यदि एक $G.P.$ का प्रथम पद $a$ और $n^{\text{th}}$ पद $b$ है,और यदि $P$ $n$ पदों का गुणनफल है,तो सिद्ध कीजिए कि $P^{2} = (ab)^{n}$ है।

$G.P.$ का प्रथम पद $a$ है और $n^{\text{th}}$ पद $b$ है।
अतः,$G.P.$ है $a, ar, ar^{2}, ar^{3}, \dots, ar^{n-1}$,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है।
$b = ar^{n-1}$ .........$(1)$
$P = n \text{ पदों का गुणनफल}$
$P = (a)(ar)(ar^{2}) \dots (ar^{n-1})$
$P = (a \times a \times \dots \times a)(r \times r^{2} \times \dots \times r^{n-1})$
$P = a^{n} r^{1 + 2 + \dots + (n-1)}$ .........$(2)$
यहाँ,$1, 2, \dots, (n-1)$ एक $A.P.$ है।
$n-1$ पदों का योग $= \frac{(n-1)}{2} [1 + (n-1)] = \frac{n(n-1)}{2}$.
$P = a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$P^{2} = (a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}})^{2} = a^{2n} r^{n(n-1)}$
$P^{2} = (a^{2} r^{n-1})^{n}$
$P^{2} = (a \cdot ar^{n-1})^{n}$
$(1)$ का उपयोग करने पर,$P^{2} = (ab)^{n}$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।