Arithmetic progression Questions in Hindi

(C) यह जांचने के लिए कि अनुक्रम $A.P.$ है या नहीं,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर निकालते हैं।
पहला अंतर: $d_1 = \frac{6}{\sqrt{7}} - \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$.
दूसरा अंतर: $d_2 = \sqrt{7} - \frac{6}{\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{7} \times \sqrt{7}) - 6}{\sqrt{7}} = \frac{7 - 6}{\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$.
चूंकि सार्व अंतर $d = \frac{1}{\sqrt{7}}$ स्थिर है,इसलिए अनुक्रम $A.P.$ है।

(B) दी गई श्रेणी $\left( 3 - \frac{1}{n} \right) + \left( 3 - \frac{2}{n} \right) + \left( 3 - \frac{3}{n} \right) + \dots$ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) है।
यहाँ,प्रथम पद $a = \left( 3 - \frac{1}{n} \right)$ है।
सार्व अंतर $d = \left( 3 - \frac{2}{n} \right) - \left( 3 - \frac{1}{n} \right) = -\frac{1}{n}$ है।
समांतर श्रेणी का $p^{th}$ पद $T_p = a + (p - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$T_p = \left( 3 - \frac{1}{n} \right) + (p - 1)\left( -\frac{1}{n} \right)$
$T_p = 3 - \frac{1}{n} - \frac{p}{n} + \frac{1}{n} = 3 - \frac{p}{n}$.

(A) दी गई श्रेणी $2\sqrt{2} + \sqrt{2} + 0 + \dots$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 2\sqrt{2}$ और सार्व अंतर $d = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
$8$ वें पद के लिए $(n = 8)$:
$a_8 = 2\sqrt{2} + (8 - 1)(-\sqrt{2})$
$a_8 = 2\sqrt{2} + 7(-\sqrt{2})$
$a_8 = 2\sqrt{2} - 7\sqrt{2}$
$a_8 = -5\sqrt{2}$.

(B) दिया गया है कि $9$ वां पद $a_9 = a + (9 - 1)d = 0$ है।
$a + 8d = 0 \Rightarrow a = -8d$।
हमें $29$ वें पद और $19$ वें पद का अनुपात ज्ञात करना है:
$\frac{a_{29}}{a_{19}} = \frac{a + 28d}{a + 18d}$।
$a = -8d$ का मान रखने पर:
$\frac{-8d + 28d}{-8d + 18d} = \frac{20d}{10d} = \frac{2}{1}$।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(A) अनुक्रम $f(n) = an + b;\, n \in N$ एक $A.P.$ है।
$n = 1, 2, 3, 4, \dots$ रखने पर,हमें अनुक्रम प्राप्त होता है:
$(a + b), (2a + b), (3a + b), \dots$
यह एक $A.P.$ है जहाँ प्रथम पद $A = (a + b)$ और सार्व अंतर $d = a$ है।
वैकल्पिक रूप से,किसी $A.P.$ का $n$-वाँ पद हमेशा सभी $n \in N$ के लिए $an + b$ के रूप में होता है।

(A) दिया गया अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = -8 + 18i$ और सार्व अंतर $d = (-6 + 15i) - (-8 + 18i) = 2 - 3i$ है।
$AP$ का $n$-वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$T_n = (-8 + 18i) + (n - 1)(2 - 3i)$
$T_n = -8 + 18i + 2n - 2 - 3ni + 3i$
$T_n = (-10 + 2n) + i(21 - 3n)$
पद के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$-10 + 2n = 0$
$2n = 10$
$n = 5$
अतः,$5^{th}$ पद शुद्ध काल्पनिक है।

(C) दिया गया है कि $n^{th}$ पद $T_n = 2n - 1$ है।
प्रथम पद $a = T_1 = 2(1) - 1 = 1$ है।
अंतिम पद $l = T_n = 2n - 1$ है।
$A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S_n = \frac{n}{2}(1 + 2n - 1) = \frac{n}{2}(2n) = n^2$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = 2\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n^2 + n - n = n^2$।

(B) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है: $101, 99, 97, \dots, 47$।
यहाँ,प्रथम पद $a = 101$,सार्व अंतर $d = 99 - 101 = -2$,और अंतिम पद $l = 47$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र उपयोग करने पर: $T_n = a + (n - 1)d$।
मान रखने पर: $47 = 101 + (n - 1)(-2)$।
दोनों पक्षों से $101$ घटाने पर: $47 - 101 = (n - 1)(-2)$।
$-54 = (n - 1)(-2)$।
$-2$ से भाग देने पर: $27 = n - 1$।
अतः,$n = 28$।

