Geometric progression Questions in Hindi

(B) प्रत्येक पीढ़ी में पूर्वजों की संख्या एक गुणोत्तर श्रेणी बनाती है: $2, 4, 8, \dots$
यहाँ,प्रथम पद $a = 2$,सार्व अनुपात $r = 2$,और पीढ़ियों की संख्या $n = 10$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र उपयोग करने पर: $S_{n} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$.
मान रखने पर: $S_{10} = \frac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1}$.
$S_{10} = 2(1024 - 1) = 2 \times 1023 = 2046$.
अतः,पूर्वजों की कुल संख्या $2046$ है।

(A) माना $1$ और $256$ के बीच तीन संख्याएँ $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ हैं,ताकि $1, G_{1}, G_{2}, G_{3}, 256$ एक $G.P.$ में हो।
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ और पाँचवाँ पद $a_{5} = ar^{4} = 256$ है।
$a = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r^{4} = 256$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = \pm 4$।
स्थिति $1$: यदि $r = 4$ है,तो संख्याएँ $G_{1} = 1 \times 4 = 4$,$G_{2} = 1 \times 4^{2} = 16$,और $G_{3} = 1 \times 4^{3} = 64$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $r = -4$ है,तो संख्याएँ $G_{1} = 1 \times (-4) = -4$,$G_{2} = 1 \times (-4)^{2} = 16$,और $G_{3} = 1 \times (-4)^{3} = -64$ हैं।
अतः,तीन संख्याएँ $4, 16, 64$ या $-4, 16, -64$ हो सकती हैं।

(A) दी गई $G.P.$ $\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}, \dots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{5}{2}$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{5/4}{5/2} = \frac{5}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$ है।
$G.P.$ का $n$ वाँ पद $a_n = a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$20$ वें पद के लिए:
$a_{20} = \frac{5}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{20-1} = \frac{5}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{19} = \frac{5}{2^1 \times 2^{19}} = \frac{5}{2^{20}}$.
$n$ वें पद के लिए:
$a_n = \frac{5}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{5}{2^1 \times 2^{n-1}} = \frac{5}{2^{1+n-1}} = \frac{5}{2^n}$.

(A) दिया गया है: सार्व अनुपात,$r = 2$।
माना $a$ $G.P.$ का प्रथम पद है।
हम जानते हैं कि $G.P.$ का $n$ वाँ पद $a_n = a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$a_8 = 192$ दिया गया है,इसलिए $a r^7 = 192$।
$r = 2$ प्रतिस्थापित करने पर: $a(2)^7 = 192$।
$a(128) = 192$।
$a = \frac{192}{128} = \frac{3}{2}$।
अब,$12$ वाँ पद ज्ञात करें: $a_{12} = a r^{11}$।
$a_{12} = \left(\frac{3}{2}\right) \times (2)^{11} = 3 \times 2^{10}$।
$a_{12} = 3 \times 1024 = 3072$।

(N/A) माना $a$ प्रथम पद है और $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
दी गई शर्त के अनुसार:
$a_{5} = ar^{4} = p$ .........$(1)$
$a_{8} = ar^{7} = q$ .........$(2)$
$a_{11} = ar^{10} = s$ .........$(3)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से भाग देने पर:
$\frac{ar^{7}}{ar^{4}} = \frac{q}{p} \Rightarrow r^{3} = \frac{q}{p}$ .........$(4)$
समीकरण $(3)$ को $(2)$ से भाग देने पर:
$\frac{ar^{10}}{ar^{7}} = \frac{s}{q} \Rightarrow r^{3} = \frac{s}{q}$ .........$(5)$
$(4)$ और $(5)$ से $r^{3}$ के मानों की तुलना करने पर:
$\frac{q}{p} = \frac{s}{q}$
$\Rightarrow q^{2} = ps$
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(A) मान लीजिए $a$ पहला पद है और $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
दिया गया है,$a = -3$.
$G.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$a_4 = a r^3 = -3 r^3$ और $a_2 = a r = -3 r$.
दी गई शर्त के अनुसार,$a_4 = (a_2)^2$.
मान रखने पर: $-3 r^3 = (-3 r)^2$.
$-3 r^3 = 9 r^2$.
दोनों पक्षों को $-3 r^2$ से विभाजित करने पर ($r \neq 0$ मानते हुए),हमें $r = -3$ प्राप्त होता है।
अब,$7$ वां पद $a_7 = a r^6$ है।
$a_7 = (-3) \times (-3)^6 = (-3)^1 \times (-3)^6 = (-3)^7$.
$a_7 = -2187$.
अतः,$G.P.$ का $7$ वां पद $-2187$ है।

(A) दिया गया अनुक्रम $2, 2\sqrt{2}, 4, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ है।
मान लीजिए कि अनुक्रम का $n^{\text{वां}}$ पद $128$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के $n^{\text{वें}}$ पद का सूत्र $a_n = a r^{n-1}$ है।
मान रखने पर:
$2(\sqrt{2})^{n-1} = 128$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर:
$(\sqrt{2})^{n-1} = 64$
$2$ के आधार में लिखने पर:
$(2^{1/2})^{n-1} = 2^6$
$2^{\frac{n-1}{2}} = 2^6$
घातों की तुलना करने पर:
$\frac{n-1}{2} = 6$
$n-1 = 12$
$n = 13$
अतः,अनुक्रम का $13^{\text{वां}}$ पद $128$ है।

