Variance and Standard Deviation Questions in Hindi

(D) हम जानते हैं कि विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100$
जहाँ $\sigma$ मानक विचलन है और $\mu$ समांतर माध्य है।
दिया गया है: $CV = 60$ और $\sigma = 21$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$60 = \frac{21}{\mu} \times 100$
$\mu$ के लिए हल करने पर:
$\mu = \frac{21 \times 100}{60}$
$\mu = \frac{2100}{60}$
$\mu = 35$
अतः,वितरण का समांतर माध्य $35$ है।

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{n^2 - 1}{12} = 10$,इसलिए $n^2 - 1 = 120$,अर्थात $n^2 = 121$,जिससे $n = 11$ प्राप्त होता है।
प्रथम $m$ सम प्राकृतिक संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 2m$ हैं। यह $2 \times (1, 2, 3, \dots, m)$ के बराबर है।
संख्याओं के एक समूह को एक स्थिरांक $k$ से गुणा करने पर प्राप्त नए समूह का प्रसरण मूल प्रसरण का $k^2$ गुना होता है।
अतः,प्रथम $m$ सम प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $2^2 \times \frac{m^2 - 1}{12} = 4 \times \frac{m^2 - 1}{12} = \frac{m^2 - 1}{3}$ है।
दिया गया है कि $\frac{m^2 - 1}{3} = 16$,इसलिए $m^2 - 1 = 48$,अर्थात $m^2 = 49$,जिससे $m = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$n: m = 11: 7$.

(D) चरण $1$: प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(x_i)$ ज्ञात कीजिए:
$x_1 = 1, x_2 = 3, x_3 = 5, x_4 = 7, x_5 = 9$.
चरण $2$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना कीजिए:
$\sum f_i = 2+3+5+3+2 = 15$.
$\sum f_i x_i = (2 \times 1) + (3 \times 3) + (5 \times 5) + (3 \times 7) + (2 \times 9) = 2 + 9 + 25 + 21 + 18 = 75$.
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{75}{15} = 5$.
चरण $3$: प्रसरण $(\sigma^2)$ की गणना कीजिए:
$\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$.
$\sum f_i (x_i - 5)^2 = 2(1-5)^2 + 3(3-5)^2 + 5(5-5)^2 + 3(7-5)^2 + 2(9-5)^2$.
$= 2(16) + 3(4) + 5(0) + 3(4) + 2(16) = 32 + 12 + 0 + 12 + 32 = 88$.
$\sigma^2 = \frac{88}{15}$.

(B) चरण $1$: प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(x_i)$ ज्ञात करें:
$x_1 = \frac{0+4}{2} = 2$,$x_2 = \frac{4+8}{2} = 6$,$x_3 = \frac{8+12}{2} = 10$,$x_4 = \frac{12+16}{2} = 14$.
चरण $2$: माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
कुल आवृत्ति $N = \sum f_i = 1+2+2+1 = 6$.
$f_i x_i$ का योग $= (1 \times 2) + (2 \times 6) + (2 \times 10) + (1 \times 14) = 2 + 12 + 20 + 14 = 48$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{48}{6} = 8$.
चरण $3$: प्रसरण $(\sigma^2)$ की गणना करें:
$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [1(2-8)^2 + 2(6-8)^2 + 2(10-8)^2 + 1(14-8)^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [1(-6)^2 + 2(-2)^2 + 2(2)^2 + 1(6)^2]$.
$\sigma^2 = \frac{1}{6} [36 + 8 + 8 + 36] = \frac{88}{6} = \frac{44}{3}$.
अतः,प्रसरण $\frac{44}{3}$ है।

(A) दिया गया है: $n_1 = 8$,$\bar{x}_1 = 25$,$\sigma_1 = 5$.
मदों का योग: $\Sigma x_i = n_1 \times \bar{x}_1 = 8 \times 25 = 200$.
प्रसरण: $\sigma_1^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n_1} - (\bar{x}_1)^2 = 25$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{8} - 625 = 25 \Rightarrow \Sigma x_i^2 = 8 \times 650 = 5200$.
नया डेटा सेट: $n_2 = 8 + 2 = 10$.
नया योग: $\Sigma x_{new} = 200 + 15 + 25 = 240$.
नया माध्य: $\bar{x}_2 = \frac{240}{10} = 24$.
वर्गों का नया योग: $\Sigma x_{new}^2 = 5200 + 15^2 + 25^2 = 5200 + 225 + 625 = 6050$.
नया प्रसरण: $\sigma_2^2 = \frac{\Sigma x_{new}^2}{n_2} - (\bar{x}_2)^2 = \frac{6050}{10} - (24)^2 = 605 - 576 = 29$.

