Geometric progression Questions in Gujarati

(B) જો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોય,તો $b^2 = ac$ થાય.
$a(b^2 + c^2) = ab^2 + ac^2$ લો.
$b^2 = ac$ મૂકતા:
$a(ac) + ac^2 = a^2c + ac^2 = c(a^2 + ac)$.
આમ,$a(b^2 + c^2) = c(a^2 + b^2)$ મળે છે.
ચકાસણી: $a = 1, b = 2, c = 4$ લેતા.
$LHS = 1(4 + 16) = 20$.
$RHS = 4(1 + 4) = 20$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ શ્રેણી $\sqrt{2}, \sqrt{10}, 5\sqrt{2}, \dots$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = \sqrt{2}$ છે.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}$ છે.
$GP$ નું $n$ મું પદ $t_n = a \cdot r^{n-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$7$ મા પદ $(n=7)$ માટે:
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5})^{7-1}$
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5})^6$
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (5)^3$
$t_7 = 125\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $G.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = Ar^{n-1}$ છે.
આપેલ છે કે $T_4 = a$,$T_7 = b$,અને $T_{10} = c$,તેથી:
$a = Ar^3$
$b = Ar^6$
$c = Ar^9$
હવે,$ac$ નો ગુણાકાર કરીએ:
$ac = (Ar^3)(Ar^9) = A^2r^{12}$
તે જ રીતે,$b^2$ શોધીએ:
$b^2 = (Ar^6)^2 = A^2r^{12}$
આમ,$b^2 = ac$ સાબિત થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો અનુક્રમણિકાઓ $p, q, r$ એ $A.P.$ માં હોય,તો $G.P.$ ના $p^{th}, q^{th}, r^{th}$ પદો $G.P.$ માં હોય છે. અહીં $4, 7, 10$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = ac$.

(B) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -5$ છે.
ધારો કે $n^{th}$ પદ $3125$ છે.
$G.P.$ ના $n^{th}$ પદનું સૂત્ર $a_n = a r^{n-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5(-5)^{n-1} = 3125$.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા: $(-5)^{n-1} = 625$.
કારણ કે $625 = (-5)^4$,તેથી $(-5)^{n-1} = (-5)^4$.
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,$n - 1 = 4$,જે $n = 5$ આપે છે.
આમ,$5^{th}$ પદ $3125$ છે.

(B) ધારો કે ઉમેરવાની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી,$x + 2, x + 14, x + 62$ એ $G.P.$ માં છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ $a, b, c$ માટે $G.P.$ માં હોવાની શરત $b^2 = ac$ છે.
તેથી,$(x + 14)^2 = (x + 2)(x + 62)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 28x + 196 = x^2 + 64x + 124$.
બંને બાજુથી $x^2$ બાદ કરતા: $28x + 196 = 64x + 124$.
પદોને ગોઠવતા: $196 - 124 = 64x - 28x$.
$72 = 36x$.
$x = 2$.
આમ,આપેલી સંખ્યાઓમાં $2$ ઉમેરતા $4, 16, 64$ મળે છે,જે $G.P.$ માં છે કારણ કે $16^2 = 4 \times 64$ $(256 = 256)$.

(B) આપેલ છે કે $(p + q)^{th}$ પદ $T_{p+q} = ar^{p+q-1} = m$ અને $(p - q)^{th}$ પદ $T_{p-q} = ar^{p-q-1} = n$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T_{p+q}}{T_{p-q}} = \frac{ar^{p+q-1}}{ar^{p-q-1}} = r^{2q} = \frac{m}{n}$.
તેથી,$r^{2q} = \frac{m}{n} \Rightarrow r = (\frac{m}{n})^{1/(2q)}$.
$p^{th}$ પદ $T_p = ar^{p-1}$ છે.
$T_{p+q} = T_p \cdot r^q = m \Rightarrow T_p = \frac{m}{r^q}$.
$T_{p-q} = T_p \cdot r^{-q} = n \Rightarrow T_p = n \cdot r^q$.
બંનેનો ગુણાકાર કરતા:
$T_p^2 = (\frac{m}{r^q}) \cdot (n \cdot r^q) = mn$.
તેથી,$T_p = \sqrt{mn}$.
વૈકલ્પિક રીતે: $G.P.$ માં,$p^{th}$ પદ એ તેનાથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો ગુણોત્તર મધ્યક છે. તેથી $T_p = \sqrt{T_{p+q} \cdot T_{p-q}} = \sqrt{mn}$.