(C) दिया गया अनुक्रम $\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3}, \ldots$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = \sqrt{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ है।
माना कि अनुक्रम का $n$ वाँ पद $a_n = 729$ है।
$n$ वें पद का सूत्र $a_n = a r^{n-1}$ है।
मान रखने पर,$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1} = 729$ प्राप्त होता है।
यह $(\sqrt{3})^n = 729$ में सरल हो जाता है।
चूँकि $\sqrt{3} = 3^{1/2}$,इसलिए $(3^{1/2})^n = 3^6$ है।
$3^{n/2} = 3^6$ है।
घातांकों की तुलना करने पर,$\frac{n}{2} = 6$,जिससे $n = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुक्रम का $12$ वाँ पद $729$ है।

(B) दिया गया अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{1}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$ है।
माना कि $n$-वाँ पद $a_n = \frac{1}{19683}$ है।
$n$-वें पद का सूत्र $a_n = a r^{n-1}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1}{3} \times (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{19683}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(\frac{1}{3})^n = \frac{1}{19683}$ हो जाता है।
चूँकि $3^9 = 19683$,इसलिए $(\frac{1}{3})^n = (\frac{1}{3})^9$ है।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $n = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुक्रम का $9$-वाँ पद $\frac{1}{19683}$ है।

(C) तीन संख्याओं $a, b, c$ के $G.P.$ में होने के लिए,शर्त $b^2 = ac$ होती है।
यहाँ,$a = \frac{2}{7}$,$b = x$,और $c = -\frac{7}{2}$ है।
इन मानों को शर्त में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = \left(\frac{2}{7}\right) \times \left(-\frac{7}{2}\right)$
$x^2 = -1$
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में,किसी भी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है। अतः,$x$ का कोई भी वास्तविक मान इस शर्त को संतुष्ट नहीं करता है।
यदि प्रश्न में अनुक्रम $\frac{2}{7}, x, \frac{7}{2}$ (जहाँ $c = \frac{7}{2}$) माना जाए,तो $x^2 = \left(\frac{2}{7}\right) \times \left(\frac{7}{2}\right) = 1$ होगा,जिससे $x = \pm 1$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,यह अत्यधिक संभावित है कि प्रश्न में अनुक्रम $\frac{2}{7}, x, \frac{7}{2}$ होना चाहिए था।

(A) दी गई $G.P.$ $0.15, 0.015, 0.0015, \dots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 0.15$ और सार्व अनुपात $r = \frac{0.015}{0.15} = 0.1$ है।
$G.P.$ के $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 20$ के लिए,$S_{20} = \frac{0.15[1-(0.1)^{20}]}{1-0.1}$ है।
$S_{20} = \frac{0.15}{0.9}[1-(0.1)^{20}]$।
$S_{20} = \frac{15}{90}[1-(0.1)^{20}]$।
$S_{20} = \frac{1}{6}[1-(0.1)^{20}]$।

(A) दी गई $G.P.$ $\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = \sqrt{7}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}} = \sqrt{3}$ है।
$G.P.$ के $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S_{n} = \frac{\sqrt{7}((\sqrt{3})^{n}-1)}{\sqrt{3}-1}$ प्राप्त होता है।
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $(\sqrt{3}+1)$ से गुणा करें:
$S_{n} = \frac{\sqrt{7}((\sqrt{3})^{n}-1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$
$S_{n} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)(3^{\frac{n}{2}}-1)}{3-1}$
$S_{n} = \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)}{2}\left[(3)^{\frac{n}{2}}-1\right]$.

(A) दी गई $G.P.$ है: $1, -a, a^{2}, -a^{3}, \ldots$
यहाँ,प्रथम पद $a_{1} = 1$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{-a}{1} = -a$ है।
$G.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}$ है।
मान रखने पर,$S_{n} = \frac{1(1-(-a)^{n})}{1-(-a)}$।
अतः,$S_{n} = \frac{1-(-a)^{n}}{1+a}$।

(A) दी गई $G.P.$ है: $x^{3}, x^{5}, x^{7}, \ldots$
यहाँ,प्रथम पद $a = x^{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{x^{5}}{x^{3}} = x^{2}$ है।
$G.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ है।
$a$ और $r$ के मान रखने पर:
$S_{n} = \frac{x^{3}(1-(x^{2})^{n})}{1-x^{2}}$
$S_{n} = \frac{x^{3}(1-x^{2n})}{1-x^{2}}$

हमें $\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right)}$ का मान ज्ञात करना है।
योग के गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right) = } \sum\limits_{k = 1}^{11} {2 + } \sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}} = 2 \times 11 + \sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}} = 22 + \sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}} \quad \dots (1)$
$\sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}}$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 3$,सार्व अनुपात $r = 3$ और पदों की संख्या $n = 11$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है।
मान रखने पर:
$S_{11} = \frac{3(3^{11} - 1)}{3 - 1} = \frac{3}{2}(3^{11} - 1)$.
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right) = 22 + \frac{3}{2}(3^{11} - 1)}$.

