Geometric progression Questions in Hindi

(C) माना $GP$ में तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि उनका योग $155$ है:
$\frac{a}{r} + a + ar = 155$ $(1)$
साथ ही,पहला पद तीसरे पद से $120$ कम है:
$ar - \frac{a}{r} = 120$ $(2)$
$(2)$ से,$a(r - \frac{1}{r}) = 120 \implies a(\frac{r^2 - 1}{r}) = 120$.
$(1)$ से,$a(\frac{1 + r + r^2}{r}) = 155$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{r^2 - 1}{r^2 + r + 1} = \frac{120}{155} = \frac{24}{31}$.
$31r^2 - 31 = 24r^2 + 24r + 24$.
$7r^2 - 24r - 55 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $7r^2 - 35r + 11r - 55 = 0 \implies 7r(r - 5) + 11(r - 5) = 0$.
अतः,$r = 5$ या $r = -\frac{11}{7}$.
यदि $r = 5$ है,तो $a(\frac{1}{5} + 1 + 5) = 155 \implies a(\frac{31}{5}) = 155 \implies a = 25$.
पद $\frac{25}{5}, 25, 25 \times 5$ अर्थात $5, 25, 125$ हैं।

(D) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3$ है।
यहाँ,पद $a_1 = a$,$a_2 = b = ar$,$a_3 = c = ar^2$,और $a_4 = d = ar^3$ हैं।
हम चरम पदों और मध्य पदों का गुणनफल जाँचते हैं:
$ad = a \times ar^3 = a^2r^3$
$bc = ar \times ar^2 = a^2r^3$
अतः,$ad = bc$.

(C) माना कि दो संख्याएँ $p$ और $q$ हैं।
$p$ और $q$ के बीच दो गुणोत्तर माध्य $G_1$ और $G_2$ हैं,इसलिए $G_1 = p^{2/3}q^{1/3}$ और $G_2 = p^{1/3}q^{2/3}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{G_1^2}{G_2} + \frac{G_2^2}{G_1}$ की गणना करते हैं:
$\frac{G_1^2}{G_2} = \frac{(p^{2/3}q^{1/3})^2}{p^{1/3}q^{2/3}} = \frac{p^{4/3}q^{2/3}}{p^{1/3}q^{2/3}} = p$.
इसी प्रकार,$\frac{G_2^2}{G_1} = \frac{(p^{1/3}q^{2/3})^2}{p^{2/3}q^{1/3}} = \frac{p^{2/3}q^{4/3}}{p^{2/3}q^{1/3}} = q$.
अतः,$\frac{G_1^2}{G_2} + \frac{G_2^2}{G_1} = p + q$.
चूंकि समांतर माध्य $A = \frac{p+q}{2}$ है,इसलिए $p+q = 2A$ होता है।
अतः,मान $2A$ है।

(B) माना $x = 0.125125125 \dots$ (समीकरण $1$).
चूंकि पुनरावृत्ति ब्लॉक $3$ अंकों का है,इसलिए दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करें:
$1000x = 125.125125125 \dots$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000x - x = 125.125125 \dots - 0.125125 \dots$
$999x = 125$
$x = \frac{125}{999}$.

(B) दिया गया है $\frac{a + bx}{a - bx} = \frac{b + cx}{b - cx} = \frac{c + dx}{c - dx}$.
प्रथम दो भागों पर योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{(a + bx) + (a - bx)}{(a + bx) - (a - bx)} = \frac{(b + cx) + (b - cx)}{(b + cx) - (b - cx)}$
$\frac{2a}{2bx} = \frac{2b}{2cx} \implies \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \implies b^2 = ac$.
इसी प्रकार,अंतिम दो भागों पर लागू करने पर:
$\frac{2b}{2cx} = \frac{2c}{2dx} \implies \frac{b}{c} = \frac{c}{d} \implies c^2 = bd$.
चूंकि $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$,अतः $a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

(C) दिया गया है कि $G$,$x$ और $y$ का गुणोत्तर माध्य है,इसलिए $G = \sqrt{xy}$,जिसका अर्थ है $G^2 = xy$.
अब,व्यंजक $\frac{1}{G^2 - x^2} + \frac{1}{G^2 - y^2}$ पर विचार करें।
$G^2 = xy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1}{xy - x^2} + \frac{1}{xy - y^2}$
$= \frac{1}{x(y - x)} + \frac{1}{y(x - y)}$
$= \frac{1}{x(y - x)} - \frac{1}{y(y - x)}$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right)$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{y - x}{xy} \right)$
$= \frac{1}{xy} = \frac{1}{G^2}$.

