Harmonic progression Questions in Hindi

(A) दी गई श्रेणी $27 + 9 + 5\frac{2}{5} + 3\frac{6}{7} + \dots$ है।
पदों को फिर से लिखने पर: $27, \frac{27}{3}, \frac{27}{5}, \frac{27}{7}, \dots$
इसे $\frac{27}{1}, \frac{27}{3}, \frac{27}{5}, \frac{27}{7}, \dots$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हर एक समांतर श्रेणी में है: $1, 3, 5, 7, \dots$ जहाँ $n$ वां पद $a_n = 2n - 1$ है।
अतः,श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = \frac{27}{2n - 1}$ है।
$9$ वें पद के लिए $(n = 9)$:
$T_9 = \frac{27}{2(9) - 1} = \frac{27}{18 - 1} = \frac{27}{17} = 1\frac{10}{17}$.

(C) $H.P.$ के लिए $T_m = n$ और $T_n = m$ दिया गया है।
इसलिए,संगत $A.P.$ के लिए $m^{th}$ पद $\frac{1}{n}$ और $n^{th}$ पद $\frac{1}{m}$ होगा।
मान लीजिए कि इस $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है,तो:
$a + (m - 1)d = \frac{1}{n}$ ---$(i)$
$a + (n - 1)d = \frac{1}{m}$ ---(ii)
$(i)$ में से (ii) घटाने पर:
$(m - n)d = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} = \frac{m - n}{mn}$
$d = \frac{1}{mn}$
$(i)$ में $d$ का मान रखने पर:
$a + (m - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{n}$
$a = \frac{1}{n} - \frac{m - 1}{mn} = \frac{m - m + 1}{mn} = \frac{1}{mn}$
अब,संगत $A.P.$ का $r^{th}$ पद:
$T_r = a + (r - 1)d = \frac{1}{mn} + (r - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1 + r - 1}{mn} = \frac{r}{mn}$
अतः,संगत $H.P.$ का $r^{th}$ पद:
$T_r(H.P.) = \frac{mn}{r}$.

(D) माना कि जोड़ी जाने वाली संख्या $x$ है।
तब नई संख्याएँ $(13 + x), (15 + x), (19 + x)$ होंगी।
चूँकि ये संख्याएँ $H.P.$ में हैं,इसलिए इनके व्युत्क्रम $A.P.$ में होने चाहिए।
अतः,$\frac{1}{15 + x} - \frac{1}{13 + x} = \frac{1}{19 + x} - \frac{1}{15 + x}$.
इससे $\frac{(13 + x) - (15 + x)}{(15 + x)(13 + x)} = \frac{(15 + x) - (19 + x)}{(19 + x)(15 + x)}$ प्राप्त होता है।
$\frac{-2}{(15 + x)(13 + x)} = \frac{-4}{(19 + x)(15 + x)}$.
दोनों पक्षों से $(15 + x)$ को हटाने पर,हमें $\frac{-2}{13 + x} = \frac{-4}{19 + x}$ प्राप्त होता है।
$2(19 + x) = 4(13 + x)$.
$38 + 2x = 52 + 4x$.
$-14 = 2x$.
$x = -7$.

(D) दी गई श्रेणी $2, 2\frac{1}{2}, 3\frac{1}{3}, \dots$ $H.P.$ में है।
व्युत्क्रम लेने पर,श्रेणी $\frac{1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{3}{10}, \dots$ $A.P.$ में होगी।
इस $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = \frac{1}{2}$ और सार्व अंतर $d = \frac{2}{5} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{10}$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 5$ के लिए,$T_5 = \frac{1}{2} + (5-1)\left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{1}{2} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$।
चूँकि $H.P.$ का $n$ वाँ पद संगत $A.P.$ के $n$ वें पद का व्युत्क्रम होता है,इसलिए $H.P.$ का $5$ वाँ पद $\frac{1}{1/10} = 10$ होगा।

(C) चूंकि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}$ $H.P.$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}$ $A.P.$ में होंगे।
माना इस $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है।
अतः,$\frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k} = d$ होगा।
इससे $a_k a_{k+1} = \frac{1}{d}(a_k - a_{k+1})$ प्राप्त होता है।
योग करने पर,$\sum_{k=1}^{n-1} a_k a_{k+1} = \frac{1}{d} (a_1 - a_n)$।
$A.P.$ के $n$ वें पद के लिए,$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1)d$,इसलिए $d = \frac{a_1 - a_n}{(n-1)a_1 a_n}$।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,योग $(n-1)a_1 a_n$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए $y = \frac{2xz}{x + z}$।
व्यंजक $E = \log(x + z) + \log(x - 2y + z)$ पर विचार करें।
$\log(a) + \log(b) = \log(ab)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$E = \log((x + z)(x - 2y + z))$।
$y = \frac{2xz}{x + z}$ का मान व्यंजक में रखने पर:
$E = \log\left((x + z)\left(x + z - 2\left(\frac{2xz}{x + z}\right)\right)\right)$
$E = \log\left((x + z)\left(x + z - \frac{4xz}{x + z}\right)\right)$
$E = \log\left((x + z)^2 - 4xz\right)$
$E = \log(x^2 + 2xz + z^2 - 4xz) = \log(x^2 - 2xz + z^2)$
$E = \log((x - z)^2) = 2\log(x - z)$।