(A) माना $G.P.$ के प्रथम तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया है,पदों का गुणनफल $1$ है:
$(\frac{a}{r}) \times a \times (ar) = 1$
$a^3 = 1 \Rightarrow a = 1$.
दिया है,पदों का योग $\frac{39}{10}$ है:
$\frac{a}{r} + a + ar = \frac{39}{10}$
$a = 1$ रखने पर:
$\frac{1}{r} + 1 + r = \frac{39}{10}$
$1 + r + r^2 = \frac{39}{10}r$
$10r^2 + 10r + 10 = 39r$
$10r^2 - 29r + 10 = 0$
$10r^2 - 25r - 4r + 10 = 0$
$5r(2r - 5) - 2(2r - 5) = 0$
$(5r - 2)(2r - 5) = 0$
$r = \frac{2}{5}$ या $r = \frac{5}{2}$.
यदि $r = \frac{5}{2}$ है,तो पद $\frac{2}{5}, 1, \frac{5}{2}$ हैं।
यदि $r = \frac{2}{5}$ है,तो पद $\frac{5}{2}, 1, \frac{2}{5}$ हैं।

(C) दी गई $G.P.$ $3, 3^{2}, 3^{3}, \dots$ है।
माना कि इस $G.P.$ के $n$ पदों का योग $120$ है।
$G.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_{n} = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ है (जहाँ $r > 1$)।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अनुपात $r = \frac{3^{2}}{3} = 3$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$120 = \frac{3(3^{n}-1)}{3-1}$
$120 = \frac{3(3^{n}-1)}{2}$
$120 \times \frac{2}{3} = 3^{n}-1$
$40 \times 2 = 3^{n}-1$
$80 = 3^{n}-1$
$3^{n} = 81$
$3^{n} = 3^{4}$
अतः,$n = 4$ है।
इस प्रकार,दी गई $G.P.$ के $4$ पदों का योग $120$ होगा।

(N/A) माना $G.P.$ $a, ar, ar^{2}, ar^{3}, ar^{4}, ar^{5}, \dots$ है।
दी गई शर्त के अनुसार:
$a + ar + ar^{2} = 16$ --- $(1)$
$ar^{3} + ar^{4} + ar^{5} = 128$ --- $(2)$
$(1)$ से,$a(1 + r + r^{2}) = 16$
$(2)$ से,$ar^{3}(1 + r + r^{2}) = 128$
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{ar^{3}(1 + r + r^{2})}{a(1 + r + r^{2})} = \frac{128}{16}$
$r^{3} = 8 \Rightarrow r = 2$
$r = 2$ को $(1)$ में रखने पर:
$a(1 + 2 + 4) = 16$ $\Rightarrow 7a = 16$ $\Rightarrow a = \frac{16}{7}$
$n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{n} = \frac{16}{7} \times \frac{(2^{n} - 1)}{2 - 1} = \frac{16}{7}(2^{n} - 1)$

(A) दिया गया है कि $a=729$ और $a_{7}=64$.
माना $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
हम जानते हैं कि $a_{n}=a r^{n-1}$.
$a_{7}=a r^{6} = 729 r^{6} = 64$.
$r^{6} = \frac{64}{729} = \left(\frac{2}{3}\right)^{6}$.
अतः,$r = \frac{2}{3}$.
$G.P.$ के $n$ पदों का योग $S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{7}=\frac{729(1-(2/3)^{7})}{1-2/3} = \frac{729(1-(2/3)^{7})}{1/3}$.
$S_{7} = 3 \times 729 \times \left(1 - \frac{2^{7}}{3^{7}}\right) = 3^{7} \times \left(\frac{3^{7}-2^{7}}{3^{7}}\right)$.
$S_{7} = 3^{7} - 2^{7} = 2187 - 128 = 2059$.

माना $a$ प्रथम पद है और $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$a + ar = -4$ .......$(1)$
$ar^4 = 4 \times ar^2$
चूँकि $a \neq 0$,इसलिए $r^2 = 4$,जिसका अर्थ है $r = 2$ या $r = -2$ है।
स्थिति $1$: यदि $r = 2$ है,तो $(1)$ से:
$a + 2a = -4$ $\Rightarrow 3a = -4$ $\Rightarrow a = -\frac{4}{3}$।
$G.P.$ $-\frac{4}{3}, -\frac{8}{3}, -\frac{16}{3}, \dots$ है।
स्थिति $2$: यदि $r = -2$ है,तो $(1)$ से:
$a - 2a = -4$ $\Rightarrow -a = -4$ $\Rightarrow a = 4$।
$G.P.$ $4, -8, 16, -32, \dots$ है।

(N/A) माना $a$ प्रथम पद है और $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
दी गई शर्त के अनुसार:
$a_{4} = ar^{3} = x$ $(1)$
$a_{10} = ar^{9} = y$ $(2)$
$a_{16} = ar^{15} = z$ $(3)$
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{y}{x} = \frac{ar^{9}}{ar^{3}} = r^{6}$
$(3)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{z}{y} = \frac{ar^{15}}{ar^{9}} = r^{6}$
चूंकि $\frac{y}{x} = \frac{z}{y} = r^{6}$,क्रमागत पदों के बीच का अनुपात स्थिर है।
अतः,$x, y, z$ एक $G.P.$ में हैं।

(A) अभीष्ट योग संगत पदों के गुणनफलों का योग है:
योग $= (2 \times 128) + (4 \times 32) + (8 \times 8) + (16 \times 2) + (32 \times \frac{1}{2})$
योग $= 256 + 128 + 64 + 32 + 16$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है जिसमें प्रथम पद $a = 256$,सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ और पदों की संख्या $n = 5$ है।
$G.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
$S_5 = \frac{256(1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{256(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = 512 \times \frac{31}{32} = 16 \times 31 = 496$.

