Geometric progression Questions in Hindi

(B) यदि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,तो $b^2 = ac$ होता है।
व्यंजक $a(b^2 + c^2) = ab^2 + ac^2$ पर विचार करें।
$b^2 = ac$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a(ac) + ac^2 = a^2c + ac^2 = c(a^2 + ac)$।
अतः,$a(b^2 + c^2) = c(a^2 + b^2)$ प्राप्त होता है।
सत्यापन: $a = 1, b = 2, c = 4$ रखने पर।
$LHS = 1(4 + 16) = 20$।
$RHS = 4(1 + 4) = 20$।
चूँकि $LHS = RHS$,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया अनुक्रम $\sqrt{2}, \sqrt{10}, 5\sqrt{2}, \dots$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = \sqrt{2}$ है।
सार्व अनुपात $r = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}$ है।
$GP$ का $n$ वाँ पद $t_n = a \cdot r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$7$ वें पद $(n=7)$ के लिए:
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5})^{7-1}$
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5})^6$
$t_7 = \sqrt{2} \cdot (5)^3$
$t_7 = 125\sqrt{2}$.

(C) माना $G.P.$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अनुपात $r$ है।
हम जानते हैं कि $G.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = Ar^{n-1}$ होता है।
दिया गया है कि $T_4 = a$,$T_7 = b$,और $T_{10} = c$,अतः:
$a = Ar^3$
$b = Ar^6$
$c = Ar^9$
अब,$ac$ का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$ac = (Ar^3)(Ar^9) = A^2r^{12}$
इसी प्रकार,$b^2$ का मान ज्ञात करते हैं:
$b^2 = (Ar^6)^2 = A^2r^{12}$
अतः,$b^2 = ac$ सिद्ध होता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि सूचकांक $p, q, r$ $A.P.$ में हैं,तो $G.P.$ के $p^{th}, q^{th}, r^{th}$ पद $G.P.$ में होते हैं। यहाँ $4, 7, 10$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,जिसका अर्थ है कि $b^2 = ac$।

(B) दिया गया है कि प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अनुपात $r = -5$ है।
मान लीजिए कि $n^{th}$ पद $3125$ है।
$G.P.$ के $n^{th}$ पद का सूत्र $a_n = a r^{n-1}$ है।
मान रखने पर: $5(-5)^{n-1} = 3125$.
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर: $(-5)^{n-1} = 625$.
चूंकि $625 = (-5)^4$,इसलिए $(-5)^{n-1} = (-5)^4$.
घातांकों की तुलना करने पर,$n - 1 = 4$,जिससे $n = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$5^{th}$ पद $3125$ है।

(B) माना कि जोड़ी जाने वाली संख्या $x$ है।
तब,संख्याएँ $x + 2, x + 14, x + 62$ $G.P.$ में हैं।
तीन संख्याओं $a, b, c$ के $G.P.$ में होने के लिए शर्त $b^2 = ac$ है।
इसलिए,$(x + 14)^2 = (x + 2)(x + 62)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $x^2 + 28x + 196 = x^2 + 64x + 124$.
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $28x + 196 = 64x + 124$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $196 - 124 = 64x - 28x$.
$72 = 36x$.
$x = 2$.
अतः,दी गई संख्याओं में $2$ जोड़ने पर $4, 16, 64$ प्राप्त होते हैं,जो $G.P.$ में हैं क्योंकि $16^2 = 4 \times 64$ $(256 = 256)$.

(B) दिया गया है कि $(p + q)^{th}$ पद $T_{p+q} = ar^{p+q-1} = m$ और $(p - q)^{th}$ पद $T_{p-q} = ar^{p-q-1} = n$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{T_{p+q}}{T_{p-q}} = \frac{ar^{p+q-1}}{ar^{p-q-1}} = r^{2q} = \frac{m}{n}$.
अतः,$r^{2q} = \frac{m}{n} \Rightarrow r = (\frac{m}{n})^{1/(2q)}$.
$p^{th}$ पद $T_p = ar^{p-1}$ है।
$T_{p+q} = T_p \cdot r^q = m \Rightarrow T_p = \frac{m}{r^q}$.
$T_{p-q} = T_p \cdot r^{-q} = n \Rightarrow T_p = n \cdot r^q$.
दोनों का गुणा करने पर:
$T_p^2 = (\frac{m}{r^q}) \cdot (n \cdot r^q) = mn$.
अतः,$T_p = \sqrt{mn}$.
वैकल्पिक रूप से: $G.P.$ में,$p^{th}$ पद उससे समान दूरी पर स्थित पदों का गुणोत्तर माध्य होता है। इसलिए $T_p = \sqrt{T_{p+q} \cdot T_{p-q}} = \sqrt{mn}$.