(B) दिया गया है कि,$p$ वाँ पद $T_p = a + (p - 1)d = q$ ..... $(i)$
और $q$ वाँ पद $T_q = a + (q - 1)d = p$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर,$(p - q)d = q - p$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = -1$.
$d = -1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,$a + (p - 1)(-1) = q$,जिससे $a = p + q - 1$ प्राप्त होता है।
अब,$r$ वाँ पद $T_r = a + (r - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ और $d$ के मान रखने पर,$T_r = (p + q - 1) + (r - 1)(-1) = p + q - 1 - r + 1 = p + q - r$.
अतः,$r$ वाँ पद $p + q - r$ है।

(A) दी गई श्रेणी $3 \cdot 8 + 6 \cdot 11 + 9 \cdot 14 + 12 \cdot 17 + \dots$ है।
प्रथम गुणनखंड $3, 6, 9, 12, \dots$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी में हैं और इनका ${n^{th}}$ पद $3n$ है।
द्वितीय गुणनखंड $8, 11, 14, 17, \dots$ हैं,जो एक समांतर श्रेणी में हैं और इनका ${n^{th}}$ पद $8 + (n - 1)3 = 3n + 5$ है।
अतः,दी गई श्रेणी का ${n^{th}}$ पद $T_n = 3n(3n + 5)$ होगा।

(B) मान लीजिए $S_2$ उन पूर्णांकों का योग है जो $2$ से विभाज्य हैं,$S_5$ उन पूर्णांकों का योग है जो $5$ से विभाज्य हैं,और $S_{10}$ उन पूर्णांकों का योग है जो $2$ और $5$ दोनों से विभाज्य हैं (अर्थात $10$ से विभाज्य)।
$S_2 = 2 + 4 + \dots + 100 = \frac{50}{2}(2 + 100) = 25 \times 102 = 2550$.
$S_5 = 5 + 10 + \dots + 100 = \frac{20}{2}(5 + 100) = 10 \times 105 = 1050$.
$S_{10} = 10 + 20 + \dots + 100 = \frac{10}{2}(10 + 100) = 5 \times 110 = 550$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Principle of Inclusion-Exclusion) के अनुसार,अभीष्ट योग $S_2 + S_5 - S_{10} = 2550 + 1050 - 550 = 3050$ है।

(C) प्रथम श्रेणी $63 + 65 + 67 + 69 + \dots$ के लिए,प्रथम पद $a_1 = 63$ और सार्व अंतर $d_1 = 2$ है। $m^{th}$ पद $T_m = a_1 + (m-1)d_1 = 63 + (m-1)2 = 2m + 61$ है।
दूसरी श्रेणी $3 + 10 + 17 + 24 + \dots$ के लिए,प्रथम पद $a_2 = 3$ और सार्व अंतर $d_2 = 7$ है। $m^{th}$ पद $T_m = a_2 + (m-1)d_2 = 3 + (m-1)7 = 7m - 4$ है।
दिया गया है कि $m^{th}$ पद समान हैं:
$2m + 61 = 7m - 4$
$61 + 4 = 7m - 2m$
$65 = 5m$
$m = 13$.

(B) दी गई श्रेणी $\sqrt{2} + \sqrt{8} + \sqrt{18} + \sqrt{32} + \dots$ है।
इसे $1\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + \dots$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $n$-वाँ पद $a_n = n\sqrt{2}$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} k\sqrt{2} = \sqrt{2} \sum_{k=1}^{n} k$ है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$।
$n = 24$ के लिए,योग $S_{24} = \sqrt{2} \times \frac{24 \times 25}{2}$ है।
$S_{24} = \sqrt{2} \times 12 \times 25 = 300\sqrt{2}$।

(C) दिया गया है कि $2x, x + 8, 3x + 1$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
तीन पदों $a, b, c$ के $A.P.$ में होने के लिए,मध्य पद को $b = \frac{a + c}{2}$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$x + 8 = \frac{(2x) + (3x + 1)}{2}$.
$x + 8 = \frac{5x + 1}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2(x + 8) = 5x + 1$.
$2x + 16 = 5x + 1$.
$16 - 1 = 5x - 2x$.
$15 = 3x$.
$x = \frac{15}{3} = 5$.