(N/A) दिए गए अनुक्रम $a, ar, ar^{2}, \dots, ar^{n-1}$ और $A, AR, AR^{2}, \dots, AR^{n-1}$ हैं।
उनके संगत पदों का गुणनफल $aA, (ar)(AR), (ar^{2})(AR^{2}), \dots, (ar^{n-1})(AR^{n-1})$ है,जो $aA, (arR), (arR)^{2}, \dots, (arR)^{n-1}$ के रूप में सरल होता है।
यह जांचने के लिए कि क्या यह एक $G.P.$ है,हम क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\frac{\text{दूसरा पद}}{\text{पहला पद}} = \frac{arAR}{aA} = rR$
$\frac{\text{तीसरा पद}}{\text{दूसरा पद}} = \frac{ar^{2}AR^{2}}{arAR} = rR$
चूंकि क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर है,इसलिए यह अनुक्रम $rR$ के सार्व अनुपात के साथ एक $G.P.$ बनाता है।

माना $a$ प्रथम पद है और $r$ गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात है।
पद $a_{1}=a, a_{2}=a r, a_{3}=a r^{2}, a_{4}=a r^{3}$ हैं।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$a_{3} = a_{1} + 9 \Rightarrow a r^{2} = a + 9$ ..........$(1)$
$a_{2} = a_{4} + 18 \Rightarrow a r = a r^{3} + 18$ ..........$(2)$
$(1)$ से,$a(r^{2} - 1) = 9.$ ..........$(3)$
$(2)$ से,$a r(1 - r^{2}) = 18 \Rightarrow -a r(r^{2} - 1) = 18.$ ..........$(4)$
$(4)$ को $(3)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{-a r(r^{2} - 1)}{a(r^{2} - 1)} = \frac{18}{9}$
$-r = 2 \Rightarrow r = -2.$
$r = -2$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$a((-2)^{2} - 1) = 9$
$a(4 - 1) = 9$
$3a = 9 \Rightarrow a = 3.$
चार संख्याएँ $a, ar, ar^{2}, ar^{3}$ हैं।
$a = 3$ और $r = -2$ रखने पर:
$3, 3(-2), 3(-2)^{2}, 3(-2)^{3}$
$3, -6, 12, -24.$

(N/A) मान लीजिए $A$ प्रथम पद है और $R$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$A R^{p-1} = a$
$A R^{q-1} = b$
$A R^{r-1} = c$
अब,व्यंजक $a^{q-r} \cdot b^{r-p} \cdot c^{p-q}$ पर विचार करें:
$= (A R^{p-1})^{q-r} \cdot (A R^{q-1})^{r-p} \cdot (A R^{r-1})^{p-q}$
$= A^{q-r+r-p+p-q} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
$A$ का घातांक ज्ञात करने पर:
$q-r+r-p+p-q = 0$
$R$ का घातांक ज्ञात करने पर:
$(pq - pr - q + r) + (qr - pq - r + p) + (rp - rq - p + q) = 0$
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$= A^0 \cdot R^0 = 1 \cdot 1 = 1$
इस प्रकार,परिणाम सिद्ध होता है।

$G.P.$ का प्रथम पद $a$ है और $n^{\text{th}}$ पद $b$ है।
अतः,$G.P.$ है $a, ar, ar^{2}, ar^{3}, \dots, ar^{n-1}$,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है।
$b = ar^{n-1}$ .........$(1)$
$P = n \text{ पदों का गुणनफल}$
$P = (a)(ar)(ar^{2}) \dots (ar^{n-1})$
$P = (a \times a \times \dots \times a)(r \times r^{2} \times \dots \times r^{n-1})$
$P = a^{n} r^{1 + 2 + \dots + (n-1)}$ .........$(2)$
यहाँ,$1, 2, \dots, (n-1)$ एक $A.P.$ है।
$n-1$ पदों का योग $= \frac{(n-1)}{2} [1 + (n-1)] = \frac{n(n-1)}{2}$.
$P = a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$P^{2} = (a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}})^{2} = a^{2n} r^{n(n-1)}$
$P^{2} = (a^{2} r^{n-1})^{n}$
$P^{2} = (a \cdot ar^{n-1})^{n}$
$(1)$ का उपयोग करने पर,$P^{2} = (ab)^{n}$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

माना $a$ प्रथम पद है और $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
$(n+1)^{th}$ से $(2n)^{th}$ पद तक के पद एक $G.P.$ बनाते हैं जिसका प्रथम पद $a_{n+1} = ar^n$ है और पदों की संख्या $n$ है।
इन पदों का योग $S' = \frac{a_{n+1}(1-r^n)}{1-r} = \frac{ar^n(1-r^n)}{1-r}$ है।
प्रथम $n$ पदों के योग और $(n+1)^{th}$ से $(2n)^{th}$ पद तक के योग का अनुपात:
$\text{अनुपात} = \frac{\frac{a(1-r^n)}{1-r}}{\frac{ar^n(1-r^n)}{1-r}} = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \times \frac{1-r}{ar^n(1-r^n)} = \frac{1}{r^n}$.
अतः,अनुपात $\frac{1}{r^n}$ है।

चूंकि $a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b=ar, c=ar^{2}, d=ar^{3}$ है।
$L.H.S. = (a^{2}+b^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2}+d^{2})$
$= (a^{2} + a^{2}r^{2} + a^{2}r^{4})(a^{2}r^{2} + a^{2}r^{4} + a^{2}r^{6})$
$= a^{2}(1 + r^{2} + r^{4}) \times a^{2}r^{2}(1 + r^{2} + r^{4})$
$= a^{4}r^{2}(1 + r^{2} + r^{4})^{2}$
$R.H.S. = (ab+bc+cd)^{2}$
$= (a(ar) + (ar)(ar^{2}) + (ar^{2})(ar^{3}))^{2}$
$= (a^{2}r + a^{2}r^{3} + a^{2}r^{5})^{2}$
$= (a^{2}r(1 + r^{2} + r^{4}))^{2}$
$= a^{4}r^{2}(1 + r^{2} + r^{4})^{2}$
चूंकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः सर्वसमिका सिद्ध हुई।

