Arithmetic geometric progression,Method of difference Questions in Hindi

(B) दी गई श्रेणी एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है: $S = 1 + \frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{8} + \dots \infty$.
यहाँ,अंकगणितीय भाग $1, 3, 5, 7, \dots$ है जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
ज्यामितीय भाग $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ है जहाँ सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{2 \times \frac{1}{2}}{(1 - \frac{1}{2})^2} = 2 + \frac{1}{\frac{1}{4}} = 2 + 4 = 6$.

(D) माना कि अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी का अनंत तक योग $S = 1 + 4 \cdot \frac{1}{5} + 7 \cdot \frac{1}{5^2} + 10 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$ है।
$\frac{1}{5}S = \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5^2} + 7 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(1 - \frac{1}{5})S = 1 + 3 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5^2} + 3 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$
$\frac{4}{5}S = 1 + 3 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots \right)$
अनंत ज्यामितीय श्रेणी के योग के सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{1}{5}$ और $r = \frac{1}{5}$ है:
$\frac{4}{5}S = 1 + 3 \left( \frac{1/5}{1 - 1/5} \right) = 1 + 3 \left( \frac{1/5}{4/5} \right) = 1 + 3 \left( \frac{1}{4} \right) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
$S = \frac{7}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{35}{16}$.

(A) माना $S_n$ दी गई श्रेणी का $n$ पदों तक योग है:
$S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots + nx^{n - 1}$ $(i)$
$x$ से गुणा करने पर:
$xS_n = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + (n - 1)x^{n - 1} + nx^n$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$(1 - x)S_n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n - 1} - nx^n$
गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पदों के योग के सूत्र का उपयोग करने पर:
$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n}{1 - x} - nx^n$
$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n - nx^n(1 - x)}{1 - x}$
$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n - nx^n + nx^{n + 1}}{1 - x}$
$(1 - x)S_n = \frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n + 1}}{1 - x}$
अतः,$S_n = \frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n + 1}}{(1 - x)^2}$.

(A) माना योग $S_n = 1 + \frac{2}{5} + \frac{3}{5^2} + \frac{4}{5^3} + \dots + \frac{n}{5^{n-1}}$ है।
$\frac{1}{5}$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{5}S_n = \frac{1}{5} + \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} + \dots + \frac{n}{5^n}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(1 - \frac{1}{5})S_n = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^{n-1}} - \frac{n}{5^n}$.
गुणोत्तर श्रेणी का योग $\frac{5}{4}(1 - \frac{1}{5^n})$ है।
$\frac{4}{5}S_n = \frac{5}{4}(1 - \frac{1}{5^n}) - \frac{n}{5^n}$.
सरल करने पर $S_n = \frac{25}{16} - \frac{4n + 5}{16 \times 5^{n-1}}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई श्रेणी एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी $(A.G.P.)$ है।
अंश के पद $1, 4, 7, 10, \dots$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 3$ है।
इस $A.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = a + (n - 1)d = 1 + (n - 1)3 = 3n - 2$ है।
हर के पद $1, 5, 5^2, 5^3, \dots$ हैं,जो एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ बनाते हैं,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 5$ है।
इस $G.P.$ का $n^{th}$ पद $G_n = ar^{n-1} = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}$ है।
अतः,श्रेणी का $n^{th}$ पद $\frac{3n - 2}{5^{n - 1}}$ है।

(C) माना $t = 1 + \frac{1}{n}$ है। दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^n k t^{k-1} = 1 + 2t + 3t^2 + \dots + nt^{n-1}$ है।
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है।
अनंत श्रेणी के लिए,$\sum_{k=1}^{\infty} k t^{k-1} = (1-t)^{-2}$ होता है।
$t = 1 + \frac{1}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1-t = 1 - (1 + \frac{1}{n}) = -\frac{1}{n}$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $(-\frac{1}{n})^{-2} = n^2$ है।

