$G.P.$ $3, 3^{2}, 3^{3}, \dots$ के कितने पदों का योग $120$ होगा?

दो $G$.$P$. $2, 2^{2}, 2^{3}, \ldots$ और $4, 4^{2}, 4^{3}, \ldots$ पर विचार करें,जिनमें क्रमशः $60$ और $n$ पद हैं। यदि सभी $60+n$ पदों का गुणोत्तर माध्य $(2)^{\frac{225}{8}}$ है,तो $\sum_{k=1}^{n} k(n-k)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = 1 + r^z + r^{2z} + r^{3z} + \dots \infty$ है,तो $r$ का मान क्या होगा?

एक कण मूल बिंदु से शुरू होता है और $1$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{1}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{2}$ इकाई लंबवत ऊपर की ओर चलता है और $P_{2}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{4}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{3}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{8}$ इकाई लंबवत नीचे की ओर चलता है और $P_{4}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{16}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{5}$ पर पहुँचता है और इसी तरह आगे बढ़ता है। मान लीजिए $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} = \beta$. तो,$(\alpha, \beta)$ है

मान लीजिए $n (> 1)$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो सबसे बड़ा पूर्णांक $m$ ज्ञात कीजिए ताकि $(n^m + 1)$,$(1 + n + n^2 + \dots + n^{127})$ को विभाजित करे:

मान लीजिए $S_1$ उन वर्गों के क्षेत्रफलों का योग है जिनकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं। मान लीजिए $S_2$ चित्र में दिखाए गए तिरछे वर्गों के क्षेत्रफलों का योग है। तो,$\frac{S_1}{S_2}$ का मान ज्ञात कीजिए।