Variance and Standard Deviation Questions in Hindi

(C) माना पाँच प्रेक्षण $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं।
दिया गया माध्य $\bar{X} = \frac{24}{5}$ और प्रसरण $\sigma^2 = \frac{194}{25}$ है।
पाँच प्रेक्षणों का योग: $\sum_{i=1}^5 x_i = 5 \times \frac{24}{5} = 24$.
प्रथम चार प्रेक्षणों का माध्य $\frac{7}{2}$ है,अतः $\sum_{i=1}^4 x_i = 4 \times \frac{7}{2} = 14$.
अतः,$x_5 = 24 - 14 = 10$.
प्रसरण के सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{X})^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{194}{25} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} - (\frac{24}{5})^2$.
$\frac{194}{25} = \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} - \frac{576}{25}$ $\Rightarrow \frac{\sum_{i=1}^5 x_i^2}{5} = \frac{770}{25} = \frac{154}{5}$.
$\sum_{i=1}^5 x_i^2 = 154$.
चूँकि $x_5 = 10$,इसलिए $x_5^2 = 100$.
$\sum_{i=1}^4 x_i^2 = 154 - 100 = 54$.
प्रथम चार प्रेक्षणों का प्रसरण: $\text{Var} = \frac{\sum_{i=1}^4 x_i^2}{4} - (\text{प्रथम चार का माध्य})^2$.
$\text{Var} = \frac{54}{4} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{27}{2} - \frac{49}{4} = \frac{54 - 49}{4} = \frac{5}{4}$.

(B) सबसे पहले,माध्य $\overline{x}$ की गणना करें:
$\overline{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{176}{22} = 8$
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i x_i^2 - (\overline{x})^2$
$\sigma^2 = \frac{2048}{22} - (8)^2 = 93.09 - 64 = 29.09$
निकटतम पूर्णांक में,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिए गए प्रेक्षण: $a, b, 68, 44, 48, 60$।
माध्य $\overline{x} = 55$,प्रसरण $\sigma^2 = 194$।
प्रेक्षणों का योग: $a + b + 68 + 44 + 48 + 60 = 6 \times 55 = 330$।
$a + b + 220 = 330 \Rightarrow a + b = 110$ (समीकरण $1$)।
प्रसरण का सूत्र: $\frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2 = 194$।
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + (68 - 55)^2 + (44 - 55)^2 + (48 - 55)^2 + (60 - 55)^2 = 194 \times 6$।
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + 13^2 + (-11)^2 + (-7)^2 + 5^2 = 1164$।
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 + 169 + 121 + 49 + 25 = 1164$।
$(a - 55)^2 + (b - 55)^2 = 1164 - 364 = 800$।
$a^2 - 110a + 3025 + b^2 - 110b + 3025 = 800$।
$a^2 + b^2 - 110(a + b) + 6050 = 800$।
$a + b = 110$ प्रतिस्थापित करने पर: $a^2 + b^2 - 110(110) + 6050 = 800$।
$a^2 + b^2 - 12100 + 6050 = 800 \Rightarrow a^2 + b^2 = 6850$ (समीकरण $2$)।
$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ से,$110^2 = 6850 + 2ab$।
$12100 - 6850 = 2ab$ $\Rightarrow 2ab = 5250$ $\Rightarrow ab = 2625$।
चूंकि $a + b = 110$ और $ab = 2625$,$a$ और $b$ समीकरण $t^2 - 110t + 2625 = 0$ के मूल हैं।
$(t - 75)(t - 35) = 0$।
चूंकि $a > b$,इसलिए $a = 75$ और $b = 35$।
अतः,$a + 3b = 75 + 3(35) = 75 + 105 = 180$।