(A) माना $G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,प्रत्येक पद अपने बाद आने वाले दो पदों के योग के बराबर है:
$T_n = T_{n+1} + T_{n+2}$
$ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$
दोनों पक्षों को $ar^{n-1}$ से विभाजित करने पर:
$1 = r + r^2$
$r^2 + r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूंकि पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(D) दिया गया है कि $x, 2x + 2, 3x + 3$ एक $G.P.$ में हैं।
इसलिए,$(2x + 2)^2 = x(3x + 3)$
$4(x + 1)^2 = 3x(x + 1)$
$4(x + 1)^2 - 3x(x + 1) = 0$
$(x + 1)(4x + 4 - 3x) = 0$
$(x + 1)(x + 4) = 0$
अतः,$x = -1$ या $x = -4$ है।
यदि $x = -1$ है,तो पद $-1, 0, 0$ होंगे,जो $G.P.$ नहीं है।
यदि $x = -4$ है,तो पद $-4, -6, -9$ होंगे।
यहाँ,प्रथम पद $a = -4$ और सार्व अनुपात $r = \frac{-6}{-4} = 1.5$ है।
चौथा पद $T_4 = ar^3 = (-4)(1.5)^3 = (-4)(3.375) = -13.5$ है।

(A) $G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ होता है।
हमें दिया गया है $\frac{S_3}{S_6} = \frac{125}{152}$।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{a(r^3 - 1)/(r - 1)}{a(r^6 - 1)/(r - 1)} = \frac{125}{152}$।
यह सरल होकर $\frac{r^3 - 1}{r^6 - 1} = \frac{125}{152}$ हो जाता है।
चूंकि $r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1)$,इसलिए $\frac{1}{r^3 + 1} = \frac{125}{152}$।
$152 = 125(r^3 + 1) \Rightarrow 152 = 125r^3 + 125$।
$125r^3 = 152 - 125 = 27$।
$r^3 = \frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^3$।
अतः,$r = \frac{3}{5}$।

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $y^2 = xz$ है।
मान लीजिए $a^x = b^y = c^z = m$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हमें $x \log a = y \log b = z \log c = \log m$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x = \log_a m$,$y = \log_b m$,और $z = \log_c m$ है।
चूंकि $x, y, z$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $\frac{y}{x} = \frac{z}{y}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\frac{\log_b m}{\log_a m} = \frac{\log_c m}{\log_b m}$ प्राप्त होता है।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,$\log_b a = \log_c b$ प्राप्त होता है।

(B) माना $G.P.$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अनुपात $R$ है।
अतः,$p^{th}$,$q^{th}$ और $r^{th}$ पद इस प्रकार हैं:
$a = A R^{p-1}$ $(i)$
$b = A R^{q-1}$ $(ii)$
$c = A R^{r-1}$ $(iii)$
इन मानों को व्यंजक $a^{q - r} b^{r - p} c^{p - q}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (A R^{p-1})^{q-r} (A R^{q-1})^{r-p} (A R^{r-1})^{p-q}$
$= A^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} \times R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
$= A^0 \times R^{(pq - pr - q + r) + (qr - pq - r + p) + (rp - rq - p + q)}$
$= A^0 \times R^0 = 1 \times 1 = 1$.

(C) माना कि $G.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है कि तीसरा पद $T_3 = ar^2 = 4$ है।
हमें प्रथम $5$ पदों का गुणनफल ज्ञात करना है:
$P = a \times (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) \times (ar^4)$
$P = a^5 \times r^{(1+2+3+4)} = a^5 \times r^{10}$
$P = (ar^2)^5$
$ar^2 = 4$ का मान रखने पर:
$P = 4^5$.