(A) माना संगत $A.P.$ $a, a+d, a+2d, \dots$ है।
चूंकि $H.P.$ का $5^{th}$ पद $\frac{1}{45}$ है,इसलिए $A.P.$ का $5^{th}$ पद $45$ होगा।
अतः,$a + 4d = 45$ $(i)$
चूंकि $H.P.$ का $11^{th}$ पद $\frac{1}{69}$ है,इसलिए $A.P.$ का $11^{th}$ पद $69$ होगा।
अतः,$a + 10d = 69$ $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर,$(a + 10d) - (a + 4d) = 69 - 45$,जिससे $6d = 24$ प्राप्त होता है,अतः $d = 4$ है।
$d = 4$ को $(i)$ में रखने पर,$a + 4(4) = 45$,अतः $a + 16 = 45$,जिससे $a = 29$ प्राप्त होता है।
$A.P.$ का $16^{th}$ पद $a + 15d = 29 + 15(4) = 29 + 60 = 89$ है।
इसलिए,$H.P.$ का $16^{th}$ पद $\frac{1}{89}$ है।

(B) हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में,पदों के व्युत्क्रम (reciprocals) एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं।
प्रथम पद $a_1 = 1/7$ और दूसरा पद $a_2 = 1/9$ दिए गए हैं,अतः समांतर श्रेणी के पद $7$ और $9$ होंगे।
समांतर श्रेणी का प्रथम पद $A = 7$ और सार्व अंतर $d = 9 - 7 = 2$ है।
समांतर श्रेणी का $n$ वां पद $A_n = A + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 12$ के लिए,$A_{12} = 7 + (12 - 1) \times 2 = 7 + 11 \times 2 = 7 + 22 = 29$.
अतः,$H.P.$ का $12$ वां पद $A_{12}$ का व्युत्क्रम होगा,जो $1/29$ है।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ $H.P.$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $A.P.$ में हैं।
माना $\frac{1}{a} = p - q, \frac{1}{b} = p, \frac{1}{c} = p + q$,जहाँ $p, q > 0$ और $p > q$ है।
अतः $a = \frac{1}{p-q}, b = \frac{1}{p}, c = \frac{1}{p+q}$ है।
इन मानों को व्यंजक $E = \frac{3a + 2b}{2a - b} + \frac{3c + 2b}{2c - b}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{5p - 2q}{p + q} + \frac{5p + 2q}{p - q} = \frac{10p^2 + 4q^2}{p^2 - q^2} = 10 + \frac{14q^2}{p^2 - q^2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $p > q > 0$ है,इसलिए $p^2 - q^2 > 0$,अतः $E > 10$ है।

(A) यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
$H.P.$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$ab + bc + cd = 3ad$ प्राप्त होता है।
सत्यापन: मान लीजिए $a=1, b=\frac{1}{2}, c=\frac{1}{3}, d=\frac{1}{4}$.
$ab + bc + cd = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
यहाँ $3ad = 3(1 \times \frac{1}{4}) = \frac{3}{4}$ है,अतः सही उत्तर $3ad$ है।

(D) माना हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ $H_1, H_2, \dots, H_n$ है। संगत समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $A_1, A_2, \dots, A_n$ है जहाँ $A_n = \frac{1}{H_n}$ है।
दिया है कि $H.P.$ का $7$वाँ पद $8$ है,अतः $A.P.$ का $7$वाँ पद $A_7 = \frac{1}{8}$ होगा।
दिया है कि $H.P.$ का $8$वाँ पद $7$ है,अतः $A.P.$ का $8$वाँ पद $A_8 = \frac{1}{7}$ होगा।
$A.P.$ के लिए,$A_n = a + (n-1)d$ होता है। अतः:
$a + 6d = \frac{1}{8}$ (समीकरण $1$)
$a + 7d = \frac{1}{7}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर $d = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{1}{56}$ प्राप्त होता है।
$d$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 6(\frac{1}{56}) = \frac{1}{8} \implies a = \frac{1}{56}$ प्राप्त होता है।
$A.P.$ का $15$वाँ पद $A_{15} = a + 14d = \frac{1}{56} + 14(\frac{1}{56}) = \frac{15}{56}$ है।
अतः,$H.P.$ का $15$वाँ पद $H_{15} = \frac{1}{A_{15}} = \frac{56}{15}$ होगा।