(A) दिए गए $n=10$ प्रेक्षण $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$ हैं।
$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\alpha)=2$ से,हमें $\sum x_i - 10\alpha = 2$ प्राप्त होता है।
माध्य $\mu = \frac{\sum x_i}{10} = \frac{6}{5}$ दिया गया है,इसलिए $\sum x_i = 12$ है।
प्रथम समीकरण में $\sum x_i = 12$ रखने पर: $12 - 10\alpha = 2$ $\Rightarrow 10\alpha = 10$ $\Rightarrow \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2 = \frac{84}{25}$ है।
हम जानते हैं कि $\sum (x_i - \beta)^2 = \sum x_i^2 - 2\beta \sum x_i + 10\beta^2 = 40$ है।
$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\frac{6}{5})^2 = \frac{84}{25}$ से,$\frac{\sum x_i^2}{10} = \frac{84}{25} + \frac{36}{25} = \frac{120}{25} = \frac{24}{5}$,इसलिए $\sum x_i^2 = 48$ है।
$\sum x_i^2 = 48$ और $\sum x_i = 12$ को $48 - 2\beta(12) + 10\beta^2 = 40$ में रखने पर:
$10\beta^2 - 24\beta + 8 = 0 \Rightarrow 5\beta^2 - 12\beta + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(5\beta - 2)(\beta - 2) = 0$।
चूंकि $\beta$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $\beta = 2$ है।
अतः,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{2}{1} = 2$ है।

(C) कुल आवृत्ति $N = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7$.
माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{2c + 2c + 3c + 4c + 5c + 6c}{7} = \frac{22c}{7}$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - (\bar{x})^2$.
$\sum f_i x_i^2 = 2(c)^2 + 1(2c)^2 + 1(3c)^2 + 1(4c)^2 + 1(5c)^2 + 1(6c)^2 = c^2(2 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 92c^2$.
$\sigma^2 = \frac{92c^2}{7} - \left(\frac{22c}{7}\right)^2 = \frac{92c^2}{7} - \frac{484c^2}{49} = \frac{644c^2 - 484c^2}{49} = \frac{160c^2}{49}$.
दिया गया है कि $\sigma^2 = 160$,इसलिए $\frac{160c^2}{49} = 160$.
$c^2 = 49 \Rightarrow c = 7$ (चूंकि $c \in N$).

(D) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 8$ और सार्व अंतर $d = 13$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। $n$-वाँ पद $a_n = a + (n-1)d = 320$ है।
$8 + (n-1)13 = 320 \implies 13(n-1) = 312 \implies n-1 = 24 \implies n = 25$.
माध्य $\bar{x} = \frac{8 + 320}{2} = \frac{328}{2} = 164$.
$n$ पदों वाली समांतर श्रेणी का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{(n^2-1)d^2}{12}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\sigma^2 = \frac{(25^2 - 1) \times 13^2}{12} = \frac{(625 - 1) \times 169}{12} = \frac{624 \times 169}{12}$.
$\sigma^2 = 52 \times 169 = 8788$.

(A) प्रारंभिक माध्य $\overline{x} = 5.5$ और $n = 10$ के लिए,प्रारंभिक योग $\sum_{i=1}^{10} x_i = 5.5 \times 10 = 55$ है।
दिया गया है $\sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 371$।
योग में सुधार: $(\sum x_i)_{\text{new}} = 55 - (4 + 5) + (6 + 8) = 60$।
वर्गों के योग में सुधार: $(\sum x_i^2)_{\text{new}} = 371 - (4^2 + 5^2) + (6^2 + 8^2) = 430$।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2$।
$\sigma^2 = \frac{430}{10} - (\frac{60}{10})^2 = 43 - 36 = 7$।

(A) दिया है $\sum_{i=1}^{10}(x_i-2)=30 \implies \sum x_i - 20 = 30 \implies \sum x_i = 50$. माध्य $\bar{x} = \frac{50}{10} = 5$.
प्रसरण $\sigma_x^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - (\bar{x})^2 = \frac{4}{5} \implies \frac{\sum x_i^2}{10} - 25 = 0.8 \implies \sum x_i^2 = 258$.
दिया है $\sum_{i=1}^{10}(x_i-\beta)^2 = 98 \implies \sum x_i^2 - 2\beta \sum x_i + 10\beta^2 = 98$.
मान रखने पर: $258 - 2\beta(50) + 10\beta^2 = 98 \implies 10\beta^2 - 100\beta + 160 = 0 \implies \beta^2 - 10\beta + 16 = 0$.
$(\beta-8)(\beta-2) = 0$. चूंकि $\beta > 2$,इसलिए $\beta = 8$.
मान लीजिए $y_i = 2(x_i-1) + 4\beta = 2x_i - 2 + 32 = 2x_i + 30$.
माध्य $\mu = 2\bar{x} + 30 = 2(5) + 30 = 40$.
प्रसरण $\sigma^2 = 2^2 \cdot \sigma_x^2 = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5}$.
अतः $\frac{\beta\mu}{\sigma^2} = \frac{8 \cdot 40}{16/5} = \frac{320 \cdot 5}{16} = 20 \cdot 5 = 100$.