(D) दिया गया है कि $n$ पदों का योग $S_n = nA + n^2B$ है।
$A.P.$ के पदों को ज्ञात करने के लिए,हम संबंध $T_n = S_n - S_{n-1}$ का उपयोग करते हैं।
$n=1$ के लिए,$T_1 = S_1 = A(1) + (1)^2B = A + B$ है।
$n=2$ के लिए,$S_2 = A(2) + (2)^2B = 2A + 4B$ है।
अतः,$T_2 = S_2 - S_1 = (2A + 4B) - (A + B) = A + 3B$ है।
सार्व अंतर $d = T_2 - T_1$ द्वारा प्राप्त होता है।
$d = (A + 3B) - (A + B) = 2B$ है।
इसलिए,सार्व अंतर $2B$ है।

(B) $A.P.$ का $n$ वाँ पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T_9 = a + 8d = 35$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है $T_{19} = a + 18d = 75$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(a + 18d) - (a + 8d) = 75 - 35$
$10d = 40$
$d = 4$।
$d = 4$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$a + 8(4) = 35$
$a + 32 = 35$
$a = 3$।
$20$ वाँ पद $T_{20} = a + 19d$ है।
$T_{20} = 3 + 19(4) = 3 + 76 = 79$।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$,जिसका अर्थ है $b = \frac{a + c}{2}$।
इस मान को व्यंजक $\frac{(a - c)^2}{(b^2 - ac)}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(a - c)^2}{(\frac{a + c}{2})^2 - ac} = \frac{(a - c)^2}{\frac{a^2 + c^2 + 2ac}{4} - ac}$
$= \frac{(a - c)^2}{\frac{a^2 + c^2 + 2ac - 4ac}{4}} = \frac{4(a - c)^2}{a^2 + c^2 - 2ac}$
$= \frac{4(a - c)^2}{(a - c)^2} = 4$।
वैकल्पिक रूप से,मान लीजिए $a = 1, b = 2, c = 3$। ये $A.P.$ में हैं।
व्यंजक का मान $\frac{(1 - 3)^2}{(2^2 - 1 \times 3)} = \frac{(-2)^2}{4 - 3} = \frac{4}{1} = 4$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\log_3 2, \log_3(2^x - 5)$ और $\log_3(2^x - \frac{7}{2})$ $A.P.$ में हैं।
$A.P.$ के गुणधर्म के अनुसार,$2b = a + c$:
$2 \log_3(2^x - 5) = \log_3 2 + \log_3(2^x - \frac{7}{2})$
$\log$ के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$(2^x - 5)^2 = 2(2^x - \frac{7}{2})$
$2^x = y$ रखने पर,$(y - 5)^2 = 2y - 7$
$y^2 - 12y + 32 = 0$
$(y - 8)(y - 4) = 0$
अतः,$y = 8$ या $y = 4$ है।
यदि $2^x = 8$,तो $x = 3$ है।
यदि $2^x = 4$,तो $x = 2$ है।
लघुगणकीय पदों की परिभाषा के अनुसार,$x = 2$ संभव नहीं है क्योंकि $\log_3(-1)$ परिभाषित नहीं है।
अतः,$x = 3$ सही उत्तर है।

(C) माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $D$ है।
$p^{th}$ पद $A + (p - 1)D = a$ $(i)$
$q^{th}$ पद $A + (q - 1)D = b$ $(ii)$
$r^{th}$ पद $A + (r - 1)D = c$ $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ से:
$a - b = (p - q)D$
$b - c = (q - r)D$
$c - a = (r - p)D$
अब,व्यंजक $E = a(q - r) + b(r - p) + c(p - q)$ पर विचार करें।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$E = a\left(\frac{b - c}{D}\right) + b\left(\frac{c - a}{D}\right) + c\left(\frac{a - b}{D}\right)$
$E = \frac{1}{D} [ab - ac + bc - ab + ca - bc] = 0$.