(B) माना मूल आँकड़े $x_i = \{6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ हैं जिनका प्रसरण $\sigma^2$ है।
नया आँकड़ा समूह $y_i = \{12, 14, 16, 18, 20, 22\}$ है,जिसे $y_i = 2x_i$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रसरण के गुणधर्म के अनुसार,यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $k^2 \times \text{मूल प्रसरण}$ हो जाता है।
यहाँ,$k = 2$ है,इसलिए नया प्रसरण $2^2 \times \sigma^2 = 4 \sigma^2$ होगा।

(B) प्रथम $50$ सम प्राकृत संख्याएँ $2, 4, 6, \ldots, 100$ हैं।
माध्य,$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{50} = \frac{2(1+2+3+\ldots+50)}{50} = \frac{2 \times \frac{50 \times 51}{2}}{50} = 51$.
प्रसरण,$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \ldots + 100^2 = 4(1^2 + 2^2 + \ldots + 50^2)$.
वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\sum x_i^2 = 4 \times \frac{50(51)(101)}{6} = \frac{2 \times 50 \times 51 \times 101}{3} = 171700$.
$\sigma^2 = \frac{171700}{50} - (51)^2 = 3434 - 2601 = 833$.

(D) दिए गए अवलोकन $10, 8, 5, a, b$ हैं।
समांतर माध्य,$\bar{x} = \frac{10+8+5+a+b}{5} = 6$
$23 + a + b = 30 \implies a + b = 7$ ... $(i)$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = 6.8$
$\frac{10^2 + 8^2 + 5^2 + a^2 + b^2}{5} - (6)^2 = 6.8$
$\frac{100 + 64 + 25 + a^2 + b^2}{5} - 36 = 6.8$
$\frac{189 + a^2 + b^2}{5} = 42.8$
$189 + a^2 + b^2 = 214$
$a^2 + b^2 = 25$ ... $(ii)$
हम जानते हैं कि $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
$(7)^2 = 25 + 2ab$
$49 = 25 + 2ab$
$2ab = 24 \implies ab = 12$

(B) दिया गया है,$n = 15$ के लिए $\sum x = 170$ और $\sum x^2 = 2830$।
गलत प्रेक्षण $20$ को सही प्रेक्षण $30$ से बदलने पर:
संशोधित $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$।
संशोधित $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$।
हम जानते हैं कि,$\text{प्रसरण} = \frac{\sum x^2}{n} - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2$।
मान रखने पर:
$\text{प्रसरण} = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$।
$\text{प्रसरण} = 222 - (12)^2$।
$\text{प्रसरण} = 222 - 144 = 78$।

(B) दिया गया डेटा: $6, 7, x-2, x, 18, 21$ (आरोही क्रम में)।
अवलोकनों की संख्या $n = 6$ (सम)।
माध्यिका = $\frac{(\frac{n}{2})\text{वां अवलोकन} + (\frac{n}{2}+1)\text{वां अवलोकन}}{2} = 16$.
$\frac{(x-2) + x}{2} = 16 \Rightarrow 2x - 2 = 32 \Rightarrow 2x = 34 \Rightarrow x = 17$.
डेटा सेट $6, 7, 15, 17, 18, 21$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{6+7+15+17+18+21}{6} = \frac{84}{6} = 14$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$.
गणना:
$|\begin{array}{|c|c|c|} \hline x_i & x_i - \bar{x} & (x_i - \bar{x})^2 \\ \hline 6 & -8 & 64 \\ \hline 7 & -7 & 49 \\ \hline 15 & 1 & 1 \\ \hline 17 & 3 & 9 \\ \hline 18 & 4 & 16 \\ \hline 21 & 7 & 49 \\ \hline \text{योग} & & 188 \\ \hline \end{array}|$
प्रसरण = $\frac{188}{6} = \frac{94}{3} = 31 \frac{1}{3}$.

(C) चरण $1$: डेटा का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें।
$\bar{x} = \frac{2 + 12 + 3 + 11 + 5 + 10 + 6 + 7}{8} = \frac{56}{8} = 7$.
चरण $2$: माध्य से विचलन के वर्ग $(x_i - \bar{x})^2$ ज्ञात करें।
$(2-7)^2 = 25, (12-7)^2 = 25, (3-7)^2 = 16, (11-7)^2 = 16, (5-7)^2 = 4, (10-7)^2 = 9, (6-7)^2 = 1, (7-7)^2 = 0$.
चरण $3$: प्रसरण $(\sigma^2)$ के सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$ का उपयोग करें।
$\sigma^2 = \frac{25 + 25 + 16 + 16 + 4 + 9 + 1 + 0}{8} = \frac{96}{8} = 12$.