(D) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रत्येक पद अपने बाद के दो पदों के योग के बराबर है:
$ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$
दोनों पक्षों को $ar^{n-1}$ से विभाजित करने पर:
$1 = r + r^2$
इससे हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$r^2 + r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूंकि सभी पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,हम धनात्मक मान लेंगे:
$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{1}{2}(\sqrt{5} - 1)$

(C) हमें समीकरण दिया गया है: $1 + r + r^2 + \dots + r^n = (1 + r) (1 + r^2) (1 + r^4) (1 + r^8)$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,बायां पक्ष $\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$ है।
अतः,$\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} = (1 + r) (1 + r^2) (1 + r^4) (1 + r^8)$.
दोनों पक्षों को $(1 - r)$ से गुणा करने पर:
$1 - r^{n+1} = (1 - r)(1 + r)(1 + r^2)(1 + r^4)(1 + r^8)$.
सर्वसमिका $(1 - x)(1 + x) = 1 - x^2$ का बार-बार उपयोग करने पर:
$(1 - r)(1 + r) = 1 - r^2$
$(1 - r^2)(1 + r^2) = 1 - r^4$
$(1 - r^4)(1 + r^4) = 1 - r^8$
$(1 - r^8)(1 + r^8) = 1 - r^{16}$.
इस प्रकार,$1 - r^{n+1} = 1 - r^{16}$.
घातांकों की तुलना करने पर,$n + 1 = 16$,जिससे $n = 15$ प्राप्त होता है।

(B) माना प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के पद $T_1 = 1$,$T_2 = r$,और $T_3 = r^2$ हैं।
हमें व्यंजक $f(r) = 4T_2 + 5T_3 = 4r + 5r^2$ दिया गया है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(r)$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(r) = \frac{d}{dr}(4r + 5r^2) = 4 + 10r$.
$f'(r) = 0$ रखने पर,$4 + 10r = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $10r = -4$.
अतः,$r = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.
चूंकि $f''(r) = 10 > 0$,फलन का मान $r = -\frac{2}{5}$ पर न्यूनतम है।

(C) गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि अंतिम पद $l = ar^{n-1} = 243$ और $r = 3$ है।
योग के सूत्र में $ar^n = l \times r = 243 \times 3 = 729$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S_n = \frac{ar^n - a}{r - 1} = 364$
$\frac{729 - a}{3 - 1} = 364$
$729 - a = 364 \times 2$
$729 - a = 728$
$a = 1$
अब,$ar^{n-1} = 243$ में $a = 1$ और $r = 3$ रखने पर:
$1 \times 3^{n-1} = 243$
$3^{n-1} = 3^5$
$n - 1 = 5$
$n = 6$.

(C) माना कि प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। पद $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ हैं।
दिया गया है कि तीसरा पद $a_3 = a_1^2$,इसलिए $ar^2 = a^2$ है।
चूँकि $a \neq 0$,$a$ से भाग देने पर $r^2 = a$ प्राप्त होता है।
दूसरा पद $a_2 = ar = 8$ दिया गया है,इसलिए $a = r^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$r^2 \cdot r = 8 \implies r^3 = 8 \implies r = 2$।
अब,$a$ का मान ज्ञात करें: $a = r^2 = 2^2 = 4$।
छठा पद $a_6 = ar^5$ है।
$a_6 = 4 \times (2)^5 = 4 \times 32 = 128$।

(A) माना $n$ गुणोत्तर माध्य $G_1, G_2, \dots, G_n$ हैं।
तब अनुक्रम $a, G_1, G_2, \dots, G_n, b$ एक गुणोत्तर श्रेणी बनाता है जिसमें $n+2$ पद हैं।
माना सार्व अनुपात $r$ है।
$(n+2)$-वाँ पद $T_{n+2} = a \cdot r^{(n+2)-1} = a \cdot r^{n+1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $T_{n+2} = b$,इसलिए $b = a \cdot r^{n+1}$।
अतः,$r^{n+1} = \frac{b}{a}$।
इस प्रकार,$r = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}$।

