આપેલ પ્રત્યેક માહિતી માટે મધ્યક અને વિચરણ શોધો :
પ્રથમ $n-$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ
The mean of first $n$ natural numbers is calculated as follows.
Mean $=\frac{\text { Sum of all observations }}{\text { Number of observations }}$
$\therefore$ Mean $=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}=\frac{n+1}{2}$
Varianvce $\left( {{\sigma ^2}} \right) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} $
$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left[ {{x_i} - \left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)} \right]}^2}} $
$ = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {2\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)} } {x_i} + \frac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)} ^2}$
$=\frac{1}{n} \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-\left(\frac{n+1}{n}\right)\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]+\frac{(n+1)^{2}}{4 n} \times n$
$=\frac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\frac{(n+1)^{2}}{2}+\frac{(n+1)^{2}}{4}$
$=\frac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\frac{(n+1)^{2}}{4}$
$=(n+1)\left[\frac{4 n+2-3 n-3}{12}\right]$
$=\frac{(n+1)(n-1)}{12}$
$=\frac{n^{2}-1}{12}$
ધારો કે $x_1, x_2, ……, x_n $ એ $n$ અવલોકનો છે અને ધારો કે $\bar x$એ એમનો સમાંતર મધ્યક છે અને $\sigma^2$ એ તેમનું વિચરણ છે.
વિધાન $ - 1 : 2x_1, 2x_2, ……, 2x_n$ નું વિચરણ $4\sigma^2$ છે.
વિધાન $- 2 : 2x_1, 2x_2, ….., 2x_n$ નો સમાંતર મધ્યક $4\,\bar x$છે.
જો $100$ અવલોકનનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $40$ અને $10$ છે આ અવલોકનોમાં બે અવલોકનો $3$ અને $27$ ને બદલે $30$ અને $70$ લેવાય ગયું તો સાચું પ્રમાણિત વિચલન મેળવો
જો $100$ વસ્તુઓના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $50$ અને $4$ હોય તો બધી વસ્તુઓનો સરવાળો મેળવો અને બધી વસ્તુઓના વર્ગોનો સરવાળો મળવો
$2n$ અવલોકનમાં અડધા અવલોકનો $'a'$ અને બાકીના અવલોકનો $' -a'$ છે જો આ અવલોકનોનું પ્રમાણિત વિચલન $2$ હોય તો $\left| a \right|$ =
$200$ અને $300$ કદ વાળા બે સમૂહનો મધ્યક અનુક્રમે $25 $ અને $10 $ છે. તેમનું પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે $3$ અને $4$ છે. $500$ કદના સંયુક્ત નમૂનાનું વિચરણ કેટલું થાય છે ?