(A) मान लीजिए $y_i = x_i - 5$ है। तो दिए गए योग $\sum_{i=1}^9 y_i = 9$ और $\sum_{i=1}^9 y_i^2 = 45$ हैं।
अवलोकनों $x_i$ का प्रसरण $y_i$ के प्रसरण के समान ही होता है क्योंकि डेटा को एक स्थिरांक से स्थानांतरित करने पर प्रसरण नहीं बदलता है।
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - (\bar{y})^2$ है।
यहाँ,$n = 9$,$\sum y_i = 9$,और $\sum y_i^2 = 45$ है।
सबसे पहले,$y$ का माध्य ज्ञात करें: $\bar{y} = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^9 y_i = \frac{9}{9} = 1$।
अब,प्रसरण ज्ञात करें: $\sigma^2 = \frac{45}{9} - (1)^2 = 5 - 1 = 4$।
मानक विचलन $\sigma$ प्रसरण का वर्गमूल होता है: $\sigma = \sqrt{4} = 2$।

(D) दिए गए आँकड़ों $7, 8, 9, 7, 8, 7, \lambda, 8$ का माध्य $8$ है।
माध्य $= \frac{7+8+9+7+8+7+\lambda+8}{8} = 8$
$\Rightarrow \frac{54+\lambda}{8} = 8$
$\Rightarrow 54+\lambda = 64$
$\Rightarrow \lambda = 10$
अब,आँकड़ों का समूह $7, 8, 9, 7, 8, 7, 10, 8$ है।
प्रसरण $(\sigma^2) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$
प्रसरण $= \frac{(7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (7-8)^2 + (10-8)^2 + (8-8)^2}{8}$
प्रसरण $= \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + (-1)^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2}{8}$
प्रसरण $= \frac{1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 + 4 + 0}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

(C) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_{20}$ हैं।
दिया गया है,प्रसरण $\sigma^2 = 5$ है।
हम जानते हैं कि यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $\sigma'^2 = k^2 \times \sigma^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$k = 2$ और $\sigma^2 = 5$ है।
अतः,नया प्रसरण $\sigma'^2 = (2)^2 \times 5 = 4 \times 5 = 20$ है।

(A) डेटा सेट की परिवर्तनशीलता को उसके प्रसरण या मानक विचलन द्वारा मापा जाता है।
चूंकि दोनों अनुभागों के लिए औसत अंक समान हैं,इसलिए हम उनके प्रसरण की तुलना करते हैं।
अनुभाग $A$ का प्रसरण $= 64$।
अनुभाग $B$ का प्रसरण $= 81$।
चूंकि $81 > 64$,अनुभाग $B$ का प्रसरण अनुभाग $A$ के प्रसरण से अधिक है।
इसलिए,अनुभाग $B$ की परिवर्तनशीलता $>$ अनुभाग $A$ की परिवर्तनशीलता।

(C) $4$ के प्रथम $10$ गुणज $4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40$ हैं।
माना $X = 4i$ जहाँ $i = 1, 2, \dots, 10$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का मानक विचलन $\sigma_n = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$ होता है।
चूंकि प्रत्येक पद को $4$ से गुणा किया गया है,इसलिए गुणजों का मानक विचलन $4 \times \sigma_{10}$ होगा।
$\sigma_{10} = \sqrt{\frac{10^2 - 1}{12}} = \sqrt{\frac{99}{12}} = \sqrt{8.25}$।
मानक विचलन $= 4 \times \sqrt{8.25} = \sqrt{16 \times 8.25} = \sqrt{132} \approx 11.489 \approx 11.5$।

(C) दिए गए अवलोकन $112, 116, 120, 125, 132$ हैं।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{112 + 116 + 120 + 125 + 132}{5} = \frac{605}{5} = 121$.
अब,माध्य से विचलनों के वर्गों का योग ज्ञात करें:
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = (112 - 121)^2 + (116 - 121)^2 + (120 - 121)^2 + (125 - 121)^2 + (132 - 121)^2$
$= (-9)^2 + (-5)^2 + (-1)^2 + (4)^2 + (11)^2$
$= 81 + 25 + 1 + 16 + 121 = 244$.
अंत में,प्रसरण $(\sigma^2)$ इस प्रकार है:
$\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{244}{5} = 48.8$.