(B) माना अनंत गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ है,जहाँ $a = 1$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रत्येक पद उसके बाद के सभी पदों के योग के बराबर है।
प्रथम पद के लिए: $a = ar + ar^2 + ar^3 + \dots$
चूँकि $a = 1$,हमारे पास $1 = ar + ar^2 + ar^3 + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $ar$ और सार्व अनुपात $r$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{\text{प्रथम पद}}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$1 = \frac{ar}{1 - r}$।
$a = 1$ प्रतिस्थापित करने पर: $1 = \frac{r}{1 - r}$।
$1 - r = r \implies 2r = 1 \implies r = 1/2$।
चौथा पद $T_4 = ar^3$ है।
$T_4 = 1 \times (1/2)^3 = 1/8$।

(B) माना गुणोत्तर श्रेणी के तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
इनका गुणनफल $(\frac{a}{r}) \times a \times (ar) = a^3 = 216 = (6)^3$,अतः $a = 6$ है।
दो-दो पदों के गुणनफल का योग $(\frac{a}{r} \times a) + (a \times ar) + (ar \times \frac{a}{r}) = 156$ है।
$a = 6$ रखने पर: $\frac{36}{r} + 36r + 36 = 156$.
$\frac{36}{r} + 36r = 120$.
$12$ से भाग देने पर: $\frac{3}{r} + 3r = 10$.
$3r^2 - 10r + 3 = 0$.
$(3r - 1)(r - 3) = 0$.
अतः,$r = 3$ या $r = \frac{1}{3}$ है।
$a = 6$ और $r = 3$ के लिए,पद $\frac{6}{3}, 6, 6 \times 3$ अर्थात $2, 6, 18$ प्राप्त होते हैं।

(A) माना गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पद $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ हैं।
$S = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$.
$P = a \cdot (ar) \cdot (ar^2) \cdot \dots \cdot (ar^{n-1}) = a^n r^{\frac{n(n-1)}{2}}$.
$P^2 = a^{2n} r^{n(n-1)}$.
$R = \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}} = \frac{r^{n-1} + r^{n-2} + \dots + 1}{ar^{n-1}} = \frac{1}{ar^{n-1}} \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$.
अब,$\frac{S}{R} = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \cdot \frac{ar^{n-1}(r - 1)}{r^n - 1} = a^2 r^{n-1}$.
अतः,$(\frac{S}{R})^n = (a^2 r^{n-1})^n = a^{2n} r^{n(n-1)}$.
इस प्रकार,$P^2 = (\frac{S}{R})^n$ प्राप्त होता है।

(C) $n$ पदों $a_1, a_2, \dots, a_n$ का गुणोत्तर माध्य $(a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n)^{1/n}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,पद $3^1, 3^2, 3^3, \dots, 3^n$ हैं।
उनका गुणनफल $P = 3^1 \times 3^2 \times 3^3 \times \dots \times 3^n = 3^{(1+2+3+\dots+n)}$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
अतः,$P = 3^{n(n+1)/2}$।
गुणोत्तर माध्य $P^{1/n} = (3^{n(n+1)/2})^{1/n} = 3^{(n+1)/2}$ है।

(A) गुणोत्तर श्रेणी का $n^{th}$ पद $a r^{n-1} = 486$ है।
यहाँ $r = 3$ है,इसलिए $a(3)^{n-1} = 486$,जिसका अर्थ है $a \cdot 3^n = 3 \times 486 = 1458$ (समीकरण $i$)।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = 728$ है।
$r = 3$ रखने पर,$\frac{a(3^n - 1)}{3 - 1} = 728$,जो सरल होकर $a \cdot 3^n - a = 728 \times 2 = 1456$ हो जाता है (समीकरण $ii$)।
समीकरण $i$ से $a \cdot 3^n$ का मान समीकरण $ii$ में रखने पर:
$1458 - a = 1456$.
अतः,$a = 1458 - 1456 = 2$.

(D) दिया गया है कि $x, 2x + 2$ और $3x + 3$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।
गुणोत्तर श्रेणी के लिए,मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है: $(2x + 2)^2 = x(3x + 3)$.
इसका विस्तार करने पर,$4x^2 + 8x + 4 = 3x^2 + 3x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण $x^2 + 5x + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(x + 1)(x + 4) = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $x = -1$ या $x = -4$ मिलता है।
यदि $x = -1$ लेते हैं,तो पद $-1, 0, 0$ प्राप्त होते हैं,जो गुणोत्तर श्रेणी नहीं बना सकते।
यदि $x = -4$ लेते हैं,तो पद $-4, -6, -9$ प्राप्त होते हैं। सार्व अनुपात $r = \frac{-6}{-4} = 1.5$ है।
चौथा पद $t_4 = a \times r^3 = -4 \times (1.5)^3$ है।
$t_4 = -4 \times 3.375 = -13.5$.