(A) माना कि दो $A.P.$ के $n^{th}$ पद $a_n = 3n + 8$ और $b_n = 7n + 15$ हैं।
$12^{th}$ पद के लिए,दोनों व्यंजकों में $n = 12$ रखें।
$a_{12} = 3(12) + 8 = 36 + 8 = 44$.
$b_{12} = 7(12) + 15 = 84 + 15 = 99$.
उनके $12^{th}$ पदों का अनुपात $\frac{a_{12}}{b_{12}} = \frac{44}{99}$ है।
अंश और हर को $11$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{44 \div 11}{99 \div 11} = \frac{4}{9}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $D$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ का सार्व अंतर है।
अतः,पद $a, a+D, a+2D, a+3D, a+4D$ हैं।
इन मानों को व्यंजक $a - 4b + 6c - 4d + e$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= a - 4(a + D) + 6(a + 2D) - 4(a + 3D) + (a + 4D)$
$= a - 4a - 4D + 6a + 12D - 4a - 12D + a + 4D$
$= (a - 4a + 6a - 4a + a) + (-4D + 12D - 12D + 4D)$
$= 0a + 0D = 0$.

(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है। $n$ वां पद $T_n = a + (n - 1)d$ है।
दिया है: $p \cdot T_p = q \cdot T_q$
$p\{a + (p - 1)d\} = q\{a + (q - 1)d\}$
$ap + p(p - 1)d = aq + q(q - 1)d$
$a(p - q) + d\{p^2 - p - q^2 + q\} = 0$
$a(p - q) + d\{(p^2 - q^2) - (p - q)\} = 0$
$a(p - q) + d\{(p - q)(p + q) - (p - q)\} = 0$
चूंकि $p \neq q$,हम $(p - q)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$a + d(p + q - 1) = 0$
यह व्यंजक $(p + q)$ वें पद $T_{p+q} = a + (p + q - 1)d$ को दर्शाता है।
अतः,$T_{p+q} = 0$.

(A) माना कि दो समांतर श्रेणियों के प्रथम पद $a_1$ और $a_2$ हैं और सार्व अंतर $d_1$ और $d_2$ हैं।
दिया गया है कि $n$ पदों के योग का अनुपात: $\frac{S_{n_1}}{S_{n_2}} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$.
सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n - 1)d_2]} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$
$\frac{a_1 + \frac{n - 1}{2}d_1}{a_2 + \frac{n - 1}{2}d_2} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$.
$13$ वें पद का अनुपात प्राप्त करने के लिए,हमें $\frac{a_1 + 12d_1}{a_2 + 12d_2}$ के रूप की आवश्यकता है।
$\frac{n - 1}{2} = 12$ रखने पर,$n - 1 = 24$,अतः $n = 25$.
$n = 25$ रखने पर:
$\frac{T_{13_1}}{T_{13_2}} = \frac{2(25) + 3}{6(25) + 5} = \frac{50 + 3}{150 + 5} = \frac{53}{155}$.

(C) माना $A.P.$ का प्रथम पद $A$ है और सार्व अंतर $D$ है।
$m^{th}$ पद $a_m = A + (m - 1)D$ द्वारा दिया जाता है।
$(m+k)^{th}$ पद $a_{m+k} = A + (m + k - 1)D$ है।
$(m-k)^{th}$ पद $a_{m-k} = A + (m - k - 1)D$ है।
इन दोनों पदों को जोड़ने पर:
$a_{m+k} + a_{m-k} = [A + (m + k - 1)D] + [A + (m - k - 1)D]$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2A + (m + k - 1 + m - k - 1)D$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2A + (2m - 2)D$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2[A + (m - 1)D]$
$a_{m+k} + a_{m-k} = 2a_m$
अतः,$a_m = \frac{a_{m+k} + a_{m-k}}{2}$.

(C) मान लीजिए प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $T_m = a + (m - 1)d = \frac{1}{n}$ और $T_n = a + (n - 1)d = \frac{1}{m}$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(m - n)d = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} = \frac{m - n}{mn}$ प्राप्त होता है।
अतः,$d = \frac{1}{mn}$ है।
पहले समीकरण में $d$ का मान रखने पर: $a + (m - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{n} \implies a + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{1}{n} \implies a = \frac{1}{mn}$ है।
अब,$T_{mn} = a + (mn - 1)d = \frac{1}{mn} + (mn - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1 + mn - 1}{mn} = \frac{mn}{mn} = 1$ है।