(A) मान लीजिए कि $3$ और $81$ के बीच दो संख्याएँ $G_{1}$ और $G_{2}$ हैं,ताकि अनुक्रम $3, G_{1}, G_{2}, 81$ एक $G.P.$ बनाए।
मान लीजिए $a$ प्रथम पद है और $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ और चौथा पद $a_{4} = 81$ है।
$G.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_{n} = a r^{n-1}$ है।
अतः,$81 = 3 \times r^{4-1} = 3 r^{3}$.
$r^{3} = \frac{81}{3} = 27$.
$r = \sqrt[3]{27} = 3$.
अब,$G_{1} = a r = 3 \times 3 = 9$.
$G_{2} = a r^{2} = 3 \times (3)^{2} = 3 \times 9 = 27$.
अतः,अभीष्ट दो संख्याएँ $9$ और $27$ हैं।

(A) बैक्टीरिया की संख्या हर घंटे दोगुनी हो जाती है,जो एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ बनाती है जहाँ प्रारंभिक बैक्टीरिया $a = 30$ और सार्व अनुपात $r = 2$ है।
$t$ घंटे के बाद बैक्टीरिया की संख्या $a_{t+1} = a \times r^{t} = 30 \times 2^{t}$ द्वारा दी जाती है।
$2^{\text{nd}}$ घंटे के अंत में $(t=2)$: $30 \times 2^{2} = 30 \times 4 = 120$.
$4^{\text{th}}$ घंटे के अंत में $(t=4)$: $30 \times 2^{4} = 30 \times 16 = 480$.
$n^{\text{th}}$ घंटे के अंत में $(t=n)$: $30 \times 2^{n}$.

(A) जमा की गई मूल राशि $P = Rs. 500$ है।
वार्षिक ब्याज दर $r = 10\% = 0.10$ है।
$n$ वर्षों के बाद चक्रवृद्धि ब्याज के साथ राशि $A = P(1 + r)^n$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
यहाँ,$n = 10$ वर्ष है।
मान रखने पर,$A = 500(1 + 0.10)^{10}$।
$A = 500(1.1)^{10}$।

दिया गया है कि $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(ab+bc+cd) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$ $(1)$
व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a^{2}p^{2}-2abp+b^{2})+(b^{2}p^{2}-2bcp+c^{2})+(c^{2}p^{2}-2cdp+d^{2}) \leq 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(ap-b)^{2}+(bp-c)^{2}+(cp-d)^{2} \leq 0$ $(2)$
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग के $\leq 0$ होने का एकमात्र तरीका यह है कि प्रत्येक पद $0$ के बराबर हो:
$(ap-b)^{2} = 0, (bp-c)^{2} = 0, (cp-d)^{2} = 0$
इसका तात्पर्य है $ap=b, bp=c, cp=d$.
अतः,$\frac{b}{a} = p, \frac{c}{b} = p, \frac{d}{c} = p$.
चूंकि सार्व अनुपात स्थिर है,इसलिए $a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं।

(A) मान लीजिए कि $G.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = 315$ है।
$G.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है।
दिया गया है कि प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अनुपात $r = 2$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $315 = \frac{5(2^n - 1)}{2 - 1}$.
$315 = 5(2^n - 1)$.
$2^n - 1 = \frac{315}{5} = 63$.
$2^n = 64 = 2^6$.
अतः,$n = 6$.
$G.P.$ का अंतिम पद $n^{th}$ पद है,जो $a_n = a \cdot r^{n-1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$a_6 = 5 \cdot 2^{6-1} = 5 \cdot 2^5 = 5 \cdot 32 = 160$.
इस प्रकार,अंतिम पद $160$ है और पदों की संख्या $6$ है।

(C) माना $a$ प्रथम पद है और $r$ $G.P.$ का सार्व अनुपात है।
दिया है $a = 1$।
तीसरा पद $a_3 = ar^2 = r^2$ और पांचवां पद $a_5 = ar^4 = r^4$ है।
प्रश्न के अनुसार,$a_3 + a_5 = 90$ है।
अतः,$r^2 + r^4 = 90$,जिसका अर्थ है $r^4 + r^2 - 90 = 0$।
माना $x = r^2$। तब $x^2 + x - 90 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 10)(x - 9) = 0$।
इससे $x = -10$ या $x = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि वास्तविक $r$ के लिए $x = r^2$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $r^2 = 9$।
अतः,$r = \pm 3$।

(B) माना $G.P.$ $a, ar, ar^2, ar^3, \dots, ar^{2n-1}$ है।
पदों की संख्या $= 2n$.
सभी पदों का योग $S_{2n} = \frac{a(r^{2n}-1)}{r-1}$.
विषम स्थानों पर स्थित पदों का योग $S_{odd} = a + ar^2 + \dots + ar^{2n-2} = \frac{a((r^2)^n - 1)}{r^2 - 1} = \frac{a(r^{2n}-1)}{r^2-1}$.
दिया गया है कि $S_{2n} = 5 \times S_{odd}$.
$\frac{a(r^{2n}-1)}{r-1} = 5 \times \frac{a(r^{2n}-1)}{r^2-1}$.
चूंकि $r \neq 1$ और $r^{2n} \neq 1$,हम दोनों पक्षों से $\frac{a(r^{2n}-1)}{r-1}$ को काट सकते हैं।
$1 = \frac{5}{r+1}$.
$r+1 = 5$.
$r = 4$.

