$20$ प्रेक्षणों का प्रसरण $5$ है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को $2$ से गुणा किया गया हो तो प्राप्त प्रेक्षणों का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
Let the observations be $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{20}$ and $\bar{x}$ be their mean. Given that variance $=5$ and $n=20 .$ We know that
Variance $\left( {{\sigma ^2}} \right) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{20} {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $
i.e., $5 = \frac{1}{{20}}\sum\limits_{i = 1}^{20} {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $
or $\sum\limits_{i = 1}^{20} {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} = 100$ .......$(1)$
If each observation is multiplied by $2,$ and the new resulting observations are $y_{i},$ then
$y_{i}=2 x_{i} \text { i.e., } x_{i}=\frac{1}{2} y_{i}$
Therefore $\bar y = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{20} {{y_i}} = \frac{1}{{20}}\sum\limits_{i = 1}^{20} {2{x_i} = 2.\frac{1}{{20}}\sum\limits_{i = 1}^{20} {{x_i}} } $
i.e. $\bar{y}=2 \bar{x} \quad$ or $\quad \bar{x}=\frac{1}{2} \bar{y}$
Substituting the values of $x_{i}$ and $\bar{x}$ in $(1),$ we get
${\sum\limits_{i = 1}^{20} {\left( {\frac{1}{2}{y_i} - \frac{1}{2}\bar y} \right)} ^2} = 100$ i.e., $\sum\limits_{i = 1}^{20} {{{\left( {{y_i} - \bar y} \right)}^2} = 400} $
Thus the variance of new observations $=\frac{1}{20} \times 400=20=2^{2} \times 5$
किसी चर $x$ का मानक विचलन है। तब चर $\frac{{ax + b}}{c}$ का मानक विचलन है, (जहाँ $a, b, c$ अचर है)
एक विद्यार्थी ने $100$ प्रेक्षणों का माध्य $40$ और मानक विचलन $5.1$ ज्ञात किया, जबकि उसने गलती से प्रेक्षण $40$ के स्थान पर $50$ ले लिया था। सही माध्य और मानक विचलन क्या है ?
$2n$ प्रेक्षणों की एक श्रेणी में, आधे $a$ के बराबर तथा शेष आधे $-a$ के बराबर हैं। यदि प्रेक्षणों का मानक विचलन $2$ हैए तब $|a|$ =
यदि आँकड़ें $x _{1}, x _{2}, \ldots, x _{10}$ इस प्रकार हैं कि इनमें से प्रथम चार का माध्य $11$, है बाकी छः का माध्य $16$ है तथा इन सभी के वर्गों का योग $2,000$ है, तो इन आँकड़ों का मानक विचलन हैं
एक डिज़ाइन में बनाए गए वृत्तों के व्यास (मिमी में) नीचे दिए गए हैं।
व्यास | $33-36$ | $37-40$ | $41-44$ | $45-48$ | $49-52$ |
वृत्तों संख्या | $15$ | $17$ | $21$ | $22$ | $25$ |
वृत्तों के व्यासों का मानक विचलन व माध्य व्यास ज्ञात कीजिए।