(D) माना कि $A.P.$ का सार्व अंतर $k$ है।
तब,$b = a + k$,$c = a + 2k$,$d = a + 3k$,और $e = a + 4k$ है।
इन मानों को व्यंजक $a + b + 4c - 4d + e$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= a + (a + k) + 4(a + 2k) - 4(a + 3k) + (a + 4k)$
$= a + a + k + 4a + 8k - 4a - 12k + a + 4k$
$= (a + a + 4a - 4a + a) + (k + 8k - 12k + 4k)$
$= 3a + k$
चूंकि परिणाम सार्व अंतर $k$ पर निर्भर करता है,इसलिए मान को केवल $a$ के पदों में व्यक्त करना संभव नहीं है।

(C) माना $S_n$ और $S'_n$ दो $A.P.$ के $n$ पदों के योग हैं,जिनके प्रथम पद $a, a'$ और सार्व अंतर $d, d'$ हैं।
दिया गया है $\frac{S_n}{S'_n} = \frac{\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]}{\frac{n}{2}[2a' + (n - 1)d']} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$.
इसे सरल करने पर $\frac{a + \frac{n-1}{2}d}{a' + \frac{n-1}{2}d'} = \frac{7n + 1}{4n + 27}$ प्राप्त होता है।
$11$ वें पद का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हमें $\frac{a + 10d}{a' + 10d'}$ का मान चाहिए।
$\frac{n-1}{2} = 10$ रखने पर,$n-1 = 20$,अतः $n = 21$.
$n = 21$ रखने पर:
$\frac{T_{11}}{T'_{11}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{147 + 1}{84 + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3}$.
अतः,अनुपात $4:3$ है।

(D) दी गई श्रेणी $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \dots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{1}{2}$ है।
सार्व अंतर $d = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$ है।
पदों की संख्या $n = 9$ है।
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ है।
मान रखने पर:
$S_9 = \frac{9}{2} [2(\frac{1}{2}) + (9-1)(-\frac{1}{6})]$
$S_9 = \frac{9}{2} [1 + 8(-\frac{1}{6})]$
$S_9 = \frac{9}{2} [1 - \frac{4}{3}]$
$S_9 = \frac{9}{2} [-\frac{1}{3}] = -\frac{3}{2}$.

(C) माना बहुभुज की भुजाओं की संख्या $n$ है।
$n$ भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $(n - 2) \times 180^o$ होता है।
चूंकि कोण $A.P.$ में हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 120^o$ और सार्व अंतर $d = 5^o$ है,इसलिए योग $\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{n}{2}[2(120) + (n - 1)5] = (n - 2)180$
$n[240 + 5n - 5] = 360(n - 2)$
$5n^2 + 235n = 360n - 720$
$5n^2 - 125n + 720 = 0$
$5$ से भाग देने पर:
$n^2 - 25n + 144 = 0$
$(n - 9)(n - 16) = 0$
अतः,$n = 9$ या $n = 16$ है।
यदि $n = 16$ है,तो सबसे बड़ा कोण $T_{16} = a + 15d = 120^o + 15(5^o) = 195^o$ होगा।
चूंकि उत्तल बहुभुज का आंतरिक कोण $180^o$ से कम होना चाहिए,इसलिए $n = 16$ संभव नहीं है।
अतः,भुजाओं की संख्या $n = 9$ है।

(C) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $p^{th}$ पद $T_p = a + (p - 1)d = \frac{1}{q}$ $(i)$
और $q^{th}$ पद $T_q = a + (q - 1)d = \frac{1}{p}$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$(p - q)d = \frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{p - q}{pq}$
अतः,$d = \frac{1}{pq}$।
$d$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$a + (p - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q} \implies a = \frac{1}{q} - \frac{p - 1}{pq} = \frac{p - p + 1}{pq} = \frac{1}{pq}$।
$pq$ पदों का योग $S_{pq} = \frac{pq}{2} [2a + (pq - 1)d]$।
$S_{pq} = \frac{pq}{2} [\frac{2}{pq} + (pq - 1)\frac{1}{pq}] = \frac{pq}{2} [\frac{2 + pq - 1}{pq}] = \frac{pq + 1}{2}$।

(D) प्राकृतिक संख्याओं का अनुक्रम $1, 2, 3, 4, \dots, n$ है,जो एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाता है,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 1$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
सूत्र में $a = 1$ और $d = 1$ का मान रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)(1)]$
$S_n = \frac{n}{2}[2 + n - 1]$
$S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.