(D) माना कि $H.P.$,एक $A.P.$ का व्युत्क्रम है जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $H.P.$ का $7$ वाँ पद $\frac{1}{10}$ है,इसलिए संगत $A.P.$ का $7$ वाँ पद $10$ होगा।
अतः,$a + 6d = 10$ $(i)$
दिया गया है कि $H.P.$ का $12$ वाँ पद $\frac{1}{25}$ है,इसलिए संगत $A.P.$ का $12$ वाँ पद $25$ होगा।
अतः,$a + 11d = 25$ $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 11d) - (a + 6d) = 25 - 10$
$5d = 15 \Rightarrow d = 3$
$d = 3$ को $(i)$ में रखने पर:
$a + 6(3) = 10$ $\Rightarrow a + 18 = 10$ $\Rightarrow a = -8$
अब,$A.P.$ का $20$ वाँ पद $T_{20} = a + 19d = -8 + 19(3) = -8 + 57 = 49$ होगा।
अतः,$H.P.$ का $20$ वाँ पद $49$ का व्युत्क्रम अर्थात $\frac{1}{49}$ होगा।

(C) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
चूंकि $H.P.$ के पद $A.P.$ के पदों के व्युत्क्रम होते हैं,इसलिए:
$H.P.$ का $T_6 = \frac{1}{61} \implies A.P.$ का $T_6 = a + 5d = 61$ $(i)$
$H.P.$ का $T_{10} = \frac{1}{105} \implies A.P.$ का $T_{10} = a + 9d = 105$ $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(a + 9d) - (a + 5d) = 105 - 61$
$4d = 44 \implies d = 11$
$d = 11$ को $(i)$ में रखने पर:
$a + 5(11) = 61$
$a + 55 = 61 \implies a = 6$
अतः,$H.P.$ का प्रथम पद $\frac{1}{a} = \frac{1}{6}$ है।

(B) माना कि संगत $A.P.$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ है। चूँकि $H.P.$ के पद $A.P.$ के पदों के व्युत्क्रम होते हैं,इसलिए:
$T_p = \frac{1}{q} \implies A + (p - 1)D = \frac{1}{q} \quad (i)$
$T_q = \frac{1}{p} \implies A + (q - 1)D = \frac{1}{p} \quad (ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$(p - q)D = \frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{p - q}{pq}$
$D = \frac{1}{pq}$
$D$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$A + (p - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q}$
$A = \frac{1}{q} - \frac{p - 1}{pq} = \frac{p - p + 1}{pq} = \frac{1}{pq}$
अब,$A.P.$ का $(pq)^{th}$ पद:
$T_{pq} = A + (pq - 1)D = \frac{1}{pq} + (pq - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1 + pq - 1}{pq} = 1$
चूँकि $A.P.$ का $(pq)^{th}$ पद $1$ है,इसलिए $H.P.$ का $(pq)^{th}$ पद $1$ का व्युत्क्रम यानी $1$ होगा।

(B) माना $H.P.$ $\frac{1}{a}, \frac{1}{a+d}, \frac{1}{a+2d}, \dots$ है,जहाँ संगत $A.P.$ $a, a+d, a+2d, \dots$ है।
दिया गया है कि $H.P.$ का $4^{th}$ पद $\frac{3}{5}$ है,अतः $A.P.$ का $4^{th}$ पद $\frac{5}{3}$ होगा। इस प्रकार,$a + 3d = \frac{5}{3} \dots (1)$
दिया गया है कि $H.P.$ का $8^{th}$ पद $\frac{1}{3}$ है,अतः $A.P.$ का $8^{th}$ पद $3$ होगा। इस प्रकार,$a + 7d = 3 \dots (2)$
$(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर,$(a + 7d) - (a + 3d) = 3 - \frac{5}{3} \implies 4d = \frac{4}{3} \implies d = \frac{1}{3}$
$d = \frac{1}{3}$ को $(1)$ में रखने पर,$a + 3(\frac{1}{3}) = \frac{5}{3} \implies a + 1 = \frac{5}{3} \implies a = \frac{2}{3}$
$A.P.$ का $6^{th}$ पद $a + 5d = \frac{2}{3} + 5(\frac{1}{3}) = \frac{7}{3}$ होगा।
अतः,$H.P.$ का $6^{th}$ पद $\frac{7}{3}$ का व्युत्क्रम अर्थात $\frac{3}{7}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $H$,$p$ और $q$ के बीच का हरात्मक माध्य है,इसलिए $H = \frac{2pq}{p + q}$ है।
अब,हमें व्यंजक $\frac{H}{p} + \frac{H}{q}$ का मान ज्ञात करना है।
$H$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{H}{p} + \frac{H}{q} = \frac{1}{p} \left( \frac{2pq}{p + q} \right) + \frac{1}{q} \left( \frac{2pq}{p + q} \right)$
$= \frac{2q}{p + q} + \frac{2p}{p + q}$
$= \frac{2q + 2p}{p + q}$
$= \frac{2(p + q)}{p + q}$
$= 2$.