(A) दी गई श्रेणी $S_n = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots + nx^{n-1} \dots (1)$
$x$ से गुणा करने पर: $xS_n = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + (n-1)x^{n-1} + nx^n \dots (2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$(1 - x)S_n = 1 + (2x - x) + (3x^2 - 2x^2) + \dots + (nx^{n-1} - (n-1)x^{n-1}) - nx^n$
$(1 - x)S_n = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} - nx^n$
गुणोत्तर श्रेणी $1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1}$ का योग $\frac{1 - x^n}{1 - x}$ होता है।
अतः,$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n}{1 - x} - nx^n$
$(1 - x)S_n = \frac{1 - x^n - nx^n(1 - x)}{1 - x}$
$S_n = \frac{1 - x^n - nx^n + nx^{n+1}}{(1 - x)^2}$
$S_n = \frac{1 - (n + 1)x^n + nx^{n+1}}{(1 - x)^2}$

(C) यहाँ $r$-वाँ पद $T_r = (2r + 1)2^{-r} = \frac{2r + 1}{2^r}$ है।
अनंत पदों का योग $S_{\infty} = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r + 1}{2^r} = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r}{2^r} + \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{2^r}$ है।
माना $S = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2r + 1}{2^r} = \frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{8} + \frac{9}{16} + \dots$
यह एक समांतर-गुणोत्तर श्रेणी है। इसे $\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{2}S = \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{7}{16} + \dots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + (\frac{5}{4} - \frac{3}{4}) + (\frac{7}{8} - \frac{5}{8}) + \dots$
$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + \frac{2}{4} + \frac{2}{8} + \frac{2}{16} + \dots$
$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + 2(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots)$
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = \frac{1}{4}$ और $r = \frac{1}{2}$ है,इसलिए इसका योग $\frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$ है।
$\frac{1}{2}S = \frac{3}{2} + 2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$.
अतः,$S = 5$।

(A) माना अनंत समांतर-गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = 1 + 4 \cdot \frac{1}{5} + 7 \cdot \frac{1}{5^2} + 10 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$ है।
$\frac{1}{5}$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{5}S = \frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5^2} + 7 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{1}{5}S = 1 + (4-1) \cdot \frac{1}{5} + (7-4) \cdot \frac{1}{5^2} + (10-7) \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$
$\frac{4}{5}S = 1 + 3 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot \frac{1}{5^2} + 3 \cdot \frac{1}{5^3} + \dots$
$\frac{4}{5}S = 1 + 3 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \dots \right)$
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = \frac{1}{5}$ और $r = \frac{1}{5}$ है:
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{1/5}{1 - 1/5} = \frac{1/5}{4/5} = \frac{1}{4}$
अतः,$\frac{4}{5}S = 1 + 3 \left( \frac{1}{4} \right) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
$S = \frac{7}{4} \times \frac{5}{4} = \frac{35}{16}$

(C) माना $S = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + 100 \cdot 2^{99} \quad \dots(1)$
$2$ से गुणा करने पर:
$2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + 99 \cdot 2^{99} + 100 \cdot 2^{100} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ घटाने पर:
$2S - S = 100 \cdot 2^{100} - (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{99})$
$S = 100 \cdot 2^{100} - \frac{1(2^{100} - 1)}{2 - 1}$
$S = 100 \cdot 2^{100} - 2^{100} + 1$
$S = 99 \cdot 2^{100} + 1$

(D) माना श्रेणी $S_n = 12 + 16 + 24 + 40 + \dots + T_n$ है।
क्रमागत पदों के बीच का अंतर $4, 8, 16, \dots$ है,जो एक गुणोत्तर श्रेणी बनाता है।
$n$-वां पद $T_n$ अंतर की विधि का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
$T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (T_{k+1} - T_k) = 12 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k+1} = 12 + (4 + 8 + 16 + \dots + 2^n)$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$T_n = 12 + \frac{4(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 12 + 2^{n+1} - 4 = 2^{n+1} + 8$.
अब,$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (2^{k+1} + 8)$.
$S_n = (2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n+1}) + (8 + 8 + \dots + 8)$.
$S_n = \frac{4(2^n - 1)}{2 - 1} + 8n = 4(2^n - 1) + 8n$.

