Geometric progression Questions in Hindi

(D) माना $G$.$P$. के पद $a, ar, ar^{2}, ar^{3}, ar^{4}$ हैं।
दिया है $3a_{2} + a_{3} = 2a_{4}$,अतः $3ar + ar^{2} = 2ar^{3}$।
चूँकि $a_{1} > 0$,$a \neq 0$,इसलिए $3 + r = 2r^{2}$,जिसका अर्थ है $2r^{2} - r - 3 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2r - 3)(r + 1) = 0$,अतः $r = \frac{3}{2}$ या $r = -1$।
दिया है $a_{2} + a_{4} = 2a_{3} + 1$,अतः $ar + ar^{3} = 2ar^{2} + 1$,या $a(r + r^{3} - 2r^{2}) = 1$।
यदि $r = -1$,तो $a(-1 - 1 - 2) = 1 \implies -4a = 1 \implies a = -\frac{1}{4}$। चूँकि $a_{1} > 0$,यह संभव नहीं है।
यदि $r = \frac{3}{2}$,तो $a(\frac{3}{2} + \frac{27}{8} - 2(\frac{9}{4})) = 1 \implies a(\frac{12 + 27 - 36}{8}) = 1 \implies a(\frac{3}{8}) = 1 \implies a = \frac{8}{3}$।
अब,$a_{2} + a_{4} + 2a_{5} = ar + ar^{3} + 2ar^{4} = a(r + r^{3} + 2r^{4})$।
$a = \frac{8}{3}$ और $r = \frac{3}{2}$ रखने पर:
$= \frac{8}{3} (\frac{3}{2} + \frac{27}{8} + 2 \times \frac{81}{16}) = \frac{8}{3} (\frac{3}{2} + \frac{27}{8} + \frac{81}{8}) = \frac{8}{3} (\frac{12 + 27 + 81}{8}) = \frac{8}{3} (\frac{120}{8}) = \frac{8}{3} \times 15 = 40$।

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \ldots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 1$ है।
दिया है $A_{1} A_{3} A_{5} A_{7} = \frac{1}{1296}$.
पदों को प्रतिस्थापित करने पर: $a \cdot (ar^2) \cdot (ar^4) \cdot (ar^6) = a^4 r^{12} = (ar^3)^4 = (A_{4})^4 = \frac{1}{1296}$.
अतः,$A_{4} = \sqrt[4]{\frac{1}{1296}} = \frac{1}{6}$.
दिया है $A_{2} + A_{4} = \frac{7}{36}$,अतः $ar + ar^3 = \frac{7}{36}$.
चूँकि $A_{4} = ar^3 = \frac{1}{6}$,इसलिए $ar + \frac{1}{6} = \frac{7}{36}$,जिससे $ar = \frac{1}{36}$.
अब,$r^2 = \frac{ar^3}{ar} = \frac{1/6}{1/36} = 6$,अतः $r = \sqrt{6}$.
हमें $A_{6} + A_{8} + A_{10} = ar^5 + ar^7 + ar^9 = ar^5(1 + r^2 + r^4)$ का मान ज्ञात करना है।
$ar^5 = (ar) \cdot r^4 = \frac{1}{36} \cdot (6)^2 = 1$.
$A_{6} + A_{8} + A_{10} = 1 \cdot (1 + 6 + 36) = 43$.

(C) प्रथम $G$.$P$. के पदों का गुणनफल $P_1 = 2^{1+2+\dots+60} = 2^{1830}$ है।
द्वितीय $G$.$P$. के पदों का गुणनफल $P_2 = 4^{1+2+\dots+n} = 2^{n(n+1)}$ है।
सभी $60+n$ पदों का गुणोत्तर माध्य $(P_1 \times P_2)^{\frac{1}{60+n}} = 2^{\frac{225}{8}}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{n^2+n+1830}{60+n} = \frac{225}{8}$।
समीकरण को हल करने पर $n=20$ प्राप्त होता है।
$\sum_{k=1}^{n} k(n-k) = \frac{n(n^2-1)}{6}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$n=20$ के लिए: $\frac{20(399)}{6} = 1330$।

(D) माना $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} + \frac{20}{3^{10}} + \dots + \frac{10 \cdot 2^{10}}{3}$.
श्रेणी को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} \left( 1 + \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \dots + \left(\frac{2}{3}\right)^{10} \right)$.
कोष्ठक में दिया गया पद एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = 1$,$r = \frac{2}{3}$,और $n = 11$ पद हैं।
योग $= \frac{1(1 - (2/3)^{11})}{1 - 2/3} = 3 \left( 1 - \frac{2^{11}}{3^{11}} \right) = 3 - \frac{2^{11}}{3^{10}}$.
यह मान रखने पर: $S = \frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} \left( 3 - \frac{2^{11}}{3^{10}} \right) = \frac{6}{3^{12}} + \frac{30}{3^{11}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}} = \frac{96}{3^{12}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}} = \frac{32}{3^{11}} - \frac{10 \cdot 2^{11}}{3^{21}}$.
$2^n \cdot m$ के रूप में देखने पर,$n = 12$ और $m = 1$ प्राप्त होता है,अतः $m \cdot n = 12$.

