटा सेट की माध्यिका (median) हो।
यदि $A$ माध्य है,तो वर्गित विचलनों का योग $\sum (X_i - A)^2$ न्यूनतम होता है,लेकिन निरपेक्ष विचलनों के लिए माध्यिका न्यूनतम मान प्रदान करती है।

(D) माध्य,माध्यिका और बहुलक के बीच का अनुभवजन्य संबंध इस प्रकार है:
$\text{बहुलक} = 3 \times \text{माध्यिका} - 2 \times \text{माध्य}$
यहाँ $\text{माध्य} = 21$ और $\text{माध्यिका} = 22$ दिया गया है,इसलिए:
$\text{बहुलक} = 3(22) - 2(21)$
$\text{बहुलक} = 66 - 42$
$\text{बहुलक} = 24$

(A) कुल आवृत्ति $N = a + b + 12 + 9 + 5 = a + b + 26$ है।
माध्य $\frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{a(3) + b(9) + 12(15) + 9(21) + 5(27)}{a + b + 26} = \frac{3a + 9b + 504}{a + b + 26} = \frac{309}{22}$ है।
वज्र-गुणन करने पर: $22(3a + 9b + 504) = 309(a + b + 26)$.
$66a + 198b + 11088 = 309a + 309b + 8034$.
$243a + 111b = 3054$. $3$ से भाग देने पर: $81a + 37b = 1018$ (समीकरण $1$)।
माध्यिका $14$ है,इसलिए माध्यिका वर्ग $12-18$ है। यहाँ $l = 12, f = 12, cf = a + b, h = 6$ है।
$\text{माध्यिका} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - cf}{f} \right) \times h = 12 + \left( \frac{\frac{a+b+26}{2} - (a+b)}{12} \right) \times 6 = 14$.
$12 + \frac{26 - a - b}{4} = 14 \Rightarrow \frac{26 - a - b}{4} = 2$.
$26 - a - b = 8 \Rightarrow a + b = 18$ (समीकरण $2$)।
$b = 18 - a$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $81a + 37(18 - a) = 1018$.
$81a + 666 - 37a = 1018 \Rightarrow 44a = 352 \Rightarrow a = 8$.
अतः $b = 18 - 8 = 10$.
इसलिए,$(a - b)^{2} = (8 - 10)^{2} = (-2)^{2} = 4$।

(C) डेटा का माध्य और माध्यिका केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हैं।
वे सभी डेटा सेट के लिए समान हों यह आवश्यक नहीं है।
हालाँकि,वे कुछ सममित वितरणों या विशिष्ट डेटा सेट के लिए समान हो सकते हैं।
इसलिए,वे कभी-कभी समान होते हैं।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) दिए गए आँकड़े: $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 6$।
माध्य $= \frac{1+2+2+3+3+3+4+6}{8} = \frac{24}{8} = 3$।
माध्यिका $4^{th}$ और $5^{th}$ पदों का औसत है: $\frac{3+3}{2} = 3$।
बहुलक वह मान है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक है,जो $3$ है।
चूंकि माध्य $=$ माध्यिका $=$ बहुलक $= 3$ है,इसलिए इन केंद्रीय प्रवृत्तियों के सापेक्ष माध्य विचलन समान होंगे।
अतः,$\alpha = \beta = \gamma$।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।