$\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

हमें $\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right)}$ का मान ज्ञात करना है।
योग के गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right) = } \sum\limits_{k = 1}^{11} {2 + } \sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}} = 2 \times 11 + \sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}} = 22 + \sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}} \quad \dots (1)$
$\sum\limits_{k = 1}^{11} {{3^k}}$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 3$,सार्व अनुपात $r = 3$ और पदों की संख्या $n = 11$ है।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है।
मान रखने पर:
$S_{11} = \frac{3(3^{11} - 1)}{3 - 1} = \frac{3}{2}(3^{11} - 1)$.
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right) = 22 + \frac{3}{2}(3^{11} - 1)}$.