(A) दिया गया है कि $H$,$a$ और $b$ का हरात्मक माध्य है,इसलिए $H = \frac{2ab}{a + b}$।
व्यंजक $\frac{1}{H - a} + \frac{1}{H - b}$ में मान रखने पर:
$\frac{1}{\frac{2ab}{a + b} - a} + \frac{1}{\frac{2ab}{a + b} - b} = \frac{a + b}{2ab - a(a + b)} + \frac{a + b}{2ab - b(a + b)}$
$= \frac{a + b}{ab - a^2} + \frac{a + b}{ab - b^2} = \frac{a + b}{a(b - a)} - \frac{a + b}{b(b - a)}$
$= \frac{a + b}{b - a} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) = \frac{a + b}{b - a} \left( \frac{b - a}{ab} \right)$
$= \frac{a + b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$।

(A) मान लीजिए कि दो संख्याएँ $a = 3$ और $b = \frac{6}{13}$ हैं।
$a$ और $b$ के बीच $n$-वां $H.M.$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$H_n = \frac{(n+1)ab}{na + b}$
छठे $H.M.$ के लिए,$n = 6$:
$H_6 = \frac{(6+1) \times 3 \times \frac{6}{13}}{6 \times 3 + \frac{6}{13}}$
$H_6 = \frac{7 \times 3 \times \frac{6}{13}}{18 + \frac{6}{13}}$
$H_6 = \frac{\frac{126}{13}}{\frac{18 \times 13 + 6}{13}}$
$H_6 = \frac{126}{234 + 6} = \frac{126}{240}$
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:
$H_6 = \frac{63}{120}$

(B) और $b$ के बीच का हरात्मक माध्य $\frac{2ab}{a + b}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n} = \frac{2ab}{a + b}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$(a^{n + 1} + b^{n + 1})(a + b) = 2ab(a^n + b^n)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $a^{n + 2} + a^{n + 1}b + ab^{n + 1} + b^{n + 2} = 2a^{n + 1}b + 2ab^{n + 1}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^{n + 2} + b^{n + 2} - a^{n + 1}b - ab^{n + 1} = 0$.
$a^{n + 1}(a - b) - b^{n + 1}(a - b) = 0$.
$(a^{n + 1} - b^{n + 1})(a - b) = 0$.
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $a^{n + 1} = b^{n + 1}$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $(\frac{a}{b})^{n + 1} = 1 = (\frac{a}{b})^0$.
अतः,$n + 1 = 0$,जिससे $n = -1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $H$,$a$ और $b$ के बीच हरात्मक माध्य है,इसलिए $H = \frac{2ab}{a + b}$।
व्यंजक $E = \frac{H + a}{H - a} + \frac{H + b}{H - b}$ पर विचार करें।
पहले पद में $H = \frac{2ab}{a + b}$ रखने पर:
$\frac{H + a}{H - a} = \frac{\frac{2ab}{a + b} + a}{\frac{2ab}{a + b} - a} = \frac{a + 3b}{b - a}$।
इसी प्रकार,दूसरे पद के लिए:
$\frac{H + b}{H - b} = \frac{\frac{2ab}{a + b} + b}{\frac{2ab}{a + b} - b} = -\frac{3a + b}{b - a}$।
दोनों पदों को जोड़ने पर:
$E = \frac{a + 3b}{b - a} - \frac{3a + b}{b - a} = \frac{2b - 2a}{b - a} = 2$।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,अतः $b = \frac{2ac}{a+c}$.
$A.M. > H.M.$ के गुणधर्म से,$\frac{a+c}{2} > b$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left(\frac{a+c}{2}\right)^2 > b^2$,जिसका अर्थ है $\frac{a^2 + 2ac + c^2}{4} > b^2$.
पावर मीन असमिका के अनुसार,$n=2$ के लिए,$\frac{a^2+c^2}{2} > \left(\frac{a+c}{2}\right)^2$.
अतः,$\frac{a^2+c^2}{2} > b^2$,जो सरल होकर $a^2 + c^2 > 2b^2$ प्राप्त होता है।