(A) दिया गया है कि $\frac{a+bx}{a-bx} = \frac{b+cx}{b-cx}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$(a+bx)(b-cx) = (a-bx)(b+cx)$
$ab - acx + b^2x - bcx^2 = ab + acx - b^2x - bcx^2$
$2b^2x = 2acx$
चूंकि $x \neq 0$,हमें $b^2 = ac$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} \dots (1)$.
इसी प्रकार,$\frac{b+cx}{b-cx} = \frac{c+dx}{c-dx}$ दिया गया है।
$(b+cx)(c-dx) = (b-cx)(c+dx)$
$bc - bdx + c^2x - cdx^2 = bc + bdx - c^2x - cdx^2$
$2c^2x = 2bdx$
चूंकि $x \neq 0$,हमें $c^2 = bd$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{c}{b} = \frac{d}{c} \dots (2)$.
$(1)$ और $(2)$ से,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$।
अतः,$a, b, c$ और $d$ $G.P.$ में हैं।

मान लीजिए $G.P.$ $a, ar, ar^{2}, \ldots, ar^{n-1}$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$S = \frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$
$P = a \cdot (ar) \cdot (ar^{2}) \cdots (ar^{n-1}) = a^{n} r^{1+2+\ldots+(n-1)}$
$P = a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}$
$R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^{2}} + \cdots + \frac{1}{ar^{n-1}}$
$R = \frac{r^{n-1} + r^{n-2} + \cdots + 1}{ar^{n-1}} = \frac{\frac{1(r^{n}-1)}{r-1}}{ar^{n-1}} = \frac{r^{n}-1}{ar^{n-1}(r-1)}$
अब,$P^{2} R^{n}$ पर विचार करें:
$P^{2} R^{n} = (a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}})^{2} \times \left( \frac{r^{n}-1}{ar^{n-1}(r-1)} \right)^{n}$
$P^{2} R^{n} = a^{2n} r^{n(n-1)} \times \frac{(r^{n}-1)^{n}}{a^{n} r^{n(n-1)} (r-1)^{n}}$
$P^{2} R^{n} = \frac{a^{n} (r^{n}-1)^{n}}{(r-1)^{n}}$
$P^{2} R^{n} = \left( \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \right)^{n}$
$P^{2} R^{n} = S^{n}$
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(N/A) यह दिया गया है कि $a, b, c,$ और $d$ $G.P.$ में हैं।
$\therefore b^{2}=ac$ ........$(1)$
$c^{2}=bd$ ........$(2)$
$ad=bc$ ........$(3)$
यह सिद्ध करना है कि $(a^{n}+b^{n}), (b^{n}+c^{n}), (c^{n}+d^{n})$ $G.P.$ में हैं,अर्थात,
$(b^{n}+c^{n})^{2}=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n})$
$L.H.S.$ लीजिए।
$(b^{n}+c^{n})^{2}=b^{2n}+2b^{n}c^{n}+c^{2n}$
$=(b^{2})^{n}+2b^{n}c^{n}+(c^{2})^{n}$
$=(ac)^{n}+2b^{n}c^{n}+(bd)^{n}$ [ $(1)$ और $(2)$ का उपयोग करते हुए ]
$=a^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+b^{n}d^{n}$
$=a^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+a^{n}d^{n}+b^{n}d^{n}$ [ $(3)$ का उपयोग करते हुए,चूँकि $bc=ad$,इसलिए $b^{n}c^{n}=a^{n}d^{n}$ ]
$=c^{n}(a^{n}+b^{n})+d^{n}(a^{n}+b^{n})$
$=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n}) = R.H.S.$
$\therefore (b^{n}+c^{n})^{2}=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n})$
अतः,$(a^{n}+b^{n}), (b^{n}+c^{n}),$ और $(c^{n}+d^{n})$ $G.P.$ में हैं।

(A) प्रत्येक सेट में भेजे गए पत्रों की संख्या एक $G.P.$ बनाती है: $4, 4^2, 4^3, \ldots, 4^8$.
प्रथम पद $(a) = 4$.
सार्व अनुपात $(r) = 4$.
पदों की संख्या $(n) = 8$.
$G.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
$S_8 = \frac{4(4^8 - 1)}{4 - 1} = \frac{4(65536 - 1)}{3} = \frac{4(65535)}{3} = 4(21845) = 87380$.
एक पत्र भेजने की लागत $50$ पैसे है,जो $Rs. 0.50$ है।
कुल लागत $= 87380 \times 0.50 = Rs. 43690$.

(A) मशीन की प्रारंभिक लागत $P = 15625$ है।
मूल्यह्रास की दर $r = 20\% = 0.2$ है।
$5$ वर्षों के बाद मशीन का मूल्य $V = P(1 - r)^n$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$V = 15625 \times (1 - 0.2)^5$
$V = 15625 \times (0.8)^5$
$V = 15625 \times \left(\frac{4}{5}\right)^5$
$V = 15625 \times \frac{1024}{3125}$
$V = 5 \times 1024 = 5120$
अतः,$5$ वर्षों के अंत में मशीन का अनुमानित मूल्य $Rs. 5120$ है।

(D) माना $G.P.$ के तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि गुणनफल $27$ है,अतः $\frac{a}{r} \times a \times ar = 27$ $\Rightarrow a^3 = 27$ $\Rightarrow a = 3$.
योग $S = \frac{3}{r} + 3 + 3r = 3(\frac{1}{r} + r + 1)$.
स्थिति $1$: यदि $r > 0$ है,तो $AM \geq GM$ द्वारा,$\frac{1}{r} + r \geq 2$. अतः,$S = 3(\frac{1}{r} + r + 1) \geq 3(2 + 1) = 9$.
स्थिति $2$: यदि $r < 0$ है,तो $r = -k$ लें जहाँ $k > 0$ है। तब $\frac{1}{r} + r = -(\frac{1}{k} + k) \leq -2$. अतः,$S = 3(\frac{1}{r} + r + 1) \leq 3(-2 + 1) = -3$.
अतः,$S \in (-\infty, -3] \cup [9, \infty)$.

