यदि $n$ प्रेक्षणों $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ का माध्य $\bar{x}$ तथा प्रसरण $\sigma^{2}$ हैं तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों $a x_{1}$, $a x_{2}, a x_{3}, \ldots, a x_{n}$ का माध्य और प्रसरण क्रमश: $a \bar{x}$ तथा $a^{2} \sigma^{2}(a \neq 0)$ हैं।
The given n observations are $x _{1}, x _{2} \ldots x _{ n }$
Mean $=\bar{x}$
Variance $=\sigma^{2}$
$\therefore {\sigma ^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{y_1}{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $ ..........$(1)$
If each observation is multiplied by a and the new observations are $y_{i},$ then
$y_{1}=a x_{i}$ i.e., $x_{i}=\frac{1}{a} y_{1}$
$\bar y = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{y_1} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {a{x_1} = \frac{a}{n}} } \sum\limits_{i = 1}^n {{x_1} = ax} $ $\left( {\bar x = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_1}} } \right)$
Therefore, mean of the observations, $a x_{1}, a x_{2} \ldots a x_{n},$ is $a \bar{x}$
Substituting the values of $x_{i}$ and $\bar{x}$ in $(1),$ we obtain
${\sigma ^2} = \frac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{1}{a}{y_1} - \frac{1}{a}\bar y} \right)} ^2}$
$ \Rightarrow {a^2}{\sigma ^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_1} - \bar y} \right)}^2}} $
Thus, the variance of the observations, $a x_{1}, a x_{2} \ldots a x_{n},$ is $a^{2} \sigma^{2}$
$200$ उम्मीदवारों के अंकों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: $40$ तथा $15$ है। बाद में, यह पाया गया कि किसी संख्या $40$ को गलती से $50$ पढ़ा गया है। सही माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: हैं
$20$ प्रेक्षणों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: $10$ तथा $2.5$ निकाले गये। यह पाया गया कि गलती से एक आंकड़ा $35$ की जगह $25$ लिया गया था। यदि सही आकड़ों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः $\alpha$ तथा $\sqrt{\beta}$ हैं, तो $(\alpha, \beta)$ है
यदि आंकडों $65,68,58,44,48,45,60, \alpha, \beta, 60$ जहाँ $\alpha>\beta$ है, के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $56$ तथा $66.2$ है, तो $\alpha^2+\beta^2$ बराबर है ................
$(2n +1)$ प्रेक्षणों ${x_1},\, - {x_1},\,{x_2},\, - {x_2},\,.....{x_n},\, - {x_n}$ तथा $0$ (शून्य) के लिये (जहाँ $x$ के सभी मान भिन्न है)। माना $S.D$ तथा $M.D.$ क्रमश: मानक विचलन तथा माध्यिका प्रदर्शित करते हैं, तब निम्न में से कौनसा सदैव सत्य है
आँकड़ों के एक समूह में $n$ प्रेक्षण : $x _{1}, x _{2}, \ldots, x _{ n }$ हैं। यदि $\sum_{ i =1}^{ n }\left( x _{ i }+1\right)^{2}=9 n$ तथा $\sum_{ i =1}^{ n }\left( x _{ i }-1\right)^{2}=5 n$ है, तो इन आँकड़ों का मानक विचलन है