(B) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है। $G.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $T_5 = ar^4 = \frac{1}{3}$ $(i)$
दिया है $T_9 = ar^8 = \frac{16}{243}$ $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{ar^8}{ar^4} = \frac{16/243}{1/3}$
$r^4 = \frac{16}{243} \times 3 = \frac{16}{81}$
$r^4 = (\frac{2}{3})^4$,इसलिए $r = \frac{2}{3}$.
$(i)$ में $r$ का मान रखने पर:
$a(\frac{2}{3})^4 = \frac{1}{3}$
$a(\frac{16}{81}) = \frac{1}{3}$
$a = \frac{1}{3} \times \frac{81}{16} = \frac{27}{16}$
अब,$4^{th}$ पद $T_4 = ar^3 = \frac{27}{16} \times (\frac{2}{3})^3 = \frac{27}{16} \times \frac{8}{27} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

(A) माना $G.P.$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अनुपात $R$ है।
अतः,$a = A R^{p-1}$,$b = A R^{q-1}$,और $c = A R^{r-1}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\left( \frac{c}{b} \right)^p \left( \frac{b}{a} \right)^r \left( \frac{a}{c} \right)^q = \left( \frac{A R^{r-1}}{A R^{q-1}} \right)^p \left( \frac{A R^{q-1}}{A R^{p-1}} \right)^r \left( \frac{A R^{p-1}}{A R^{r-1}} \right)^q$
$= (R^{r-q})^p (R^{q-p})^r (R^{p-r})^q$
$= R^{pr - pq + qr - pr + pq - qr}$
$= R^0 = 1$.

(D) $G.P.$ का $n$-वां पद $l = a r^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित करने पर,$\frac{l}{a} = r^{n-1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$\log(\frac{l}{a}) = \log(r^{n-1})$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log l - \log a = (n-1) \log r$।
अतः,$n-1 = \frac{\log l - \log a}{\log r}$।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$n = 1 + \frac{\log l - \log a}{\log r}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $\log_x a, a^{x/2}, \log_b x$ एक $G.P.$ में हैं।
अतः,$(a^{x/2})^2 = (\log_x a) \cdot (\log_b x)$।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\log_x a \cdot \log_b x = \frac{\log a}{\log x} \cdot \frac{\log x}{\log b} = \frac{\log a}{\log b} = \log_b a$।
इसलिए,$a^x = \log_b a$।
दोनों पक्षों में $\log_a$ लेने पर,हमें $x = \log_a(\log_b a)$ प्राप्त होता है।
$\log_b a = \frac{\log_e a}{\log_e b}$ के लिए आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \log_a\left(\frac{\log_e a}{\log_e b}\right)$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणधर्म के अनुसार,$\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N$।
अतः,$x = \log_a(\log_e a) - \log_a(\log_e b)$।

(A) माना समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के मूल $\frac{A}{R}, A, AR$ हैं।
मूलों का गुणनफल $\frac{-d}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$(\frac{A}{R}) \cdot A \cdot (AR) = A^3 = -\frac{d}{a}$।
चूंकि $A$ समीकरण का एक मूल है,यह $aA^3 + bA^2 + cA + d = 0$ को संतुष्ट करेगा।
$A^3 = -\frac{d}{a}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a(-\frac{d}{a}) + bA^2 + cA + d = 0$ प्राप्त होता है,जो $bA^2 + cA = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $A \neq 0$ (यह मानते हुए कि $d \neq 0$),हमें $bA + c = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $A = -\frac{c}{b}$।
$A = -\frac{c}{b}$ को $A^3 = -\frac{d}{a}$ में रखने पर,हमें $(-\frac{c}{b})^3 = -\frac{d}{a}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $-\frac{c^3}{b^3} = -\frac{d}{a}$,जो $c^3a = b^3d$ में सरल हो जाता है।

(A) माना कि प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है कि $10$ वां पद $a_{10} = ar^9 = 9$ और $4$ था पद $a_4 = ar^3 = 4$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{ar^9}{ar^3} = \frac{9}{4} \Rightarrow r^6 = \frac{9}{4}$.
हमें $7$ वां पद $a_7 = ar^6$ ज्ञात करना है।
गुणोत्तर श्रेणी के गुणधर्म का उपयोग करने पर: $a_7 = \sqrt{a_{10} \times a_4} = \sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6$.
अतः,$7$ वां पद $6$ है।