(A) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 0.9 = \frac{9}{10}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{0.09}{0.9} = 0.1 = \frac{1}{10}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = a \left( \frac{1 - r^n}{1 - r} \right)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 100$ के लिए:
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{1 - \frac{1}{10}} \right)$
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{\frac{9}{10}} \right)$
$S_{100} = 1 - \left( \frac{1}{10} \right)^{100}$.

(C) दिया गया है $y = x^{1/3} \cdot x^{1/9} \cdot x^{1/27} \cdot \dots \infty$.
घातांक के नियम $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर:
$y = x^{(1/3 + 1/9 + 1/27 + \dots \infty)}$.
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 1/3$ और सार्व अनुपात $r = 1/3$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$S = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = 1/2$.
अतः,$y = x^{1/2}$.

(C) चूंकि $x, y, z$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ है।
माना $a^x = b^y = c^z = \lambda$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$x \log a = y \log b = z \log c = \log \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{\log \lambda}{\log a}$,$y = \frac{\log \lambda}{\log b}$,और $z = \frac{\log \lambda}{\log c}$ है।
इन मानों को $y^2 = xz$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{\log \lambda}{\log b})^2 = (\frac{\log \lambda}{\log a}) \times (\frac{\log \lambda}{\log c})$।
यह $(\log b)^2 = \log a \cdot \log c$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों को $\log a \cdot \log b$ से विभाजित करने पर,$\frac{\log b}{\log a} = \frac{\log c}{\log b}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\log_a b = \log_b c$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{\log_b c}$,जो कि $\log_b a = \log_c b$ है।

(A) मान लीजिए कि तीन संख्याएँ $a, b$ और $c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
$\therefore b^2 = ac$
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log(b^2) = \log(ac)$
$2 \log b = \log a + \log c$
$\log b = \frac{\log a + \log c}{2}$
यह स्थिति दर्शाती है कि लघुगणक $\log a, \log b$ और $\log c$ समांतर श्रेणी में हैं।

(C) दी गई असमिका $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \leq 0$ है।
इसे $(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \leq 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग $\leq 0$ होने के लिए प्रत्येक पद का $0$ होना आवश्यक है।
अतः,$ap - b = 0$,$bp - c = 0$,और $cp - d = 0$।
इससे $p = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

(C) दिया गया है कि $25, x - 6$ और $x - 12$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।
तीन पदों $a, b, c$ के $GP$ में होने के लिए शर्त $b^2 = ac$ है।
मान रखने पर: $(x - 6)^2 = 25(x - 12)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - 12x + 36 = 25x - 300$.
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 37x + 336 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(x - 16)(x - 21) = 0$.
अतः,$x = 16$ या $x = 21$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $x = 16$ है।

(D) दी गई अनंत गुणोत्तर श्रेणी: $y = x - x^2 + x^3 - x^4 + \dots \infty$
यहाँ प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = -x$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
मान रखने पर: $y = \frac{x}{1 - (-x)} = \frac{x}{1 + x}$
अब,$x$ के लिए हल करने पर:
$y(1 + x) = x$
$y + xy = x$
$y = x - xy$
$y = x(1 - y)$
$x = \frac{y}{1 - y}$

(B) माना प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r$ है।
$GP$ का $n$-वां पद $a_n = a \cdot r^{n-1}$ होता है।
तीसरा पद $a_3 = 1 \cdot r^{3-1} = r^2$ है।
पांचवां पद $a_5 = 1 \cdot r^{5-1} = r^4$ है।
दिया गया है कि $a_3 + a_5 = 90$,अतः $r^2 + r^4 = 90$ है।
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $r^4 + r^2 - 90 = 0$।
माना $x = r^2$,तब $x^2 + x - 90 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 10)(x - 9) = 0$।
इससे $x = -10$ या $x = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x = r^2$,इसलिए $r^2 = -10$ (वास्तविक $r$ के लिए संभव नहीं) या $r^2 = 9$।
अतः,$r = \pm 3$।