(B) माना प्रथम पद $a > 0$ और सार्व अनुपात $r > 0$ है।
दूसरे,तीसरे और चौथे पदों का योग $3$ दिया गया है:
$ar + ar^2 + ar^3 = 3$ --- $(1)$
छठे,सातवें और आठवें पदों का योग $243$ दिया गया है:
$ar^5 + ar^6 + ar^7 = 243$
$r^4(ar + ar^2 + ar^3) = 243$
इस समीकरण में $(1)$ का मान रखने पर:
$r^4(3) = 243$ $\Rightarrow r^4 = 81$ $\Rightarrow r = 3$ (चूंकि $r > 0$ है)।
$r = 3$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$a(3) + a(9) + a(27) = 3$
$39a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{39} = \frac{1}{13}$.
पहले $50$ पदों का योग $S_{50}$ इस प्रकार है:
$S_{50} = \frac{a(r^{50}-1)}{r-1} = \frac{\frac{1}{13}(3^{50}-1)}{3-1} = \frac{1}{26}(3^{50}-1)$.

(C) दी गई व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 2^{10}$,सार्व अनुपात $r = \frac{3}{2}$ और पदों की संख्या $n = 11$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $S' = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $S' = 2^{10} \frac{(\frac{3}{2})^{11} - 1}{\frac{3}{2} - 1} = 2^{10} \frac{\frac{3^{11}}{2^{11}} - 1}{\frac{1}{2}} = 2^{11} \left( \frac{3^{11} - 2^{11}}{2^{11}} \right) = 3^{11} - 2^{11}$.
दिया गया है कि $S' = S - 2^{11}$,इसलिए $3^{11} - 2^{11} = S - 2^{11}$.
अतः,$S = 3^{11}$.

(C) दिया गया समीकरण: $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2} - 2(ab+bc+cd) p + (b^{2}+c^{2}+d^{2}) = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(a^{2}p^{2} - 2abp + b^{2}) + (b^{2}p^{2} - 2bcp + c^{2}) + (c^{2}p^{2} - 2cdp + d^{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(ap - b)^{2} + (bp - c)^{2} + (cp - d)^{2} = 0$।
चूंकि $a, b, c, d, p$ वास्तविक संख्याएँ हैं,वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो:
$ap - b = 0 \Rightarrow p = \frac{b}{a}$
$bp - c = 0 \Rightarrow p = \frac{c}{b}$
$cp - d = 0 \Rightarrow p = \frac{d}{c}$
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c} = p$।
यह दर्शाता है कि $a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं।

(D) मान लीजिए $a_{n}$ वर्ग $A_{n}$ की भुजा की लंबाई है।
दिया गया है कि $A_{n}$ की भुजा की लंबाई = $A_{n+1}$ का विकर्ण,इसलिए $a_{n} = \sqrt{2} a_{n+1}$,जिसका अर्थ है $a_{n+1} = \frac{a_{n}}{\sqrt{2}}$।
यह भुजा की लंबाई के लिए एक गुणोत्तर श्रेणी बनाता है जिसका प्रथम पद $a_{1} = 12$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
भुजा की लंबाई $a_{n} = a_{1} \times r^{n-1} = 12 \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$ है।
$A_{n}$ का क्षेत्रफल $(a_{n})^2 = 144 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{144}{2^{n-1}}$ है।
हम चाहते हैं कि क्षेत्रफल $1$ से कम हो,इसलिए $\frac{144}{2^{n-1}} < 1$।
इसका अर्थ है $2^{n-1} > 144$।
चूंकि $2^{7} = 128$ और $2^{8} = 256$,इसलिए $n-1 \geq 8$ होना चाहिए।
अतः,$n \geq 9$। $n$ का न्यूनतम मान $9$ है।

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ वर्धमान श्रेणी के लिए $a > 0$ और $r > 1$ है।
दिया है $T_2 + T_6 = \frac{25}{2} \Rightarrow ar(1 + r^4) = \frac{25}{2} \dots (1)$
दिया है $T_3 \cdot T_5 = 25$ $\Rightarrow (ar^2)(ar^4) = 25$ $\Rightarrow a^2r^6 = 25$ $\Rightarrow ar^3 = 5$ (चूंकि $a, r > 0$)
$(1)$ से,$ar + ar^5 = \frac{25}{2}$. $a = \frac{5}{r^3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{5}{r^3} \cdot r + \frac{5}{r^3} \cdot r^5 = \frac{25}{2} \Rightarrow \frac{5}{r^2} + 5r^2 = \frac{25}{2}$
$5$ से भाग देने पर: $\frac{1}{r^2} + r^2 = \frac{5}{2} \Rightarrow 2r^4 - 5r^2 + 2 = 0$
$(2r^2 - 1)(r^2 - 2) = 0 \Rightarrow r^2 = 2$ (चूंकि $r > 1$)
अतः $a = \frac{5}{r^3} = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
$4^{\text{th}}, 6^{\text{th}}, 8^{\text{th}}$ पदों का योग $ar^3 + ar^5 + ar^7 = ar^3(1 + r^2 + r^4)$ है।
$= 5(1 + 2 + 4) = 5(7) = 35$.

