Geometric progression Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $G_1 = (x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n)^{1/n}$ और $G_2 = (y_1 \times y_2 \times \dots \times y_n)^{1/n}$ है।
श्रेणी $\frac{x_i}{y_i}$ का गुणोत्तर माध्य $G$ इस प्रकार परिभाषित है:
$G = \left( \frac{x_1}{y_1} \times \frac{x_2}{y_2} \times \dots \times \frac{x_n}{y_n} \right)^{1/n}$
$G = \frac{(x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n)^{1/n}}{(y_1 \times y_2 \times \dots \times y_n)^{1/n}}$
$G_1$ और $G_2$ के मान रखने पर:
$G = \frac{G_1}{G_2}$

(C) $n$ संख्याओं $x_1, x_2, ..., x_n$ का गुणोत्तर माध्य $(GM)$ $(x_1 \times x_2 \times ... \times x_n)^{1/n}$ के रूप में परिभाषित होता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए,समुच्चय ${1, 2, 3, ..., n}$ है।
इन संख्याओं का गुणनफल $1 \times 2 \times 3 \times ... \times n = n!$ होता है।
अतः,गुणोत्तर माध्य $(n!)^{1/n}$ है।

(C) यह अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी है: $a, ar, ar^2, \dots, ar^{n-1}$।
$n$ पदों $x_1, x_2, \dots, x_n$ का गुणोत्तर माध्य $(GM)$ $(x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n)^{1/n}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$GM = (a \times ar \times ar^2 \times \dots \times ar^{n-1})^{1/n}$।
$GM = (a^n \times r^{(0+1+2+\dots+(n-1))})^{1/n}$।
प्रथम $(n-1)$ पूर्णांकों का योग $\frac{(n-1)n}{2}$ होता है।
$GM = (a^n \times r^{n(n-1)/2})^{1/n}$।
$GM = a \times r^{(n-1)/2} = ar^{(n-1)/2}$।

(D) अनुक्रम $1, 2, 2^2, \dots, 2^n$ है। कुल पदों की संख्या $n+1$ है।
गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ सभी पदों के गुणनफल का $(n+1)^{th}$ मूल है:
$G.M. = (1 \times 2 \times 2^2 \times \dots \times 2^n)^{\frac{1}{n+1}}$
पदों का गुणनफल $2^{(0+1+2+\dots+n)}$ है। प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$G.M. = (2^{\frac{n(n+1)}{2}})^{\frac{1}{n+1}}$
घातांक को सरल करने पर:
$G.M. = 2^{\frac{n(n+1)}{2(n+1)}} = 2^{n/2}$

(B) दिया गया अनुक्रम $1, 2, 4, 8, 16, \ldots, 2^n$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 2$ है।
अनुक्रम में पदों की संख्या $n+1$ है (क्योंकि $2$ की घात $2^0$ से $2^n$ तक है)।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का सूत्र $S = \frac{a(r^{n+1} - 1)}{r - 1} = \frac{1(2^{n+1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n+1} - 1$ है।
समांतर माध्य $(A.M.)$ पदों का योग बटा पदों की कुल संख्या होती है।
अतः,$A.M. = \frac{S}{n+1} = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}$.

(B) $n$ अवलोकनों $x_1, x_2, ..., x_n$ का गुणोत्तर माध्य $(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{1/n}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए अवलोकनों $2, 4, 8, 16, 32, 64$ के लिए,हम उन्हें $2$ की घात के रूप में लिख सकते हैं:
$2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6$.
गुणोत्तर माध्य $= (2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4 \cdot 2^5 \cdot 2^6)^{1/6}$.
घातों का योग $= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$.
गुणोत्तर माध्य $= (2^{21})^{1/6} = 2^{21/6} = 2^{7/2}$.

(A) माना गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, \ldots$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया गया है कि प्रत्येक पद अगले दो पदों के योग के बराबर है:
$a = ar + ar^2$
चूँकि $a \neq 0$,हम $a$ से विभाजित कर सकते हैं:
$1 = r + r^2$
$r^2 + r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूँकि पद धनात्मक हैं,सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(B) माना कि पहला पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है कि पहले दो पदों का योग $a + ar = a(1 + r) = 12$ $(i)$ है।
तीसरे और चौथे पदों का योग $ar^2 + ar^3 = ar^2(1 + r) = 48$ $(ii)$ है।
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{ar^2(1 + r)}{a(1 + r)} = \frac{48}{12}$
$r^2 = 4$
$r = \pm 2$.
चूंकि गुणोत्तर श्रेणी के पद वैकल्पिक रूप से धनात्मक और ऋणात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$r = -2$.
$r = -2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a(1 + (-2)) = 12$
$a(-1) = 12$
$a = -12$.
इसलिए,पहला पद $-12$ है।