(A) ધારો કે $G.P.$ ના પદો $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ છે,જ્યાં $a > 0$ અને $r > 0$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,દરેક પદ તેના પછીના બે પદોના સરવાળા જેટલું છે:
$T_n = T_{n+1} + T_{n+2}$
$ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$
બંને બાજુ $ar^{n-1}$ વડે ભાગતા:
$1 = r + r^2$
$r^2 + r - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
પદો ધન હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $x, 2x + 2, 3x + 3$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$(2x + 2)^2 = x(3x + 3)$
$4(x + 1)^2 = 3x(x + 1)$
$4(x + 1)^2 - 3x(x + 1) = 0$
$(x + 1)(4x + 4 - 3x) = 0$
$(x + 1)(x + 4) = 0$
તેથી,$x = -1$ અથવા $x = -4$.
જો $x = -1$ હોય,તો પદો $-1, 0, 0$ થાય,જે $G.P.$ નથી.
જો $x = -4$ હોય,તો પદો $-4, -6, -9$ થાય.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -4$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{-6}{-4} = 1.5$.
ચોથું પદ $T_4 = ar^3 = (-4)(1.5)^3 = (-4)(3.375) = -13.5$.

(A) $G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_3}{S_6} = \frac{125}{152}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{a(r^3 - 1)/(r - 1)}{a(r^6 - 1)/(r - 1)} = \frac{125}{152}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{r^3 - 1}{r^6 - 1} = \frac{125}{152}$ મળે.
$r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1)$ હોવાથી,$\frac{1}{r^3 + 1} = \frac{125}{152}$.
$152 = 125(r^3 + 1) \Rightarrow 152 = 125r^3 + 125$.
$125r^3 = 152 - 125 = 27$.
$r^3 = \frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^3$.
તેથી,$r = \frac{3}{5}$.

(B) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $y^2 = xz$.
ધારો કે $a^x = b^y = c^z = m$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $x \log a = y \log b = z \log c = \log m$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \log_a m$,$y = \log_b m$,અને $z = \log_c m$.
$x, y, z$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,$\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{\log_b m}{\log_a m} = \frac{\log_c m}{\log_b m}$.
બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log_b a = \log_c b$ મળે છે.

(B) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R$ છે.
તેથી,$p^{th}$,$q^{th}$ અને $r^{th}$ પદો નીચે મુજબ છે:
$a = A R^{p-1}$ $(i)$
$b = A R^{q-1}$ $(ii)$
$c = A R^{r-1}$ $(iii)$
આ કિંમતોને $a^{q - r} b^{r - p} c^{p - q}$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (A R^{p-1})^{q-r} (A R^{q-1})^{r-p} (A R^{r-1})^{p-q}$
$= A^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} \times R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
$= A^0 \times R^{(pq - pr - q + r) + (qr - pq - r + p) + (rp - rq - p + q)}$
$= A^0 \times R^0 = 1 \times 1 = 1$.