(C) दिया गया समीकरण $x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64=0$ है।
यह $7$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।
$(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें $(x-2)(x^6+2 x^5+4 x^4+8 x^3+16 x^2+32 x+64) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $x^7 - 2^7 = 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $x^7 = 128$।
इस समीकरण के मूल $x_k = 2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ है।
हालाँकि,मूल समीकरण $x=2$ को छोड़कर गुणोत्तर श्रेणी का योग है (क्योंकि $x=2$ रखने पर योग $448 \neq 0$ होता है)।
अतः,मूल $x_k = 2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}$ हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ है।
इन सभी मूलों के लिए,$|x_k| = |2 e^{i \frac{2k\pi}{7}}| = 2 |e^{i \frac{2k\pi}{7}}| = 2(1) = 2$ है।
इसलिए,$i$ के सभी मानों के लिए $|x_i|=2$ है।

(D) माना $p(x) = 1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{34} = \frac{x^{36}-1}{x^2-1}$.
माना $q(x) = 1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{17} = \frac{x^{18}-1}{x-1}$.
अतः,$\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{x^{18}+1}{x+1}$.
विभाजन करने पर,भागफल $x^{17}-x^{16}+x^{15}-x^{14}+\ldots-1$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $r_n$ वृत्त $C_n$ की त्रिज्या है। दिया गया है $r_0 = 1$,इसलिए $\text{Area}(C_0) = \pi r_0^2 = \pi$.
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित वर्ग का विकर्ण उसके व्यास $2r$ के बराबर होता है। यदि वर्ग की भुजा $a$ है,तो $a^2 + a^2 = (2r)^2$,जिसका अर्थ है $2a^2 = 4r^2$,इसलिए $a^2 = 2r^2$.
$C_{n-1}$ में अंकित वर्ग का क्षेत्रफल $2r_{n-1}^2$ है। परिभाषा के अनुसार,$\text{Area}(C_n) = \pi r_n^2 = 2r_{n-1}^2$.
अतः,$r_n^2 = \frac{2}{\pi} r_{n-1}^2$। यह क्षेत्रफलों $A_n = \text{Area}(C_n)$ के लिए एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $A_0 = \pi$ और सार्व अनुपात $k = \frac{2}{\pi}$ है।
क्षेत्रफलों का योग $\sum_{i=0}^{\infty} A_i = A_0 + A_0 k + A_0 k^2 + \dots = \frac{A_0}{1-k}$ है।
मान रखने पर: $\sum_{i=0}^{\infty} \text{Area}(C_i) = \frac{\pi}{1 - \frac{2}{\pi}} = \frac{\pi}{\frac{\pi-2}{\pi}} = \frac{\pi^2}{\pi-2}$।

(C) मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ $a, ar, ar^2$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
$1$. $a + ar > ar^2$ $\Rightarrow 1 + r > r^2$ $\Rightarrow r^2 - r - 1 < 0$.
$r^2 - r - 1 = 0$ के मूल $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। चूँकि $r > 0$,इसलिए $r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ होगा।
$2$. $ar + ar^2 > a \Rightarrow r^2 + r - 1 > 0$.
$r^2 + r - 1 = 0$ के मूल $r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। चूँकि $r > 0$,इसलिए $r > \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ होगा।
इन दोनों को मिलाने पर,$\frac{\sqrt{5} - 1}{2} < r < \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए सबसे बड़े वर्ग की भुजा $a$ है।
निर्देशांक अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले वर्गों की भुजाओं की लंबाई $a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \dots$ है।
उनके क्षेत्रफलों का योग $S_1 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{4})^2 + \dots = a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{16} + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $A = a^2$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$S_1 = \frac{a^2}{1 - 1/4} = \frac{a^2}{3/4} = \frac{4a^2}{3}$.
तिरछे वर्गों की भुजाओं की लंबाई $\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{2\sqrt{2}}, \frac{a}{4\sqrt{2}}, \dots$ है।
उनके क्षेत्रफलों का योग $S_2 = (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{a}{2\sqrt{2}})^2 + (\frac{a}{4\sqrt{2}})^2 + \dots = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{32} + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $A = \frac{a^2}{2}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$S_2 = \frac{a^2/2}{1 - 1/4} = \frac{a^2/2}{3/4} = \frac{a^2}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2a^2}{3}$.
इसलिए,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4a^2/3}{2a^2/3} = 2$.
सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है $T_4 = ar^3 = 500$,जहाँ $r = \frac{1}{m}$ है।
अतः,$a(\frac{1}{m})^3 = 500 \implies a = 500m^3$.
दिया गया है $S_6 > S_5 + 1 \implies S_6 - S_5 > 1 \implies T_6 > 1$.
$ar^5 > 1 \implies 500m^3 \cdot (\frac{1}{m})^5 > 1 \implies \frac{500}{m^2} > 1 \implies m^2 < 500$.
दिया गया है $S_7 < S_6 + \frac{1}{2} \implies S_7 - S_6 < \frac{1}{2} \implies T_7 < \frac{1}{2}$.
$ar^6 < \frac{1}{2} \implies 500m^3 \cdot (\frac{1}{m})^6 < \frac{1}{2} \implies \frac{500}{m^3} < \frac{1}{2} \implies m^3 > 1000 \implies m > 10$.
$m^2 < 500$ और $m > 10$ को मिलाने पर,हमें $10 < m < \sqrt{500} \approx 22.36$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m \in N$ है,$m \in \{11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22\}$ है।
$m$ के संभावित मानों की संख्या $12$ है।