(A) दिया गया है कि ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ और ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ समान सार्व अनुपात $r$ के साथ $G$.$P$. में हैं,इसलिए:
${x_2} = r{x_1}, {x_3} = {r^2}{x_1}$
${y_2} = r{y_1}, {y_3} = {r^2}{y_1}$
यह जांचने के लिए कि क्या बिंदु संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(ry_1 - r^2y_1) + rx_1(r^2y_1 - y_1) + r^2x_1(y_1 - ry_1)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2) + x_1y_1(r^3 - r) + x_1y_1(r^2 - r^3)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1y_1(r - r^2 + r^3 - r + r^2 - r^3)| = 0$
चूँकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

(A) मान लीजिए $G$.$P$. $a, ar, ar^2, \dots$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया गया है $\alpha = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200}$.
यह $100$ पदों वाली एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $ar$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
अतः,$\alpha = ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$.
दिया गया है $\beta = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = a_1 + a_3 + \dots + a_{199}$.
यह $100$ पदों वाली एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
अतः,$\beta = a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$.
$\alpha$ को $\beta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})}{a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})} = r$.
अतः,सार्व अनुपात $\frac{\alpha}{\beta}$ है।

(C) दिया गया है कि $a, b$,$x^2 - 3x + p = 0$ के मूल हैं,इसलिए $a + b = 3$ और $ab = p$ है।
दिया गया है कि $c, d$,$x^2 - 12x + q = 0$ के मूल हैं,इसलिए $c + d = 12$ और $cd = q$ है।
चूंकि $a, b, c, d$ एक वर्धमान $G$.$P$. में हैं,पदों को $a, ar, ar^2, ar^3$ मान लें।
अतः $a + b = a(1 + r) = 3$ और $c + d = ar^2(1 + r) = 12$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{ar^2(1 + r)}{a(1 + r)} = \frac{12}{3} \Rightarrow r^2 = 4$। चूंकि $G$.$P$. वर्धमान है,$r = 2$ होगा।
$r = 2$ को $a(1 + 2) = 3$ में रखने पर,हमें $3a = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 1$ है।
पद $1, 2, 4, 8$ हैं।
इस प्रकार,$p = ab = 1 \times 2 = 2$ और $q = cd = 4 \times 8 = 32$ है।
अनुपात $(q + p) : (q - p) = (32 + 2) : (32 - 2) = 34 : 30 = 17 : 15$ है।

(C) दी गई अनंत गुणोत्तर श्रेणी $s_1 = 1 - \alpha + \alpha^2 - \alpha^3 + \dots = \frac{1}{1 + \alpha}$ और $s_2 = 1 - \beta + \beta^2 - \beta^3 + \dots = \frac{1}{1 + \beta}$ है।
अतः,$1 + \alpha = \frac{1}{s_1} \implies \alpha = \frac{1}{s_1} - 1$ और $1 + \beta = \frac{1}{s_2} \implies \beta = \frac{1}{s_2} - 1$.
माना $s = 1 - \alpha\beta + \alpha^2\beta^2 - \alpha^3\beta^3 + \dots = \frac{1}{1 + \alpha\beta}$.
$\alpha$ और $\beta$ के मान रखने पर:
$s = \frac{1}{1 + (\frac{1}{s_1} - 1)(\frac{1}{s_2} - 1)} = \frac{s_1s_2}{1 - s_1 - s_2 + 2s_1s_2}$.

(B) दी गई असमिका: $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2(ab + bc + cd)p + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ $(i)$
हम बाईं ओर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(a^2p^2 - 2abp + b^2) + (b^2p^2 - 2bcp + c^2) + (c^2p^2 - 2cdp + d^2) \le 0$
यह सरल होकर बनता है:
$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$ $(ii)$
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग $0$ या उससे कम तभी हो सकता है जब प्रत्येक वर्ग पद $0$ हो:
$(ap - b)^2 = 0, (bp - c)^2 = 0, (cp - d)^2 = 0$
इसका अर्थ है:
$ap = b, bp = c, cp = d$
अतः:
$\frac{b}{a} = p, \frac{c}{b} = p, \frac{d}{c} = p$
चूंकि क्रमिक पदों का अनुपात स्थिर $(p)$ है,इसलिए अनुक्रम $a, b, c, d$ एक $G.P.$ में है।

(C) माना $r > 1$ $G.P.$ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ का सार्व अनुपात है।
अतः $\beta = r\alpha, \gamma = r^2\alpha, \delta = r^3\alpha$.
प्रथम समीकरण के लिए मूलों का योग: $\alpha + \beta = \alpha(1 + r) = 3$ $(i)$.
प्रथम समीकरण के लिए मूलों का गुणनफल: $\alpha\beta = \alpha^2r = a$ $(ii)$.
द्वितीय समीकरण के लिए मूलों का योग: $\gamma + \delta = \alpha r^2(1 + r) = 12$ $(iii)$.
द्वितीय समीकरण के लिए मूलों का गुणनफल: $\gamma\delta = \alpha^2r^5 = b$ $(iv)$.
$(iii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर: $\frac{\alpha r^2(1 + r)}{\alpha(1 + r)} = \frac{12}{3} \Rightarrow r^2 = 4$. चूँकि $G.P.$ वर्धमान है,$r = 2$.
$r = 2$ को $(i)$ में रखने पर: $\alpha(1 + 2) = 3$ $\Rightarrow 3\alpha = 3$ $\Rightarrow \alpha = 1$.
अब,$a = \alpha^2r = (1)^2(2) = 2$.
और $b = \alpha^2r^5 = (1)^2(2^5) = 32$.
अतः,$a = 2$ और $b = 32$.