(B) दिया गया है कि $6^{th}$ पद $T_6 = 32$ और $8^{th}$ पद $T_8 = 128$ है।
$G.P.$ के $n^{th}$ पद के सूत्र $T_n = ar^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$T_6 = ar^5 = 32$ .....$(i)$
$T_8 = ar^7 = 128$ .....$(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{ar^7}{ar^5} = \frac{128}{32}$
$r^2 = 4$
$r = \pm 2$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सार्व अनुपात $2$ है।

(A) गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अनुपात $r = \frac{-5/2}{5} = -\frac{1}{2}$ है।
दिया गया है कि $T_n = \frac{5}{1024}$,अतः:
$\frac{5}{1024} = 5 \times (-\frac{1}{2})^{n-1}$
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{1024} = (-\frac{1}{2})^{n-1}$
चूँकि $1024 = 2^{10}$,हम लिख सकते हैं:
$(-\frac{1}{2})^{10} = (-\frac{1}{2})^{n-1}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$10 = n - 1$
$n = 11$.

(C) माना कि पहला पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है कि तीसरा पद पहले पद का वर्ग है: $ar^2 = a^2$.
चूंकि $a \neq 0$,हमें $a = r^2$ प्राप्त होता है।
दूसरा पद $8$ दिया गया है: $ar = 8$.
समीकरण $ar = 8$ में $a = r^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(r^2)r = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r^3 = 8$,इसलिए $r = 2$.
तब $a = r^2 = 2^2 = 4$.
$6^{th}$ पद $T_6 = ar^5$ द्वारा प्राप्त होता है।
$T_6 = 4 \times 2^5 = 4 \times 32 = 128$.

(B) माना कि $G.P.$ के $9$ पद $\frac{a}{r^4}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ हैं।
पाँचवाँ पद $a = 2$ दिया गया है।
इन $9$ पदों का गुणनफल $P = a^9$ होता है।
अतः,$P = 2^9 = 512$।

(D) माना अनंत $G.P.$ $a, ar, ar^2, \dots, \infty$ है।
अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1-r} = 9$ है,जहाँ $|r| < 1$ है।
$\Rightarrow a = 9(1-r) \dots (i)$
पहले दो पदों का योग $a + ar = 5$ है।
$\Rightarrow a(1+r) = 5 \dots (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$9(1-r)(1+r) = 5$
$9(1-r^2) = 5$
$1-r^2 = \frac{5}{9}$
$r^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$
$r = \pm \frac{2}{3}$ है।
चूँकि अनंत श्रेणी का योग मौजूद है,$|r| < 1$,दोनों मान मान्य हैं। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $2/3$ है।

(A) दी गई श्रेणी $3 + \frac{9}{2} + \frac{27}{4} + \dots$ है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अनुपात $r = \frac{3}{2}$ है।
$G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$n = 5$ के लिए,$S_5 = \frac{3((\frac{3}{2})^5 - 1)}{\frac{3}{2} - 1}$.
$S_5 = \frac{3(\frac{243}{32} - 1)}{\frac{1}{2}} = 6 \times \frac{243 - 32}{32} = 6 \times \frac{211}{32} = 3 \times \frac{211}{16} = \frac{633}{16}$.
मिश्रित भिन्न में बदलने पर,$\frac{633}{16} = 39\frac{9}{16}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई श्रेणी एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 0.9 = \frac{9}{10}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{0.09}{0.9} = 0.1 = \frac{1}{10}$ है।
$G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योगफल $S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 100$ के लिए:
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{1 - \frac{1}{10}} \right)$
$S_{100} = \frac{9}{10} \left( \frac{1 - (\frac{1}{10})^{100}}{\frac{9}{10}} \right)$
$S_{100} = 1 - \left( \frac{1}{10} \right)^{100}$.

(B) माना $G.P.$ के तीन पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि पदों का गुणनफल $216$ है:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 216$
$a^3 = 216 \Rightarrow a = 6$.
दिया गया है कि पदों का योग $19$ है:
$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 19$
$\frac{6}{r} + 6r = 13$
$r$ से गुणा करने पर:
$6 + 6r^2 = 13r$
$6r^2 - 13r + 6 = 0$
$6r^2 - 9r - 4r + 6 = 0$
$3r(2r - 3) - 2(2r - 3) = 0$
$(3r - 2)(2r - 3) = 0$
अतः,$r = \frac{2}{3}$ या $r = \frac{3}{2}$.