(C) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ सभी $x, y \in \mathbb{N}$ के लिए और $f(1)=3$ है।
हम अनुक्रम के पदों को ज्ञात कर सकते हैं:
$f(1)=3$
$f(2)=f(1+1)=f(1) \cdot f(1)=3^2=9$
$f(3)=f(2+1)=f(2) \cdot f(1)=3^2 \cdot 3=3^3=27$
सामान्यतः,$f(k)=3^k$ है।
योग $\sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} 3^k = 3279$ दिया गया है।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a=3$,सार्व अनुपात $r=3$ और $n$ पद हैं।
योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{3(3^n-1)}{3-1} = 3279$
$\frac{3(3^n-1)}{2} = 3279$
$3(3^n-1) = 6558$
$3^n-1 = 2186$
$3^n = 2187$
चूंकि $3^7 = 2187$,इसलिए $n=7$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $GP$ $a, ar, ar^2, \ldots$ है।
दिया गया है $a_4 \cdot a_6 = 9$,इसलिए $(ar^3)(ar^5) = 9$,जिसका अर्थ है $a^2 r^8 = 9$,यानी $a_5^2 = 9$। चूंकि पद धनात्मक हैं,$a_5 = 3$।
दिया गया है $a_5 + a_7 = 24$,इसलिए $a_5 + a_5 r^2 = 24$।
$a_5 = 3$ रखने पर,हमें $3(1 + r^2) = 24$ प्राप्त होता है,इसलिए $1 + r^2 = 8$,जिससे $r^2 = 7$ मिलता है।
चूंकि $a_5 = ar^4 = 3$,हमारे पास $a(7^2) = 3$ है,इसलिए $a = \frac{3}{49}$।
अब,$a_1 a_9 + a_2 a_4 a_9 + a_5 + a_7$ का मान ज्ञात करें:
$a_1 a_9 = a(ar^8) = a^2 r^8 = (ar^4)^2 = a_5^2 = 3^2 = 9$।
$a_2 a_4 a_9 = (ar)(ar^3)(ar^8) = a^3 r^{12} = (ar^4)^3 = a_5^3 = 3^3 = 27$।
$a_5 + a_7 = 24$।
अतः,$9 + 27 + 24 = 60$।

(A) माना $G.P.$ के चार धनात्मक क्रमागत पद $\frac{a}{r^3}, \frac{a}{r}, ar, ar^3$ हैं,जहाँ सार्व अनुपात $R = r^2$ है।
दिया गया गुणनफल: $\frac{a}{r^3} \times \frac{a}{r} \times ar \times ar^3 = a^4 = 1296 \implies a = 6$.
दिया गया योग: $\frac{a}{r^3} + \frac{a}{r} + ar + ar^3 = 126$.
$a=6$ रखने पर: $\frac{6}{r^3} + \frac{6}{r} + 6r + 6r^3 = 126 \implies (r^3 + \frac{1}{r^3}) + (r + \frac{1}{r}) = 21$.
माना $x = r + \frac{1}{r}$. तब $r^3 + \frac{1}{r^3} = x^3 - 3x$.
अतः,$(x^3 - 3x) + x = 21 \implies x^3 - 2x - 21 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$x=3$ एक मूल है: $27 - 6 - 21 = 0$.
इस प्रकार,$r + \frac{1}{r} = 3 \implies r^2 - 3r + 1 = 0$.
सार्व अनुपात $R = r^2$ है। $r^2 - 3r + 1 = 0$ से,$r^2 + 1 = 3r$.
$r$ से भाग देने पर,$r + \frac{1}{r} = 3$. वर्ग करने पर $r^2 + \frac{1}{r^2} + 2 = 9 \implies r^2 + \frac{1}{r^2} = 7$.
दो संभावित सार्व अनुपात $t^2 - 7t + 1 = 0$ के मूल हैं (क्योंकि $R + \frac{1}{R} = 7$)।
सार्व अनुपातों का योग $7$ है।

(A) गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पद $a, ar, ar^2$ हैं।
उनके वर्गों का योग $33033$ दिया गया है:
$a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 33033$
$a^2(1 + r^2 + r^4) = 33033$
$33033$ का अभाज्य गुणनखंडन $3 \times 7 \times 11^2 \times 13 = 121 \times 273$ है।
$a^2(1 + r^2 + r^4) = 121 \times 273$ की तुलना करने पर,$a^2 = 121 \Rightarrow a = 11$ और $1 + r^2 + r^4 = 273$ प्राप्त होता है।
$r^4 + r^2 - 272 = 0$
मान लीजिए $x = r^2$,तो $x^2 + x - 272 = 0$.
$(x + 17)(x - 16) = 0$.
चूंकि $r$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$r^2 = 16 \Rightarrow r = 4$.
प्रथम तीन पदों का योग $a + ar + ar^2 = 11 + 11(4) + 11(4^2) = 11 + 44 + 176 = 231$ है।

(D) पदों को $\frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2$ मानिए।
माध्य $\frac{31}{10}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{a}{r^2} + \frac{a}{r} + a + ar + ar^2 = 5 \times \frac{31}{10} = \frac{31}{2}$।
व्युत्क्रमों का माध्य $\frac{31}{40}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{r^2}{a} + \frac{r}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = 5 \times \frac{31}{40} = \frac{31}{8}$।
पहले समीकरण को दूसरे से भाग देने पर,$a^2 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 2$।
$a=2$ रखने पर,$r=2$ प्राप्त होता है। पद $\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ हैं।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{186}{25}$ प्राप्त होता है।
अतः $m=186, n=25$ और $m+n = 211$।

(D) मान लीजिए $G.P.$ $a, ar, ar^2, \ldots$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 1$ है।
दिया है $a_6 + a_8 = 2 \implies ar^5 + ar^7 = 2 \implies ar^5(1 + r^2) = 2$।
दिया है $a_3 \times a_5 = \frac{1}{9} \implies (ar^2)(ar^4) = \frac{1}{9} \implies a^2r^6 = \frac{1}{9} \implies ar^3 = \frac{1}{3}$ (चूंकि $a, r > 0$)।
पहले समीकरण को दूसरे से विभाजित करने पर: $\frac{ar^5(1 + r^2)}{ar^3} = \frac{2}{1/3} \implies r^2(1 + r^2) = 6 \implies r^4 + r^2 - 6 = 0$।
मान लीजिए $x = r^2$,तो $x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0$। चूंकि $r^2 > 0$,इसलिए $r^2 = 2$।
तब $a(2)^{3/2} = \frac{1}{3} \implies a = \frac{1}{3 \times 2\sqrt{2}} = \frac{1}{6\sqrt{2}}$।
हमें $6(a_2 + a_4)(a_4 + a_6) = 6(ar + ar^3)(ar^3 + ar^5) = 6(ar(1 + r^2))(ar^3(1 + r^2)) = 6a^2r^4(1 + r^2)^2$ का मान निकालना है।
$a^2r^6 = \frac{1}{9} \implies a^2r^4 = \frac{1}{9r^2} = \frac{1}{18}$ रखने पर।
व्यंजक $= 6 \times \frac{1}{18} \times (1 + 2)^2 = \frac{1}{3} \times 9 = 3$।

