nth term of special series, Sum to n terms and Infinite number of terms Questions in Hindi

(B) दी गई श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = r[(r + 1) - \omega][(r + 1) - \omega^2]$ है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ है।
$T_r = r[(r + 1)^2 - (\omega + \omega^2)(r + 1) + \omega^3] = r[(r + 1)^2 + (r + 1) + 1] = r(r^2 + 3r + 3) = r^3 + 3r^2 + 3r$ है।
श्रेणी का योग $S = \sum_{r=1}^{n-1} (r^3 + 3r^2 + 3r)$ है।
$S = [\frac{(n-1)n}{2}]^2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$ है।
सरल करने पर,$S = \frac{1}{4}(n-1)n(n^2 + 3n + 4)$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई श्रेणी $(1 \times 3) + (3 \times 5) + (5 \times 7) + (7 \times 9) + \dots$ है।
प्रत्येक पद के प्रथम गुणनखंडों को देखें: $1, 3, 5, 7, \dots$
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
इस श्रेणी का $n^{th}$ पद $a_n = a + (n - 1)d = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1$ है।
प्रत्येक पद के दूसरे गुणनखंडों को देखें: $3, 5, 7, 9, \dots$
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
इस श्रेणी का $n^{th}$ पद $b_n = 3 + (n - 1)2 = 2n + 1$ है।
अतः,श्रेणी का $n^{th}$ पद इन दो श्रेणियों के $n^{th}$ पदों का गुणनफल है:
$T_n = (2n - 1)(2n + 1)$.

(D) दी गई श्रेणी $S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + (-1)^{n-1}n$ है।
स्थिति $I$: यदि $n$ सम है,तो $n = 2k$ लें।
योग $(1-2) + (3-4) + \dots + ((2k-1) - 2k) = (-1) + (-1) + \dots + (-1)$ ($k$ बार) होगा।
योग $= -k = -\frac{n}{2}$।
स्थिति $II$: यदि $n$ विषम है,तो $n = 2k+1$ लें।
योग $(1-2) + (3-4) + \dots + ((2k-1) - 2k) + (2k+1) = -k + (2k+1) = k+1$ होगा।
चूंकि $n = 2k+1$,इसलिए $k = \frac{n-1}{2}$,अतः योग $\frac{n-1}{2} + 1 = \frac{n+1}{2}$ होगा।
अतः,यदि $n$ सम है तो योग $-\frac{n}{2}$ है और यदि $n$ विषम है तो योग $\frac{n+1}{2}$ है।

(A) $n^{th}$ पद $T_n = \frac{n}{x} + y$ द्वारा दिया गया है।
$r$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $S_r = \sum_{n=1}^{r} T_n = \sum_{n=1}^{r} \left( \frac{n}{x} + y \right)$ की गणना करते हैं।
$S_r = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{r} n + \sum_{n=1}^{r} y$।
प्रथम $r$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{n=1}^{r} n = \frac{r(r + 1)}{2}$।
$S_r = \frac{1}{x} \left( \frac{r(r + 1)}{2} \right) + ry$।
$S_r = \left\{ \frac{r(r + 1)}{2x} \right\} + ry$।

(B) दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = 5n^2 + 2n$ है।
दूसरा पद $T_2$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $T_2 = S_2 - S_1$ का उपयोग करते हैं।
पहले,$S_1 = 5(1)^2 + 2(1) = 5 + 2 = 7$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$S_2 = 5(2)^2 + 2(2) = 5(4) + 4 = 20 + 4 = 24$ ज्ञात करें।
अतः,$T_2 = S_2 - S_1 = 24 - 7 = 17$।

(B) दी गई श्रेणी $2 \times 4 + 4 \times 6 + 6 \times 8 + \dots$ है।
$n^{th}$ पद $T_n$ को $2, 4, 6, \dots$ के $n^{th}$ पद और $4, 6, 8, \dots$ के $n^{th}$ पद के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।
$2, 4, 6, \dots$ का $n^{th}$ पद $2n$ है।
$4, 6, 8, \dots$ का $n^{th}$ पद $2(n + 1)$ है।
अतः,$T_n = 2n \times 2(n + 1) = 4n(n + 1)$.
$20^{th}$ पद के लिए,$n = 20$ रखने पर:
$T_{20} = 4 \times 20 \times (20 + 1) = 80 \times 21 = 1680$.