(C) माना त्रिभुज के तीन कोण $x, y, z$ हैं।
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $x + y + z = 180^{\circ}$।
दिया है $x = 60^{\circ}$,अतः $y + z = 120^{\circ} \dots(1)$।
प्रसरण के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{x^2+y^2+z^2}{3} = 4614$ लेने पर,
$\frac{60^2+y^2+z^2}{3} = 4614$ $\Rightarrow 3600 + y^2 + z^2 = 13842$ $\Rightarrow y^2 + z^2 = 10242$।
$(y+z)^2 - 2yz = 10242$ $\Rightarrow 14400 - 2yz = 10242$ $\Rightarrow 2yz = 4158$ $\Rightarrow yz = 2079$।
$(y-z)^2 = (y+z)^2 - 4yz = 14400 - 8316 = 6084$।
$y-z = 78^{\circ}$।
समीकरणों को हल करने पर,$y = 99^{\circ}$ और $z = 21^{\circ}$ प्राप्त होते हैं।

(A) प्रसरण माध्य के चारों ओर डेटा बिंदुओं के फैलाव को मापता है। नमूना प्रसरण का सूत्र $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ है।
विकल्प $A$ $(1, 2, 3, 4, 5)$ के लिए: माध्य $\bar{x} = 3$। प्रसरण $= \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$।
विकल्प $B$ $(1, 1, 2, 3, 6)$ के लिए: माध्य $\bar{x} = 2.6$। प्रसरण $= \frac{17.2}{4} = 4.3$।
विकल्प $C$ $(1, 1, 2, 3, 5)$ के लिए: माध्य $\bar{x} = 2.4$। प्रसरण $= \frac{11.2}{4} = 2.8$।
विकल्प $D$ $(1, 1, 2, 2, 5)$ के लिए: माध्य $\bar{x} = 2.2$। प्रसरण $= \frac{10.8}{4} = 2.7$।
प्रसरणों $(2.5, 4.3, 2.8, 2.7)$ की तुलना करने पर,न्यूनतम प्रसरण $2.5$ है जो विकल्प $A$ के लिए है।

(D) दी गई जानकारी: $a, b, 8, 5, 10$.
माध्य $= \frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$.
$\Rightarrow a+b+23 = 30$ $\Rightarrow a+b = 7$ ...$(i)$
प्रसरण $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{माध्य})^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - 6^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+64+25+100}{5} - 36 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+189}{5} = 42.80$.
$a^2+b^2+189 = 214 \Rightarrow a^2+b^2 = 25$ ...(ii)
$(i)$ से,$b = 7-a$. (ii) में रखने पर:
$a^2 + (7-a)^2 = 25$.
$a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25$.
$2a^2 - 14a + 24 = 0 \Rightarrow a^2 - 7a + 12 = 0$.
$(a-3)(a-4) = 0$.
अतः,$a=3, b=4$ या $a=4, b=3$.

(B) दिया गया है,$n=10$,$\Sigma x_i=60$,और $\Sigma x_i^2=1000$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{60}{10} = 6$.
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{1000}{10} - (6)^2$
$\sigma^2 = 100 - 36$
$\sigma^2 = 64$.

(C) माना $d_i = x_i - 5$ है। हमें $\Sigma d_i = 3$ और $\Sigma d_i^2 = 43$ दिया गया है,जहाँ $n = 18$ है।
प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन से अपरिवर्तित रहता है।
इसलिए,$x_i$ का प्रसरण $d_i$ के प्रसरण के समान है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\Sigma d_i^2}{n} - \left( \frac{\Sigma d_i}{n} \right)^2$ है।
मान रखने पर: $\sigma^2 = \frac{43}{18} - \left( \frac{3}{18} \right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{43}{18} - \left( \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{43}{18} - \frac{1}{36}$.
$\sigma^2 = \frac{86 - 1}{36} = \frac{85}{36} \approx 2.3611$.
अतः,प्रसरण लगभग $2.36$ है।

(A, B) दी गई संख्याएँ $2, 3, 2x, 11$ हैं। माध्य $\bar{x} = \frac{2+3+2x+11}{4} = 4 + \frac{x}{2}$ है।
मानक विचलन $\sigma = 3.5 = \frac{7}{2}$ है,इसलिए $\sigma^2 = \frac{49}{4}$।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$ है।
$\frac{49}{4} = \frac{4 + 9 + 4x^2 + 121}{4} - (4 + \frac{x}{2})^2$।
सरल करने पर $3x^2 - 16x + 21 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{7}{3}$ या $x = 3$।

(C) दिया गया है: $\bar{x} = 50$,$n = 100$,और $\sigma = 5$.
हम जानते हैं कि $\bar{x} = \frac{\Sigma x_i}{n}$,इसलिए $\Sigma x_i = n \cdot \bar{x} = 100 \cdot 50 = 5000$.
मानक विचलन का सूत्र $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - (50)^2$.
$25 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - 2500$.
$\frac{\Sigma x_i^2}{100} = 2525$.
$\Sigma x_i^2 = 252500$.

