एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $a=729$ तथा $7$ वाँ पद $64$ है तो $S _{7}$ ज्ञात कीजिए ?
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$a=729 a_{7}=64$
Let $r$ be the common ratio of the $G.P.$ It is known that,
$a_{n}=a r^{n-1}$
$a_{7}=a r^{7-1}=(729) r^{6}$
$\Rightarrow 64=729 r^{6}$
$\Rightarrow r^{6}=\left(\frac{2}{3}\right)^{6}$
$\Rightarrow r=\frac{2}{3}$
Also, it is known that,
$S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$
$\therefore S_{7}=\frac{729\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{7}\right)}{1-\frac{2}{3}}$
$=3 \times 729\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{7}\right]$
$=(3)^{7}\left[\frac{(3)^{7}-(2)^{7}}{(3)^{7}}\right]$
$=(3)^{7}-(2)^{7}$
$=2187-128$
$=2059$
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यदि ${\log _a}x,\;{\log _b}x,\;{\log _c}x$ हरात्मक श्रेणी में हों, तो $a,\;b,\;c$ होंगे
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यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $a$, अन्तिम पद $l$ तथा सार्वअनुपात $r$ हो, तो इस श्रेणी के पदों की संख्या है
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यदि $a,\,b,\,c$ समान्तर श्रेणी में तथा ${a^2},\,{b^2},{c^2}$ हरात्मक श्रेणी में हों, तो
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माना $a _{1}, a _{2}, \ldots \ldots, a _{10}$ एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है। यदि $\frac{ a _{3}}{ a _{1}}=25$, तो $\frac{ a _{9}}{ a _{5}}$ बराबर है
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- [JEE MAIN 2019]
माना धनात्मक संख्याएँ $\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \mathrm{a}_3, \mathrm{a}_4$ तथा $\mathrm{a}_5$ एक $G.P.$ में है। माना इसके माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $\frac{31}{10}$ तथा $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$ है, जहाँ $\mathrm{m}$ तथा $\mathrm{n}$ असभाज्य हैं। यदि इन संख्याओं के व्युत्क्रमों का माध्य $\frac{31}{40}$ है तथा $a_3+a_4+a_5=14$ है, तो $m+n$ बराबर है_____________।
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- [JEE MAIN 2023]