(C) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે કે ત્રીજું પદ $T_3 = ar^2 = 4$.
આપણે પ્રથમ $5$ પદોનો ગુણાકાર શોધવો છે:
$P = a \times (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) \times (ar^4)$
$P = a^5 \times r^{(1+2+3+4)} = a^5 \times r^{10}$
$P = (ar^2)^5$
$ar^2 = 4$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = 4^5$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. $G.P.$ નું $n^{th}$ પદ $T_n = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $T_5 = ar^4 = \frac{1}{3}$ $(i)$
આપેલ છે $T_9 = ar^8 = \frac{16}{243}$ $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{ar^8}{ar^4} = \frac{16/243}{1/3}$
$r^4 = \frac{16}{243} \times 3 = \frac{16}{81}$
$r^4 = (\frac{2}{3})^4$,તેથી $r = \frac{2}{3}$.
$(i)$ માં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$a(\frac{2}{3})^4 = \frac{1}{3}$
$a(\frac{16}{81}) = \frac{1}{3}$
$a = \frac{1}{3} \times \frac{81}{16} = \frac{27}{16}$
હવે,$4^{th}$ પદ $T_4 = ar^3 = \frac{27}{16} \times (\frac{2}{3})^3 = \frac{27}{16} \times \frac{8}{27} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R$ છે.
તેથી,$a = A R^{p-1}$,$b = A R^{q-1}$,અને $c = A R^{r-1}$ થાય.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left( \frac{c}{b} \right)^p \left( \frac{b}{a} \right)^r \left( \frac{a}{c} \right)^q = \left( \frac{A R^{r-1}}{A R^{q-1}} \right)^p \left( \frac{A R^{q-1}}{A R^{p-1}} \right)^r \left( \frac{A R^{p-1}}{A R^{r-1}} \right)^q$
$= (R^{r-q})^p (R^{q-p})^r (R^{p-r})^q$
$= R^{pr - pq + qr - pr + pq - qr}$
$= R^0 = 1$.

(D) $G.P.$ નું $n$-મું પદ $l = a r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $a$ વડે ભાગતા,$\frac{l}{a} = r^{n-1}$ મળે છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log(\frac{l}{a}) = \log(r^{n-1})$ મળે છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log l - \log a = (n-1) \log r$.
તેથી,$n-1 = \frac{\log l - \log a}{\log r}$.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$n = 1 + \frac{\log l - \log a}{\log r}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\log_x a, a^{x/2}, \log_b x$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$(a^{x/2})^2 = (\log_x a) \cdot (\log_b x)$.
બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log_x a \cdot \log_b x = \frac{\log a}{\log x} \cdot \frac{\log x}{\log b} = \frac{\log a}{\log b} = \log_b a$.
તેથી,$a^x = \log_b a$.
બંને બાજુ $\log_a$ લેતા,આપણને $x = \log_a(\log_b a)$ મળે છે.
$\log_b a = \frac{\log_e a}{\log_e b}$ માટે બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \log_a\left(\frac{\log_e a}{\log_e b}\right)$ મળે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ મુજબ,$\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$.
આમ,$x = \log_a(\log_e a) - \log_a(\log_e b)$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ના બીજ $\frac{A}{R}, A, AR$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{-d}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$(\frac{A}{R}) \cdot A \cdot (AR) = A^3 = -\frac{d}{a}$.
$A$ એ સમીકરણનું બીજ હોવાથી,તે $aA^3 + bA^2 + cA + d = 0$ નું સમાધાન કરશે.
$A^3 = -\frac{d}{a}$ મૂકતા,આપણને $a(-\frac{d}{a}) + bA^2 + cA + d = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $bA^2 + cA = 0$ થાય છે.
$A \neq 0$ હોવાથી (ધારી લઈએ કે $d \neq 0$),આપણને $bA + c = 0$ મળે છે,તેથી $A = -\frac{c}{b}$.
$A = -\frac{c}{b}$ ને $A^3 = -\frac{d}{a}$ માં મૂકતા,આપણને $(-\frac{c}{b})^3 = -\frac{d}{a}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-\frac{c^3}{b^3} = -\frac{d}{a}$,જેનું સાદું રૂપ $c^3a = b^3d$ થાય છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે કે $10$ મું પદ $a_{10} = ar^9 = 9$ અને $4$ થું પદ $a_4 = ar^3 = 4$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{ar^9}{ar^3} = \frac{9}{4} \Rightarrow r^6 = \frac{9}{4}$.
આપણે $7$ મું પદ $a_7 = ar^6$ શોધવાનું છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $a_7 = \sqrt{a_{10} \times a_4} = \sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6$.
આમ,$7$ મું પદ $6$ છે.