(D) माना धनात्मक पदों वाली $G.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,प्रत्येक पद उसके पिछले दो पदों का योग है:
$T_n = T_{n-1} + T_{n-2}$
सामान्य पद के सूत्र $T_n = ar^{n-1}$ का उपयोग करने पर:
$ar^{n-1} = ar^{n-2} + ar^{n-3}$
दोनों पक्षों को $ar^{n-3}$ से विभाजित करने पर ($a > 0$ और $r > 0$ के लिए):
$r^2 = r + 1$
$r^2 - r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूंकि पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए। अतः,हम धनात्मक मूल लेंगे:
$r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

(B) माना कि पहला पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है कि प्रत्येक पद अपने पिछले पद का दोगुना है,इसलिए सार्व अनुपात $r = 2$ है।
पहले दो पदों का योग $a + ar = 1$ है।
समीकरण में $r = 2$ रखने पर:
$a + a(2) = 1$
$3a = 1$
$a = \frac{1}{3}$.

(A) दिया गया है कि $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = 255$ (चूंकि $r > 1$) .....$(i)$
$n^{th}$ पद $a_n = ar^{n-1} = 128$ .....$(ii)$
सार्व अनुपात $r = 2$ .....$(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ से,$a(2^{n-1}) = 128$ .....$(iv)$
$(i)$ और $(iii)$ से,$a(2^n - 1) = 255$ .....$(v)$
$(v)$ को $(iv)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a(2^n - 1)}{a(2^{n-1})} = \frac{255}{128}$
$2 - \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{255}{128}$
$\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{128}$
$2^{n-1} = 2^7 \Rightarrow n = 8$
$n = 8$ को $(iv)$ में रखने पर:
$a(2^7) = 128 \Rightarrow a = 1$.

(B) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है। $G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $S_6 = 9 \times S_3$,इसलिए:
$\frac{a(r^6 - 1)}{r - 1} = 9 \times \frac{a(r^3 - 1)}{r - 1}$
$r \neq 1$ मानते हुए,हम इसे सरल कर सकते हैं:
$r^6 - 1 = 9(r^3 - 1)$
$(r^3)^2 - 1 = 9(r^3 - 1)$
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर:
$(r^3 - 1)(r^3 + 1) = 9(r^3 - 1)$
चूंकि $r \neq 1$,इसलिए $r^3 - 1 \neq 0$,अतः दोनों पक्षों को $(r^3 - 1)$ से विभाजित करने पर:
$r^3 + 1 = 9$
$r^3 = 8$
$r = 2$
अतः,सार्व अनुपात $2$ है।

(C) संख्या $S$ में $91$ बार $1$ है,जिसे एक गुणोत्तर श्रेणी के रूप में लिखा जा सकता है:
$S = 1 + 10 + 10^2 + \dots + 10^{90} = \frac{10^{91} - 1}{10 - 1} = \frac{10^{91} - 1}{9}$.
चूंकि $91 = 7 \times 13$,हम सर्वसमिका $x^n - 1 = (x^k - 1)(x^{n-k} + x^{n-2k} + \dots + 1)$ का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $k$,$n$ का एक भाजक है।
मान लीजिए $x = 10^{13}$,तो $10^{91} - 1 = (10^{13})^7 - 1 = (10^{13} - 1)((10^{13})^6 + (10^{13})^5 + \dots + 1)$.
अतः,$S = \frac{10^{13} - 1}{9} \times ((10^{13})^6 + (10^{13})^5 + \dots + 1)$.
चूंकि $S$,$1$ से बड़ी दो पूर्णांकों का गुणनफल है,इसलिए यह एक भाज्य संख्या है और अभाज्य नहीं है।

(B) दिया गया अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ है जिसका प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
$G.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 20$ के लिए,$S_{20} = \frac{2 \left(1 - (\frac{1}{3})^{20}\right)}{1 - \frac{1}{3}}$.
$S_{20} = \frac{2 \left(1 - \frac{1}{3^{20}}\right)}{\frac{2}{3}}$.
$S_{20} = 2 \times \frac{3}{2} \left(1 - \frac{1}{3^{20}}\right) = 3 \left(1 - \frac{1}{3^{20}}\right)$.