(B) माना $S_n = 6 + 66 + 666 + \dots$ $n$ पदों तक।
$S_n = 6(1 + 11 + 111 + \dots + n \text{ पद})$
$S_n = \frac{6}{9}(9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ पद})$
$S_n = \frac{2}{3}((10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1))$
$S_n = \frac{2}{3}((10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ बार}))$
गुणोत्तर श्रेणी के योगफल सूत्र $\frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right)$
$S_n = \frac{2}{3} \left( \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right)$
$S_n = \frac{2(10^{n+1} - 9n - 10)}{27}$.

(C) श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = 1 + x + x^2 + \dots + x^{k-1} = \frac{1 - x^k}{1 - x}$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 - x^k}{1 - x}$ है।
$S_n = \frac{1}{1 - x} \sum_{k=1}^{n} (1 - x^k) = \frac{1}{1 - x} \left[ \sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} x^k \right]$.
$S_n = \frac{1}{1 - x} \left[ n - \frac{x(1 - x^n)}{1 - x} \right]$.
$S_n = \frac{n(1 - x) - x(1 - x^n)}{(1 - x)^2}$.

(B) माना $S_n = 3 + 33 + 333 + \dots$ $n$ पदों तक।
$S_n = 3(1 + 11 + 111 + \dots \text{ } n \text{ पदों तक})$
$S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + \dots \text{ } n \text{ पदों तक})$
$S_n = \frac{1}{3}[(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1)]$
$S_n = \frac{1}{3}[(10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots \text{ } n \text{ पदों तक})]$
गुणोत्तर श्रेणी के योगफल के सूत्र $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n \right]$
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10^{n+1} - 10}{9} - n \right]$
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right]$
$S_n = \frac{1}{27}(10^{n+1} - 9n - 10)$.

(B) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अनुपात $r = \alpha$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
दिया गया है,$\frac{3}{1 - \alpha} = \frac{45}{8}$।
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{1 - \alpha} = \frac{15}{8}$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$1 - \alpha = \frac{8}{15}$।
अतः,$\alpha = 1 - \frac{8}{15} = \frac{15 - 8}{15} = \frac{7}{15}$।

(D) एक अनंत $G.P.$ का योग सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह सूत्र केवल तभी मान्य है जब सार्व अनुपात $r$ शर्त $|r| < 1$ को संतुष्ट करता है,जिसका अर्थ है $-1 < r < 1$।

(A) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3$ है,अतः $a = 3(1-r) \dots (i)$.
पदों के वर्गों से बनी श्रेणी $a^2, a^2r^2, a^2r^4, \dots$ है,जिसका प्रथम पद $a^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है। इसका योग $\frac{a^2}{1-r^2} = 3$ है।
$a = 3(1-r)$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $\frac{9(1-r)^2}{1-r^2} = 3$.
चूंकि $1-r^2 = (1-r)(1+r)$,इसलिए $\frac{9(1-r)^2}{(1-r)(1+r)} = 3$,जो सरल होकर $\frac{3(1-r)}{1+r} = 1$ हो जाता है।
$r$ के लिए हल करने पर: $3 - 3r = 1 + r$,अतः $4r = 2$,जिससे $r = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$r = \frac{1}{2}$ को $(i)$ में रखने पर: $a = 3(1 - \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$.
श्रेणी $\frac{3}{2}, \frac{3}{2}(\frac{1}{2}), \frac{3}{2}(\frac{1}{2})^2, \dots$ अर्थात $\frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, \dots$ है।

(D) एक अनंत $G.P.$ के लिए,योग $S = \frac{a}{1-r} = 4$ और दूसरा पद $ar = \frac{3}{4}$ है।
प्रथम समीकरण से,$a = 4(1-r)$.
$a$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $4(1-r)r = \frac{3}{4}$.
$r(1-r) = \frac{3}{16} \implies r - r^2 = \frac{3}{16} \implies 16r^2 - 16r + 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(4r - 3)(4r - 1) = 0$.
इससे $r = \frac{3}{4}$ या $r = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
यदि $r = \frac{1}{4}$ है,तो $a = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
यदि $r = \frac{3}{4}$ है,तो $a = 4(1 - \frac{3}{4}) = 4(\frac{1}{4}) = 1$.
संभावित युग्म $(a, r) = (3, \frac{1}{4})$ और $(1, \frac{3}{4})$ हैं।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$(a, r) = (3, \frac{1}{4})$ सही है।