(B) આપેલ છે કે $6^{th}$ પદ $T_6 = 32$ અને $8^{th}$ પદ $T_8 = 128$ છે.
$G.P.$ ના $n^{th}$ પદના સૂત્ર $T_n = ar^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_6 = ar^5 = 32$ .....$(i)$
$T_8 = ar^7 = 128$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{ar^7}{ar^5} = \frac{128}{32}$
$r^2 = 4$
$r = \pm 2$
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે.

(A) ભૌમિતિક શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = ar^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{-5/2}{5} = -\frac{1}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $T_n = \frac{5}{1024}$,તેથી:
$\frac{5}{1024} = 5 \times (-\frac{1}{2})^{n-1}$
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{1024} = (-\frac{1}{2})^{n-1}$
કારણ કે $1024 = 2^{10}$,આપણે લખી શકીએ:
$(-\frac{1}{2})^{10} = (-\frac{1}{2})^{n-1}$
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા:
$10 = n - 1$
$n = 11$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે કે ત્રીજું પદ એ પ્રથમ પદનો વર્ગ છે: $ar^2 = a^2$.
$a \neq 0$ હોવાથી,આપણને $a = r^2$ મળે છે.
બીજું પદ $8$ આપેલ છે: $ar = 8$.
$ar = 8$ સમીકરણમાં $a = r^2$ મૂકતા,આપણને $(r^2)r = 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $r^3 = 8$,તેથી $r = 2$.
પછી $a = r^2 = 2^2 = 4$.
$6^{th}$ પદ $T_6 = ar^5$ દ્વારા મળે છે.
$T_6 = 4 \times 2^5 = 4 \times 32 = 128$.

(B) ધારો કે $G.P.$ ના $9$ પદો $\frac{a}{r^4}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ છે.
પાંચમું પદ $a = 2$ આપેલ છે.
આ $9$ પદોનો ગુણાકાર $P = a^9$ થાય.
તેથી,$P = 2^9 = 512$.

(D) ધારો કે અનંત $G.P.$ એ $a, ar, ar^2, \dots, \infty$ છે.
અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 9$ છે,જ્યાં $|r| < 1$.
$\Rightarrow a = 9(1-r) \dots (i)$
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $a + ar = 5$ છે.
$\Rightarrow a(1+r) = 5 \dots (ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$9(1-r)(1+r) = 5$
$9(1-r^2) = 5$
$1-r^2 = \frac{5}{9}$
$r^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$
$r = \pm \frac{2}{3}$.
અનંત શ્રેણીનો સરવાળો અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $|r| < 1$,બંને કિંમતો માન્ય છે. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $2/3$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $3 + \frac{9}{2} + \frac{27}{4} + \dots$ છે.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{3}{2}$ છે.
$G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 5$ માટે,$S_5 = \frac{3((\frac{3}{2})^5 - 1)}{\frac{3}{2} - 1}$.
$S_5 = \frac{3(\frac{243}{32} - 1)}{\frac{1}{2}} = 6 \times \frac{243 - 32}{32} = 6 \times \frac{211}{32} = 3 \times \frac{211}{16} = \frac{633}{16}$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા,$\frac{633}{16} = 39\frac{9}{16}$ મળે છે.

(A) આપેલ શ્રેણી એક સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 0.9 = \frac{9}{10}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{0.09}{0.9} = 0.1 = \frac{1}{10}$ છે.
$G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 100$ માટે:
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{1 - \frac{1}{10}} \right)$
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{\frac{9}{10}} \right)$
$S_{100} = 1 - \left( \frac{1}{10} \right)^{100}$.

(B) $G.P.$ ના ત્રણ પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ ધારો.
આપેલ છે કે પદોનો ગુણાકાર $216$ છે:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 216$
$a^3 = 216 \Rightarrow a = 6$.
આપેલ છે કે પદોનો સરવાળો $19$ છે:
$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 19$
$\frac{6}{r} + 6r = 13$
$r$ વડે ગુણતા:
$6 + 6r^2 = 13r$
$6r^2 - 13r + 6 = 0$
$6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0$
$3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$
$(3r - 2)(2r - 3) = 0$
આમ,$r = \frac{2}{3}$ અથવા $r = \frac{3}{2}$.