(D) माना $G.P.$ $a, ar, ar^2, \ldots, ar^{63}$ है।
सभी $64$ पदों का योग $S_{64} = \frac{a(r^{64}-1)}{r-1}$ है।
विषम पद $a, ar^2, ar^4, \ldots, ar^{62}$ हैं। यह $32$ पदों की एक $G.P.$ है,जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।
विषम पदों का योग $S_{odd} = \frac{a((r^2)^{32}-1)}{r^2-1} = \frac{a(r^{64}-1)}{r^2-1}$ है।
दिया गया है कि $S_{64} = 7 \times S_{odd}$,अतः:
$\frac{a(r^{64}-1)}{r-1} = 7 \times \frac{a(r^{64}-1)}{r^2-1}$.
$r \neq 1$ और $r^{64} \neq 1$ मानते हुए,दोनों पक्षों से $\frac{a(r^{64}-1)}{r-1}$ को काटने पर:
$1 = \frac{7}{r+1}$.
$r+1 = 7 \Rightarrow r = 6$.

(D) माना गुणोत्तर श्रेणी का $n$-वाँ पद $a_n = a r^{n-1}$ है।
दिया गया है कि प्रत्येक पद अगले दो पदों का समांतर माध्य है:
$a_n = \frac{a_{n+1} + a_{n+2}}{2}$
$2 a r^{n-1} = a r^n + a r^{n+1}$
$a r^{n-1}$ से भाग देने पर:
$2 = r + r^2$
$r^2 + r - 2 = 0$
$(r + 2)(r - 1) = 0$
चूंकि $a_2 \neq a_1$,इसलिए $r \neq 1$,अतः $r = -2$ है।
हमें $S_{20} - S_{18} = a_{19} + a_{20}$ ज्ञात करना है।
$a_{19} + a_{20} = a r^{18} + a r^{19} = a r^{18}(1 + r)$।
$a = \frac{1}{8} = 2^{-3}$ और $r = -2$ रखने पर:
$S_{20} - S_{18} = 2^{-3} (-2)^{18} (1 - 2)$
$S_{20} - S_{18} = 2^{-3} (2^{18}) (-1)$
$S_{20} - S_{18} = -2^{15}$।

(C) प्रथम $GP$ के लिए: सार्व अनुपात $r_1$ मानिए। दिया है $t_1 = a$ और $t_3 = b = a r_1^2$,अतः $r_1^2 = \frac{b}{a}$।
$11$वाँ पद $t_{11} = a r_1^{10} = a (r_1^2)^5 = a \left(\frac{b}{a}\right)^5$ है।
दूसरे $GP$ के लिए: सार्व अनुपात $r_2$ मानिए। दिया है $T_1 = a$ और $T_5 = b = a r_2^4$,अतः $r_2^4 = \frac{b}{a}$,जिसका अर्थ है $r_2 = \left(\frac{b}{a}\right)^{1/4}$।
$p$वाँ पद $T_p = a r_2^{p-1} = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}}$ है।
चूँकि $t_{11} = T_p$,इसलिए $a \left(\frac{b}{a}\right)^5 = a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{p-1}{4}}$।
घातांकों की तुलना करने पर,$5 = \frac{p-1}{4}$,जिससे $p-1 = 20$,अतः $p = 21$।

(A) माना $G.P.$ के तीन क्रमिक पद $a, ar, ar^2$ हैं जहाँ $a > 0$ और $r > 1$ है।
त्रिभुज की भुजाओं के लिए,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
$a + ar > ar^2 \implies 1 + r > r^2 \implies r^2 - r - 1 < 0$.
$r^2 - r - 1 = 0$ के मूल $r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
चूंकि $r > 1$,शर्त $r^2 - r - 1 < 0$ का अर्थ है $1 < r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$।
$\sqrt{5} \approx 2.236$ है,इसलिए $\frac{1 + 2.236}{2} = 1.618$ है।
अतः,$1 < r < 1.618$ है।
इसलिए,$[r] = 1$ है।
$[-r]$ के लिए,$1 < r < 1.618$ होने पर,$-1.618 < -r < -1$ होगा।
अतः,$[-r] = -2$ है।
इस प्रकार,$3[r] + [-r] = 3(1) + (-2) = 3 - 2 = 1$।

(C) माना गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, \dots$ हैं जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया है $T_2 + T_6 = \frac{70}{3}$,अतः $ar + ar^5 = \frac{70}{3} \implies ar(1 + r^4) = \frac{70}{3}$।
दिया है $T_3 \cdot T_5 = 49$,अतः $(ar^2)(ar^4) = 49 \implies a^2r^6 = 49 \implies ar^3 = 7$ (चूंकि पद धनात्मक हैं)।
अतः,$a = \frac{7}{r^3}$।
प्रथम समीकरण में $a$ का मान रखने पर: $\frac{7}{r^3} \cdot r(1 + r^4) = \frac{70}{3} \implies \frac{7}{r^2}(1 + r^4) = \frac{70}{3} \implies \frac{1 + r^4}{r^2} = \frac{10}{3}$।
माना $r^2 = t$। तब $\frac{1 + t^2}{t} = \frac{10}{3} \implies 3t^2 - 10t + 3 = 0$।
$t$ के लिए हल करने पर: $(3t - 1)(t - 3) = 0$,अतः $t = 3$ या $t = \frac{1}{3}$।
चूंकि श्रेणी वर्धमान है,$r > 1$,इसलिए $r^2 = 3$।
हमें $T_4 + T_6 + T_8 = ar^3 + ar^5 + ar^7 = ar^3(1 + r^2 + r^4)$ ज्ञात करना है।
$ar^3 = 7$ और $r^2 = 3$ रखने पर: $7(1 + 3 + 3^2) = 7(1 + 3 + 9) = 7(13) = 91$।