(D) दिया गया माध्य $\overline{x} = \frac{\sum x_i}{5} = 5$ है,इसलिए $1+3+a+7+b = 25$,जिसका अर्थ है $a+b = 14$.
दिया गया प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{5} - (\overline{x})^2 = 10$ है,इसलिए $\frac{1^2+3^2+a^2+7^2+b^2}{5} - 25 = 10$,जिससे $1+9+a^2+49+b^2 = 175$,जो $a^2+b^2 = 116$ देता है।
$a+b=14$ और $a^2+b^2=116$ से,$(a+b)^2 - 2ab = 116$ $\Rightarrow 196 - 2ab = 116$ $\Rightarrow ab = 40$.
$a$ और $b$ समीकरण $t^2 - 14t + 40 = 0$ के मूल हैं,इसलिए $(t-10)(t-4) = 0$। चूँकि $a > b$,इसलिए $a=10$ और $b=4$ है।
नए अवलोकन $y_n = n+x_n$ क्रमशः $2, 5, 13, 11, 9$ हैं।
नया माध्य $\overline{y} = \frac{2+5+13+11+9}{5} = 8$ है।
नया प्रसरण $\frac{2^2+5^2+13^2+11^2+9^2}{5} - 8^2 = \frac{400}{5} - 64 = 80 - 64 = 16$ है।

(A) प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम पहले माध्य और मानों के वर्गों का योग ज्ञात करते हैं।

$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$	$f_i x_i^2$
$5$	$3$	$15$	$75$
$6$	$7$	$42$	$252$
$7$	$4$	$28$	$196$
$8$	$2$	$16$	$128$
$10$	$4$	$40$	$400$
कुल	$N=20$	$\sum f_i x_i = 141$	$\sum f_i x_i^2 = 1051$

प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i x_i}{N}\right)^2$ है।
मान रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{1051}{20} - \left(\frac{141}{20}\right)^2$
$\sigma^2 = 52.55 - (7.05)^2$
$\sigma^2 = 52.55 - 49.7025$
$\sigma^2 = 2.8475 \approx 2.85$.

(D) प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{N} - \left(\frac{\sum X}{N}\right)^2$ है।
दिए गए मान $N=60$,$\sum X^2=18000$,और $\sum X=960$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sigma^2 = \frac{18000}{60} - \left(\frac{960}{60}\right)^2$.
$\sigma^2 = 300 - (16)^2$.
$\sigma^2 = 300 - 256$.
$\sigma^2 = 44$.
अतः,डेटा का प्रसरण $44$ है।

(B) मान लीजिए छठी परीक्षा का स्कोर $x$ है।
छह परीक्षाओं का औसत $48$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{54+45+41+43+57+x}{6} = 48$
$240 + x = 288$
$x = 48$।
अंक $54, 45, 41, 43, 57, 48$ हैं।
औसत $\bar{x} = 48$।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2}$।
$\sigma = \sqrt{\frac{(54-48)^2 + (45-48)^2 + (41-48)^2 + (43-48)^2 + (57-48)^2 + (48-48)^2}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{6^2 + (-3)^2 + (-7)^2 + (-5)^2 + 9^2 + 0^2}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{36 + 9 + 49 + 25 + 81 + 0}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{200}{6}} = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$।

(A) प्रथम $50$ सम प्राकृतिक संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 100$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{2+4+\dots+100}{50} = \frac{2(1+2+\dots+50)}{50} = \frac{2 \times \frac{50 \times 51}{2}}{50} = 51$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \dots + 100^2 = 4(1^2 + 2^2 + \dots + 50^2)$.
वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\sum x_i^2 = 4 \times \frac{50 \times 51 \times 101}{6} = 171700$.
$\sigma^2 = \frac{171700}{50} - (51)^2 = 3434 - 2601 = 833$.