(A) माना $S = 10^9 + 2(11)^1(10)^8 + 3(11)^2(10)^7 + \dots + 10(11)^9 = k(10)^9$.
दोनों पक्षों को $10^9$ से विभाजित करने पर:
$k = 1 + 2\left(\frac{11}{10}\right) + 3\left(\frac{11}{10}\right)^2 + \dots + 10\left(\frac{11}{10}\right)^9$ ......$(i)$
माना $x = \frac{11}{10}$. तब $k = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + 10x^9$.
$x$ से गुणा करने पर:
$xk = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + 9x^9 + 10x^{10}$ ......$(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$k(1-x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^9 - 10x^{10}$
$k(1-x) = \frac{1(x^{10}-1)}{x-1} - 10x^{10}$
चूँकि $x = \frac{11}{10}$,इसलिए $1-x = -\frac{1}{10}$ और $x-1 = \frac{1}{10}$.
$k(-\frac{1}{10}) = \frac{(\frac{11}{10})^{10}-1}{\frac{1}{10}} - 10(\frac{11}{10})^{10}$
$k(-\frac{1}{10}) = 10((\frac{11}{10})^{10}-1) - 10(\frac{11}{10})^{10}$
$k(-\frac{1}{10}) = 10(\frac{11}{10})^{10} - 10 - 10(\frac{11}{10})^{10} = -10$
अतः $k = 100$.

(D) दी गई श्रेणी $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty$ के रूप में है,जहाँ $x = (1 - \cos \theta)$ है।
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है,और इसका योग $|x| < 1$ के लिए $S = (1 - x)^{-2}$ होता है।
$x = 1 - \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S = (1 - (1 - \cos \theta))^{-2} = (\cos \theta)^{-2} = \sec^2 \theta$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$S = 1 + \tan^2 \theta$ मिलता है।
दिया गया है कि $\tan \theta = \sqrt{\frac{3}{2}}$,इसलिए $\tan^2 \theta = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$S = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$।

(B) दी गई श्रेणी एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है: $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n \sin^n x$.
$|\sin x| < 1$ के लिए,योग $f(x) = \frac{\sin x}{(1 - \sin x)^2}$ है।
$f(x) = 2$ रखने पर,$\frac{\sin x}{(1 - \sin x)^2} = 2$.
$\sin x = 2(1 - 2\sin x + \sin^2 x) = 2 - 4\sin x + 2\sin^2 x$.
$2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$.
$(2\sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$.
चूंकि $\sin x = 2$ असंभव है,इसलिए $\sin x = \frac{1}{2}$ है।
अंतराल $x \in [-\pi, \pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ का मान $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5\pi}{6}$ पर होता है।
दोनों मान प्रांत $[-\pi, \pi] - \{\pm \frac{\pi}{2}\}$ में स्थित हैं।
अतः,कुल $2$ हल हैं।

(D) चूँकि $x, y, z$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $\ln x, \ln y, \ln z$ $A.P.$ में हैं।
दिए गए पद $\frac{1 + \ln x}{2}, \frac{1 + \ln y}{4}, \frac{1 + \ln z}{8}$ $A.G.P.$ (अंकगणितीय-गुणोत्तर श्रेणी) में हैं।