(D) अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है,जहाँ $|r| < 1$ है।
दिया है $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = 57$,अतः $\frac{a}{1-r} = 57$ $(I)$.
दिया है $\sum_{n=0}^{\infty} a^3 r^{3n} = 9747$,यह एक $G.P.$ है जिसका प्रथम पद $a^3$ और सार्व अनुपात $r^3$ है।
अतः,$\frac{a^3}{1-r^3} = 9747$ $(II)$.
$(I)^3$ को $(II)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a^3}{(1-r)^3} \times \frac{1-r^3}{a^3} = \frac{57^3}{9747}$
$\frac{1-r^3}{(1-r)^3} = 19$
$\frac{1+r+r^2}{(1-r)^2} = 19$
$18r^2 - 39r + 18 = 0$
$6r^2 - 13r + 6 = 0$
$(2r-3)(3r-2) = 0$
चूँकि $|r| < 1$,इसलिए $r = \frac{2}{3}$ लेने पर।
$a = 57(1 - \frac{2}{3}) = 19$.
अतः,$a + 18r = 19 + 18(\frac{2}{3}) = 31$.

(C) मान लीजिए $G.P.$ $a, ar, ar^2, ar^3$ है जहाँ $r \neq 1$ और $r > 0$ है।
तब $b_1 = a, b_2 = a(1+r), b_3 = a(1+r+r^2), b_4 = a(1+r+r^2+r^3)$ है।
$b_1, b_2, b_3, b_4$ के $A.P.$ में होने के लिए $b_2-b_1 = b_3-b_2 = b_4-b_3$ होना चाहिए।
$b_2-b_1 = ar$,$b_3-b_2 = ar^2$,$b_4-b_3 = ar^3$ है।
चूँकि $r \neq 1$ है,$ar \neq ar^2 \neq ar^3$,इसलिए वे $A.P.$ में नहीं हैं।
$G.P.$ के लिए,$\frac{b_2}{b_1} = 1+r$ और $\frac{b_3}{b_2} = \frac{1+r+r^2}{1+r}$ समान नहीं हैं।
$H.P.$ के लिए,व्युत्क्रम $A.P.$ में होने चाहिए,जो सत्य नहीं है।
अतः,$STATEMENT-1$ सत्य है और $STATEMENT-2$ असत्य है।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b = ar$ और $c = ar^2$ लें,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है क्योंकि $\frac{b}{a} = r$ एक पूर्णांक है।
$a, b, c$ का समांतर माध्य $\frac{a+b+c}{3} = b+2$ है।
$b = ar$ और $c = ar^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{a + ar + ar^2}{3} = ar + 2$ प्राप्त होता है।
$3$ से गुणा करने पर,$a + ar + ar^2 = 3ar + 6$,जो सरल होकर $a + ar^2 = 2ar + 6$ हो जाता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a(1 - 2r + r^2) = 6$,या $a(r-1)^2 = 6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a$ और $r$ पूर्णांक हैं,$(r-1)^2$ को $6$ का गुणनखंड होना चाहिए। $6$ के पूर्ण वर्ग गुणनखंड $1$ हैं। इसलिए,$(r-1)^2 = 1$,जिसका अर्थ है $r-1 = 1$ (क्योंकि $a, b, c$ के धनात्मक पूर्णांक होने के लिए $r$ को धनात्मक होना चाहिए),इसलिए $r = 2$ है।
$a(r-1)^2 = 6$ में $r = 2$ रखने पर,$a(1)^2 = 6$,इसलिए $a = 6$ प्राप्त होता है।
अब,$a = 6$ के लिए $\frac{a^2+a-14}{a+1}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{6^2 + 6 - 14}{6 + 1} = \frac{36 + 6 - 14}{7} = \frac{28}{7} = 4$.

(C) मान लीजिए $G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5, \ldots$ हैं जहाँ $a > 0$ और $r > 1$ है।
दिया है $a_1 a_5 = 28$ $\Rightarrow a(ar^4) = 28$ $\Rightarrow a^2 r^4 = 28$ $\Rightarrow (ar^2)^2 = 28$ $\Rightarrow ar^2 = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.
दिया है $a_2 + a_4 = 29$ $\Rightarrow ar + ar^3 = 29$ $\Rightarrow ar(1 + r^2) = 29$.
चूँकि $ar^2 = \sqrt{28}$,हमारे पास $a = \frac{\sqrt{28}}{r^2}$ है।
दूसरे समीकरण में $a$ का मान रखने पर: $\frac{\sqrt{28}}{r^2} \cdot r(1 + r^2) = 29 \Rightarrow \frac{\sqrt{28}(1 + r^2)}{r} = 29$.
मान लीजिए $x = r + \frac{1}{r}$,तो $r^2 + 1 = xr$.
समीकरण $\sqrt{28} \cdot x = 29 \Rightarrow x = \frac{29}{\sqrt{28}}$ बन जाता है।
$r + \frac{1}{r} = \frac{29}{\sqrt{28}}$ को हल करने पर,$r^2 - \frac{29}{\sqrt{28}}r + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$r = \sqrt{28}$ (बढ़ते पदों के लिए $r > 1$).
अतः $a = \frac{\sqrt{28}}{28} = \frac{1}{\sqrt{28}}$.
अंत में,$a_6 = ar^5 = \frac{1}{\sqrt{28}} \cdot (\sqrt{28})^5 = 28^2 = 784$.