(A) दिया गया है: $n = 100$,$\bar{x} = 50$,और $\sigma = 5$.
हम जानते हैं कि माध्य $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = 50$.
अतः,$\sum x_i = 50 \times 100 = 5000$.
मानक विचलन का सूत्र $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ है।
मान रखने पर: $5 = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{100} - (50)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 2500$.
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 2500 + 25 = 2525$.
$\sum x_i^2 = 2525 \times 100 = 252500$.

(C) $a, b, c$ का माध्य $\bar{x} = \frac{a+b+c}{3}$ है।
चूंकि $b = a + c$,इसलिए $\bar{x} = \frac{b+b}{3} = \frac{2b}{3}$ है।
$a+2, b+2, c+2$ का मानक विचलन $a, b, c$ के मानक विचलन के समान है,जो $d$ है।
अतः,$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - (\bar{x})^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \left(\frac{2b}{3}\right)^2$.
$d^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{3} - \frac{4b^2}{9}$.
$d^2 = \frac{3(a^2+b^2+c^2) - 4b^2}{9}$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2+b^2) - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) + 3b^2 - 4b^2$.
$9d^2 = 3(a^2+c^2) - b^2$.
इसलिए,$b^2 = 3(a^2+c^2) - 9d^2$।

(D) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_{20}$ हैं और उनका प्रसरण $\sigma^2 = 5$ है।
यदि प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $a$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $a^2 \sigma^2$ हो जाता है।
यहाँ,$a = 3$ है,इसलिए नया प्रसरण $3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45$ होगा।
प्रत्येक प्रेक्षण में एक स्थिरांक $b$ जोड़ने से प्रसरण में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,अंतिम प्रसरण $45$ ही रहेगा।

(D) मान लीजिए कि मूल अवलोकन $x_1, x_2, \dots, x_6$ हैं और उनका प्रसरण $\sigma^2 = 12$ है।
जब प्रत्येक अवलोकन को एक स्थिरांक $k$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $\sigma'^2 = k^2 \sigma^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$k = 3$ और $\sigma^2 = 12$ है।
अतः,नया प्रसरण:
$\sigma'^2 = 3^2 \times 12$
$\sigma'^2 = 9 \times 12$
$\sigma'^2 = 108$

(A) दिया गया है: $n = 15$,$\sum x = 170$,और $\sum x^2 = 2830$।
संशोधित प्रेक्षणों का योग: $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$।
संशोधित वर्गों का योग: $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$।
संशोधित प्रसरण का सूत्र: $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2$।
मान रखने पर: $\sigma^2 = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$।
$\sigma^2 = 222 - (12)^2 = 222 - 144 = 78$।

(C) सबसे पहले,प्रत्येक वर्ग अंतराल ($C$.$I$.) के लिए मध्य बिंदु $(x_i)$ ज्ञात करें:
$0-6$ के लिए,$x_1 = \frac{0+6}{2} = 3$
$6-12$ के लिए,$x_2 = \frac{6+12}{2} = 9$
$12-18$ के लिए,$x_3 = \frac{12+18}{2} = 15$
अब,$\sum f_i$,$\sum f_i x_i$,और $\sum f_i x_i^2$ की गणना करें:
$\sum f_i = 2 + 4 + 6 = 12$
$\sum f_i x_i = (2 \times 3) + (4 \times 9) + (6 \times 15) = 6 + 36 + 90 = 132$
$\sum f_i x_i^2 = (2 \times 3^2) + (4 \times 9^2) + (6 \times 15^2) = (2 \times 9) + (4 \times 81) + (6 \times 225) = 18 + 324 + 1350 = 1692$
प्रसरण $V(X)$ इस प्रकार है:
$V(X) = \frac{\sum f_i x_i^2}{\sum f_i} - \left( \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \right)^2$
$V(X) = \frac{1692}{12} - \left( \frac{132}{12} \right)^2$
$V(X) = 141 - (11)^2$
$V(X) = 141 - 121 = 20$
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$.