(D) माना प्रथम चार पद $a, ar, ar^2, ar^3$ हैं।
प्रथम चार पदों का योग $S_4 = a\frac{r^4-1}{r-1} = \frac{65}{12} \quad (1)$.
उनके व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} + \frac{1}{ar^3} = \frac{1}{a} \frac{r^4-1}{r^3(r-1)} = \frac{65}{18} \quad (2)$.
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,$a^2 r^3 = \frac{65/12}{65/18} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि प्रथम तीन पदों का गुणनफल $a^3 r^3 = 1$ है,जिसका अर्थ है $ar = 1$,इसलिए $a = \frac{1}{r}$।
$a = \frac{1}{r}$ को $a^2 r^3 = \frac{3}{2}$ में रखने पर,$r = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{2}{3}$।
तीसरा पद $\alpha = ar^2 = \frac{2}{3} \times (\frac{3}{2})^2 = \frac{3}{2}$।
इसलिए,$2\alpha = 2 \times \frac{3}{2} = 3$।

(C) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = -16$ और सार्व अनुपात $r = -1/2$ है।
$n^{\text{th}}$ पद $t_{n} = a r^{n-1} = -16(-1/2)^{n-1}$ है।
$t_{p}$ और $t_{q}$ का समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य $x_{1}$ और $x_{2}$ हैं। समीकरण $4x^{2}-9x+5=0$ के मूल $x = 1$ और $x = 5/4$ हैं।
चूंकि समांतर माध्य > गुणोत्तर माध्य,इसलिए $AM = 5/4$ और $GM = 1$ होगा।
$AM = (t_{p} + t_{q})/2 = 5/4 \Rightarrow t_{p} + t_{q} = 5/2$.
$GM = \sqrt{t_{p} t_{q}} = 1 \Rightarrow t_{p} t_{q} = 1$.
$t_{p} = -16(-1/2)^{p-1}$ और $t_{q} = -16(-1/2)^{q-1}$ रखने पर:
$t_{p} t_{q} = 256(-1/2)^{p+q-2} = 1 \Rightarrow (-1/2)^{p+q-2} = 1/256 = (1/2)^{8}$.
चूंकि $(-1/2)^{p+q-2} = (1/2)^{8}$,इसलिए $p+q-2$ का मान $8$ के बराबर होना चाहिए।
$p+q-2 = 8 \Rightarrow p+q = 10$.

(B) अनंत $GP$ का योग $\frac{a}{1-r} = 15 \dots (i)$ द्वारा दिया जाता है।
पदों के वर्गों द्वारा बनी श्रेणी $a^{2}, a^{2}r^{2}, a^{2}r^{4}, \dots$ है,जो प्रथम पद $a^{2}$ और सार्व अनुपात $r^{2}$ वाली एक $GP$ है।
इस श्रेणी का योग $\frac{a^{2}}{1-r^{2}} = 150$ है।
हम इसे $\frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r} = 150$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस समीकरण में $(i)$ का मान रखने पर,हमें $15 \cdot \frac{a}{1+r} = 150$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{a}{1+r} = 10 \dots (ii)$।
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1+r}{1-r} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$r$ के लिए हल करने पर: $2 + 2r = 3 - 3r$ $\Rightarrow 5r = 1$ $\Rightarrow r = \frac{1}{5}$।
$r = \frac{1}{5}$ को $(i)$ में रखने पर: $\frac{a}{1 - 1/5} = 15$ $\Rightarrow \frac{a}{4/5} = 15$ $\Rightarrow a = 15 \cdot \frac{4}{5} = 12$।
श्रेणी $ar^{2}, ar^{4}, ar^{6}, \dots$ एक $GP$ है जिसका प्रथम पद $A = ar^{2}$ और सार्व अनुपात $R = r^{2}$ है।
योग $= \frac{ar^{2}}{1-r^{2}} = \frac{12 \cdot (1/5)^{2}}{1 - (1/5)^{2}} = \frac{12 \cdot (1/25)}{1 - 1/25} = \frac{12/25}{24/25} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$।

(D) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{2^n \cdot 3^{11-n}} = \frac{K}{2^{10} \cdot 3^{10}}$.
दोनों पक्षों को $2^{10} \cdot 3^{10}$ से गुणा करने पर,$K = \sum_{n=1}^{10} 2^{10-n} \cdot 3^{n-1} = 3^0 \cdot 2^9 + 3^1 \cdot 2^8 + \ldots + 3^9 \cdot 2^0$ प्राप्त होता है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 2^9$,सार्व अनुपात $r = \frac{3}{2}$ और पदों की संख्या $n = 10$ है।
$K = \frac{2^9 ((\frac{3}{2})^{10} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = 3^{10} - 2^{10}$.
अब,$K = 3^{10} - 2^{10} = (3^5 - 2^5)(3^5 + 2^5) = (211)(275)$.
$211 \equiv 1 \pmod{6}$ और $275 \equiv 5 \pmod{6}$.
अतः,$K \equiv 1 \times 5 \equiv 5 \pmod{6}$.
इस प्रकार,शेषफल $5$ है।