एक $G.P.$ का $12$ वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका $8$ वाँ पद $192$ है और सार्व अनुपात $2$ है।

एक कण मूल बिंदु से शुरू होता है और $1$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{1}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{2}$ इकाई लंबवत ऊपर की ओर चलता है और $P_{2}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{4}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{3}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{8}$ इकाई लंबवत नीचे की ओर चलता है और $P_{4}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{16}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{5}$ पर पहुँचता है और इसी तरह आगे बढ़ता है। मान लीजिए $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} = \beta$. तो,$(\alpha, \beta)$ है

अनुक्रम $a, ar, ar^2, \dots$ के प्रथम $n$ पदों का गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) क्या है?

यदि $x^3-42x^2+336x-512=0$ के मूल वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी में हैं,तो इसका सार्व अनुपात क्या है ($:1$ में)?

एक $G$.$P$. का तीसरा पद $9$ है। इसके प्रथम पाँच पदों का गुणनफल है

यदि $|\alpha| < 1$ और $|\beta| < 1$ है,और $1 - \alpha + \alpha^2 - \alpha^3 + \dots \infty = s_1$ तथा $1 - \beta + \beta^2 - \beta^3 + \dots \infty = s_2$ है,तो $1 - \alpha\beta + \alpha^2\beta^2 - \alpha^3\beta^3 + \dots \infty$ का मान क्या होगा?