(C) यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
$H.P.$ में किन्हीं चार पदों के लिए,हम जानते हैं कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं,इसलिए $b = \frac{2ac}{a+c}$। चूँकि $A.M. > H.M.$,हमारे पास $\frac{a+c}{2} > b$ है,जिसका अर्थ है $a+c > 2b$।
इसी प्रकार,$b, c, d$ के $H.P.$ में होने के कारण,$b+d > 2c$।
इन दो असमिकाओं को जोड़ने पर: $(a+c) + (b+d) > 2b + 2c$,जो सरल होकर $a+d > b+c$ हो जाता है। अतः,$(a)$ सत्य है।
साथ ही,$a, b, c$ के $H.P.$ में होने के कारण,$ac > b^2$। $b, c, d$ के $H.P.$ में होने के कारण,$bd > c^2$।
इनका गुणा करने पर: $(ac)(bd) > (b^2)(c^2)$,जो सरल होकर $ad > bc$ हो जाता है। अतः,$(b)$ सत्य है।
इसलिए,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(C) दिया गया है कि $\log_a x, \log_b x, \log_c x$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके,हम इन्हें $\frac{\log x}{\log a}, \frac{\log x}{\log b}, \frac{\log x}{\log c}$ के रूप में लिख सकते हैं जो $H.P.$ में हैं।
व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\frac{\log a}{\log x}, \frac{\log b}{\log x}, \frac{\log c}{\log x}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
यह सरल होकर $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हो जाते हैं।
लघुगणक के गुणधर्म के अनुसार,यदि $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,तो $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में होंगे।

(C) दिया गया है: $\frac{1}{b - a} + \frac{1}{b - c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{b - a} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b - c}$
$\frac{a - (b - a)}{a(b - a)} = \frac{(b - c) - c}{c(b - c)}$
$\frac{2a - b}{a(b - a)} = \frac{b - 2c}{c(b - c)}$
इसे सरल करने पर $b(a+c) = 2ac$ प्राप्त होता है,जो $a, b, c$ के $H.P.$ में होने की शर्त है।
अतः,$a, b, c$ $H.P.$ में हैं।

(C) माना ${a^x} = {b^y} = {c^z} = {d^u} = k$ है।
तब $a = {k^{1/x}}, b = {k^{1/y}}, c = {k^{1/z}}, d = {k^{1/u}}$ होगा।
चूँकि $a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं,इसलिए ${b^2} = ac$ और ${c^2} = bd$ होगा।
मान रखने पर,${k^{2/y}} = {k^{1/x}} \cdot {k^{1/z}} = {k^{(1/x + 1/z)}}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$,जिसका मतलब है कि $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$x, y, z$ $H.P.$ में हैं।
इसी प्रकार,$b, c, d$ के लिए $\frac{2}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{u}$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $y, z, u$ भी $H.P.$ में हैं।
अतः,$x, y, z, u$ $H.P.$ में हैं।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $H.P.$ में हैं।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $A.P.$ में हैं।
प्रत्येक पद को $(a+b+c)$ से गुणा करने पर,$\frac{a+b+c}{a}, \frac{a+b+c}{b}, \frac{a+b+c}{c}$ $A.P.$ में हैं।
प्रत्येक पद से $1$ घटाने पर: $\frac{a+b+c}{a} - 1, \frac{a+b+c}{b} - 1, \frac{a+b+c}{c} - 1$ $A.P.$ में हैं।
यह सरल होकर $\frac{b+c}{a}, \frac{a+c}{b}, \frac{a+b}{c}$ $A.P.$ में हैं।
प्रत्येक पद का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\frac{a}{b+c}, \frac{b}{c+a}, \frac{c}{a+b}$ $H.P.$ में हैं।

(B) दिया गया है कि $\frac{x + y}{2}, y, \frac{y + z}{2}$ $H.P.$ में हैं।
चूंकि पद $H.P.$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{2}{x + y}, \frac{1}{y}, \frac{2}{y + z}$ $A.P.$ में होंगे।
अतः,$2 \times \frac{1}{y} = \frac{2}{x + y} + \frac{2}{y + z}$
$\frac{1}{y} = \frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z}$
$\frac{1}{y} = \frac{y + z + x + y}{(x + y)(y + z)}$
$(x + y)(y + z) = y(x + 2y + z)$
$xy + xz + y^2 + yz = xy + 2y^2 + yz$
$xz = y^2$
चूंकि $y^2 = xz$,इसलिए $x, y, z$ $G.P.$ में हैं।

(B) चूंकि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए $b = \frac{2ac}{a+c}$ है।
पावर मीन असमानता के अनुसार,$n > 1$ और $a \neq c$ के लिए,$\frac{a^n + c^n}{2} > \left(\frac{a+c}{2}\right)^n$ होता है।
$A.M. > H.M.$ होने के कारण,$\frac{a+c}{2} > b$ होता है।
दोनों पक्षों की घात $n$ $(n > 1)$ करने पर,हमें $\left(\frac{a+c}{2}\right)^n > b^n$ प्राप्त होता है।
इन असमानताओं को मिलाने पर,$\frac{a^n + c^n}{2} > \left(\frac{a+c}{2}\right)^n > b^n$ प्राप्त होता है।
अतः,$a^n + c^n > 2b^n$।