(B) माना $P = a^{\frac{1}{a}} \cdot (2a)^{\frac{1}{2a}} \cdot (4a)^{\frac{1}{4a}} \cdot (8a)^{\frac{1}{8a}} \cdots \infty$ है।
दिया है $\sqrt{P} = \frac{8}{27}$,अतः $P = \frac{64}{729}$।
$P = a^{(\frac{1}{a} + \frac{1}{2a} + \frac{1}{4a} + \cdots)} \cdot 2^{(\frac{1}{2a} + \frac{2}{4a} + \frac{3}{8a} + \cdots)}$।
$a$ का घातांक $\frac{2}{a}$ है।
$2$ का घातांक $AGP$ श्रेणी के अनुसार $\frac{2}{a}$ है।
अतः $P = (2a)^{2/a} = (\frac{2}{3})^6$।
तुलना करने पर,$\frac{2}{a} = 6 \Rightarrow a = \frac{1}{3}$।

(A) माना $S = \sum\limits_{k = 1}^{20} {\frac{k}{{{2^k}}}} = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + \dots + \frac{20}{{{2^{20}}}}$
$\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{2}{{{2^3}}} + \dots + \frac{19}{{{2^{20}}}} + \frac{20}{{{2^{21}}}}$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$\frac{1}{2}S = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \dots + \frac{1}{{{2^{20}}}} \right) - \frac{20}{{{2^{21}}}}$
कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है:
$\frac{1}{2}S = (1 - \frac{1}{{{2^{20}}}}) - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{2}{{{2^{21}}}} - \frac{20}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{22}{{{2^{21}}}} = 1 - \frac{11}{{{2^{20}}}}$
अतः,$S = 2 - \frac{11}{{{2^{19}}}}$

(B) दिया है $S = \frac{7}{5} + \frac{9}{5^{2}} + \frac{13}{5^{3}} + \frac{19}{5^{4}} + \ldots$ $(1)$
$\frac{1}{5}$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{5} S = \frac{7}{5^{2}} + \frac{9}{5^{3}} + \frac{13}{5^{4}} + \ldots$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$\frac{4}{5} S = \frac{7}{5} + \frac{2}{5^{2}} + \frac{4}{5^{3}} + \frac{6}{5^{4}} + \ldots$
माना $T = \frac{2}{5^{2}} + \frac{4}{5^{3}} + \frac{6}{5^{4}} + \ldots$
तब $\frac{4}{5} T = \frac{2}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{2}{5^{4}} + \ldots = \frac{1}{10}$
अतः $T = \frac{1}{8}$
$\frac{4}{5} S = \frac{7}{5} + \frac{1}{8} = \frac{61}{40}$
$S = \frac{61}{32}$
$160 \,S = 160 \times \frac{61}{32} = 305$

(B) माना $S = 1 \cdot 3^{0} + 2 \cdot 3^{1} + 3 \cdot 3^{2} + \dots + 10 \cdot 3^{9}$ है।
$3$ से गुणा करने पर,$3S = 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{2} + \dots + 9 \cdot 3^{9} + 10 \cdot 3^{10}$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - 3S = 1 \cdot 3^{0} + (2-1) \cdot 3^{1} + (3-2) \cdot 3^{2} + \dots + (10-9) \cdot 3^{9} - 10 \cdot 3^{10}$।
$-2S = (1 + 3^{1} + 3^{2} + \dots + 3^{9}) - 10 \cdot 3^{10}$।
कोष्ठक में दिया गया योग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a=1$,$r=3$ और $n=10$ पद हैं।
$-2S = \frac{1(3^{10} - 1)}{3 - 1} - 10 \cdot 3^{10}$।
$-2S = \frac{3^{10} - 1}{2} - 10 \cdot 3^{10}$।
$-2S = \frac{3^{10} - 1 - 20 \cdot 3^{10}}{2} = \frac{-19 \cdot 3^{10} - 1}{2}$।
$S = \frac{19 \cdot 3^{10} + 1}{4}$।