(D) सबसे पहले,माध्य $\bar{x}$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(5 \times 2) + (15 \times 3) + (25 \times 4) + (35 \times 1)}{2 + 3 + 4 + 1} = \frac{10 + 45 + 100 + 35}{10} = \frac{190}{10} = 19$.
इसके बाद,प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ की गणना करें:
$\sigma^2 = \frac{2(5-19)^2 + 3(15-19)^2 + 4(25-19)^2 + 1(35-19)^2}{10}$
$\sigma^2 = \frac{2(-14)^2 + 3(-4)^2 + 4(6)^2 + 1(16)^2}{10}$
$\sigma^2 = \frac{2(196) + 3(16) + 4(36) + 1(256)}{10}$
$\sigma^2 = \frac{392 + 48 + 144 + 256}{10} = \frac{840}{10} = 84$.
अतः,प्रसरण $84$ है।

(B) दिया गया है,विचरण गुणांक $(CV) = 60$ और मानक विचलन $(\sigma) = 21$ है।
हम जानते हैं कि $CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100$,जहाँ $\mu$ माध्य है।
मान रखने पर: $60 = \frac{21}{\mu} \times 100 \Rightarrow \mu = \frac{2100}{60} = 35$।
जब प्रत्येक अवलोकन में एक स्थिरांक $k = 15$ जोड़ा जाता है,तो मानक विचलन अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $\sigma' = \sigma = 21$।
नया माध्य $\mu' = \mu + 15 = 35 + 15 = 50$ हो जाता है।
नया विचरण गुणांक $CV' = \frac{\sigma'}{\mu'} \times 100$ है।
$CV' = \frac{21}{50} \times 100 = 21 \times 2 = 42$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) यह दिया गया है कि $x_i$ और $y_i$ के मानक विचलन क्रमशः $a$ और $b$ हैं,इसलिए $a^2 = \frac{1}{10} \sum x_i^2 - \bar{x}^2$ और $b^2 = \frac{1}{10} \sum y_i^2 - \bar{y}^2$ है।
हमें $\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = c$ दिया गया है।
माना $d_i = x_i - y_i$ है। $d_i$ का माध्य $\bar{d} = \bar{x} - \bar{y}$ है।
$d_i$ का प्रसरण $\sigma_d^2 = \frac{1}{10} \sum (d_i - \bar{d})^2 = \frac{1}{10} \sum ((x_i - y_i) - (\bar{x} - \bar{y}))^2$ है।
$\sigma_d^2 = \frac{1}{10} \sum ((x_i - \bar{x}) - (y_i - \bar{y}))^2 = \frac{1}{10} \sum (x_i - \bar{x})^2 + \frac{1}{10} \sum (y_i - \bar{y})^2 - \frac{2}{10} \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ है।
चूंकि $\frac{1}{10} \sum (x_i - \bar{x})^2 = a^2$ और $\frac{1}{10} \sum (y_i - \bar{y})^2 = b^2$,और $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = c$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\sigma_d^2 = a^2 + b^2 - \frac{2c}{10} = a^2 + b^2 - \frac{c}{5}$।
अतः,मानक विचलन $\sqrt{a^2 + b^2 - \frac{c}{5}}$ है।

(C) दी गई संख्याएँ $9, 3, 11, 5, 7$ हैं।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{9+3+11+5+7}{5} = \frac{35}{5} = 7$.
अब,प्रसरण $(\sigma^2)$ की गणना करें:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{(9-7)^2 + (3-7)^2 + (11-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2}{5}$
$= \frac{4 + 16 + 16 + 4 + 0}{5} = \frac{40}{5} = 8$.
मानक विचलन $(\sigma) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
विचरण गुणांक $(CV) = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{2\sqrt{2}}{7} \times 100 = \frac{200\sqrt{2}}{7}$.