(C) दिया गया समीकरण: $1 + a + a^2 + \dots + a^x = (1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$
बाईं ओर $x+1$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका योग $\frac{1 - a^{x+1}}{1 - a}$ है।
अतः,$\frac{1 - a^{x+1}}{1 - a} = (1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$
दोनों पक्षों को $(1 - a)$ से गुणा करने पर:
$1 - a^{x+1} = (1 - a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$
सर्वसमिका $(1 - a)(1 + a) = (1 - a^2)$ का उपयोग करने पर:
$1 - a^{x+1} = (1 - a^2)(1 + a^2)(1 + a^4)$
इसी प्रकार $(1 - a^2)(1 + a^2) = (1 - a^4)$:
$1 - a^{x+1} = (1 - a^4)(1 + a^4)$
अंत में,$(1 - a^4)(1 + a^4) = (1 - a^8)$:
$1 - a^{x+1} = 1 - a^8$
घातांकों की तुलना करने पर,$x + 1 = 8$,जिससे $x = 7$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: $a_1 = 3$,$a_n = 96$,और $S_n = 189$।
हम जानते हैं कि $a_n = a_1 r^{n-1}$,इसलिए $3 r^{n-1} = 96$,जिसका अर्थ है $r^{n-1} = 32$।
अतः,$r^n = 32r$।
गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} = 189$ है।
मान रखने पर: $\frac{3(32r - 1)}{r - 1} = 189$।
$3$ से भाग देने पर: $\frac{32r - 1}{r - 1} = 63$।
$32r - 1 = 63r - 63$।
$62 = 31r$,इसलिए $r = 2$।
चूंकि $r^{n-1} = 32$,इसलिए $2^{n-1} = 2^5$।
अतः,$n - 1 = 5$,जिससे $n = 6$ प्राप्त होता है।

(A) माना प्रथम पद $a$,सार्व अनुपात $r = 3$ और पदों की संख्या $n$ है।
दिया गया है कि $n^{th}$ पद $l = a r^{n-1} = 486$ है।
अतः,$a(3)^{n-1} = 486$,जिसका अर्थ है $a \cdot \frac{3^n}{3} = 486$,या $a \cdot 3^n = 1458$ $(i)$।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = 728$ है।
$r = 3$ रखने पर: $\frac{a(3^n - 1)}{3 - 1} = 728$।
$a(3^n - 1) = 728 \times 2 = 1456$।
$a \cdot 3^n - a = 1456$ $(ii)$।
$(i)$ को $(ii)$ में रखने पर: $1458 - a = 1456$।
$a = 1458 - 1456 = 2$।

(A) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $1728$ है,इसलिए $(\frac{a}{r}) \times a \times (ar) = 1728$.
$a^3 = 1728$,जिसका अर्थ है $a = \sqrt[3]{1728} = 12$.
दिया गया है कि उनका योग $38$ है,इसलिए $\frac{a}{r} + a + ar = 38$.
$a = 12$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{12}{r} + 12 + 12r = 38$ प्राप्त होता है।
$\frac{12}{r} + 12r = 26$.
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{6}{r} + 6r = 13$ प्राप्त होता है।
$6 + 6r^2 = 13r$,जो $6r^2 - 13r + 6 = 0$ देता है।
द्विघात समीकरण $6r^2 - 13r + 6 = 0$ को हल करने पर,हमें $r = \frac{2}{3}$ या $r = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
यदि $r = \frac{3}{2}$ है,तो संख्याएँ $8, 12, 18$ हैं।
यदि $r = \frac{2}{3}$ है,तो संख्याएँ $18, 12, 8$ हैं।
दोनों स्थितियों में,संख्याएँ $8, 12, 18$ हैं। सबसे बड़ी संख्या $18$ है।

(D) दिया गया है: प्रथम पद $a = 7$,अंतिम पद $l = a{r^{n - 1}} = 448$,और पदों का योग $S_n = 889$.
$G.P.$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{lr - a}{r - 1}$ है।
मान रखने पर: $889 = \frac{448r - 7}{r - 1}$.
$889(r - 1) = 448r - 7$
$889r - 889 = 448r - 7$
$889r - 448r = 889 - 7$
$441r = 882$
$r = \frac{882}{441} = 2$.
अतः,सार्व अनुपात $2$ है।