(A) दी गई गुणोत्तर श्रेणी $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}, \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}, \frac{1}{2}, \dots$ है।
प्रथम पद $a = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
गणना करने पर,$S = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)^2$ प्राप्त होता है।

(B) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1-r} = 20 \quad (i)$ है।
पदों के वर्गों का योग $\frac{a^2}{1-r^2} = 100 \quad (ii)$ है।
हम $(ii)$ को $\frac{a}{1-r} \times \frac{a}{1+r} = 100$ के रूप में लिख सकते हैं।
$(i)$ को इस समीकरण में रखने पर: $20 \times \frac{a}{1+r} = 100$,जो सरल होकर $\frac{a}{1+r} = 5 \quad (iii)$ हो जाता है।
$(i)$ से,$a = 20(1-r)$। इस मान को $(iii)$ में रखने पर:
$\frac{20(1-r)}{1+r} = 5$
$4(1-r) = 1+r$
$4 - 4r = 1 + r$
$3 = 5r$
$r = 3/5$.

(D) माना $x = 0.037037037...$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{37}{1000}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{1000}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $S = \frac{37/1000}{1 - 1/1000} = \frac{37/1000}{999/1000} = \frac{37}{999}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{37}{999} = \frac{1}{27}$.
अतः,सही विकल्प $D$ (या $B$) है।

(C) दी गई श्रेणी $9 - 3 + 1 - \frac{1}{3} + \dots$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 9$ और सार्व अनुपात $r = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$ है।
$G.P.$ के अनंत पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ है,जहाँ $|r| < 1$ है।
मान रखने पर,$S_{\infty} = \frac{9}{1 - (-1/3)} = \frac{9}{1 + 1/3} = \frac{9}{4/3} = \frac{9 \times 3}{4} = \frac{27}{4}$.

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $P = (32)(32)^{1/6}(32)^{1/36} \dots \infty$ है।
घातांक के नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर:
$P = (32)^{1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{36} + \dots \infty}$.
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{6}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
$S = \frac{1}{1 - 1/6} = \frac{1}{5/6} = \frac{6}{5}$.
अतः,$P = (32)^{6/5}$.
चूंकि $32 = 2^5$,इसलिए $P = (2^5)^{6/5} = 2^{5 \times (6/5)} = 2^6$.
$P = 64$.

(D) माना $S = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots \infty$
$x$ से गुणा करने पर: $xS = x + 3x^2 + 6x^3 + \dots \infty$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S(1 - x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty$
पुनः $x$ से गुणा करने पर: $xS(1 - x) = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots \infty$
पुनः घटाने पर: $S(1 - x) - xS(1 - x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \infty$
$S(1 - x)^2 = \frac{1}{1 - x}$
$S = \frac{1}{(1 - x)^3}$

(B) माना $T_n$ $n$-वाँ पद है और $S_n$ $n$ पदों तक का योग है।
$S_n = 1 + 3 + 7 + 15 + 31 + \dots + T_n$
हम $n$-वें पद को $T_n = 2^n - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1)$.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n} 2^k = 2(2^n - 1) / (2 - 1) = 2^{n+1} - 2$.
इसलिए,$S_n = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$.

(B) माना $n$-वां पद $T_n$ है। अनुक्रम $2, 4, 7, 11, 16, \dots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2, 3, 4, 5, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाता है।
अतः,$T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = 2 + \frac{(n-1)(2 + n)}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$.
अब,योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2 + k + 2}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum k^2 + \sum k + \sum 2 \right]$.
$S_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + 2n \right]$.
$S_n = \frac{n}{12} \left[ (n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 12 \right] = \frac{n}{6} (n^2 + 3n + 8)$.

(C) माना $n^{th}$ पद $T_n$ है। श्रेणी $2, 4, 7, 11, \dots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $2, 3, 4, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी बनाता है।
अतः,$T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1)$
$T_n = 2 + [2 + 3 + 4 + \dots + n]$
$T_n = 1 + [1 + 2 + 3 + \dots + n]$
योग सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$T_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2}$
$T_n = \frac{2 + n^2 + n}{2} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$.