(D) ધારો કે ધન પદો ધરાવતી $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,દરેક પદ તેના અગાઉના બે પદોનો સરવાળો છે:
$T_n = T_{n-1} + T_{n-2}$
સામાન્ય પદના સૂત્ર $T_n = ar^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$ar^{n-1} = ar^{n-2} + ar^{n-3}$
બંને બાજુ $ar^{n-3}$ વડે ભાગતા ($a > 0$ અને $r > 0$ હોવાથી):
$r^2 = r + 1$
$r^2 - r - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
પદો ધન હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ ધન હોવો જોઈએ. તેથી,આપણે ધન ઉકેલ લઈશું:
$r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
આપેલ છે કે દરેક પદ તેના અગાઉના પદ કરતાં બમણું છે,તેથી સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $a + ar = 1$ છે.
સમીકરણમાં $r = 2$ મૂકતા:
$a + a(2) = 1$
$3a = 1$
$a = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = 255$ (કારણ કે $r > 1$) .....$(i)$
$n^{th}$ પદ $a_n = ar^{n-1} = 128$ .....$(ii)$
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 2$ .....$(iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ પરથી,$a(2^{n-1}) = 128$ .....$(iv)$
$(i)$ અને $(iii)$ પરથી,$a(2^n - 1) = 255$ .....$(v)$
$(v)$ ને $(iv)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a(2^n - 1)}{a(2^{n-1})} = \frac{255}{128}$
$2 - \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{255}{128}$
$\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{128}$
$2^{n-1} = 2^7 \Rightarrow n = 8$
$n = 8$ ને $(iv)$ માં મૂકતા:
$a(2^7) = 128 \Rightarrow a = 1$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. $G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $S_6 = 9 \times S_3$,તેથી:
$\frac{a(r^6 - 1)}{r - 1} = 9 \times \frac{a(r^3 - 1)}{r - 1}$
$r \neq 1$ ધારતા,આપણે તેને આ રીતે સરળ બનાવી શકીએ:
$r^6 - 1 = 9(r^3 - 1)$
$(r^3)^2 - 1 = 9(r^3 - 1)$
નિત્યસમ $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(r^3 - 1)(r^3 + 1) = 9(r^3 - 1)$
$r \neq 1$ હોવાથી,$r^3 - 1 \neq 0$,તેથી બંને બાજુને $(r^3 - 1)$ વડે ભાગતા:
$r^3 + 1 = 9$
$r^3 = 8$
$r = 2$
આમ,સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે.

(C) સંખ્યા $S$ માં $91$ વખત $1$ છે,જેને સમગુણોત્તર શ્રેણી તરીકે લખી શકાય:
$S = 1 + 10 + 10^2 + \dots + 10^{90} = \frac{10^{91} - 1}{10 - 1} = \frac{10^{91} - 1}{9}$.
$91 = 7 \times 13$ હોવાથી,આપણે નિત્યસમ $x^n - 1 = (x^k - 1)(x^{n-k} + x^{n-2k} + \dots + 1)$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ,જ્યાં $k$ એ $n$ નો ભાજક છે.
ધારો કે $x = 10^{13}$,તો $10^{91} - 1 = (10^{13})^7 - 1 = (10^{13} - 1)((10^{13})^6 + (10^{13})^5 + \dots + 1)$.
આમ,$S = \frac{10^{13} - 1}{9} \times ((10^{13})^6 + (10^{13})^5 + \dots + 1)$.
$S$ એ $1$ કરતા મોટી બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હોવાથી,તે વિભાજ્ય સંખ્યા છે અને તેથી અવિભાજ્ય નથી.