(A) $G.P.$ का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_n = 364$,$r = 3$,और अंतिम पद $l = a r^{n-1} = 243$ है।
हम योग के सूत्र को $S_n = \frac{a r^{n-1} \cdot r - a}{r - 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान रखने पर: $364 = \frac{243 \cdot 3 - a}{3 - 1}$.
$364 = \frac{729 - a}{2}$.
$728 = 729 - a$,जिससे $a = 1$ प्राप्त होता है।
अब,अंतिम पद के सूत्र का उपयोग करने पर: $a r^{n-1} = 243$.
$1 \cdot 3^{n-1} = 243$.
$3^{n-1} = 3^5$.
अतः,$n - 1 = 5$,जिसका अर्थ है $n = 6$।

(C) यदि $a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्य $g_1, g_2, \dots, g_n$ डाले जाते हैं,तो अनुक्रम $a, g_1, g_2, \dots, g_n, b$ एक $G.P.$ बनाता है।
माना $r$ सार्व अनुपात (common ratio) है। इस $G.P.$ में पदों की कुल संख्या $n+2$ है।
अतः,अंतिम पद $b = a \cdot r^{n+1}$ होगा।
इसका अर्थ है $r^{n+1} = \frac{b}{a}$,इसलिए $r = \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{n+1}}$।
$n^{th}$ गुणोत्तर माध्य $g_n = a \cdot r^n$ है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $g_n = a \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{n}{n+1}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $G$,$x$ और $y$ का गुणोत्तर माध्य है,इसलिए $G = \sqrt{xy}$,जिसका अर्थ है $G^2 = xy$।
$G^2 = xy$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{G^2 - x^2} + \frac{1}{G^2 - y^2} = \frac{1}{xy - x^2} + \frac{1}{xy - y^2}$
$= \frac{1}{x(y - x)} + \frac{1}{y(x - y)}$
$= \frac{1}{x(y - x)} - \frac{1}{y(y - x)}$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right)$
$= \frac{1}{y - x} \left( \frac{y - x}{xy} \right)$
$= \frac{1}{xy} = \frac{1}{G^2}$.

(C) मान लीजिए कि $2$ और $32$ के बीच तीन गुणोत्तर माध्य $g_1, g_2, g_3$ हैं।
तब अनुक्रम $2, g_1, g_2, g_3, 32$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ बनाता है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 2$ और पाँचवाँ पद $ar^4 = 32$ है।
$2 \times r^4 = 32 \Rightarrow r^4 = 16$.
चूँकि $r^4 = 2^4$,इसलिए $r = 2$ प्राप्त होता है।
तीसरा गुणोत्तर माध्य $g_3 = ar^3$ है।
$g_3 = 2 \times (2)^3 = 2 \times 8 = 16$.

(B) माना $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5$ वे पाँच $G.M.$ हैं जो $a = 486$ और $b = 2/3$ के बीच डाले गए हैं।
अनुक्रम में कुल पदों की संख्या $n = 5 + 2 = 7$ है।
$7$ वाँ पद $T_7 = ar^{7-1} = ar^6$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $2/3 = 486 \times r^6$.
$r^6 = \frac{2}{3 \times 486} = \frac{2}{1458} = \frac{1}{729} = (1/3)^6$.
अतः,$r = 1/3$.
चौथा $G.M.$ अनुक्रम का $5$ वाँ पद है,$T_5 = ar^{5-1} = ar^4$.
$T_5 = 486 \times (1/3)^4 = 486 \times \frac{1}{81} = 6$.

(B) दी गई संख्याएँ $3^1, 3^2, 3^3, ..., 3^n$ हैं।
$n$ संख्याओं $x_1, x_2, ..., x_n$ का गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ $(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{1/n}$ द्वारा दिया जाता है।
$G.M. = (3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^3 \cdot ... \cdot 3^n)^{1/n}$
घातांक के नियम $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करने पर:
$G.M. = (3^{1+2+3+...+n})^{1/n}$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
$G.M. = (3^{\frac{n(n+1)}{2}})^{1/n}$
$G.M. = 3^{\frac{n(n+1)}{2n}} = 3^{\frac{n+1}{2}}$.