(C) प्रथम $n$ पदों का योग इस प्रकार है:
$S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \left(1 - \frac{1}{2^3}\right) + \dots + \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) = n - \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k$
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करने पर:
$S_n = n - \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} \right) \right]$
$S_n = n - \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) = n - 1 + 2^{-n}$
$n=1$ के लिए जाँच: $S_1 = 1 - 1 + 2^{-1} = 1/2$ (सही)।
$n=2$ के लिए जाँच: $S_2 = 2 - 1 + 2^{-2} = 1 + 1/4 = 5/4$ (सही)।

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $P = 2^{1/4} \cdot 4^{1/8} \cdot 8^{1/16} \cdot 16^{1/32} \cdots$ है।
सभी पदों को $2$ के आधार में बदलने पर:
$P = 2^{1/4} \cdot (2^2)^{1/8} \cdot (2^3)^{1/16} \cdot (2^4)^{1/32} \cdots$
$P = 2^{1/4 + 2/8 + 3/16 + 4/32 + \cdots} = 2^S$,जहाँ $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n+1}}$.
$S = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + \cdots$ $(i)$
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{8} + \frac{2}{16} + \frac{3}{32} + \cdots$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{4} + (\frac{2}{8} - \frac{1}{8}) + (\frac{3}{16} - \frac{2}{16}) + \cdots$
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = 1/4$ और $r = 1/2$ है।
$\frac{1}{2}S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$S = 1$.
इसलिए,$P = 2^1 = 2$.

(A) माना $n^{th}$ पद $T_n$ है। श्रेणी $2, 7, 14, 23, 34, \dots$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $5, 7, 9, 11, \dots$ है,जो एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाता है।
माना $T_n = an^2 + bn + c$ है।
$n=1$ के लिए,$T_1 = a + b + c = 2$
$n=2$ के लिए,$T_2 = 4a + 2b + c = 7$
$n=3$ के लिए,$T_3 = 9a + 3b + c = 14$
समीकरणों को घटाने पर: $3a+b = 5$ और $5a+b = 7$ प्राप्त होता है।
इन परिणामों को घटाने पर: $2a = 2 \Rightarrow a = 1$।
$a=1$ को $3a+b=5$ में रखने पर,$b=2$ प्राप्त होता है।
$a=1, b=2$ को $a+b+c=2$ में रखने पर,$c=-1$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_n = n^2 + 2n - 1$ है।
$n=99$ के लिए,$T_{99} = (99)^2 + 2(99) - 1 = 9801 + 198 - 1 = 9998$।

(A) $n$ वां समुच्चय $S_n$ में $n$ पद होते हैं।
$S_n$ का प्रथम पद $a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 50$ के लिए,प्रथम पद $a_{50} = 1 + \frac{49 \times 50}{2} = 1 + 1225 = 1226$ है।
समुच्चय $S_{50}$ में $1226$ से शुरू होने वाले $50$ क्रमागत पूर्णांक हैं,अतः $S_{50} = \{1226, 1227, \dots, 1275\}$।
इन $50$ पदों का योग समांतर श्रेणी के योग सूत्र द्वारा: $Sum = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$।
$Sum = \frac{50}{2}(2 \times 1226 + (50-1) \times 1) = 25(2452 + 49) = 25(2501) = 62525$।

(C) माना $T_k$ श्रेणी का $k$-वां पद है। $k$-वां पद प्रथम $k$ विषम संख्याओं का योग है,जो $T_k = k^2$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ है।
हमें $(n - 1)$ पदों का योग ज्ञात करना है,इसलिए $S_n$ के सूत्र में $n$ के स्थान पर $(n - 1)$ रखने पर:
$S_{n-1} = \frac{(n - 1)((n - 1) + 1)(2(n - 1) + 1)}{6}$
$S_{n-1} = \frac{(n - 1)(n)(2n - 2 + 1)}{6}$
$S_{n-1} = \frac{(n - 1)n(2n - 1)}{6}$.

(B) दी गई श्रेणी $1^2, 2 \cdot 2^2, 3^2, 2 \cdot 4^2, 5^2, 2 \cdot 6^2, \dots$ है।
जब $n$ सम है,योग $S_n = \frac{n(n + 1)^2}{2}$ है।
जब $n$ विषम है,$n$-वां पद $n^2$ है। प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = S_{n-1} + a_n$ है।
चूंकि $n$ विषम है,$n-1$ सम है। $n-1$ पदों के लिए सूत्र का उपयोग करने पर:
$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1) + 1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.
अतः,$S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2 = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.
सत्यापन: $n=1$ के लिए,$S_1 = 1^2 = 1$. सूत्र $(b)$ के अनुसार: $\frac{1^2(1+1)}{2} = 1$. जो सही है।

(B) दी गई श्रेणी $2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2n)^2$ है।
इसे $2^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$।
अतः,योग $4 \times \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}$ है।

(D) श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k + 1)}{2}$ है।
$S_n = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right)$.
मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2} \right)$.
$S_n = \frac{n(n + 1)}{4} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right) = \frac{n(n + 1)}{4} \left( \frac{2n + 4}{3} \right)$.
$S_n = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{12} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$.