(B) આપેલ શ્રેણી એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{3}$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 20$ માટે,$S_{20} = \frac{2 \left(1 - (\frac{1}{3})^{20}\right)}{1 - \frac{1}{3}}$.
$S_{20} = \frac{2 \left(1 - \frac{1}{3^{20}}\right)}{\frac{2}{3}}$.
$S_{20} = 2 \times \frac{3}{2} \left(1 - \frac{1}{3^{20}}\right) = 3 \left(1 - \frac{1}{3^{20}}\right)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $1 + a + a^2 + \dots + a^x = (1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$
ડાબી બાજુ $x+1$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,તેથી તેનો સરવાળો $\frac{1 - a^{x+1}}{1 - a}$ થાય.
તેથી,$\frac{1 - a^{x+1}}{1 - a} = (1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$
બંને બાજુ $(1 - a)$ વડે ગુણતા:
$1 - a^{x+1} = (1 - a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$
નિત્યસમ $(1 - a)(1 + a) = (1 - a^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - a^{x+1} = (1 - a^2)(1 + a^2)(1 + a^4)$
આ જ રીતે $(1 - a^2)(1 + a^2) = (1 - a^4)$:
$1 - a^{x+1} = (1 - a^4)(1 + a^4)$
અંતે,$(1 - a^4)(1 + a^4) = (1 - a^8)$:
$1 - a^{x+1} = 1 - a^8$
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$x + 1 = 8$,તેથી $x = 7$ મળે.

(B) આપેલ છે: $a_1 = 3$,$a_n = 96$,અને $S_n = 189$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_n = a_1 r^{n-1}$,તેથી $3 r^{n-1} = 96$,જેનો અર્થ છે કે $r^{n-1} = 32$.
આમ,$r^n = 32r$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} = 189$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3(32r - 1)}{r - 1} = 189$.
$3$ વડે ભાગતા: $\frac{32r - 1}{r - 1} = 63$.
$32r - 1 = 63r - 63$.
$62 = 31r$,તેથી $r = 2$.
કારણ કે $r^{n-1} = 32$,તેથી $2^{n-1} = 2^5$.
તેથી,$n - 1 = 5$,જે આપણને $n = 6$ આપે છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 3$ અને પદોની સંખ્યા $n$ છે.
આપેલ છે કે $n^{th}$ પદ $l = a r^{n-1} = 486$.
તેથી,$a(3)^{n-1} = 486$,જેનો અર્થ છે $a \cdot \frac{3^n}{3} = 486$,અથવા $a \cdot 3^n = 1458$ $(i)$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = 728$ છે.
$r = 3$ મૂકતા: $\frac{a(3^n - 1)}{3 - 1} = 728$.
$a(3^n - 1) = 728 \times 2 = 1456$.
$a \cdot 3^n - a = 1456$ $(ii)$.
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $1458 - a = 1456$.
$a = 1458 - 1456 = 2$.

(A) ધારો કે $G.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો ગુણાકાર $1728$ છે,તેથી $(\frac{a}{r}) \times a \times (ar) = 1728$.
$a^3 = 1728$,જેનો અર્થ છે કે $a = \sqrt[3]{1728} = 12$.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો $38$ છે,તેથી $\frac{a}{r} + a + ar = 38$.
$a = 12$ મૂકતા,આપણને $\frac{12}{r} + 12 + 12r = 38$ મળે છે.
$\frac{12}{r} + 12r = 26$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{6}{r} + 6r = 13$ મળે છે.
$6 + 6r^2 = 13r$,જે $6r^2 - 13r + 6 = 0$ આપે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $6r^2 - 13r + 6 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $r = \frac{2}{3}$ અથવા $r = \frac{3}{2}$ મળે છે.
જો $r = \frac{3}{2}$ હોય,તો સંખ્યાઓ $8, 12, 18$ છે.
જો $r = \frac{2}{3}$ હોય,તો સંખ્યાઓ $18, 12, 8$ છે.
બંને કિસ્સામાં,સંખ્યાઓ $8, 12, 18$ છે. સૌથી મોટી સંખ્યા $18$ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રથમ પદ $a = 7$,અંતિમ પદ $l = a{r^{n - 1}} = 448$,અને સરવાળો $S_n = 889$.
$G.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{lr - a}{r - 1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $889 = \frac{448r - 7}{r - 1}$.
$889(r - 1) = 448r - 7$
$889r - 889 = 448r - 7$
$889r - 448r = 889 - 7$
$441r = 882$
$r = \frac{882}{441} = 2$.
આમ,સામાન્ય ગુણોત્તર $2$ છે.