(D) जब डेटा के प्रत्येक मान को $\lambda$ से गुणा किया जाता है,तो प्रसरण $\lambda^2$ से गुणा हो जाता है।
अतः,नया प्रसरण $= \lambda^2 \cdot \sigma_x^2$ होगा।

(A) दी गई संख्याओं का माध्य $\overline{x} = \frac{2+3+11+x}{4} = \frac{16+x}{4}$ है।
प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \overline{x})^2$ है।
$\frac{49}{4} = \frac{1}{4} [(\frac{16+x}{4} - 2)^2 + (\frac{16+x}{4} - 3)^2 + (\frac{16+x}{4} - 11)^2 + (\frac{16+x}{4} - x)^2]$.
$49 = (\frac{8+x}{4})^2 + (\frac{4+x}{4})^2 + (\frac{x-28}{4})^2 + (\frac{16-3x}{4})^2$.
$49 \times 16 = (64 + x^2 + 16x) + (16 + x^2 + 8x) + (x^2 - 56x + 784) + (256 - 96x + 9x^2)$.
$784 = 12x^2 - 128x + 1120$.
$12x^2 - 128x + 336 = 0$.
$4$ से भाग देने पर,$3x^2 - 32x + 84 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 1008}}{6} = \frac{32 \pm 4}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{36}{6} = 6$ या $x = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$।

(A) मान लीजिए मूल डेटा $X = \{2, 4, 5, 6, 8, 17\}$ है।
$X$ का प्रसरण $Var(X) = 23.33$ दिया गया है।
नया डेटा $Y = \{4, 8, 10, 12, 16, 34\}$ मूल डेटा के प्रत्येक तत्व को $2$ से गुणा करके प्राप्त किया गया है,अर्थात $Y = 2X$।
हम जानते हैं कि यदि $Y = aX$ है,तो $Var(Y) = a^2 \times Var(X)$ होता है।
यहाँ,$a = 2$ है।
अतः,$Var(Y) = (2)^2 \times 23.33 = 4 \times 23.33 = 93.32$।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि किस डिवीजन में अधिक एकरूपता है,हम प्रत्येक डिवीजन के लिए विचरण गुणांक ($C$.$V$.) की गणना करते हैं। $C$.$V$. का सूत्र $\text{C.V.} = \frac{\text{Standard Deviation}}{\text{Mean}} \times 100$ है। कम $C$.$V$. अधिक एकरूपता को दर्शाता है.\\
डिवीजन $A$ के लिए: $\text{C.V.}_A = \frac{12}{80} = 0.15$ या $15\%$.\\
डिवीजन $B$ के लिए: $\text{C.V.}_B = \frac{6}{75} = 0.08$ या $8\%$.\\
डिवीजन $C$ के लिए: $\text{C.V.}_C = \frac{8}{70} \approx 0.114$ या $11.4\%$.\\
डिवीजन $D$ के लिए: $\text{C.V.}_D = \frac{10}{72} \approx 0.139$ या $13.9\%$.\\
चूंकि डिवीजन $B$ के लिए $C$.$V$. सबसे कम है,इसलिए इसमें सबसे अधिक एकरूपता है.

(D) दिया है $n = 16$ और $\Sigma x_i = 528$. \\ माध्य $\overline{x} = \frac{\Sigma x_i}{n} = \frac{528}{16} = 33$. \\ माध्य $33$ से विचलनों के वर्गों का योग $\Sigma(x_i - 33)^2 = 9158$ है। \\ प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \Sigma(x_i - \overline{x})^2$. \\ अतः,$\sigma^2 = \frac{9158}{16} = 572.375$.

(D) विचरण गुणांक का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{विचरण गुणांक} = \frac{\text{मानक विचलन}}{\text{माध्य}} \times 100$
यहाँ,$\text{मानक विचलन} = 12$ और $\text{माध्य} = 72$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\text{विचरण गुणांक} = \frac{12}{72} \times 100 \% = \frac{1}{6} \times 100 \% = 16.67 \%$

(A) दिया गया है: $n = 50$,$\Sigma x_i^2 = 3050$,और $\bar{x} = 6$.
मानक विचलन ($S$.$D$.) का सूत्र $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \Sigma x_i^2 - (\bar{x})^2}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma = \sqrt{\frac{3050}{50} - (6)^2}$
$\sigma = \sqrt{61 - 36}$
$\sigma = \sqrt{25}$
$\sigma = 5$.
अतः,मानक विचलन $5$ है।