(C) दिया गया है $S = 2 + \frac{6}{7} + \frac{12}{7^{2}} + \frac{20}{7^{3}} + \frac{30}{7^{4}} + \ldots$ $(1)$
$7$ से भाग देने पर: $\frac{S}{7} = \frac{2}{7} + \frac{6}{7^{2}} + \frac{12}{7^{3}} + \frac{20}{7^{4}} + \ldots$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$S - \frac{S}{7} = 2 + \left(\frac{6-2}{7}\right) + \left(\frac{12-6}{7^{2}}\right) + \left(\frac{20-12}{7^{3}}\right) + \ldots$
$\frac{6S}{7} = 2 + \frac{4}{7} + \frac{6}{7^{2}} + \frac{8}{7^{3}} + \ldots$ $(3)$
$(3)$ को $7$ से भाग देने पर: $\frac{6S}{49} = \frac{2}{7} + \frac{4}{7^{2}} + \frac{6}{7^{3}} + \ldots$ $(4)$
$(3)$ में से $(4)$ घटाने पर:
$\frac{6S}{7} - \frac{6S}{49} = 2 + \left(\frac{4-2}{7}\right) + \left(\frac{6-4}{7^{2}}\right) + \left(\frac{8-6}{7^{3}}\right) + \ldots$
$\frac{36S}{49} = 2 + \left(\frac{2/7}{1 - 1/7}\right) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
$S = \frac{7}{3} \times \frac{49}{36} = \frac{343}{108}$
$4S = 4 \times \frac{343}{108} = \frac{343}{27} = \left(\frac{7}{3}\right)^{3}$

(C) बहुपद $p(x)$ की घात निर्धारित करने के लिए हम परिमित अंतर (finite differences) विधि का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $x = -2, -1, 0, 1, 2, 3$ के लिए $p(x)$ के मान $y_i$ हैं:
$x = -2, y = -15$
$x = -1, y = 1$
$x = 0, y = 7$
$x = 1, y = 9$
$x = 2, y = 13$
$x = 3, y = 25$
प्रथम अंतर $(\Delta y)$: $1 - (-15) = 16, 7 - 1 = 6, 9 - 7 = 2, 13 - 9 = 4, 25 - 13 = 12$
द्वितीय अंतर $(\Delta^2 y)$: $6 - 16 = -10, 2 - 6 = -4, 4 - 2 = 2, 12 - 4 = 8$
तृतीय अंतर $(\Delta^3 y)$: $-4 - (-10) = 6, 2 - (-4) = 6, 8 - 2 = 6$
चूंकि तृतीय अंतर अचर $(6)$ है,इसलिए बहुपद $p(x)$ की घात $n = 3$ है।
अतः,$n$ का न्यूनतम संभव मान $3$ है।

(C) माना $S = (20)^{19} + 2(21)(20)^{18} + 3(21)^2(20)^{17} + \ldots + 20(21)^{19}$ है।
$(20)^{19}$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $k = 1 + 2(\frac{21}{20}) + 3(\frac{21}{20})^2 + \ldots + 20(\frac{21}{20})^{19}$।
माना $x = \frac{21}{20}$ है। अतः $k = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + 20x^{19}$।
$x$ से गुणा करने पर,$kx = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots + 20x^{20}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $k(1 - x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{19} - 20x^{20}$।
गुणोत्तर श्रेणी के योग का उपयोग करने पर: $k(1 - x) = \frac{1 - x^{20}}{1 - x} - 20x^{20}$।
यहाँ $1 - x = 1 - \frac{21}{20} = -\frac{1}{20}$ है,अतः $k(-\frac{1}{20}) = \frac{1 - x^{20}}{-1/20} - 20x^{20} = -20(1 - x^{20}) - 20x^{20}$।
$k(-\frac{1}{20}) = -20 + 20x^{20} - 20x^{20} = -20$।
अतः,$k = (-20) \times (-20) = 400$।

(C) अंकगणितीय-ज्यामितीय प्रगति के पद $(a+nd)r^n$ के रूप में हैं। $a=2$ और $d=1$ लेने पर,पद $\frac{0}{4}, \frac{1}{2}, 2, 6, 16$ प्राप्त होते हैं। अतः $a_4$ (जो श्रेणी का $5$वां पद है) $16$ है।