(C) मान लीजिए $G.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है ($r > 1$ क्योंकि पद बढ़ रहे हैं)।
$a_3 a_5 = (ar^2)(ar^4) = a^2 r^6 = 729 \Rightarrow ar^3 = 27 \dots (i)$
$a_2 + a_4 = ar + ar^3 = \frac{111}{4} \dots (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$ar + 27 = \frac{111}{4} \Rightarrow ar = \frac{111}{4} - 27 = \frac{111 - 108}{4} = \frac{3}{4} \dots (iii)$
$(i)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{ar^3}{ar} = \frac{27}{3/4}$ $\Rightarrow r^2 = 27 \times \frac{4}{3} = 36$ $\Rightarrow r = 6$ (क्योंकि पद धनात्मक हैं)।
$(iii)$ से,$a(6) = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$.
अब,$24(a_1 + a_2 + a_3) = 24(a + ar + ar^2) = 24a(1 + r + r^2)$.
$= 24 \times \frac{1}{8} (1 + 6 + 36) = 3(43) = 129$.

(D) माना $G.P.$ $a, ar, ar^2, \dots$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया है $ar + ar^3 + ar^5 = 21 \Rightarrow ar(1 + r^2 + r^4) = 21$ $(1)$.
दिया है $ar^7 + ar^9 + ar^{11} = 15309 \Rightarrow ar^7(1 + r^2 + r^4) = 15309$ $(2)$.
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर,$\frac{ar^7(1 + r^2 + r^4)}{ar(1 + r^2 + r^4)} = \frac{15309}{21}$.
$r^6 = 729$ $\Rightarrow r^6 = 3^6$ $\Rightarrow r = 3$ (चूंकि पद धनात्मक हैं)।
$r = 3$ को $(1)$ में रखने पर: $a(3)(1 + 9 + 81) = 21$ $\Rightarrow 3a(91) = 21$ $\Rightarrow a = \frac{21}{273} = \frac{1}{13}$.
पहले $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है।
$n = 9$ के लिए,$S_9 = \frac{\frac{1}{13}(3^9 - 1)}{3 - 1} = \frac{19683 - 1}{13 \times 2} = \frac{19682}{26} = 757$.

(D) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + r)^n$ है, जहाँ $r$ प्रति अवधि ब्याज दर है।
दिया गया है $P = 200$, $A = 400$, और $n = 6$ वर्ष:
$400 = 200(1 + r)^6$
$(1 + r)^6 = 2$
$(1 + r) = 2^{\frac{1}{6}}$
अब, $n = 33$ वर्षों के बाद राशि $A$ ज्ञात करनी है:
$A = 200(1 + r)^{33}$
$A = 200(2^{\frac{1}{6}})^{33}$
$A = 200(2^{\frac{33}{6}})$
$A = 200(2^{\frac{11}{2}})$
$A = 200(2^5 \cdot 2^{\frac{1}{2}})$
$A = 200(32 \sqrt{2})$
$A = 6400 \sqrt{2}$

(A) अर्ध-आयु काल $(T_{1/2})$ $5$ वर्ष है।
प्रारंभिक मात्रा $(N_0)$ $64$ gms है।
कुल समय $(t)$ $15$ वर्ष है।
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$ के रूप में की जाती है।
शेष बची मात्रा $(N)$ सूत्र $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $N = 64 \times (\frac{1}{2})^3 = 64 \times \frac{1}{8} = 8$ gms.
अतः,$15$ वर्ष बाद शेष बची मात्रा $8$ gms है।

(C) प्रथम $n$ पदों का योग $s_{n} = 7(3^{n} - 1)$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $n^{th}$ पद $t_{n} = s_{n} - s_{n-1}$ ($n > 1$ के लिए)।
$s_{n-1} = 7(3^{n-1} - 1)$।
$t_{n} = 7(3^{n} - 1) - 7(3^{n-1} - 1)$।
$t_{n} = 7(3^{n} - 1 - 3^{n-1} + 1)$।
$t_{n} = 7(3^{n} - 3^{n-1})$।
$t_{n} = 7 \cdot 3^{n-1}(3 - 1)$।
$t_{n} = 7 \cdot 3^{n-1} \cdot 2$।
$t_{n} = 14 \cdot 3^{n-1}$।

(C) माना $G.P.$ के प्रथम चार पद $a, ar, ar^2, ar^3$ हैं।
दिया गया है,सार्व अनुपात $r = 3$ और प्रथम चार पदों का योग $S_4 = 160$ है।
प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है।
मान रखने पर: $160 = \frac{a(3^4 - 1)}{3 - 1}$.
$160 = \frac{a(81 - 1)}{2} = \frac{a(80)}{2} = 40a$.
अतः,$a = \frac{160}{40} = 4$.
$4^{th}$ पद $T_4 = ar^3$ है।
$T_4 = 4 \times (3)^3 = 4 \times 27 = 108$.