(B) दिया गया है $x = 1 + \cos^2\phi + \cos^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi} = \frac{1}{\sin^2\phi}$.
दिया गया है $y = 1 + \sin^2\phi + \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \sin^2\phi} = \frac{1}{\cos^2\phi}$.
दिया गया है $z = 1 + \cos^2\phi \sin^2\phi + \cos^4\phi \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}$.
अब,$xy = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi}$.
अतः $xy + z = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi} = \frac{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi + \sin^2\phi \cos^2\phi}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)} = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$.
साथ ही,$xyz = \left(\frac{1}{\sin^2\phi}\right) \left(\frac{1}{\cos^2\phi}\right) \left(\frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}\right) = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$.
इस प्रकार,$xyz = xy + z$.

(C) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -x$ है।
श्रेणी के अभिसरण के लिए $|r| < 1$ होना चाहिए,अर्थात $|x| < 1$।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
मान रखने पर,$x = \frac{1}{1 - (-x)} = \frac{1}{1 + x}$।
इससे $x^2 + x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$।
चूंकि $|x| < 1$,इसलिए $x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$।
हम जानते हैं कि $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$।
इसलिए,$x = 2 \sin 18^\circ$।

(A) माना $P(x) = (x - 1)(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2^2}) \dots (x - \frac{1}{2^{49}})$.
यह $50$ घात का बहुपद है।
$x^{50}$ का गुणांक $1$ है।
$x^{49}$ का गुणांक प्रत्येक गुणनखंड के अचर पदों के योग को $-1$ से गुणा करने पर प्राप्त होता है,जो $-(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{49}})$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = 1$,$r = \frac{1}{2}$,और $n = 50$ पद हैं।
योग $S_{50} = \frac{1(1 - (1/2)^{50})}{1 - 1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^{50}})$ है।
अतः,$x^{49}$ का गुणांक $-2(1 - \frac{1}{2^{50}})$ है।

(C) दिया गया है $\log_8(a_1 a_2 \dots a_{12}) = 2014$.
चूंकि $a_k = a_1 r^{k-1}$,गुणनफल $a_1^{12} r^{66}$ है।
अतः,$\log_8(a_1^{12} r^{66}) = 2014 \Rightarrow a_1^{12} r^{66} = 8^{2014} = 2^{6042}$.
मान लीजिए $a_1 = 2^m$ और $r = 2^n$ जहाँ $m, n$ पूर्णांक हैं।
तब $2^{12m + 66n} = 2^{6042}$.
इससे $12m + 66n = 6042$ प्राप्त होता है,जो $2m + 11n = 1007$ में सरल हो जाता है।
चूंकि श्रेणी बढ़ती हुई है,$n \ge 1$ और $a_1 \ge 1$ के लिए $m \ge 0$ है।
$2m = 1007 - 11n$. $m$ के पूर्णांक होने के लिए $1007 - 11n$ को सम होना चाहिए,अतः $n$ विषम होना चाहिए।
साथ ही $m > 0 \Rightarrow n < 91.54$।
अतः $n \in \{1, 3, 5, \dots, 91\}$।
ऐसी कुल संख्या $\frac{91 - 1}{2} + 1 = 46$ है।

(B) दिया गया है $\frac{a + bx}{a - bx} = \frac{b + cx}{b - cx} = \frac{c + dx}{c - dx} = k$.
प्रत्येक पद पर योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{(a + bx) + (a - bx)}{(a + bx) - (a - bx)} = \frac{(b + cx) + (b - cx)}{(b + cx) - (b - cx)} = \frac{(c + dx) + (c - dx)}{(c + dx) - (c - dx)}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$\frac{2a}{2bx} = \frac{2b}{2cx} = \frac{2c}{2dx}$.
$\frac{2}{x}$ से भाग देने पर (चूंकि $x \neq 0$):
$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$.
इसका अर्थ है कि $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$.
अतः,$a, b, c, d$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(A) माना कि प्रथम पद $a_1 = 1$ और सार्व अनुपात $r$ है।
अतः पद $a_1 = 1, a_2 = r, a_3 = r^2$ हैं।
हमें व्यंजक $f(r) = 4a_2 + 5a_3 = 4r + 5r^2$ को न्यूनतम करना है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$r$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे शून्य के बराबर रखें:
$f'(r) = \frac{d}{dr}(4r + 5r^2) = 4 + 10r = 0$.
$r$ के लिए हल करने पर:
$10r = -4 \Rightarrow r = -\frac{4}{10} = -0.4$.
चूंकि $f''(r) = 10 > 0$,इसलिए फलन का मान $r = -0.4$ पर न्यूनतम है।