(D) सबसे पहले,माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ की गणना करें।
$\sum f_i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55$.
$\sum f_i x_i = 1(1) + 2(2) + 3(3) + 4(4) + 5(5) + 6(6) + 7(7) + 8(8) + 9(9) + 10(10) = 385$.
$\bar{x} = \frac{385}{55} = 7$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$ द्वारा दिया जाता है।
$\sum f_i (x_i - 7)^2 = 1(36) + 2(25) + 3(16) + 4(9) + 5(4) + 6(1) + 7(0) + 8(1) + 9(4) + 10(9) = 330$.
$\sigma^2 = \frac{330}{55} = 6$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) सबसे पहले,हम वितरण का माध्य $\bar{x}$ ज्ञात करते हैं:
मध्य बिंदु $x_i$ हैं $2.5, 7.5, 12.5, 17.5, 22.5$।
बारंबारताओं का योग $N = \sum f_i = 20$ है।
योग $\sum f_i x_i = 240$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{240}{20} = 12$ है।
इसके बाद,प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ ज्ञात करते हैं:
$\sigma^2 = \frac{139}{4}$ है।
मानक विचलन $\sigma = \frac{\sqrt{139}}{2}$ है।
विचरण गुणांक $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{25 \sqrt{139}}{6}$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है,$n=9$ के लिए,$\bar{x} = 13$ और $\sigma = 5$ है।
$\sum_{i=1}^9 x_i = 9 \times 13 = 117$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 \Rightarrow 25 = \frac{\sum x_i^2}{9} - 169$ है।
$\sum x_i^2 = 9(25 + 169) = 9(194) = 1746$ है।
अब,एक नया पद $x_{10} = 3$ जोड़ा जाता है।
नया योग $\sum_{i=1}^{10} x_i = 117 + 3 = 120$ है।
नया माध्य $\bar{x}' = \frac{120}{10} = 12$ है।
वर्गों का नया योग $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 1746 + (3)^2 = 1746 + 9 = 1755$ है।
नया प्रसरण $\sigma'^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\bar{x}')^2 = \frac{1755}{10} - (12)^2 = 175.5 - 144 = 31.5$ है।

(B) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले मध्य-अंतराल मान $(x)$ और आवृत्ति $(f)$ की गणना करते हैं:

अंक	$x$	$f$	$f \cdot x$	$f \cdot x^2$
$1-3$	$2$	$40$	$80$	$160$
$3-5$	$4$	$30$	$120$	$480$
$5-7$	$6$	$20$	$120$	$720$
$7-9$	$8$	$10$	$80$	$640$
कुल		$100$	$400$	$2000$

माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f \cdot x}{\sum f} = \frac{400}{100} = 4$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f \cdot x^2}{\sum f} - (\bar{x})^2$.
$\sigma^2 = \frac{2000}{100} - (4)^2 = 20 - 16 = 4$.

(D) छात्र $A$ के लिए: अंक $30, 20, 40$ हैं।
माध्य $\bar{x}_A = \frac{30+20+40}{3} = \frac{90}{3} = 30$.
मानक विचलन $\sigma_A = \sqrt{\frac{(30-30)^2 + (20-30)^2 + (40-30)^2}{3}} = \sqrt{\frac{0 + 100 + 100}{3}} = \sqrt{\frac{200}{3}} = 10 \sqrt{\frac{2}{3}}$.
विचरण गुणांक $(CV)_A = \frac{\sigma_A}{\bar{x}_A} \times 100 = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \times 30} \times 100 = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \times 100$.
छात्र $B$ के लिए: अंक $70, 0, 5$ हैं।
माध्य $\bar{x}_B = \frac{70+0+5}{3} = \frac{75}{3} = 25$.
मानक विचलन $\sigma_B = \sqrt{\frac{(70-25)^2 + (0-25)^2 + (5-25)^2}{3}} = \sqrt{\frac{45^2 + (-25)^2 + (-20)^2}{3}} = \sqrt{\frac{2025 + 625 + 400}{3}} = \sqrt{\frac{3050}{3}} = 5 \sqrt{\frac{122}{3}}$.
विचरण गुणांक $(CV)_B = \frac{\sigma_B}{\bar{x}_B} \times 100 = \frac{5 \sqrt{122}}{\sqrt{3} \times 25} \times 100 = \frac{\sqrt{122}}{5 \sqrt{3}} \times 100$.
अनुपात $\frac{(CV)_A}{(CV)_B} = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \div \frac{\sqrt{122}}{5 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \times \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{122}} = \frac{5 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{61}} = \frac{5}{3 \sqrt{61}}$.
अतः,अनुपात $5 : 3 \sqrt{61}$ है।

(C) दिए गए अंक $505, 510, 515, \ldots, 595$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 505$,$d = 5$,और $n = 19$ पद हैं।
माध्य $\bar{X} = \frac{505 + 595}{2} = 550$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $x_i = 550 + 5k$,जहाँ $k$ का मान $-9$ से $9$ तक है।
अतः $(x_i - \bar{X})^2 = (5k)^2 = 25k^2$.
$\sum (x_i - \bar{X})^2 = 25 \sum_{k=-9}^{9} k^2 = 25 \times 2 \times \sum_{k=1}^{9} k^2$.
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = 285$.
अतः,$\sum (x_i - \bar{X})^2 = 50 \times 285 = 14250$.
$\sigma = \sqrt{\frac{14250}{19}} = \sqrt{750} = \sqrt{25 \times 30} = 5 \sqrt{30}$.