(B) माना $GP$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $R$ है।
तब,$A = aR^{p-1}$,$B = aR^{q-1}$,और $C = aR^{r-1}$।
अब,व्यंजक $E = A^{q-r} \cdot B^{r-p} \cdot C^{p-q}$ पर विचार करें।
मान रखने पर:
$E = (aR^{p-1})^{q-r} \cdot (aR^{q-1})^{r-p} \cdot (aR^{r-1})^{p-q}$
$E = a^{(q-r) + (r-p) + (p-q)} \cdot R^{(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)}$
चूंकि $(q-r) + (r-p) + (p-q) = 0$,इसलिए $a$ की घात $0$ है।
$R$ की घात के लिए:
$(pq - pr - q + r) + (qr - pq - r + p) + (rp - rq - p + q) = 0$
अतः,$E = a^0 \cdot R^0 = 1 \cdot 1 = 1$।

(C) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है कि अनंत $GP$ का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = 9$ है।
इसका अर्थ है $a = 9(1-r)$।
पहले दो पदों का योग $a + ar = 5$ है।
$a = 9(1-r)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$9(1-r)(1+r) = 5$।
$9(1-r^2) = 5$।
$1-r^2 = \frac{5}{9}$।
$r^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$।
अतः,$r = \pm \frac{2}{3}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही सार्व अनुपात $\frac{2}{3}$ है।

(B) एक $G.P.$ में,$m^{\text{th}}$ पद उन पदों का गुणोत्तर माध्य होता है जो इससे समान दूरी पर होते हैं।
इसलिए,$(T_m)^2 = T_{m+n} \times T_{m-n}$.
दिया गया है कि $T_{m+n} = p$ और $T_{m-n} = q$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(T_m)^2 = p \times q$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_m = \sqrt{pq}$.

(C) हमें प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = 5(2^n - 1)$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $n$-वां पद $t_n = S_n - S_{n-1}$ होता है,जहाँ $n > 1$ है।
$t_n = 5(2^n - 1) - 5(2^{n-1} - 1)$
$t_n = 5(2^n - 1 - 2^{n-1} + 1)$
$t_n = 5(2^n - 2^{n-1})$
$t_n = 5(2 \times 2^{n-1} - 2^{n-1})$
$t_n = 5(2^{n-1}(2 - 1))$
$t_n = 5(2^{n-1})$

(B) दिया गया है $S_n = \frac{4^n - 3^n}{3^n}$.
हम जानते हैं कि $n > 1$ के लिए $t_n = S_n - S_{n-1}$ होता है।
$n = 2$ के लिए,$t_2 = S_2 - S_1$ है।
$S_2 = \frac{4^2 - 3^2}{3^2} = \frac{16 - 9}{9} = \frac{7}{9}$ की गणना करें।
$S_1 = \frac{4^1 - 3^1}{3^1} = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3}$ की गणना करें।
अतः,$t_2 = \frac{7}{9} - \frac{1}{3} = \frac{7 - 3}{9} = \frac{4}{9}$।

(B) माना $G$.$P$. का प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
$G$.$P$. का $n^{\text{th}}$ पद $T_n = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$x = T_4 = ar^3$
$y = T_{10} = ar^9$
$z = T_{16} = ar^{15}$
अब,$xz$ का गुणनफल लें:
$xz = (ar^3)(ar^{15}) = a^2r^{18} = (ar^9)^2$
चूंकि $y = ar^9$,इसलिए $xz = y^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \sqrt{xz}$.

(B) दिया गया है कि $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{10}$ एक गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ है जिसका प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
हमें $\frac{a_3}{a_1} = 25$ दिया गया है।
चूँकि $a_n = ar^{n-1}$,इसलिए $a_3 = ar^2$ और $a_1 = a$ होगा।
अतः,$\frac{ar^2}{a} = 25$,जिसका अर्थ है $r^2 = 25$।
हमें $\frac{a_9}{a_5}$ का मान ज्ञात करना है।
$n$-वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{a_9}{a_5} = \frac{ar^8}{ar^4} = r^4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $r^2 = 25$,इसलिए $r^4 = (r^2)^2 = (25)^2 = (5^2)^2 = 5^4$ होगा।

(D) माना $G$.$P$. के प्रथम पाँच पद $\frac{a}{r^{2}}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^{2}$ हैं।
दिया गया है कि तीसरा पद $a = 9$ है।
प्रथम पाँच पदों का गुणनफल $\frac{a}{r^{2}} \times \frac{a}{r} \times a \times ar \times ar^{2} = a^{5}$ है।
$a = 9$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \sin x$ है।
चूंकि योग $4+2 \sqrt{3}$ है,हम सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हैं:
$\frac{1}{1-\sin x} = 4+2 \sqrt{3}$
$1-\sin x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$1-\sin x = \frac{4-2 \sqrt{3}}{(4+2 \sqrt{3})(4-2 \sqrt{3})} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$0 < x < \pi$ के लिए,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान $x = \frac{\pi}{3}$ और $x = \frac{2 \pi}{3}$ हैं।

(B) $GP$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
इसी प्रकार,$2n$ पदों का योग $S_{2n} = \frac{a(1 - r^{2n})}{1 - r}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \times \frac{1 - r}{a(1 - r^{2n})}$।
सर्वसमिका $1 - r^{2n} = (1 - r^n)(1 + r^n)$ का उपयोग करने पर,$\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{1 - r^n}{(1 - r^n)(1 + r^n)}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{S_n}{S_{2n}} = \frac{1}{1 + r^n}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि,$T_{2} = 24$ और $T_{5} = 3$.
$G$.$P$. में,$n^{\text{th}}$ पद $T_{n} = ar^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$ar = 24$ $(1)$ और $ar^{4} = 3$ $(2)$.
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{ar^{4}}{ar} = \frac{3}{24}$ $\Rightarrow r^{3} = \frac{1}{8}$ $\Rightarrow r = \frac{1}{2}$.
$r = \frac{1}{2}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर,$a \times \frac{1}{2} = 24 \Rightarrow a = 48$.
$G$.$P$. के प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}$ होता है।
$n = 6$ के लिए,$S_{6} = \frac{48(1-(1/2)^{6})}{1-1/2} = \frac{48(1-1/64)}{1/2} = 96 \times \frac{63}{64} = \frac{3 \times 63}{2} = \frac{189}{2}$.