(D) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2$ सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\sum x_i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2$
$\sigma^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$
$\frac{n+1}{2}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{4n+2 - 3n-3}{6} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n+1}{2} \left( \frac{n-1}{6} \right)$
$\sigma^2 = \frac{n^2-1}{12}$

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का मानक विचलन ($S$.$D$.) ज्ञात करने का सूत्र है: $\sigma = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$.
यहाँ $\sigma = 2$ दिया गया है,इसलिए:
$2 = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{n^2-1}{12}$
$48 = n^2 - 1$
$n^2 = 49$
$n = 7$ (चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है)।
अतः,$n$ का मान $7$ है।

(C) दिया गया है $\sum x = 12$,$\sum x^2 = 16.9$,और $n = 10$।
मानक विचलन का सूत्र $S.D. = \sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - (\frac{\sum x}{n})^2}$ है।
मान रखने पर:
$S.D. = \sqrt{\frac{16.9}{10} - (\frac{12}{10})^2}$
$S.D. = \sqrt{1.69 - (1.2)^2}$
$S.D. = \sqrt{1.69 - 1.44}$
$S.D. = \sqrt{0.25}$
$S.D. = 0.5$.

(C) हम जानते हैं कि विचरण गुणांक ($C$.$V$.) का सूत्र इस प्रकार है:
$C.V. = \frac{\text{मानक विचलन}}{\text{माध्य}} \times 100$
प्रत्येक विषय के लिए $C$.$V$. की गणना:
$1. (C.V.)_{\text{भौतिकी}} = \frac{3}{20} = 0.15$
$2. (C.V.)_{\text{रसायन विज्ञान}} = \frac{2}{25} = 0.08$
$3. (C.V.)_{\text{गणित}} = \frac{4}{23} \approx 0.174$
$4. (C.V.)_{\text{जीव विज्ञान}} = \frac{5}{27} \approx 0.185$
मानों की तुलना करने पर,जीव विज्ञान में सबसे अधिक परिवर्तनशीलता देखी जाती है क्योंकि इसका विचरण गुणांक सबसे अधिक $(0.185)$ है।

(B) $5$ से बड़ी पहली छह अभाज्य संख्याएँ $7, 11, 13, 17, 19, 23$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{7+11+13+17+19+23}{6} = \frac{90}{6} = 15$ है।
प्रसरण $\sigma^2$ का सूत्र $\frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ है।
$\sigma^2 = \frac{(7-15)^2 + (11-15)^2 + (13-15)^2 + (17-15)^2 + (19-15)^2 + (23-15)^2}{6}$
$\sigma^2 = \frac{(-8)^2 + (-4)^2 + (-2)^2 + (2)^2 + (4)^2 + (8)^2}{6}$
$\sigma^2 = \frac{64 + 16 + 4 + 4 + 16 + 64}{6} = \frac{168}{6} = 28$.

(D) माना कि मूल प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_6$ हैं और उनका प्रसरण $\sigma^2 = 16$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक $\lambda$ से गुणा किया जाता है,तो नया प्रसरण $\sigma'^2 = \lambda^2 \sigma^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$\lambda = 3$ और $\sigma^2 = 16$ है।
अतः,नया प्रसरण:
$\sigma'^2 = 3^2 \times 16$
$\sigma'^2 = 9 \times 16$
$\sigma'^2 = 144$

(B) प्रसरण का सूत्र $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2$ है।
यहाँ,$n = 4$ और प्रसरण $\sigma^2 = 5$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{-1 + 0 + 1 + k}{4} = \frac{k}{4}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \frac{1}{4} [(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + k^2] - (\frac{k}{4})^2$.
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \frac{k^2}{16}$.
हर को हटाने के लिए समीकरण को $16$ से गुणा करने पर:
$80 = 4(2 + k^2) - k^2$.
$80 = 8 + 4k^2 - k^2$.
$80 - 8 = 3k^2$.
$72 = 3k^2$.
$k^2 = 24$.
चूँकि $k > 0$,इसलिए $k = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

