गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
$\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots n$ पदों तक
गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
$\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots n$ पदों तक
The given $G.P.$ is $\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots$
Here, $a=\sqrt{7}$ and $r=\frac{\sqrt{21}}{7}=\sqrt{3}$
$S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$
$\Rightarrow S_{n}=\frac{\sqrt{7}\left[1-(\sqrt{3})^{n}\right]}{1-\sqrt{3}}$
$\Rightarrow S_{n}=\frac{\sqrt{7}\left[1-(\sqrt{3})^{n}\right]}{1-\sqrt{3}} \times \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$
$\Rightarrow S_{n}=\frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)\left[1-(\sqrt{3})^{n}\right]}{1-3}$
$\Rightarrow S_{n}=\frac{-\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)\left[1-(\sqrt{3})^{n}\right]}{2}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{7}(1+\sqrt{3})}{2}\left[(3)^{\frac{n}{2}}-1\right]$
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ऐसी $3$ संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको $1$ तथा $256$ के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
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यदि $a,\;b,\;c,\;d$ भिन्न वास्तविक संख्यायें ऐसी हों कि $({a^2} + {b^2} + {c^2}){p^2} - 2(ab + bc + cd)p + ({b^2} + {c^2} + {d^2}) \le 0$ हो, तब $a,\;b,\;c,\;d$ होंगे
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अनुक्रम $7,77,777,7777, \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
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मान लें $M=2^{30}-2^{15}+1$ एवं $M^2$ को आधार $2$ पर व्यक्त किया जाता है. $M^2$ के आधार $2$ के इस निरूपण में कितने $1$ की संख्या है?
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माना $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ गुणोत्तर श्रेणी इस प्रकार है कि $a_{1}<0, a_{1}+a_{2}=4$ तथा $a_{3}+a_{4}=16$. यदि $\sum_{i=1}^{9} a_{i}=4 \lambda$ है, तो $\lambda$ बराबर है
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