(B) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3$ है।
इससे $a = 3(1-r)$ प्राप्त होता है।
पदों के वर्गों की नई श्रेणी: $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$
इस श्रेणी का योग $S' = \frac{a^2}{1-r^2} = 3$ है।
दूसरे समीकरण में $a = 3(1-r)$ रखने पर:
$\frac{[3(1-r)]^2}{1-r^2} = 3$
$\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$
$\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$
$3 - 3r = 1 + r$
$4r = 2 \implies r = \frac{1}{2}$.
अब,$a = 3(1 - \frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.
अतः,प्रथम पद $\frac{3}{2}$ और सार्व अनुपात $\frac{1}{2}$ है।

(B) माना कि दो गुणोत्तर माध्य $a$ और $b$ हैं,ताकि $1, a, b, 64$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हों।
सार्व अनुपात $r$ के लिए,$a = 1 \times r$ और $b = 1 \times r^2$,जहाँ $64 = 1 \times r^3$ है।
$r^3 = 64$ से,हमें $r = \sqrt[3]{64} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 1 \times 4 = 4$ और $b = 1 \times 4^2 = 16$ है।
इसलिए,$1$ और $64$ के बीच के दो गुणोत्तर माध्य $4$ और $16$ हैं।

(A) मान लीजिए कि गुणोत्तर श्रेणी का $k^{th}$ पद $T_k = ar^{k-1}$ है।
दिया गया है कि $T_{m+n} = ar^{m+n-1} = 9$ और $T_{m-n} = ar^{m-n-1} = 4$ है।
हम जानते हैं कि एक गुणोत्तर श्रेणी के लिए,$m^{th}$ पद $(m+n)^{th}$ और $(m-n)^{th}$ पदों का गुणोत्तर माध्य होता है।
$T_m = \sqrt{T_{m+n} \times T_{m-n}}$
$T_m = \sqrt{9 \times 4}$
$T_m = \sqrt{36}$
$T_m = 6$.

(B) माना कि प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है कि $(p + q)^{th}$ पद $m = a r^{p + q - 1}$ है और $(p - q)^{th}$ पद $n = a r^{p - q - 1}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{m}{n} = \frac{a r^{p + q - 1}}{a r^{p - q - 1}} = r^{(p + q - 1) - (p - q - 1)} = r^{2q}$.
अतः,$r^{2q} = \frac{m}{n}$,जिसका अर्थ है $r = (\frac{m}{n})^{1/(2q)}$.
$p^{th}$ पद $T_p = a r^{p - 1}$ है।
ध्यान दें कि $m \times n = (a r^{p + q - 1}) \times (a r^{p - q - 1}) = a^2 r^{2p - 2} = (a r^{p - 1})^2$.
इसलिए,$(T_p)^2 = mn$,जिससे $T_p = \sqrt{mn}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $b = ar, c = ar^2, d = ar^3$.
अतः,$(a^3 + b^3)^{-1} = \frac{1}{a^3(1 + r^3)}$.
$(b^3 + c^3)^{-1} = \frac{1}{a^3r^3(1 + r^3)}$.
$(c^3 + d^3)^{-1} = \frac{1}{a^3r^6(1 + r^3)}$.
माना $T_1 = \frac{1}{a^3(1 + r^3)}$,$T_2 = \frac{1}{a^3r^3(1 + r^3)}$,और $T_3 = \frac{1}{a^3r^6(1 + r^3)}$.
हम देखते हैं कि $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{r^3}$ और $\frac{T_3}{T_2} = \frac{1}{r^3}$.
चूंकि अनुपात समान है,इसलिए ये पद गुणोत्तर श्रेणी में हैं.

(D) एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r} = 4$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का दूसरा पद $ar = 3/4$ है।
दूसरे समीकरण से,$a = \frac{3}{4r}$ प्राप्त होता है।
इसे योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3/4r}{1 - r} = 4$.
$\frac{3}{4r(1 - r)} = 4$
$3 = 16r(1 - r)$
$3 = 16r - 16r^2$
$16r^2 - 16r + 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $16r^2 - 12r - 4r + 3 = 0$
$4r(4r - 3) - 1(4r - 3) = 0$
$(4r - 1)(4r - 3) = 0$.
अतः,$r = 1/4$ या $r = 3/4$ है।
यदि $r = 1/4$ है,तो $a = \frac{3}{4(1/4)} = 3$ है।
यदि $r = 3/4$ है,तो $a = \frac{3}{4(3/4)} = 1$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,युग्म $(a = 3, r = 1/4)$ विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(C) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है,जहाँ $|r| < 1$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ है।
प्रथम पद के बाद के सभी पदों का योग $S = ar + ar^2 + ar^3 + \dots = \frac{ar}{1-r}$ है।
प्रश्न के अनुसार,प्रथम पद बाद के पदों के योग का दोगुना है:
$a = 2 \times \left( \frac{ar}{1-r} \right)$.
दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ मानते हुए):
$1 = \frac{2r}{1-r}$.
$1 - r = 2r$.
$1 = 3r$.
$r = 1/3$.