(A) मानक विचलन मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है।
$\therefore$ $x_{i}$ का मानक विचलन $= (x_{i}-2)$ का मानक विचलन।
माना $y_{i} = x_{i}-2$. तब $n = 20$ के लिए $\sum y_{i} = 20$ और $\sum y_{i}^2 = 100$ है।
$y$ का मानक विचलन $= \sqrt{\frac{\sum y_{i}^2}{n} - \left(\frac{\sum y_{i}}{n}\right)^2}$.
$y$ का मानक विचलन $= \sqrt{\frac{100}{20} - \left(\frac{20}{20}\right)^2}$.
$y$ का मानक विचलन $= \sqrt{5 - 1^2} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$x$ का मानक विचलन $2$ है।

(D) पद $x_i = (i-1)d$ हैं,जहाँ $i=1, 2, \ldots, n$.
$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (i-1)d = \frac{d}{n} \frac{(n-1)n}{2} = \frac{(n-1)d}{2}$.
$\sum x_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (i-1)^2 d^2 = d^2 \sum_{k=0}^{n-1} k^2 = d^2 \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$.
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{d^2(n-1)(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)^2 d^2}{4}$.
$\sigma^2 = \frac{d^2(n-1)}{2} \left[ \frac{2n-1}{3} - \frac{n-1}{2} \right] = \frac{d^2(n-1)}{2} \left[ \frac{4n-2-3n+3}{6} \right] = \frac{d^2(n-1)(n+1)}{12} = \frac{(n^2-1)d^2}{12}$.

(D) प्रथम $N$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{N^2-1}{12}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$N = 2n$ है।
सूत्र में $N = 2n$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sigma^2 = \frac{(2n)^2-1}{12}$
$\sigma^2 = \frac{4n^2-1}{12}$

(A) दिया गया है $n = 15$,$\sum X^2 = 2830$,और $\sum X = 170$.
गलत प्रेक्षण $= 20$,सही प्रेक्षण $= 30$.
संशोधित $\sum X = 170 - 20 + 30 = 180$.
संशोधित $\sum X^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{n} - \left(\frac{\sum X}{n}\right)^2$.
$\sigma^2 = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$.
$\sigma^2 = 222 - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(C) माना प्रेक्षण $x_1, x_2, \dots, x_{15}$ हैं।
दिया है,माध्य $\bar{x} = 10$ और प्रसरण $\sigma^2 = 6$ है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण में $k=8$ की वृद्धि की जाती है,तो नए प्रेक्षण $x_i' = x_i + 8$ हो जाते हैं।
नया माध्य $\bar{x}' = \bar{x} + 8 = 10 + 8 = 18$ होगा।
प्रसरण मूल बिंदु के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है,इसलिए नया प्रसरण $\sigma'^2 = \sigma^2 = 6$ ही रहेगा।
अतः,नया प्रसरण और नया माध्य क्रमशः $6$ और $18$ हैं।

(C) $3$ के प्रथम $10$ गुणज $3, 6, 9, \ldots, 30$ हैं।
माना $x_i = 3i$ जहाँ $i = 1, 2, \ldots, 10$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\bar{x} = \frac{3(1+2+\ldots+10)}{10} = \frac{3 \times 10 \times 11}{10 \times 2} = 16.5$.
$\sum x_i^2 = 3^2(1^2+2^2+\ldots+10^2) = 9 \times \frac{10(11)(21)}{6} = 9 \times 385 = 3465$.
$\sigma^2 = \frac{3465}{10} - (16.5)^2 = 346.5 - 272.25 = 74.25$.

(D) दिया गया है $n = 15$,$\sum x^2 = 2830$,और $\sum x = 170$.
गलत प्रेक्षण $20$ है और सही प्रेक्षण $30$ है।
संशोधित $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$.
संशोधित $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
संशोधित माध्य $\bar{x} = \frac{180}{15} = 12$.
संशोधित प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{3330}{15} - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(A) प्रथम $10$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots, 10$ हैं।
प्रत्येक में $1$ जोड़ने पर,हमें नई संख्याएँ $2, 3, 4, \ldots, 11$ प्राप्त होती हैं।
हम जानते हैं कि यदि प्रत्येक पद में एक अचर संख्या जोड़ी जाती है,तो प्रसरण अपरिवर्तित रहता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 10$ है।
$\sigma^2 = \frac{10^2 - 1}{12} = \frac{100 - 1}{12} = \frac{99}{12} = 8.25$.