(C) माना ${x^a} = {x^{b/2}}{z^{b/2}} = {z^c} = \lambda$ है।
इससे,हमें $x = \lambda^{1/a}$,$z = \lambda^{1/c}$,और $xz = \lambda^{2/b}$ प्राप्त होता है।
$x$ और $z$ के मानों को $xz$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda^{1/a} \cdot \lambda^{1/c} = \lambda^{2/b}$।
घातांक के नियमों का उपयोग करते हुए,हमें $\lambda^{(1/a) + (1/c)} = \lambda^{2/b}$ प्राप्त होता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ प्राप्त होता है।
यह $a, b, c$ के $H.P.$ में होने की शर्त है।

(C) माना कि दिए गए पद $a = \log _3 2, b = \log _6 2, c = \log _{12} 2$ हैं।
इन पदों के व्युत्क्रम (reciprocals) लेने पर:
$\frac{1}{a} = \log _2 3$
$\frac{1}{b} = \log _2 6 = \log _2 (2 \times 3) = \log _2 2 + \log _2 3 = 1 + \log _2 3$
$\frac{1}{c} = \log _2 12 = \log _2 (4 \times 3) = \log _2 4 + \log _2 3 = 2 + \log _2 3$
माना $x = \log _2 3$. तब व्युत्क्रम $x, 1+x, 2+x$ हैं।
चूंकि क्रमिक पदों के बीच का अंतर स्थिर $(1)$ है,इसलिए ये व्युत्क्रम $A.P.$ में हैं।
अतः,मूल पद $H.P.$ में हैं।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac \dots (i)$.
माना $a^x = b^y = c^z = k$.
तब $a = k^{1/x}, b = k^{1/y}, c = k^{1/z}$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$k^{2/y} = k^{1/x} \cdot k^{1/z} = k^{(1/x + 1/z)}$.
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$x, y, z$ $H.P.$ में हैं।

(A) दिया गया है: $\log (x + z) + \log (x + z - 2y) = 2\log (x - z)$
$\log a + \log b = \log (ab)$ और $n \log a = \log (a^n)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\log ((x + z)(x + z - 2y)) = \log ((x - z)^2)$
$(x + z)(x + z - 2y) = (x - z)^2$
$(x + z)^2 - 2y(x + z) = x^2 - 2xz + z^2$
$x^2 + 2xz + z^2 - 2xy - 2yz = x^2 - 2xz + z^2$
$2xz - 2xy - 2yz = -2xz$
$4xz = 2xy + 2yz$
$2xz = xy + yz$
दोनों पक्षों को $xyz$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{y} = \frac{1}{z} + \frac{1}{x}$
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$x, y, z$ $H.P.$ में हैं।

(C) दिया गया है कि $\frac{a}{b + c}, \frac{b}{c + a}, \frac{c}{a + b}$ $H.P.$ में हैं।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{b + c}{a}, \frac{c + a}{b}, \frac{a + b}{c}$ $A.P.$ में हैं।
प्रत्येक पद में $1$ जोड़ने पर,$\frac{b + c}{a} + 1, \frac{c + a}{b} + 1, \frac{a + b}{c} + 1$ $A.P.$ में हैं।
यह सरल होकर $\frac{a + b + c}{a}, \frac{a + b + c}{b}, \frac{a + b + c}{c}$ $A.P.$ में हो जाता है।
प्रत्येक पद को $(a + b + c)$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$a, b, c$ $H.P.$ में हैं।

(B) यदि $a, b, c, d$ $H.P.$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ $A.P.$ में होते हैं।
इस $A.P.$ का सार्व अंतर $k$ मानिए।
तब $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = k$,$\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = k$,और $\frac{1}{d} - \frac{1}{c} = k$।
$a, b, c, d$ के $H.P.$ में होने के लिए,शर्त $a + d > b + c$ तब संतुष्ट होती है जब पद हरात्मक श्रेणी में हों।
अतः,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ $A.P.$ में हैं।

(D) दिया गया है कि $a, b, c, d$ $A.P.$ में हैं।
प्रत्येक पद को $abcd$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a}{abcd}, \frac{b}{abcd}, \frac{c}{abcd}, \frac{d}{abcd}$ $A.P.$ में हैं।
यह सरल होकर बनता है:
$\frac{1}{bcd}, \frac{1}{acd}, \frac{1}{abd}, \frac{1}{abc}$ $A.P.$ में हैं।
$H.P.$ की परिभाषा के अनुसार,$A.P.$ में मौजूद पदों के व्युत्क्रम $H.P.$ में होते हैं।
इसलिए,$bcd, acd, abd, abc$ $H.P.$ में हैं।
क्रम को उलटने पर,$abc, abd, acd, bcd$ भी $H.P.$ में हैं।