(B) और $c$ का समांतर माध्य $a$ है,इसलिए $a = \frac{b+c}{2}$,जिसका अर्थ है $b+c = 2a$.
दिया गया है कि $g_1$ और $g_2$ $b$ और $c$ के बीच के दो गुणोत्तर माध्य हैं,इसलिए अनुक्रम $b, g_1, g_2, c$ एक गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में है।
माना सार्व अनुपात $r$ है। तब $c = b r^3$,अर्थात $r^3 = \frac{c}{b}$.
$g_1 = br$ और $g_2 = br^2$.
अब,$g_1^3 + g_2^3 = (br)^3 + (br^2)^3 = b^3 r^3 + b^3 r^6$.
$r^3 = \frac{c}{b}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$g_1^3 + g_2^3 = b^3 \left( \frac{c}{b} \right) + b^3 \left( \frac{c}{b} \right)^2 = b^2 c + b^3 \left( \frac{c^2}{b^2} \right) = b^2 c + bc^2 = bc(b+c)$.
चूंकि $b+c = 2a$,इसलिए $g_1^3 + g_2^3 = bc(2a) = 2abc$.
इसे $kabc$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = r$,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है।
पदों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{b^2}{a^2} = \frac{c^2}{b^2} = r^2$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $a^2, b^2, c^2$ भी $r^2$ सार्व अनुपात के साथ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पद $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$ हैं।
समांतर माध्य $A$ इस प्रकार है:
$A = \frac{a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}}{n} = \frac{a(r^n - 1)}{n(r - 1)}$.
हरात्मक माध्य $H$ इस प्रकार है:
$H = \frac{n}{\frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \dots + \frac{1}{ar^{n-1}}} = \frac{n a r^{n-1} (r - 1)}{r^n - 1}$.
$A$ और $H$ का गुणा करने पर:
$A \cdot H = \left( \frac{a(r^n - 1)}{n(r - 1)} \right) \cdot \left( \frac{n a r^{n-1} (r - 1)}{r^n - 1} \right) = a^2 r^{n-1}$.

(A) माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है: $a_{10} = ar^9 = 9$ और $a_4 = ar^3 = 4$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{ar^9}{ar^3} = \frac{9}{4} \implies r^6 = \frac{9}{4}$.
$7$ वाँ पद $a_7 = ar^6$ है।
चूँकि $ar^3 = 4$,इसलिए $a = \frac{4}{r^3}$ है।
$r^6 = \frac{9}{4}$ से,$r^3 = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{4}{3/2} = \frac{8}{3}$.
इसलिए,$a_7 = ar^6 = \left(\frac{8}{3}\right) \times \left(\frac{9}{4}\right) = 6$.

(B) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
$S_1 = a + ar + ar^2 + \dots + ar^9 = a\frac{r^{10}-1}{r-1}$.
$S_2 = ar^{10} + ar^{11} + \dots + ar^{19} = ar^{10}(1 + r + r^2 + \dots + r^9) = ar^{10}\frac{r^{10}-1}{r-1}$.
$S_2$ को $S_1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{ar^{10}(\frac{r^{10}-1}{r-1})}{a(\frac{r^{10}-1}{r-1})} = r^{10}$.
अतः,$r^{10} = \frac{S_2}{S_1}$,जिसका अर्थ है $r = \pm \sqrt[10]{\frac{S_2}{S_1}}$.

(A) मान लीजिए कि $GP$ के तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
इन पदों का गुणनफल $\frac{a}{r} \times a \times ar = a^3 = 216$ है।
अतः,$a = \sqrt[3]{216} = 6$ है।
तीनों पदों का योग $\frac{6}{r} + 6 + 6r = 19$ है।
दोनों पक्षों से $6$ घटाने पर,हमें $\frac{6}{r} + 6r = 13$ प्राप्त होता है।
$r$ से गुणा करने पर,हमें $6 + 6r^2 = 13r$ प्राप्त होता है,जो द्विघात समीकरण $6r^2 - 13r + 6 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0 \implies 3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$ है।
इससे $(3r - 2)(2r - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$r = \frac{2}{3}$ या $r = \frac{3}{2}$ है।