(D) माना $4$ और $\frac{1}{4}$ के बीच तीन गुणोत्तर माध्य $g_1, g_2, g_3$ हैं।
तब $4, g_1, g_2, g_3, \frac{1}{4}$ एक $G.P.$ (गुणोत्तर श्रेणी) बनाते हैं।
यहाँ,प्रथम पद $a = 4$ और पाँचवाँ पद $ar^4 = \frac{1}{4}$ है।
$4r^4 = \frac{1}{4} \Rightarrow r^4 = \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$.
अतः,$r = \frac{1}{2}$ (धनात्मक सार्व अनुपात लेने पर)।
तीन गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल $g_1 \times g_2 \times g_3 = (ar) \times (ar^2) \times (ar^3) = a^3r^6$ है।
मान रखने पर: $a^3r^6 = (4)^3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 64 \times \frac{1}{64} = 1$.
वैकल्पिक रूप से,$a$ और $b$ के बीच $n$ गुणोत्तर माध्यों का गुणनफल $(ab)^{n/2}$ होता है। यहाँ $a=4, b=1/4, n=3$ है,इसलिए $(4 \times \frac{1}{4})^{3/2} = 1^{3/2} = 1$।

(B) माना कि दो गुणोत्तर माध्य $a$ और $b$ हैं,ताकि $1, a, b, 64$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ बनाते हैं।
$GP$ में,सार्व अनुपात $r$ का सूत्र $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ है।
यहाँ,$a_1 = 1$ और $a_4 = 64$ है।
$64 = 1 \cdot r^{4-1} \Rightarrow r^3 = 64$।
चूँकि $64 = 4^3$,इसलिए $r = 4$ है।
पद $a = 1 \cdot 4 = 4$ और $b = 4 \cdot 4 = 16$ हैं।
अतः,दो गुणोत्तर माध्य $4$ और $16$ हैं।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं।
इसलिए,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = r$,जहाँ $r$ सार्व अनुपात है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{b^2}{a^2} = \frac{c^2}{b^2} = r^2$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $a^2, b^2, c^2$ एक $G.P.$ में हैं जिसका सार्व अनुपात $r^2$ है।

(C) दिया गया है कि $x, G_1, G_2, y$ एक $G.P.$ में हैं।
माना सार्व अनुपात $r$ है।
तब $G_1 = xr$,$G_2 = xr^2$,और $y = xr^3$ है।
हमें $G_1 G_2$ का मान ज्ञात करना है।
$G_1 G_2 = (xr)(xr^2) = x^2r^3$ है।
चूंकि $y = xr^3$,हम लिख सकते हैं कि $x^2r^3 = x(xr^3) = xy$ है।
अतः,$G_1 G_2 = xy$।

(A) मान लीजिए कि गुणोत्तर श्रेणी में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि उनका गुणनफल $1728$ है,इसलिए:
$(\frac{a}{r}) \times a \times (ar) = 1728$
$a^3 = 1728$
$a = \sqrt[3]{1728} = 12$
अतः,मध्य संख्या $12$ है।

(B) माना $G.P.$ के तीन क्रमागत पद $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
दिया गया है कि पदों का गुणनफल $216$ है:
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 216$
$a^3 = 216$
$a = 6$
दिया गया है कि दो-दो पदों के गुणनफल का योग $156$ है:
$(\frac{a}{r} \times a) + (a \times ar) + (\frac{a}{r} \times ar) = 156$
$\frac{a^2}{r} + a^2r + a^2 = 156$
$a = 6$ रखने पर:
$\frac{36}{r} + 36r + 36 = 156$
$\frac{36}{r} + 36r = 120$
$12$ से भाग देने पर:
$\frac{3}{r} + 3r = 10$
$3r^2 - 10r + 3 = 0$
$(3r - 1)(r - 3) = 0$
अतः,$r = 3$ या $r = \frac{1}{3}$।
यदि $r = 3$ है,तो पद $\frac{6}{3}, 6, 6 \times 3$ अर्थात $2, 6, 18$ हैं।
अतः,संख्याएँ $2, 6, 18$ हैं।