(A) दिया गया है कि $b + c, c + a, a + b$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
इसका अर्थ है कि उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
माना $S = a + b + c$ है। प्रत्येक पद को $S$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{a + b + c}{b + c}, \frac{a + b + c}{c + a}, \frac{a + b + c}{a + b}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में प्राप्त होते हैं।
इसे $\frac{a}{b + c} + 1, \frac{b}{c + a} + 1, \frac{c}{a + b} + 1$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में है,के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रत्येक पद से $1$ घटाने पर,हमें $\frac{a}{b + c}, \frac{b}{c + a}, \frac{c}{a + b}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया है कि $\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
अतः,उनके व्युत्क्रम $\frac{b}{a}, \frac{c}{b}, \frac{a}{c}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
इसका अर्थ है $2 \times (\frac{c}{b}) = \frac{b}{a} + \frac{a}{c}$।
दोनों पक्षों को $abc$ से गुणा करने पर,हमें $2ac^2 = b^2c + a^2b$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $a^2b, c^2a, b^2c$ के समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होने की शर्त को दर्शाता है क्योंकि $2(c^2a) = a^2b + b^2c$ समीकरण $2c^2a = a^2b + b^2c$ के समतुल्य है।

(D) दिया गया है कि $\ln(a + c)$,$\ln(c - a)$,और $\ln(a - 2b + c)$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$2\ln(c - a) = \ln(a + c) + \ln(a - 2b + c)$
$\ln(x) + \ln(y) = \ln(xy)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\ln((c - a)^2) = \ln((a + c)(a - 2b + c))$
लघुगणक हटाने पर:
$(c - a)^2 = (a + c)(a - 2b + c)$
$c^2 + a^2 - 2ac = a^2 - 2ab + ac + ac - 2bc + c^2$
$c^2 + a^2 - 2ac = a^2 + c^2 + 2ac - 2ab - 2bc$
$-2ac = 2ac - 2b(a + c)$
$2b(a + c) = 4ac$
$b = \frac{2ac}{a + c}$
यह $a, b, c$ के $H.P.$ में होने की शर्त है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं।
अतः $b^2 = ac$ होगा।
दोनों तरफ $\log$ लेने पर,$2 \log b = \log a + \log c$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\log a, \log b, \log c$ $A.P.$ में हैं।
इसलिए,$\frac{1}{\log a}, \frac{1}{\log b}, \frac{1}{\log c}$ $H.P.$ में हैं।
$\log x$ से गुणा करने पर,$\frac{\log x}{\log a}, \frac{\log x}{\log b}, \frac{\log x}{\log c}$ $H.P.$ में हैं।
$\log_a x = \frac{\log x}{\log a}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$\log_a x, \log_b x, \log_c x$ $H.P.$ में हैं।

(B) दिया गया है कि $(y - x)$,$2(y - a)$ और $(y - z)$ $H.P.$ में हैं।
इसका अर्थ है कि उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{y - x}$,$\frac{1}{2(y - a)}$ और $\frac{1}{y - z}$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$\frac{1}{2(y - a)} - \frac{1}{y - x} = \frac{1}{y - z} - \frac{1}{2(y - a)}$.
दोनों पक्षों में $\frac{1}{2(y - a)}$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{y - x} + \frac{1}{y - z} = \frac{2}{2(y - a)} = \frac{1}{y - a}$.
$\frac{(y - z) + (y - x)}{(y - x)(y - z)} = \frac{1}{y - a}$.
$(2y - x - z)(y - a) = (y - x)(y - z) = y^2 - yz - xy + xz$.
$2y^2 - 2ay - xy + ax - zy + az = y^2 - yz - xy + xz$.
$y^2 - 2ay + ax + az - xz = 0$.
यह $(y - a)^2 = (x - a)(z - a)$ में सरल हो जाता है।
अतः,$(x - a)$,$(y - a)$ और $(z - a)$ $G.P.$ में हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a - b} + \frac{1}{c - b} = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{a} + \frac{1}{c - b} = \frac{1}{b - a} - \frac{1}{c}$
$\frac{c - b + a}{a(c - b)} = \frac{c - b + a}{(b - a)c}$
यदि $a + c - b \ne 0$ है,तो दोनों पक्षों से $(a + c - b)$ पद को हटाने पर:
$bc - ac = ac - ab$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर: $\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह शर्त दर्शाती है कि $a, b, c$ $H.P.$ में हैं।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,अतः $H.P.$ के लिए शर्त $b = \frac{2ac}{a + c}$ है।
विकल्प $(a)$ की जाँच करने पर: यह गलत है।
विकल्प $(b)$ की जाँच करने पर: $\frac{ac}{a + c} = b$ $\Rightarrow \frac{ac}{a + c} = \frac{2ac}{a + c}$ $\Rightarrow 1 = 2$,जो कि गलत है।
विकल्प $(c)$ की जाँच करने पर: यह भी गलत है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सत्य नहीं है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
इसका अर्थ है $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b}$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{c} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$।
$\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{a} \right) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ में $\frac{1}{c}$ का मान रखने पर:
पहला पद: $\left( \frac{1}{b} + (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) - \frac{1}{a} \right) = \left( \frac{3}{b} - \frac{2}{a} \right)$।
दूसरा पद: $\left( (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) + \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) = \left( \frac{1}{b} \right)$।
गुणा करने पर: $\left( \frac{3}{b} - \frac{2}{a} \right) \left( \frac{1}{b} \right) = \frac{3}{b^2} - \frac{2}{ab}$।