(B) दिया गया है $S = 109 + \frac{108}{5} + \frac{107}{5^2} + \ldots + \frac{1}{5^{108}}$.
$\frac{1}{5}$ से गुणा करने पर: $\frac{S}{5} = \frac{109}{5} + \frac{108}{5^2} + \ldots + \frac{2}{5^{108}} + \frac{1}{5^{109}}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$\frac{4S}{5} = 109 - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{5^{108}}) - \frac{1}{5^{109}}$.
$\frac{4S}{5} = 109 - \frac{1}{4} (1 - \frac{1}{5^{108}}) - \frac{1}{5^{109}}$.
$S = \frac{5}{4} [109 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \cdot 5^{108}} - \frac{1}{5^{109}}]$.
$16S = 2180 - 5 + \frac{1}{5^{108}}$.
चूंकि $(25)^{-54} = \frac{1}{5^{108}}$,
$16S - (25)^{-54} = 2175$.

(A) माना $S = 1 + \frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 10$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर,$\frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 9$.
माना $S_1 = \frac{4}{k} + \frac{8}{k^2} + \frac{13}{k^3} + \frac{19}{k^4} + \ldots = 9$.
तब $\frac{S_1}{k} = \frac{4}{k^2} + \frac{8}{k^3} + \frac{13}{k^4} + \ldots$.
इन्हें घटाने पर: $S_1(1 - \frac{1}{k}) = \frac{4}{k} + \frac{4}{k^2} + \frac{5}{k^3} + \frac{6}{k^4} + \ldots = 9(1 - \frac{1}{k})$.
माना $S_2 = \frac{4}{k} + \frac{4}{k^2} + \frac{5}{k^3} + \frac{6}{k^4} + \ldots$.
तब $\frac{S_2}{k} = \frac{4}{k^2} + \frac{4}{k^3} + \frac{5}{k^4} + \ldots$.
इन्हें घटाने पर: $S_2(1 - \frac{1}{k}) = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^3} + \frac{1}{k^4} + \ldots = \frac{4}{k} + \frac{1/k^3}{1 - 1/k} = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^2(k-1)}$.
$S_2 = 9(1 - \frac{1}{k})$ प्रतिस्थापित करने पर,$9(1 - \frac{1}{k})^2 = \frac{4}{k} + \frac{1}{k^2(k-1)}$.
$9(\frac{k-1}{k})^2 = \frac{4k(k-1) + 1}{k^2(k-1)}$.
$9(k-1)^3 = 4k^2 - 4k + 1 = (2k-1)^2$.
$k=2$ जाँचने पर: $9(2-1)^3 = 9(1) = 9$,और $(2(2)-1)^2 = 3^2 = 9$.
अतः,$k=2$ सही उत्तर है।

(A) दी गई श्रेणी एक अंकगणितीय-ज्यामितीय प्रगति $(AGP)$ है,जिसका रूप $\sum_{n=0}^{\infty} (a + np)r^n$ है,जहाँ $a = 3$,$d = p$,और $r = \frac{1}{4}$ है।
अनंत $AGP$ का योग $S = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$8 = \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} + \frac{p \cdot \frac{1}{4}}{(1 - \frac{1}{4})^2}$
$8 = 4 + \frac{4p}{9}$
$4 = \frac{4p}{9}$
$p = 9$.

