किसी गुणोत्तर श्रेणी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल का $5$ गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
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Let the $G.P.$ be $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4} \ldots . T_{2 n}$
Number of terms $=2 n$
According to the given condition,
$T_{1}+T_{2}+T_{3}+\ldots .+T_{2 n}=5\left[T_{1}+T_{3}+\ldots .+T_{2 n-1}\right]$
$\Rightarrow T_{1}+T_{2}+T_{3}+\ldots .+T_{2 n}-5\left[T_{1}+T_{3}+\ldots . .+T_{2 n-1}\right]=0$
$\Rightarrow T_{2}+T_{4}+\ldots .+T_{2 n}=4\left[T_{1}+T_{3}+\ldots . .+T_{2 n-1}\right]$
Let the $G.P.$ be $a, a r, a r^{2}, a r^{3} \dots$
$\therefore \frac{\operatorname{ar}\left(r^{n}-1\right)}{r-1}=\frac{4 \times a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$
$\Rightarrow a r=4 a$
$\Rightarrow r=4$
Thus, the common ratio of the $G.P.$ is $4$
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माना $a _1, a _2, a _3, \ldots$. धनात्मक पूर्णांकों का एक अनुक्रम समान्तर श्रेढ़ी में है जिसका सार्वअन्तर $2$ है। माना $b _1, b _2$, $b _3, \ldots$ धनात्मक पूर्णांकों का एक अनुक्रम गुणोत्तर श्रेढ़ी में है जिसका सार्वअनुपात $2$ है। यदि $a _1= b _1=c$ हो, तो $c$ के सभी संभव मानों की संख्या, जिसके लिये किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिये समिका
$2\left( a _1+ a _2+\ldots+ a _{ n }\right)= b _1+ b _2+\ldots . .+ b _{ n }$
सत्य हो, होगी
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- [IIT 2020]
यदि $a,\;b,\;c$ गुणोत्तर श्रेणी के $p$ वें, $q$ वें तथा $r$ वें पद हैं, तब ${\left( {\frac{c}{b}} \right)^p}{\left( {\frac{b}{a}} \right)^r}{\left( {\frac{a}{c}} \right)^q}$ का मान है
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गुणोत्तर श्रेणी $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4} \ldots$ के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल $\frac{3069}{512}$ हो जाए ?
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यदि $b$, एक ऐसी अपरिमित गुणोत्तर श्रेढ़ी जिसका योग $5$ है, का प्रथम पद है, तो $b$ जिस अंतराल में स्थित है, वह है
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- [JEE MAIN 2018]