(B) माना तीन संख्याएँ $3^a, 3^b, 3^c$ हैं जहाँ $1 \le a < b < c \le 20$ है।
इनके $G.P.$ बनाने के लिए शर्त $(3^b)^2 = 3^a \times 3^c$ है,जिसका अर्थ है $2b = a + c$।
इसका अर्थ है कि $a$ और $c$ की समता समान होनी चाहिए (दोनों विषम या दोनों सम)।
स्थिति $1$: $a$ और $c$ दोनों विषम हैं।
समुच्चय $\{1, 2, \dots, 20\}$ में $10$ विषम संख्याएँ हैं। इन $10$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के तरीके $^{10}C_2 = 45$ हैं।
स्थिति $2$: $a$ और $c$ दोनों सम हैं।
समुच्चय $\{1, 2, \dots, 20\}$ में $10$ सम संख्याएँ हैं। इन $10$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के तरीके $^{10}C_2 = 45$ हैं।
कुल तरीके = $45 + 45 = 90$।

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $(n-2) \times 180^\circ$ द्वारा दिया जाता है।
कोण $G.P.$ में हैं जहाँ प्रथम पद $a = 1^\circ$ और सार्व अनुपात $r = 2$ है।
$G.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$ होता है।
मान रखने पर: $S_n = 1 \times \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$.
योग के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $2^n - 1 = (n - 2) \times 180$.
$2^n - 1 = 180n - 360$.
$2^n = 180n - 359$.
किसी भी पूर्णांक $n \ge 3$ के लिए,$L.H.S.$ $(2^n)$ हमेशा सम संख्या होती है,जबकि $R.H.S.$ $(180n - 359)$ हमेशा विषम संख्या होती है।
चूंकि एक सम संख्या विषम संख्या के बराबर नहीं हो सकती,इसलिए $n$ के लिए कोई संभावित मान नहीं है।

(C) चूंकि $2a+b, a-b, a+3b$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $(a-b)^2 = (2a+b)(a+3b)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $a^2 - 2ab + b^2 = 2a^2 + 7ab + 3b^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^2 + 9ab + 2b^2 = 0$.
$a^2$ से भाग देने पर $(a \neq 0)$: $2(\frac{b}{a})^2 + 9(\frac{b}{a}) + 1 = 0$.
माना $x = \frac{b}{a}$. तब $2x^2 + 9x + 1 = 0$. जिसके मूल $x_1 = \frac{b_1}{a_1}$ और $x_2 = \frac{b_2}{a_2}$ हैं।
द्विघात समीकरण से,$x_1 + x_2 = -\frac{9}{2}$.
हमें $2(a_1b_2 + a_2b_1) + 9a_1a_2$ का मान ज्ञात करना है।
इस पद को $a_1a_2$ से भाग देने पर: $2(\frac{b_2}{a_2} + \frac{b_1}{a_1}) + 9 = 2(x_1 + x_2) + 9$.
मान रखने पर: $2(-\frac{9}{2}) + 9 = -9 + 9 = 0$.

(A) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{4}{3}$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{x}{3}$ है।
श्रेणी के योग के अस्तित्व के लिए $|r| < 1$ होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है $|-\frac{x}{3}| < 1$,अर्थात $|x| < 3$।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$x = \frac{4/3}{1 - (-x/3)} = \frac{4}{3+x}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर $x(3+x) = 4$,अर्थात $x^2 + 3x - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर $(x+4)(x-1) = 0$ मिलता है,अतः $x = 1$ या $x = -4$ है।
अभिसरण की शर्त $|x| < 3$ के अनुसार,केवल $x = 1$ मान्य है क्योंकि $|-4| > 3$ है।
अतः,$x = 1$ सही उत्तर है।

(D) माना मूल $\frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2$ हैं।
मूलों का योग $\frac{a}{r^2} + \frac{a}{r} + a + ar + ar^2 = 40$ है।
व्युत्क्रमों का योग $\frac{r^2}{a} + \frac{r}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = 10$ है।
इसे $\frac{1}{a} (r^2 + r + 1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2}) = 10$ के रूप में लिखा जा सकता है।
साथ ही,मूलों का योग $a(\frac{1}{r^2} + \frac{1}{r} + 1 + r + r^2) = 40$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{a(r^2 + r + 1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2})}{\frac{1}{a}(r^2 + r + 1 + \frac{1}{r} + \frac{1}{r^2})} = \frac{40}{10}$ $\Rightarrow a^2 = 4$ $\Rightarrow a = 2$।
मूलों का गुणनफल $s = -(\frac{a}{r^2} \cdot \frac{a}{r} \cdot a \cdot ar \cdot ar^2) = -a^5$ है।
चूंकि $a = 2$,इसलिए $s = -(2)^5 = -32$।
अतः,$|s| = |-32| = 32$।