(C) माना $y = 1+x$. तब $S(x) = y + 2y^2 + 3y^3 + \ldots + 60y^{60}$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है।
$yS = y^2 + 2y^3 + \ldots + 59y^{60} + 60y^{61}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(1-y)S = y + y^2 + y^3 + \ldots + y^{60} - 60y^{61}$.
चूंकि $y = 1+x$,इसलिए $1-y = -x$.
$-xS = \frac{y(y^{60}-1)}{y-1} - 60y^{61} = \frac{(1+x)((1+x)^{60}-1)}{x} - 60(1+x)^{61}$.
$x=60$ के लिए,$y=61$:
$-60S(60) = \frac{61(61^{60}-1)}{60} - 60(61)^{61}$.
$-60$ से गुणा करने पर:
$3600 S(60) = (60)^2 S(60) = 60(61)^{61} - 61(61^{60}-1) = 60(61)^{61} - 61^{61} + 61 = 59(61)^{61} + 61$.
$a(b)^b + b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=59$ और $b=61$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = 59+61 = 120$.

(C) माना $S = 5 + \frac{1}{7}(5 + \alpha) + \frac{1}{7^2}(5 + 2\alpha) + \dots \infty$.
दिया है $S = 7$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{7}$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{7}S = \frac{1}{7}(5) + \frac{1}{7^2}(5 + \alpha) + \frac{1}{7^3}(5 + 2\alpha) + \dots \infty$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S - \frac{1}{7}S = 5 + [\frac{1}{7}(5 + \alpha - 5) + \frac{1}{7^2}(5 + 2\alpha - (5 + \alpha)) + \dots \infty]$.
$\frac{6}{7}S = 5 + [\frac{\alpha}{7} + \frac{\alpha}{7^2} + \frac{\alpha}{7^3} + \dots \infty]$.
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = \frac{\alpha}{7}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{7}$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{\alpha/7}{1 - 1/7} = \frac{\alpha}{6}$.
अतः,$\frac{6}{7}S = 5 + \frac{\alpha}{6}$.
चूंकि $S = 7$,इसलिए $\frac{6}{7}(7) = 5 + \frac{\alpha}{6}$.
$6 = 5 + \frac{\alpha}{6}$ $\Rightarrow 1 = \frac{\alpha}{6}$ $\Rightarrow \alpha = 6$.

(C) फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर $\Delta$ को $\Delta u_{n} = u_{n+1} - u_{n}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
तीसरे क्रम के फॉरवर्ड डिफरेंस के लिए,हम सूत्र $\Delta^{3} u_{0} = (E-1)^{3} u_{0}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $E$ एक शिफ्ट ऑपरेटर है ताकि $E u_{n} = u_{n+1}$ हो।
ऑपरेटर का विस्तार करने पर,हमें $\Delta^{3} u_{0} = (E^{3} - 3E^{2} + 3E - 1) u_{0}$ प्राप्त होता है।
यह $\Delta^{3} u_{0} = u_{3} - 3u_{2} + 3u_{1} - u_{0}$ में सरल हो जाता है।
दिए गए मानों $u_{0}=8, u_{1}=3, u_{2}=12, u_{3}=51$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta^{3} u_{0} = 51 - 3(12) + 3(3) - 8$.
$\Delta^{3} u_{0} = 51 - 36 + 9 - 8$.
$\Delta^{3} u_{0} = 15 + 9 - 8 = 24 - 8 = 16$.

(D) $\Delta^{5} u_{x}$ ज्ञात करने के लिए,हम फॉरवर्ड डिफरेंस टेबल बनाते हैं:
गणना के अनुसार,$\Delta^{5} u_{0} = 755$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई श्रेणी $1 + \frac{3}{7} + \frac{5}{7^2} + \frac{7}{7^3} + \dots$ है।
अंश $1, 3, 5, 7, \dots$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।
इस $AP$ का $n$वाँ पद $T_n(AP) = a + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ है।
हर $7^0, 7^1, 7^2, 7^3, \dots$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 7$ है।
इस $GP$ का $n$वाँ पद $T_n(GP) = ar^{n-1} = 1 \times 7^{n-1} = 7^{n-1}$ है।
अतः,दी गई श्रेणी का $n$वाँ पद $T_n = \frac{2n-1}{7^{n-1}}$ है।