(B) मान लीजिए कि गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अनुपात $R$ है।
यहाँ,$a = AR^{p-1}$,$b = AR^{q-1}$ और $c = AR^{r-1}$ दिया गया है।
अब,$a^{q-r} \cdot b^{r-p} \cdot c^{p-q}$ का मान ज्ञात करने पर:
$= (AR^{p-1})^{q-r} \cdot (AR^{q-1})^{r-p} \cdot (AR^{r-1})^{p-q}$
$= A^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
$= A^0 \cdot R^{(pq - pr - q + r) + (qr - qp - r + p) + (rp - rq - p + q)}$
$= 1 \cdot R^0 = 1$.

(B) दिया गया है कि $p, q, r$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $q^2 = pr$ है।
साथ ही,$a, b, c$ भी गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
हमें यह जांचना है कि क्या $cp, bq, ar$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
$cp, bq, ar$ के गुणोत्तर श्रेणी में होने के लिए,शर्त $(bq)^2 = (cp)(ar)$ का पालन होना चाहिए।
चूंकि $b^2 = ac$ और $q^2 = pr$ है,इसलिए $b^2q^2 = (ac)(pr) = (cp)(ar)$ होता है।
अतः,$(bq)^2 = (cp)(ar)$,जो यह सिद्ध करता है कि $cp, bq, ar$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

(B) माना तीन पद $\frac{b}{r}, b, br$ हैं,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है।
$a$ और $b$ का हरात्मक माध्य $12$ है:
$\frac{2ab}{a+b} = 12 \implies \frac{2(\frac{b}{r})b}{\frac{b}{r}+b} = 12 \implies \frac{2b}{1+r} = 12 \implies b = 6(1+r) \dots (1)$
$b$ और $c$ का हरात्मक माध्य $36$ है:
$\frac{2bc}{b+c} = 36 \implies \frac{2b(br)}{b+br} = 36 \implies \frac{2br}{1+r} = 36 \implies br = 18(1+r) \dots (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{br}{b} = \frac{18(1+r)}{6(1+r)} \implies r = 3$
$r=3$ को $(1)$ में रखने पर:
$b = 6(1+3) = 24$
अतः $a = \frac{b}{r} = \frac{24}{3} = 8$.

(A) $n$ पदों $a_1, a_2, \dots, a_n$ का गुणोत्तर माध्य $(a_1 \times a_2 \times \dots \times a_n)^{\frac{1}{n}}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुक्रम $7, 7^2, 7^3, \dots, 7^n$ के लिए,गुणोत्तर माध्य $(7^1 \times 7^2 \times 7^3 \times \dots \times 7^n)^{\frac{1}{n}}$ है।
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,यह $(7^{1+2+3+\dots+n})^{\frac{1}{n}}$ हो जाता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ है।
अतः,व्यंजक $(7^{\frac{n(n+1)}{2}})^{\frac{1}{n}}$ बन जाता है।
घातांकों को सरल करने पर,हमें $7^{\frac{n(n+1)}{2n}} = 7^{\frac{n+1}{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) अनंत गुणोत्तर श्रेणी के लिए:
$x = \frac{a}{1 - 1/r} = \frac{ar}{r - 1}$
$y = \frac{b}{1 - (-1/r)} = \frac{b}{1 + 1/r} = \frac{br}{r + 1}$
$z = \frac{c}{1 - 1/r^2} = \frac{cr^2}{r^2 - 1}$
अब,$xy$ का गुणनफल ज्ञात करने पर:
$xy = \left( \frac{ar}{r - 1} \right) \left( \frac{br}{r + 1} \right) = \frac{abr^2}{r^2 - 1}$
अब,$z$ से विभाजित करने पर:
$\frac{xy}{z} = \frac{abr^2}{r^2 - 1} \div \frac{cr^2}{r^2 - 1} = \frac{abr^2}{r^2 - 1} \times \frac{r^2 - 1}{cr^2} = \frac{ab}{c}$