(C) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{1(1 - (1/2)^n)}{1 - 1/2} = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ है।
हमें शर्त $2 - S_n < \frac{1}{100}$ दी गई है।
$S_n$ का मान रखने पर,$2 - (2 - \frac{1}{2^{n-1}}) < \frac{1}{100}$,जो सरल होकर $\frac{1}{2^{n-1}} < \frac{1}{100}$ हो जाता है।
इसका अर्थ है $2^{n-1} > 100$.
हम जानते हैं कि $2^6 = 64$ और $2^7 = 128$ होता है।
अतः,$n - 1 \geq 7$,जिससे $n \geq 8$ प्राप्त होता है।
$n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $8$ है।

(B) अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 7 \quad \dots(1)$
$r$ की विषम घातों वाले पद $ar, ar^3, ar^5, \dots$ हैं,जो एक गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं जिसका प्रथम पद $ar$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
इस श्रेणी का योग $\frac{ar}{1-r^2} = 3 \quad \dots(2)$
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{r}{1+r} = \frac{3}{7}$
$r = \frac{3}{4}$
$r = \frac{3}{4}$ को $(1)$ में रखने पर:
$a = \frac{7}{4}$
$(a^2 - r^2) = (\frac{7}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2 = \frac{49-9}{16} = \frac{40}{16} = \frac{5}{2}$

(B) दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \sin x$ है।
योग के अस्तित्व के लिए,$|\sin x| < 1$ होना चाहिए।
अनंत श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \sin x}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{1}{1 - \sin x} = 4 + 2\sqrt{3}$।
$1 - \sin x = \frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $0 < x < \pi$,$x$ के संभावित मान $x = \frac{\pi}{3}$ या $x = \frac{2\pi}{3}$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$x = \frac{\pi}{3}$ एक सही समाधान है।

(B) $A_n$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{3}{4}$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{3}{4}$ है।
$n$ पदों का योग $A_n = \frac{3}{7} \left[ 1 - \left( -\frac{3}{4} \right)^n \right]$ है।
$B_n > A_n$ के लिए $1 - A_n > A_n \implies A_n < \frac{1}{2}$ होना चाहिए।
$\frac{3}{7} \left[ 1 - \left( -\frac{3}{4} \right)^n \right] < \frac{1}{2} \implies \left( \frac{3}{4} \right)^n < \frac{1}{6}$ (जब $n$ विषम है)।
लघुगणक लेने पर,$n > 6.23$ प्राप्त होता है।
अतः,सबसे छोटी विषम प्राकृतिक संख्या $p = 7$ है।

(D) माना $G.P.$ के पहले तीन पद $a, ar, ar^2$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,पहले तीन पदों का गुणनफल $1000$ है:
$a(ar)(ar^2) = 1000$ $\Rightarrow (ar)^3 = 1000$ $\Rightarrow ar = 10$.
$3^{rd}$ और $4^{th}$ पदों का योग $60$ है:
$ar^2 + ar^3 = 60 \Rightarrow ar(r + r^2) = 60$.
$ar = 10$ का मान रखने पर:
$10(r + r^2) = 60 \Rightarrow r^2 + r - 6 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(r + 3)(r - 2) = 0 \Rightarrow r = 2$ या $r = -3$.
स्थिति $1$: यदि $r = 2$ है,तो $a(2) = 10 \Rightarrow a = 5$.
स्थिति $2$: यदि $r = -3$ है,तो $a(-3) = 10 \Rightarrow a = -10/3$.
चूंकि पहला पद $a$ धनात्मक है,इसलिए हम $a = 5$ और $r = 2$ लेंगे।
$7^{th}$ पद $T_7 = ar^6 = 5(2)^6 = 5 \times 64 = 320$ होगा।

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ है।
प्रथम $5$ पदों का योग $S_5 = \frac{a(r^5 - 1)}{r - 1}$ है।
व्युत्क्रमों का योग $S'_5 = \frac{r^5 - 1}{a r^4 (r - 1)}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{S_5}{S'_5} = 49$ है:
$\frac{\frac{a(r^5 - 1)}{r - 1}}{\frac{r^5 - 1}{a r^4 (r - 1)}} = 49$ $\Rightarrow a^2 r^4 = 49$ $\Rightarrow ar^2 = 7$।
प्रथम और तीसरे पद का योग $35$ है:
$a + ar^2 = 35$।
$ar^2 = 7$ का मान रखने पर:
$a + 7 = 35 \Rightarrow a = 28$।