(D) दिए गए प्रेक्षण $a, b, c, d, e$ हैं जिनका माध्य $m$ और मानक विचलन $S$ है।
मानक विचलन को $S = \sqrt{\frac{\sum (x_i - m)^2}{n}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
जब प्रत्येक प्रेक्षण में एक स्थिरांक $k$ जोड़ा जाता है,तो नए प्रेक्षण $x_i' = x_i + k$ होते हैं।
नया माध्य $m' = \frac{\sum (x_i + k)}{n} = \frac{\sum x_i}{n} + k = m + k$ है।
नया मानक विचलन $S' = \sqrt{\frac{\sum (x_i' - m')^2}{n}}$ है।
मान रखने पर,$S' = \sqrt{\frac{\sum ((x_i + k) - (m + k))^2}{n}} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - m)^2}{n}}$.
अतः,$S' = S$.
प्रत्येक प्रेक्षण में एक स्थिरांक जोड़ने से मानक विचलन में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(A) हम जानते हैं कि मानक विचलन $\sigma$ का सूत्र है:
$\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$
दिया गया है:
$n = 100$
$\bar{x} = 50$
$\sigma = 5$
मान रखने पर:
$5^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - (50)^2$
$25 = \frac{\Sigma x_i^2}{100} - 2500$
$\frac{\Sigma x_i^2}{100} = 2500 + 25 = 2525$
$\Sigma x_i^2 = 2525 \times 100 = 252500$
अतः,सभी प्रेक्षणों के वर्गों का योग $252500$ है।

(C) दी गई संख्याएँ $31, 32, 33, \ldots, 47$ हैं।
प्रत्येक पद से $30$ घटाने पर,हमें $1, 2, 3, \ldots, 17$ अनुक्रम प्राप्त होता है।
जब प्रत्येक पद से एक स्थिरांक घटाया जाता है तो मानक विचलन अपरिवर्तित रहता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के मानक विचलन का सूत्र $SD = \sqrt{\frac{n^{2}-1}{12}}$ है।
यहाँ,$n = 17$ है।
$SD = \sqrt{\frac{17^{2}-1}{12}} = \sqrt{\frac{289-1}{12}} = \sqrt{\frac{288}{12}}$.
$SD = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.

(D) दी गई संख्याएँ $-1, 0, 1, k$ हैं।
मानक विचलन,$\sigma = \sqrt{5}$।
हम जानते हैं कि प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$ होता है।
यहाँ,$n = 4$ है।
$\sigma^2 = 5 = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + k^2}{4} - \left(\frac{-1 + 0 + 1 + k}{4}\right)^2$।
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \left(\frac{k}{4}\right)^2$।
$5 = \frac{2 + k^2}{4} - \frac{k^2}{16}$।
पूरे समीकरण को $16$ से गुणा करने पर:
$80 = 4(2 + k^2) - k^2$।
$80 = 8 + 4k^2 - k^2$।
$72 = 3k^2$।
$k^2 = 24$।
चूँकि $k > 0$,इसलिए $k = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$।

(C) दिया गया है: $n = 100$,$\bar{x} = 50$,और $\sigma = 4$।
मानक विचलन का सूत्र $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$ है।
मान रखने पर:
$4 = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{100} - (50)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$16 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 2500$
$\frac{\sum x_i^2}{100} = 2500 + 16 = 2516$
$\sum x_i^2 = 2516 \times 100 = 251600$।
अतः,सभी मदों के वर्गों का योग $251600$ है।

(A) दिए गए आंकड़े: $6, 7, 8, 9, 10$
माध्य $(\bar{x})$ = $\frac{6+7+8+9+10}{5} = \frac{40}{5} = 8$
मानक विचलन $(SD)$ = $\sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{(6-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2}{5}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{(-2)^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2}{5}}$
$SD$ = $\sqrt{\frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5}} = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}$