(C) माना घर से स्कूल की दूरी $d$ है।
स्कूल जाने में लगा समय $t_1$ और वापस आने में लगा समय $t_2$ है।
अतः,$t_1 = \frac{d}{x}$ और $t_2 = \frac{d}{y}$।
औसत गति = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d + d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{x} + \frac{d}{y}}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{2d}{d(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})} = \frac{2}{\frac{x+y}{xy}} = \frac{2xy}{x+y}$।
यह व्यंजक $x$ और $y$ का हरात्मक माध्य $(H.M.)$ है।

(C) यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
$H.P.$ में किन्हीं तीन पदों $x, y, z$ के लिए,हम जानते हैं कि $y = \frac{2xz}{x+z}$। चूंकि $A.M. > H.M.$ होता है,इसलिए $\sqrt{xz} > y$ होगा,जिसका अर्थ है $xz > y^2$।
इस गुण का उपयोग करते हुए:
$1$. $a, b, c$ के $H.P.$ में होने पर,$ac > b^2$।
$2$. $b, c, d$ के $H.P.$ में होने पर,$bd > c^2$।
इन दोनों असमिकाओं को जोड़ने पर:
$ac + bd > b^2 + c^2$।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,इसलिए $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} - \frac{2}{b} = 0$ $... (i)$
रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{1}{c} = 0$ है $... (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $\frac{1}{a}(x) + \frac{1}{c}(1) + \frac{1}{b}(y) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण $(i)$ से,हम जानते हैं कि $\frac{1}{c} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$। इस मान को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) = 0$
पदों को $\frac{1}{a}$ और $\frac{1}{b}$ के अनुसार व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{a}(x - 1) + \frac{1}{b}(y + 2) = 0$
यह समीकरण सभी $a, b, c$ के लिए सत्य हो,इसके लिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2$
अतः,निश्चित बिंदु $(1, -2)$ है।

(D) $n$ अवलोकनों $x_1, x_2, ..., x_n$ का हरात्मक माध्य $(H.M.)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$H.M. = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$
यहाँ,$n = 5$ और अवलोकन $3, 7, 8, 10, 14$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$H.M. = \frac{5}{\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{1}{14}}$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(C) औसत गति कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
कुल दूरी $D = 120 + 120 + 120 = 360 \ km$.
पहली यात्रा के लिए समय $t_1 = \frac{120}{30} \ hr$.
वापसी यात्रा के लिए समय $t_2 = \frac{120}{25} \ hr$.
अंतिम यात्रा के लिए समय $t_3 = \frac{120}{50} \ hr$.
कुल समय $T = \frac{120}{30} + \frac{120}{25} + \frac{120}{50} \ hr$.
औसत गति $v_{avg} = \frac{360}{\frac{120}{30} + \frac{120}{25} + \frac{120}{50}} = \frac{3}{\frac{1}{30} + \frac{1}{25} + \frac{1}{50}} \ km/hr$.

(C) $n$ संख्याओं $x_1, x_2, ..., x_n$ का हरात्मक माध्य $(H.M.)$ $\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$ द्वारा दिया जाता है।
संख्याओं $4, 8, 16$ के लिए,$n = 3$ है।
$H.M. = \frac{3}{\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}$
$= \frac{3}{\frac{4+2+1}{16}}$
$= \frac{3}{\frac{7}{16}}$
$= \frac{3 \times 16}{7} = \frac{48}{7} \approx 6.857$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $6.85$ है।

(D) $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं।
अतः,$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \dots, \frac{1}{a_n}$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
माना सार्व अंतर $d = \frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k}$ है।
तब,$a_k a_{k+1} = \frac{a_{k+1} - a_k}{d} = \frac{1}{d} (a_k - a_{k+1})$।
योग $S = \sum_{k=1}^{n-1} a_k a_{k+1} = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n-1} (a_k - a_{k+1}) = \frac{1}{d} (a_1 - a_n)$।
$AP$ में,$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n - 1)d$,इसलिए $d = \frac{a_1 - a_n}{(n - 1)a_1 a_n}$।
$d$ का मान योग के सूत्र में रखने पर:
$S = \frac{a_1 - a_n}{\frac{a_1 - a_n}{(n - 1)a_1 a_n}} = (n - 1)a_1 a_n$।