(C) माना कि प्रथम वितरण $X$ है जिसके मान $x_i$ और बारंबारता $f_i$ हैं। प्रसरण $\sigma_X^2 = 45.8$ दिया गया है।
दूसरे वितरण $Y$ के मान $y_i$ हैं जहाँ $y_i = 2x_i + 2$ है।
हम जानते हैं कि यदि $Y = aX + b$ है,तो प्रसरण $\sigma_Y^2 = a^2 \sigma_X^2$ होता है।
यहाँ,$y_i = 2x_i + 2$ है,इसलिए $a = 2$ है।
अतः,$\sigma_Y^2 = 2^2 \times \sigma_X^2 = 4 \times 45.8$।
$\sigma_Y^2 = 183.2$।

(D) हम जानते हैं कि मानक विचलन $(S.D.)$ का सूत्र है:
$S.D. = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \mu)^2}{N}}$
जहाँ $\mu$ माध्य है और $N$ पदों की संख्या है।
सबसे पहले,माध्य $(\mu)$ की गणना करें:
$\mu = \frac{22 + 26 + 28 + 20 + 24 + 30}{6} = \frac{150}{6} = 25$
अब,विचलन के वर्गों की गणना करें:

$x_i$	$(x_i - \mu)^2$
$22$	$(22 - 25)^2 = 9$
$26$	$(26 - 25)^2 = 1$
$28$	$(28 - 25)^2 = 9$
$20$	$(20 - 25)^2 = 25$
$24$	$(24 - 25)^2 = 1$
$30$	$(30 - 25)^2 = 25$

विचलन के वर्गों का योग: $\sum(x_i - \mu)^2 = 9 + 1 + 9 + 25 + 1 + 25 = 70$
मानक विचलन: $S.D. = \sqrt{\frac{70}{6}} = \sqrt{11.666...} \approx 3.4156 \approx 3.42$

(D) छात्र $A$ के लिए: अंक $30, 20, 40$ हैं।
माध्य $\bar{x}_A = \frac{30+20+40}{3} = 30$.
मानक विचलन $\sigma_A = \sqrt{\frac{200}{3}}$.
विचरण गुणांक $CV_A = \frac{\sigma_A}{\bar{x}_A}$.
छात्र $B$ के लिए: अंक $70, 0, 5$ हैं।
माध्य $\bar{x}_B = \frac{75}{3} = 25$.
मानक विचलन $\sigma_B = \sqrt{\frac{3050}{3}}$.
विचरण गुणांक $CV_B = \frac{\sigma_B}{\bar{x}_B}$.
अनुपात $\frac{CV_A}{CV_B} = \frac{\sigma_A}{\sigma_B} \times \frac{\bar{x}_B}{\bar{x}_A} = \sqrt{\frac{200}{3050}} \times \frac{25}{30} = \frac{5}{3 \sqrt{61}}$.

(A) $1$. प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु $(x_i)$ ज्ञात करें: $5, 15, 25, 35$.
$2$. माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करें: $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 5) + (3 \times 15) + (4 \times 25) + (2 \times 35)}{10} = 22$.
$3$. प्रसरण $(\sigma^2)$ ज्ञात करें: $\sigma^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i} = \frac{810}{10} = 81$.
$4$. मानक विचलन $(\sigma)$ = $\sqrt{81} = 9$.

(D) $3$ के प्रथम दस गुणज $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $n = 10$ पद हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 3$ है।
सार्व अंतर $d$ वाली समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का प्रसरण ज्ञात करने का सूत्र $\sigma^2 = \frac{(n^2 - 1)d^2}{12}$ है।
मान $n = 10$ और $d = 3$ रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{(10^2 - 1) \times 3^2}{12}$
$\sigma^2 = \frac{(100 - 1) \times 9}{12}$
$\sigma^2 = \frac{99 \times 9}{12} = \frac{891}{12} = 74.25$.
अतः,प्रसरण $74.25$ है।

(C) प्रसरण की गणना करने के लिए,हम कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते हैं जहाँ $a = 18$ है।
गणना इस प्रकार है:

$x_i$	$f_i$	$d_i = x_i - 18$	$f_i d_i$	$f_i d_i^2$
$6$	$2$	$-12$	$-24$	$288$
$10$	$4$	$-8$	$-32$	$256$
$14$	$7$	$-4$	$-28$	$112$
$18$	$12$	$0$	$0$	$0$
$24$	$8$	$6$	$48$	$288$
$28$	$4$	$10$	$40$	$400$
$30$	$3$	$12$	$36$	$432$
कुल	$N = 40$	-	$\sum f_i d_i = 40$	$\sum f_i d_i^2 = 1776$

प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{1776}{40} - \left(\frac{40}{40}\right)^2$
$\sigma^2 = 44.4 - (1)^2$
$\sigma^2 = 44.4 - 1 = 43.4$.

(D) माध्य $(\mu) = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{18}{9} = 2$
मानक विचलन $(\sigma) = \sqrt{\frac{\sum f_i (x_i - \mu)^2}{\sum f_i}} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
विचरण गुणांक $= \frac{\sigma}{\mu} \times 100 = \frac{2/\sqrt{3}}{2} \times 100 = \frac{100}{\sqrt{3}}$.

(D) मानक विचलन अपने माध्य (mean) के सापेक्ष डेटा सेट के फैलाव को मापता है। एक छोटी रेंज या क्रमिक मानों के बीच छोटा अंतर कम मानक विचलन का संकेत देता है।
दिए गए सेट के लिए:
$A: 10, 20, 30, 40$ (रेंज $= 30$)
$B: 2, 4, 6, 8$ (रेंज $= 6$)
$C: 3, 6, 9, 12$ (रेंज $= 9$)
$D: 1, 2, 3, 4$ (रेंज $= 3$)
चूंकि सेट $1, 2, 3, 4$ की रेंज सबसे छोटी है और मान एक-दूसरे के सबसे करीब हैं,इसलिए इसका मानक विचलन सबसे कम है।

(B) हम जानते हैं कि विचरण गुणांक $(CV)$ का सूत्र है:
$CV = \frac{\sigma}{|\bar{x}|} \times 100$
यहाँ $CV = 25$ और माध्य $\bar{x} = 44$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$25 = \frac{\sigma}{44} \times 100$
$\sigma = \frac{25 \times 44}{100} = \frac{1100}{100} = 11$
अब,प्रसरण मानक विचलन का वर्ग होता है:
$\text{Variance} = \sigma^2 = 11^2 = 121$

(A) दिया गया है कि $\sum(x_i+2)^2 = 28n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 + 4\sum x_i + 4n = 28n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 + 4\sum x_i = 24n$ $... (i)$
इसी प्रकार,$\sum(x_i-2)^2 = 12n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 - 4\sum x_i + 4n = 12n$
$\Rightarrow \sum x_i^2 - 4\sum x_i = 8n$ $... (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2\sum x_i^2 = 32n \Rightarrow \sum x_i^2 = 16n$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$8\sum x_i = 16n \Rightarrow \sum x_i = 2n$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$
$\sigma^2 = \frac{16n}{n} - \left(\frac{2n}{n}\right)^2 = 16 - 4 = 12$

(B) मान लीजिए मूल प्रेक्षण $x_1, x_2, \ldots, x_n$ हैं। प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को $k$ से बढ़ाया या घटाया जाता है,तो नए प्रेक्षण $y_i = x_i \pm k$ होते हैं।
नया माध्य $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum (x_i \pm k) = \bar{x} \pm k$ हो जाता है।
नया प्रसरण $\sigma_y^2 = \frac{1}{n} \sum (y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n} \sum ((x_i \pm k) - (\bar{x} \pm k))^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \sigma^2$ होता है।
अतः,प्रसरण अपरिवर्तित रहता है।

(C) दिया गया है,प्रेक्षणों की संख्या $n = 20$,$\sum x_i = 1000$,और $\sum x_i^2 = 84000$ है।
माध्य $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{1000}{20} = 50$ है।
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र है:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\overline{x})^2$।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{84000}{20} - (50)^2$।
$\sigma^2 = 4200 - 2500$।
$\sigma^2 = 1700$।

(A) माना मूल संख्याएँ $w, x, y, z$ हैं जिनका प्रसरण $\sigma^2 = 9$ है।
संख्याओं के एक समूह का प्रसरण $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ के रूप में परिभाषित होता है।
यदि प्रत्येक संख्या को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $\text{Var}(kX) = k^2 \text{Var}(X)$ गुणधर्म द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$k = 5$ और $\text{Var}(X) = 9$ है।
अतः,नया प्रसरण $5^2 \times 9 = 25 \times 9 = 225$ होगा।