(A) $G.P.$ નો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $S_n = 364$,$r = 3$,અને છેલ્લું પદ $l = a r^{n-1} = 243$.
આપણે સરવાળાના સૂત્રને $S_n = \frac{a r^{n-1} \cdot r - a}{r - 1}$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
કિંમતો મૂકતા: $364 = \frac{243 \cdot 3 - a}{3 - 1}$.
$364 = \frac{729 - a}{2}$.
$728 = 729 - a$,જેથી $a = 1$ મળે છે.
હવે,છેલ્લા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a r^{n-1} = 243$.
$1 \cdot 3^{n-1} = 243$.
$3^{n-1} = 3^5$.
તેથી,$n - 1 = 5$,જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.

(C) જો $a$ અને $b$ ની વચ્ચે $n$ ભૌમિતિક મધ્યકો $g_1, g_2, \dots, g_n$ મૂકવામાં આવે,તો શ્રેણી $a, g_1, g_2, \dots, g_n, b$ એ $G.P.$ બનાવે છે.
ધારો કે $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે. આ $G.P.$ માં કુલ પદોની સંખ્યા $n+2$ છે.
તેથી,છેલ્લું પદ $b = a \cdot r^{n+1}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $r^{n+1} = \frac{b}{a}$,તેથી $r = \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{n+1}}$.
$n^{th}$ ભૌમિતિક મધ્યક $g_n = a \cdot r^n$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $g_n = a \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{n}{n+1}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $G$ એ $x$ અને $y$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક છે,તેથી $G = \sqrt{xy}$,જેનો અર્થ છે કે $G^2 = xy$.
$G^2 = xy$ ને પદમાં મૂકતા:
$\frac{1}{G^2 - x^2} + \frac{1}{G^2 - y^2} = \frac{1}{xy - x^2} + \frac{1}{xy - y^2}$
$= \frac{1}{x(y - x)} + \frac{1}{y(x - y)}$
$= \frac{1}{x(y - x)} - \frac{1}{y(y - x)}$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right)$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{y - x}{xy} \right)$
$= \frac{1}{xy} = \frac{1}{G^2}$.

(C) ધારો કે $2$ અને $32$ ની વચ્ચે ત્રણ સમગુણોત્તર મધ્યકો $g_1, g_2, g_3$ છે.
તેથી શ્રેણી $2, g_1, g_2, g_3, 32$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ બનાવે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 2$ અને પાંચમું પદ $ar^4 = 32$ છે.
$2 \times r^4 = 32 \Rightarrow r^4 = 16$.
$r^4 = 2^4$ હોવાથી,$r = 2$ મળે છે.
ત્રીજો સમગુણોત્તર મધ્યક $g_3 = ar^3$ છે.
$g_3 = 2 \times (2)^3 = 2 \times 8 = 16$.

(B) ધારો કે $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ એ $a = 486$ અને $b = 2/3$ ની વચ્ચે દાખલ કરેલ પાંચ $G.M.$ છે.
શ્રેણીમાં કુલ પદોની સંખ્યા $n = 5 + 2 = 7$ છે.
$7$ મું પદ $T_7 = ar^{7-1} = ar^6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $2/3 = 486 \times r^6$.
$r^6 = \frac{2}{3 \times 486} = \frac{2}{1458} = \frac{1}{729} = (1/3)^6$.
આમ,$r = 1/3$.
ચોથો $G.M.$ એ શ્રેણીનું $5$ મું પદ છે,$T_5 = ar^{5-1} = ar^4$.
$T_5 = 486 \times (1/3)^4 = 486 \times \frac{1}{81} = 6$.

(B) આપેલ સંખ્યાઓ $3^1, 3^2, 3^3, ..., 3^n$ છે.
$n$ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, ..., x_n$ નો ભૌમિતિક મધ્યક $(G.M.)$ $(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{1/n}$ દ્વારા મળે છે.
$G.M. = (3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot ... \cdot 3^n)^{1/n}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$G.M. = (3^{1+2+3+...+n})^{1/n}$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ થાય છે.
$G.M. = (3^{\frac{n(n+1)}{2}})^{1/n}$
$G.M. = 3^{\frac{n(n+1)}{2n}} = 3^{\frac{n+1}{2}}$.