(C) दिया गया व्यंजक $1 - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{3^k} < \frac{1}{100}$ है।
इसे $1 - 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} \right) < \frac{1}{100}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
कोष्ठक के अंदर का योग एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = \frac{1}{3}$,$r = \frac{1}{3}$ और $n-1$ पद हैं।
योग $S_{n-1} = \frac{a(1-r^{n-1})}{1-r} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3^{n-1}}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$.
मान रखने पर: $1 - 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}} \right) < \frac{1}{100}$.
$1 - 1 + \frac{1}{3^{n-1}} < \frac{1}{100}$.
$\frac{1}{3^{n-1}} < \frac{1}{100} \Rightarrow 3^{n-1} > 100$.
$n=5$ के लिए,$3^4 = 81$ (जो $100$ से बड़ा नहीं है)।
$n=6$ के लिए,$3^5 = 243$ (जो $100$ से बड़ा है)।
अतः,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n$ का मान $6$ है।

(C) माना $G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5$ हैं,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$ar^3 - a = 52 \Rightarrow a(r^3 - 1) = 52 \quad ......(1)$
$a + ar + ar^2 = 26 \Rightarrow a(1 + r + r^2) = 26 \quad ......(2)$
हम जानते हैं कि $r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1)$.
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a(r - 1)(r^2 + r + 1)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{52}{26}$
$r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$a(1 + 3 + 9) = 26$ $\Rightarrow 13a = 26$ $\Rightarrow a = 2$.
पहले छह पदों का योग $S_6 = a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + r^5) = a(1 + r + r^2)(1 + r^3)$ है।
$S_6 = 26 \times (1 + 3^3) = 26 \times (1 + 27) = 26 \times 28 = 728$.

(D) दी गई असमिका $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ है।
इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:
$(a^2p^2 - 2abp + b^2) + (b^2p^2 - 2bpc + c^2) + (c^2p^2 - 2pcd + d^2) \le 0$।
यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$।
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग $\le 0$ तभी संभव है जब प्रत्येक पद शून्य हो:
$ap - b = 0$,$bp - c = 0$,और $cp - d = 0$।
इसका अर्थ है $p = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$।
अतः,$a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं।

(D) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं जहाँ $r \neq 1$ (क्योंकि संख्याएँ भिन्न हैं)।
दिया गया है $a + ar + ar^2 = x(ar)$।
चूँकि $a \neq 0$,हम $a$ से विभाजित कर सकते हैं:
$1 + r + r^2 = xr$
$x = \frac{1 + r + r^2}{r} = r + 1 + \frac{1}{r} = (r + \frac{1}{r}) + 1$।
हम जानते हैं कि $r > 0$ के लिए,$r + \frac{1}{r} \geq 2$,इसलिए $x \geq 2 + 1 = 3$।
$r < 0$ के लिए,माना $r = -k$ जहाँ $k > 0$। तब $r + \frac{1}{r} = -(k + \frac{1}{k}) \leq -2$।
इसलिए $x \leq -2 + 1 = -1$।
अतः,$x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$।
चूँकि संख्याएँ भिन्न हैं,$r \neq 1$,इसलिए $x \neq 1 + 1 + 1 = 3$।
इसलिए,$x$ अंतराल $(-1, 3)$ में कोई भी मान नहीं हो सकता है।
दिए गए विकल्पों में से,$2$ अंतराल $(-1, 3)$ में स्थित है,इसलिए $x$ का मान $2$ नहीं हो सकता है।

(C) $5, 5r, 5r^2$ को त्रिभुज की भुजाएं होने के लिए,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
$1) 5 + 5r > 5r^2 \Rightarrow r^2 - r - 1 < 0$. $r^2 - r - 1 = 0$ के मूल $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। चूंकि $r > 0$,इसलिए $0 < r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$।
$2) 5 + 5r^2 > 5r \Rightarrow r^2 - r + 1 > 0$. यह सभी $r \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
$3) 5r + 5r^2 > 5 \Rightarrow r^2 + r - 1 > 0$. $r^2 + r - 1 = 0$ के मूल $r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। चूंकि $r > 0$,इसलिए $r > \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$।
अतः,$\frac{\sqrt{5} - 1}{2} < r < \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ अर्थात $0.618 < r < 1.618$।
विकल्पों की जांच करने पर,$\frac{7}{4} = 1.75$ इस सीमा से बाहर है।

(B) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = 3$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$\frac{a^3}{(1-r)^3} = 27 \quad (1)$।
पदों के घनों की श्रेणी $a^3, a^3r^3, a^3r^6, \dots$ है,जिसका प्रथम पद $a^3$ और सार्व अनुपात $r^3$ है।
इस श्रेणी का योग $\frac{a^3}{1-r^3} = \frac{27}{19} \quad (2)$ है।
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{1-r^3}{(1-r)^3} = 19$ प्राप्त होता है।
$1-r^3 = (1-r)(1+r+r^2)$ का उपयोग करने पर,$\frac{1+r+r^2}{(1-r)^2} = 19$ मिलता है।
$1+r+r^2 = 19(1-2r+r^2) \implies 18r^2 - 39r + 18 = 0$।
$6r^2 - 13r + 6 = 0 \implies (2r-3)(3r-2) = 0$।
चूंकि $|r| < 1$ है,इसलिए $r = \frac{2}{3}$।