(A) माना कि $GP$ में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
इनका गुणनफल $\left( \frac{a}{r} \right) \times a \times (ar) = a^3 = 1728$ है।
चूंकि $1728 = 12^3$,इसलिए $a = 12$ है।
संख्याओं का योग $\frac{a}{r} + a + ar = 38$ है।
$a = 12$ रखने पर,$\frac{12}{r} + 12 + 12r = 38$ प्राप्त होता है।
$\frac{12}{r} + 12r = 26$ है।
$2$ से भाग देने पर,$\frac{6}{r} + 6r = 13$,जिसे हल करने पर $6r^2 - 13r + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0 \implies 3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$।
$(3r - 2)(2r - 3) = 0$,अतः $r = \frac{2}{3}$ या $r = \frac{3}{2}$ है।
यदि $r = \frac{3}{2}$ है,तो संख्याएँ $\frac{12}{3/2}, 12, 12(\frac{3}{2}) \implies 8, 12, 18$ हैं।
सबसे बड़ी संख्या $18$ है।

(A) दी गई गुणोत्तर श्रेणी $8, 12, 18, 27, \dots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 8$ और सार्व अनुपात $r = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = a \cdot r^{n-1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$9$ वें पद के लिए $(n = 9)$:
$T_9 = 8 \cdot (\frac{3}{2})^{9-1}$
$T_9 = 8 \cdot (\frac{3}{2})^8$
$T_9 = 8 \cdot \frac{6561}{256}$
$T_9 = \frac{6561}{32}$

(C) मान लीजिए कि $a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य $G_1, G_2, \dots, G_n$ हैं।
तब $a, G_1, G_2, \dots, G_n, b$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ बनाते हैं।
यहाँ,पदों की कुल संख्या $n+2$ है।
अंतिम पद $b = a \cdot r^{n+1}$ है,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है।
अतः,$r^{n+1} = \frac{b}{a}$,जिससे $r = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}$ प्राप्त होता है।
$n$ गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल $P = G_1 \cdot G_2 \cdot \dots \cdot G_n$ है।
चूँकि $G_k = a \cdot r^k$,हमारे पास $P = (a \cdot r^1) \cdot (a \cdot r^2) \dots (a \cdot r^n) = a^n \cdot r^{1+2+\dots+n} = a^n \cdot r^{\frac{n(n+1)}{2}}$ है।
$r = (\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}$ रखने पर,$P = a^n \cdot (\frac{b}{a})^{\frac{n(n+1)}{2(n+1)}} = a^n \cdot (\frac{b}{a})^{\frac{n}{2}} = a^n \cdot \frac{b^{n/2}}{a^{n/2}} = a^{n/2} \cdot b^{n/2} = (ab)^{n/2}$।

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $y^2 = xz$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(y^2) = \ln(xz)$,जो सरल होकर $2 \ln y = \ln x + \ln z$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $\ln x, \ln y, \ln z$ समांतर श्रेणी में हैं।
प्रत्येक पद में $1$ जोड़ने पर,$1 + \ln x, 1 + \ln y, 1 + \ln z$ प्राप्त होते हैं,जो भी समांतर श्रेणी में हैं।
चूंकि समांतर श्रेणी के पदों के व्युत्क्रम हरात्मक श्रेणी बनाते हैं,इसलिए $\frac{1}{1 + \ln x}, \frac{1}{1 + \ln y}, \frac{1}{1 + \ln z}$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(D) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया गया है कि प्रत्येक पद अपने अगले दो पदों के योग के बराबर है:
$a_n = a_{n+1} + a_{n+2}$
$ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$
$ar^{n-1}$ से भाग देने पर:
$1 = r + r^2$
$r^2 + r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूँकि पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots, ar^{49}$ है।
अतः $a_n = ar^{n-1}$ है।
अंश $a_1 - a_3 + a_5 - \dots + a_{49} = a - ar^2 + ar^4 - \dots + ar^{48}$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $A = a$,सार्व अनुपात $R = -r^2$ और $n = 25$ पद हैं।
इसका योग $\frac{a(1 - (-r^2)^{25})}{1 - (-r^2)} = \frac{a(1 + r^{50})}{1 + r^2}$ है।
हर $a_2 - a_4 + a_6 - \dots + a_{50} = ar - ar^3 + ar^5 - \dots + ar^{49}$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $A' = ar$,सार्व अनुपात $R = -r^2$ और $n = 25$ पद हैं।
इसका योग $\frac{ar(1 - (-r^2)^{25})}{1 - (-r^2)} = \frac{ar(1 + r^{50})}{1 + r^2}$ है।
अंश को हर से विभाजित करने पर,हमें $\frac{a(1 + r^{50}) / (1 + r^2)}{ar(1 + r^{50}) / (1 + r^2)} = \frac{a}{ar} = \frac{1}{r} = \frac{a_1}{a_2}$ प्राप्त होता है।