(D) ધારો કે $4$ અને $\frac{1}{4}$ ની વચ્ચેના ત્રણ ભૌમિતિક મધ્યકો $g_1, g_2, g_3$ છે.
તેથી $4, g_1, g_2, g_3, \frac{1}{4}$ એ $G.P.$ (સમગુણોત્તર શ્રેણી) બનાવે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 4$ અને પાંચમું પદ $ar^4 = \frac{1}{4}$ છે.
$4r^4 = \frac{1}{4} \Rightarrow r^4 = \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$.
આમ,$r = \frac{1}{2}$ (ધન સામાન્ય ગુણોત્તર લેતા).
ત્રણ ભૌમિતિક મધ્યકોનો ગુણાકાર $g_1 \times g_2 \times g_3 = (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) = a^3r^6$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $a^3r^6 = (4)^3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 64 \times \frac{1}{64} = 1$.
વૈકલ્પિક રીતે,$a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ ભૌમિતિક મધ્યકોનો ગુણાકાર $(ab)^{n/2}$ થાય છે. અહીં $a=4, b=1/4, n=3$ હોવાથી,$(4 \times \frac{1}{4})^{3/2} = 1^{3/2} = 1$.

(B) ધારો કે બે ભૌમિતિક મધ્યકો $a$ અને $b$ છે,જેથી $1, a, b, 64$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ બનાવે છે.
$GP$ માં,સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ એ $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a_1 = 1$ અને $a_4 = 64$ છે.
$64 = 1 \cdot r^{4-1} \Rightarrow r^3 = 64$.
$64 = 4^3$ હોવાથી,$r = 4$ મળે છે.
પદો $a = 1 \cdot 4 = 4$ અને $b = 4 \cdot 4 = 16$ છે.
આમ,બે ભૌમિતિક મધ્યકો $4$ અને $16$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = r$,જ્યાં $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{b^2}{a^2} = \frac{c^2}{b^2} = r^2$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $r^2$ સામાન્ય ગુણોત્તર સાથે $G.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $x, G_1, G_2, y$ એ $G.P.$ માં છે.
ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે.
તેથી $G_1 = xr$,$G_2 = xr^2$,અને $y = xr^3$.
આપણે $G_1 G_2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$G_1 G_2 = (xr)(xr^2) = x^2r^3$.
કારણ કે $y = xr^3$,આપણે લખી શકીએ કે $x^2r^3 = x(xr^3) = xy$.
તેથી,$G_1 G_2 = xy$.

(A) ધારો કે ભૌમિતિક શ્રેણીમાં ત્રણ સંખ્યાઓ $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે તેમનો ગુણાકાર $1728$ છે,તેથી:
$(\frac{a}{r}) \times a \times (ar) = 1728$
$a^3 = 1728$
$a = \sqrt[3]{1728} = 12$
આમ,વચ્ચેની સંખ્યા $12$ છે.

(B) ધારો કે $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો $\frac{a}{r}, a, ar$ છે.
આપેલ છે કે પદોનો ગુણાકાર $216$ છે:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 216$
$a^3 = 216$
$a = 6$
આપેલ છે કે બબ્બે પદોના ગુણાકારનો સરવાળો $156$ છે:
$(\frac{a}{r} \times a) + (a \times ar) + (\frac{a}{r} \times ar) = 156$
$\frac{a^2}{r} + a^2r + a^2 = 156$
$a = 6$ મુકતા:
$\frac{36}{r} + 36r + 36 = 156$
$\frac{36}{r} + 36r = 120$
$12$ વડે ભાગતા:
$\frac{3}{r} + 3r = 10$
$3r^2 - 10r + 3 = 0$
$(3r - 1)(r - 3) = 0$
તેથી,$r = 3$ અથવા $r = \frac{1}{3}$.
જો $r = 3$ હોય,તો પદો $\frac{6}{3}, 6, 6 \times 3$ એટલે કે $2, 6, 18$ મળે.
તેથી,સંખ્યાઓ $2, 6, 18$ છે.