(A) मान लीजिए $a_1, a_2, ..., a_{10}$ एक $G.P.$ है जिसका सार्व अनुपात $r$ है।
हम जानते हैं कि $a_n = a_1 r^{n-1}$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{a_3}{a_1} = 25$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{a_1 r^2}{a_1} = r^2 = 25$ प्राप्त होता है।
हमें $\frac{a_9}{a_5}$ का मान ज्ञात करना है।
$\frac{a_9}{a_5} = \frac{a_1 r^8}{a_1 r^4} = r^4$ होता है।
चूंकि $r^2 = 25$,इसलिए $r^4 = (r^2)^2 = 25^2 = (5^2)^2 = 5^4$ है।
अतः,सही उत्तर $5^4$ है।

(A) दिया गया है $a_{1} + a_{2} = 4$ और $a_{3} + a_{4} = 16$।
चूंकि यह एक $G$.$P$. है,$a_{2} = a_{1}r$ और $a_{3} = a_{1}r^{2}$,$a_{4} = a_{1}r^{3}$।
$a_{1}(1 + r) = 4$ --- $(1)$
$a_{1}r^{2}(1 + r) = 16$ --- $(2)$
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर,$r^{2} = 4$,इसलिए $r = 2$ या $r = -2$।
यदि $r = 2$ है,तो $a_{1}(1 + 2) = 4 \Rightarrow a_{1} = 4/3 > 0$,जो $a_{1} < 0$ का खंडन करता है।
अतः,$r = -2$। $(1)$ में मान रखने पर,$a_{1}(1 - 2) = 4$ $\Rightarrow -a_{1} = 4$ $\Rightarrow a_{1} = -4$।
प्रथम $9$ पदों का योग $S_{9} = a_{1} \frac{r^{9} - 1}{r - 1} = (-4) \frac{(-2)^{9} - 1}{-2 - 1} = (-4) \frac{-512 - 1}{-3} = (-4) \frac{-513}{-3} = (-4) \times 171 = -684$।
दिया गया है $S_{9} = 4 \lambda$,इसलिए $4 \lambda = -684 \Rightarrow \lambda = -171$।

(C) दिया गया योग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = 1 + 49 + 49^2 + \ldots + 49^{125}$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$S = \frac{49^{126}-1}{49-1} = \frac{49^{126}-1}{48}$.
हम $49^{126}-1$ को $(49^{63})^2 - 1^2 = (49^{63}-1)(49^{63}+1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$S = \frac{(49^{63}-1)(49^{63}+1)}{48}$.
$49^k+1$ को $S$ का गुणनखंड होने के लिए,हम देखते हैं कि $49^{63}+1$,$S$ का एक गुणनखंड है क्योंकि $48$,$(49^{63}-1)$ को विभाजित करता है (चूंकि $49 \equiv 1 \pmod{48}$,इसलिए $49^{63} \equiv 1^{63} \equiv 1 \pmod{48}$,जिसका अर्थ है कि $49^{63}-1$,$48$ का एक गुणज है)।
इसलिए,सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक $k = 63$ है।

(D) दिया गया है कि $a_n$ एक $G$.$P$. है जिसका सार्व अनुपात $r$ है।
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} = a_3 + a_5 + \dots + a_{201} = 200$
यह $100$ पदों की एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $a_3 = ar^2$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
अतः,$ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 200$
$\sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200} = 100$
यह $100$ पदों की एक $G$.$P$. है जिसका प्रथम पद $a_2 = ar$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
अतः,$ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1} = 100$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{ar^2 \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}}{ar \frac{r^{200} - 1}{r^2 - 1}} = \frac{200}{100} \Rightarrow r = 2$
हमें $S = \sum_{n=1}^{200} a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_{200}$ ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $\sum_{n=1}^{100} a_{2n+1} + \sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{201} = 300$
चूंकि $a_{k+1} = r a_k$,इसलिए $a_2 + a_3 + \dots + a_{201} = r(a_1 + a_2 + \dots + a_{200}) = 300$
$r = 2$ रखने पर: $2 \sum_{n=1}^{200} a_n = 300 \Rightarrow \sum_{n=1}^{200} a_n = 150$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति $P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 4^{\frac{1}{16}} \cdot 8^{\frac{1}{48}} \cdot 16^{\frac{1}{128}} \cdot \dots \infty$ है।
सभी पदों को आधार $2$ में व्यक्त करने पर:
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^2)^{\frac{1}{16}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{48}} \cdot (2^4)^{\frac{1}{128}} \cdot \dots$
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{2}{16}} \cdot 2^{\frac{3}{48}} \cdot 2^{\frac{4}{128}} \cdot \dots$
$P = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 2^{\frac{1}{16}} \cdot 2^{\frac{1}{32}} \cdot \dots$
गुणधर्म $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर:
$P = 2^{(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \dots)}$
घातांक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = \frac{1}{4}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$P = 2^{\frac{1}{2}}$.