(C) माना कि त्रिघात समीकरण के मूल $\frac{p}{r}, p, pr$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$1) \frac{p}{r} + p + pr = a \Rightarrow p(\frac{1}{r} + 1 + r) = a$
$2) \frac{p}{r} \cdot p + p \cdot pr + pr \cdot \frac{p}{r} = b \Rightarrow p^2(\frac{1}{r} + r + 1) = b$
$3) \frac{p}{r} \cdot p \cdot pr = p^3 = c$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{p^2(\frac{1}{r} + r + 1)}{p(\frac{1}{r} + r + 1)} = \frac{b}{a} \Rightarrow p = \frac{b}{a}$
$p = \frac{b}{a}$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$(\frac{b}{a})^3 = c \Rightarrow \frac{b^3}{a^3} = c$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(C) माना मूल $\alpha, \alpha r, \alpha r^2, \alpha r^3$ हैं जहाँ $r > 1$ है।
प्रथम समीकरण $x^2-3x+a=0$ से,$\alpha + \alpha r = 3$ और $\alpha(\alpha r) = a$ प्राप्त होता है।
द्वितीय समीकरण $x^2-12x+b=0$ से,$\alpha r^2 + \alpha r^3 = 12$ और $(\alpha r^2)(\alpha r^3) = b$ प्राप्त होता है।
$\alpha(1+r) = 3$ और $\alpha r^2(1+r) = 12$ को विभाजित करने पर: $\frac{\alpha r^2(1+r)}{\alpha(1+r)} = \frac{12}{3}$,जिससे $r^2 = 4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $r > 1$ है,इसलिए $r = 2$ है।
$r=2$ को $\alpha(1+r) = 3$ में रखने पर,$\alpha(3) = 3$,अतः $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।
मूल $1, 2, 4, 8$ हैं।
अतः,$a = \alpha(\alpha r) = 1 \times 2 = 2$ और $b = (\alpha r^2)(\alpha r^3) = 4 \times 8 = 32$ है।
इसलिए,$a+b = 2+32 = 34$।

(B) दिया गया समीकरण $x^3-k x^2+14 x-8=0$ है।
माना मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं जो गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार,मूलों का गुणनफल $-\frac{d}{a_{coeff}} = -\frac{-8}{1} = 8$ होता है।
अतः,$\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = 8$ $\Rightarrow a^3 = 8$ $\Rightarrow a = 2$.
चूंकि $a=2$ समीकरण का एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$(2)^3 - k(2)^2 + 14(2) - 8 = 0$.
$8 - 4k + 28 - 8 = 0$.
$28 - 4k = 0$.
$4k = 28 \Rightarrow k = 7$.

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-13x^2+Kx-27=0$ है।
माना मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
मूलों का गुणनफल लेने पर,$\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = -\frac{-27}{1} = 27$.
अतः,$a^3 = 27$,जिससे $a = 3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a=3$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $3^3 - 13(3^2) + K(3) - 27 = 0$.
$27 - 117 + 3K - 27 = 0$.
$3K - 117 = 0$.
$3K = 117$.
$K = 39$.

(C) माना समीकरण के मूल $a/r^2, a/r, a, ar, ar^2$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $a^5 = S$ है।
मूलों के व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{a/r^2} + \frac{1}{a/r} + \frac{1}{a} + \frac{1}{ar} + \frac{1}{ar^2} = \frac{r^2+r+1+1/r+1/r^2}{a} = 10$ है।
साथ ही,मूलों का योग $a/r^2 + a/r + a + ar + ar^2 = 40$ है।
$a$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$a(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2) = 40$ प्राप्त होता है।
मूलों के योग को व्युत्क्रमों के योग से विभाजित करने पर: $\frac{a(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2)}{(1/a)(1/r^2 + 1/r + 1 + r + r^2)} = \frac{40}{10} = 4$।
यह $a^2 = 4$ में सरल होता है,इसलिए $a = 2$ या $a = -2$ है।
चूंकि $a^5 = S$,हमारे पास $S = 2^5 = 32$ या $S = (-2)^5 = -32$ है।
अतः,$|S| = 32$।

(D) दिया गया समीकरण $x^3-7x^2+14x-8=0$ है। मान लीजिए मूल $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
मूलों का गुणनफल: $\frac{a}{r} \cdot a \cdot ar = 8$ $\Rightarrow a^3 = 8$ $\Rightarrow a = 2$.
मूलों का योग: $\frac{a}{r} + a + ar = 7$. $a=2$ रखने पर:
$\frac{2}{r} + 2 + 2r = 7$ $\Rightarrow \frac{2}{r} + 2r = 5$ $\Rightarrow 2 + 2r^2 = 5r$ $\Rightarrow 2r^2 - 5r + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $2r^2 - 4r - r + 2 = 0$ $\Rightarrow 2r(r-2) - 1(r-2) = 0$ $\Rightarrow (2r-1)(r-2) = 0$.
अतः,$r = 2$ या $r = \frac{1}{2}$.
यदि $r=2$ है,तो मूल $\frac{2}{2}, 2, 2(2)$ अर्थात $1, 2, 4$ हैं।
यदि $r=\frac{1}{2}$ है,तो मूल $\frac{2}{1/2}, 2, 2(1/2)$ अर्थात $4, 2, 1$ हैं।
दोनों स्थितियों में मूल $1, 2, 4$ हैं।
सबसे बड़ा मूल $4$ है और सबसे छोटा मूल $1$ है।
अंतर $4 - 1 = 3$ है।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3-42x^2+336x-512=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x-2)(x^2-40x+256)=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $x^2-40x+256=0$ को हल करने पर $x=8$ और $x=32$ प्राप्त होते हैं।
अतः,मूल $2, 8, 32$ हैं।
ये वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r = \frac{8}{2} = 4$ अर्थात $4:1$ है।