(A) दिया गया है कि $n^{th}$ पद $T_n = n(n + 1) = n^2 + n$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ है।
मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right)$
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1 + 3}{3} \right) = \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{6}$
$S_n = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{6} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$.

(B) दी गई श्रेणी $S = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 8 + \dots$ है,जो $(n - 2)$ पदों तक है।
सामान्य पद $T_k = (k + 2)(k + 5)$ लें,जहाँ $k = 1, 2, \dots, (n - 2)$ है।
योग को $S = \sum_{k=1}^{n} k(k+3) - (1 \cdot 4 + 2 \cdot 5) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k) - 14$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 14 = \frac{2n^3 + 12n^2 + 10n - 84}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) हमें योग $\sum\limits_{i = 1}^n (3i - 2)$ दिया गया है।
योग के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए:
$\sum\limits_{i = 1}^n (3i - 2) = 3\sum\limits_{i = 1}^n i - \sum\limits_{i = 1}^n 2$
चूंकि $\sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ और $\sum\limits_{i = 1}^n 2 = 2n$ है,इसलिए:
$= 3 \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right] - 2n$
$= \frac{3n^2 + 3n - 4n}{2}$
$= \frac{3n^2 - n}{2}$
$= \frac{n(3n - 1)}{2}$.

(B) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n^2(n + 1) = n^3 + n^2$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n k^2$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हुए,$S_n = \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]^2 + \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$।
$\frac{n(n + 1)}{2}$ को कॉमन लेने पर,$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left[ \frac{n(n + 1)}{2} + \frac{2n + 1}{3} \right]$।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{3n^2 + 3n + 4n + 2}{6} = \frac{3n^2 + 7n + 2}{6}$।
अतः,$S_n = \frac{n(n + 1)(3n^2 + 7n + 2)}{12}$।

(C) श्रेणी का $n$ वाँ पद $T_n = n(n + 1)(n + 2)$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_n = n^3 + 3n^2 + 2n$ प्राप्त होता है।
योगफल $S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k^2 + 2k)$ ज्ञात करने पर:
$S_n = \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]^2 + 3 \left[ \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \right] + 2 \left[ \frac{n(n + 1)}{2} \right]$.
सरल करने पर:
$S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{4}$.

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग ज्ञात करने का सूत्र है:
$S_n = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$
यहाँ,$n = 15$ है।
$n$ का मान रखने पर:
$S_{15} = \frac{15^2 \times (15+1)^2}{4} = \frac{225 \times 16^2}{4} = \frac{225 \times 256}{4} = 225 \times 64 = 14400$.

(B) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\Sigma n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\Sigma n = \frac{n(n+1)}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$\Sigma n^2 = \Sigma n + 330$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)}{2} + 330$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - 1 \right] = 330$.
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1-3}{3} \right] = 330$.
$\frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{2(n-1)}{3} = 330$.
$n(n+1)(n-1) = 990$.
$n(n^2-1) = 990$.
$n^3 - n - 990 = 0$.
मानों की जाँच करने पर,$n=10$ के लिए: $10^3 - 10 = 1000 - 10 = 990$. अतः,$n = 10$.

(A) दी गई श्रेणी $\frac{1}{1} + \frac{1 + 2}{2} + \frac{1 + 2 + 3}{3} + \dots$ है।
श्रेणी का $n^{th}$ पद इस प्रकार दिया गया है:
$T_n = \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{n}$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$T_n = \frac{\frac{n(n + 1)}{2}}{n}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$T_n = \frac{n(n + 1)}{2n} = \frac{n + 1}{2}$