(A) दिया गया है कि अनुक्रम का $n^{th}$ पद $a_{n} = 2^{n}$ है।
प्रथम पाँच पद ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र में $n = 1, 2, 3, 4, 5$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$n = 1$ के लिए: $a_{1} = 2^{1} = 2$
$n = 2$ के लिए: $a_{2} = 2^{2} = 4$
$n = 3$ के लिए: $a_{3} = 2^{3} = 8$
$n = 4$ के लिए: $a_{4} = 2^{4} = 16$
$n = 5$ के लिए: $a_{5} = 2^{5} = 32$
अतः,प्रथम पाँच पद $2, 4, 8, 16, 32$ हैं।

(A) दी गई $G.P.$ $5, 25, 125, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अनुपात $r = \frac{25}{5} = 5$ है।
$G.P.$ का $n^{\text{th}}$ पद $a_n = a \cdot r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$a_n = 5 \cdot 5^{n-1} = 5^{1 + n - 1} = 5^n$.
$10^{\text{th}}$ पद के लिए,$n = 10$ रखने पर:
$a_{10} = 5^{10}$.

(B) दी गई $GP$ $2, 8, 32, \ldots$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अनुपात $r = \frac{8}{2} = 4$ है।
मान लीजिए कि $131072$ इस $GP$ का $n^{\text{th}}$ पद है।
$n^{\text{th}}$ पद का सूत्र $a_n = a \cdot r^{n-1}$ है।
मान रखने पर,हमें $131072 = 2 \cdot 4^{n-1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,$65536 = 4^{n-1}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $65536 = 4^8$,इसलिए $4^8 = 4^{n-1}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर,$n - 1 = 8$,जिससे $n = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,$131072$ इस $GP$ का $9^{\text{th}}$ पद है।

(A) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
$G.P.$ में,$n^{th}$ पद $a_n = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $a_3 = ar^2 = 24$ $(1)$.
दिया है $a_6 = ar^5 = 192$ $(2)$.
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{ar^5}{ar^2} = \frac{192}{24}$.
$r^3 = 8$,जिसका अर्थ है $r = 2$.
$(1)$ में $r = 2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $a(2)^2 = 24$,इसलिए $4a = 24$,जिससे $a = 6$ प्राप्त होता है।
$10^{th}$ पद $a_{10} = ar^9 = 6 \times (2)^9$ है।
$a_{10} = 6 \times 512 = 3072$.

(A) दी गई गुणोत्तर श्रेणी $1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \dots$
यहाँ,प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{3}$ है।
चूँकि $|r| < 1$,प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$S_n = \frac{1(1 - (2/3)^n)}{1 - 2/3} = \frac{1 - (2/3)^n}{1/3} = 3[1 - (\frac{2}{3})^n]$।
प्रथम $5$ पदों के योग के लिए,$n = 5$:
$S_5 = 3[1 - (\frac{2}{3})^5] = 3[1 - \frac{32}{243}] = 3[\frac{243 - 32}{243}] = 3[\frac{211}{243}] = \frac{211}{81}$।

(C) माना कि आवश्यक पदों की संख्या $n$ है। यहाँ प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
$G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{3069}{512} = \frac{3(1 - (\frac{1}{2})^{n})}{1 - \frac{1}{2}}$.
$\frac{3069}{512} = \frac{3(1 - \frac{1}{2^{n}})}{\frac{1}{2}} = 6(1 - \frac{1}{2^{n}})$.
दोनों पक्षों को $6$ से विभाजित करने पर,$\frac{3069}{3072} = 1 - \frac{1}{2^{n}}$.
$\frac{1}{2^{n}} = 1 - \frac{3069}{3072} = \frac{3072 - 3069}{3072} = \frac{3}{3072} = \frac{1}{1024}$.
चूँकि $1024 = 2^{10}$,इसलिए $2^{n} = 2^{10}$,जिसका अर्थ है $n = 10$.

माना $G.P.$ के प्रथम तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि गुणनफल $-1$ है:
$\left(\frac{a}{r}\right)(a)(ar) = -1$
$a^3 = -1 \implies a = -1$.
दिया गया है कि योग $\frac{13}{12}$ है:
$\frac{a}{r} + a + ar = \frac{13}{12}$
$a = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{1}{r} - 1 - r = \frac{13}{12}$
$-\frac{1+r+r^2}{r} = \frac{13}{12}$
$-12 - 12r - 12r^2 = 13r$
$12r^2 + 25r + 12 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$12r^2 + 16r + 9r + 12 = 0$
$4r(3r + 4) + 3(3r + 4) = 0$
$(4r + 3)(3r + 4) = 0$
$r = -\frac{3}{4}$ या $r = -\frac{4}{3}$.
यदि $r = -\frac{3}{4}$ है,तो पद $\frac{4}{3}, -1, \frac{3}{4}$ हैं।
यदि $r = -\frac{4}{3}$ है,तो पद $\frac{3}{4}, -1, \frac{4}{3}$ हैं।