(A) हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का वर्ग इस प्रकार है:
${\left\{ \frac{n(n + 1)}{2} \right\}^2} = {(1 + 2 + \dots + n)^2} = \sum_{r=1}^n {r^2} + 2\sum_{1 \le s < t \le n} {st}$
अतः,एक साथ दो संख्याएँ लेकर उनके गुणनफलों का योग:
$\sum_{1 \le s < t \le n} {st} = \frac{1}{2} \left[ {\left\{ \frac{n(n + 1)}{2} \right\}^2} - \sum_{r=1}^n {r^2} \right]$
वर्गों के योग का सूत्र $\sum_{r=1}^n {r^2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ रखने पर:
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{n^2(n + 1)^2}{4} - \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \right]$
$= \frac{n(n + 1)(n - 1)(3n + 2)}{24}$

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n + 1)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।
$20$ पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए,$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} (4n^3 + 4n^2 + n) = 4\sum_{n=1}^{20} n^3 + 4\sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n$ की गणना करें।
मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sum_{n=1}^{N} n^3 = [\frac{N(N+1)}{2}]^2 = [\frac{20 \cdot 21}{2}]^2 = 44100$.
$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = 2870$.
$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $S_{20} = 4(44100) + 4(2870) + 210 = 176400 + 11480 + 210 = 188090$.

(A) प्रथम $n$ घनों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम $n$ वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,अनुपात है:
$\frac{\sum_{k=1}^{12} k^3}{\sum_{k=1}^{12} k^2} = \frac{\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{3n(n+1)}{2(2n+1)}$.
$n = 12$ रखने पर:
$\frac{3 \times 12 \times 13}{2 \times 25} = \frac{234}{25}$.

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = n(2n + 1)(3n + 2)$ है।
विस्तार करने पर,$T_n = 6n^3 + 7n^2 + 2n$ प्राप्त होता है।
योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6\sum k^3 + 7\sum k^2 + 2\sum k$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = 6 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + 7 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] + 2 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} [9n(n+1) + 7(2n+1) + 6] = \frac{n(n+1)(9n^2 + 23n + 13)}{6}$.

(D) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{3^n - 1}{3^n} = 1 - (\frac{1}{3})^n$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (1 - (\frac{1}{3})^k)$ है।
$S_n = \sum_{k=1}^n 1 - \sum_{k=1}^n (\frac{1}{3})^k$.
$S_n = n - [ \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} ]$.
$S_n = n - \frac{\frac{1}{3}(1 - 3^{-n})}{\frac{2}{3}} = n - \frac{1}{2}(1 - 3^{-n})$.
$S_n = n + \frac{1}{2}(3^{-n} - 1)$.

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग मानक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\sum\limits_{m = 1}^n {{m^2}} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = n(n + 1) = n^2 + n$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$
$S_n = \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$.

(B) योग $\sum_{n=11}^{20} n^3 = \sum_{n=1}^{20} n^3 - \sum_{n=1}^{10} n^3$ द्वारा दिया गया है।
सूत्र $\sum_{n=1}^{k} n^3 = \left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]^2$ का उपयोग करते हुए:
योग $= \left[ \frac{20(21)}{2} \right]^2 - \left[ \frac{10(11)}{2} \right]^2$
$= (210)^2 - (55)^2$
$= 44100 - 3025 = 41075$।
अंतिम अंक $5$ होने के कारण,$41075$ संख्या $5$ से विभाज्य है।
अंतिम अंक $5$ होने के कारण,यह एक विषम पूर्णांक है।
अतः,योग $5$ से विभाज्य एक विषम पूर्णांक है।

(A) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = n(2n + 1)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$T_n = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$ प्राप्त होता है।
योग $S_n$ ज्ञात करने के लिए,$\sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 4k^2 + k)$ की गणना करें।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = 4 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)}{6} (6n^2 + 14n + 7)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया $n^{th}$ पद $T_n = 3 + n(n - 1) = n^2 - n + 3$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - k + 3)$ है।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + 3n$.
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + 18n}{6} = \frac{n(2n^2 + 16)}{6} = \frac{n^3 + 8n}{3}$.

(D) श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = k(2n - (2k - 1)) = k(2n - 2k + 1) = 2nk - 2k^2 + k$ है।
$k = 1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{k=1}^{n} (2nk - 2k^2 + k) = 2n \sum_{k=1}^{n} k - 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$।
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S = 2n \frac{n(n+1)}{2} - 2 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$।
$S = n^2(n+1) - \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$।
$\frac{n(n+1)}{6}$ को कॉमन लेने पर:
$S = \frac{n(n+1)}{6} [6n - 2(2n+1) + 3] = \frac{n(n+1)}{6} [6n - 4n - 2 + 3] = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$।