(A) दिया है: प्रथम पद $a = 2$,सार्व अंतर $d = 4$,और पदों की संख्या $n = 40$ है।
$A.P.$ के $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
मान रखने पर:
$S_{40} = \frac{40}{2}[2(2) + (40 - 1)4]$
$S_{40} = 20[4 + 39 \times 4]$
$S_{40} = 20[4 + 156]$
$S_{40} = 20 \times 160 = 3200$.

(C) दिया गया है कि प्रथम पद $A = a$ और द्वितीय पद $A + d = b$ है।
सार्व अंतर $d = b - a$ है।
अंतिम पद $l = 2a$ है। अंतिम पद का सूत्र $l = A + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $2a = a + (n - 1)(b - a)$.
$a = (n - 1)(b - a) \implies n - 1 = \frac{a}{b - a} \implies n = \frac{a}{b - a} + 1 = \frac{b}{b - a}$.
$A.P.$ का योग $S_n = \frac{n}{2}(A + l)$ है।
$S_n = \frac{b}{2(b - a)}(a + 2a) = \frac{3ab}{2(b - a)}$.

(C) प्रथम $n$ सम संख्याओं का योग समांतर श्रेणी $2, 4, 6, \dots, 2n$ द्वारा दिया जाता है।
योग $S_{E} = \frac{n}{2}(2 + 2n) = n(n + 1)$.
प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग समांतर श्रेणी $1, 3, 5, \dots, (2n - 1)$ द्वारा दिया जाता है।
योग $S_{O} = \frac{n}{2}(1 + 2n - 1) = \frac{n}{2}(2n) = n^2$.
योग का अनुपात $\frac{S_{E}}{S_{O}} = \frac{n(n + 1)}{n^2} = \frac{n + 1}{n}$ है।
अतः,अनुपात $(n + 1):n$ है।

(A) दिया गया है कि $a_1, a_2, a_3, ......., a_n$ एक $A.P.$ में हैं जिसका सार्व अंतर $d = a_{i+1} - a_i$ है।
हम जानते हैं कि $a_n = a_1 + (n - 1)d$,जिसका अर्थ है $d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$।
प्रत्येक पद का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}} = \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{a_{i+1} - a_i} = \frac{\sqrt{a_{i+1}} - \sqrt{a_i}}{d}$।
$i = 1$ से $n-1$ तक के पदों का योग करने पर:
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{a_i} + \sqrt{a_{i+1}}} = \frac{1}{d} ((\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + ....... + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}}))$।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,जो सरल होकर प्राप्त होती है:
$\frac{1}{d} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})$।
$d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{n - 1}{a_n - a_1} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}) = \frac{n - 1}{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}) = \frac{n - 1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}}$।

(B) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अंतर $d = 5 - 2 = 3$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है।
$A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$S_n = 60100$ दिया गया है,इसलिए:
$60100 = \frac{n}{2} \{2(2) + (n - 1)3\}$
$120200 = n(4 + 3n - 3)$
$120200 = n(3n + 1)$
$3n^2 + n - 120200 = 0$
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-120200)}}{6}$
$n = \frac{-1 \pm 1201}{6}$
चूँकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = \frac{1200}{6} = 200$.
अतः,पदों की संख्या $200$ है।

(B) $1$ और $100$ के बीच $3$ के गुणज वाली प्राकृतिक संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $3, 6, 9, \dots, 99$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$,सार्व अंतर $d = 3$,और अंतिम पद $l = 99$ है।
पदों की संख्या $n$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हैं:
$99 = 3 + (n - 1)3$
$96 = (n - 1)3$
$32 = n - 1$
$n = 33$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n$ ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है:
$S_{33} = \frac{33}{2}(3 + 99)$
$S_{33} = \frac{33}{2}(102)$
$S_{33} = 33 \times 51 = 1683$.

(C) दी गई श्रेणी $1, 3, 5, 7, \dots$ एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है,जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 3 - 1 = 2$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}$ है।
$a = 1$ और $d = 2$ का मान रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2} \{2(1) + (n - 1)2\}$
$S_n = \frac{n}{2} \{2 + 2n - 2\}$
$S_n = \frac{n}{2} \{2n\}$
$S_n = n^2$.

(A) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जिसका प्रथम पद $a = 54$ और सार्व अंतर $d = 51 - 54 = -3$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}$ द्वारा दिया जाता है।
$S_n = 513$ दिया गया है,अतः:
$513 = \frac{n}{2} \{2(54) + (n - 1)(-3)\}$
$1026 = n(108 - 3n + 3)$
$1026 = n(111 - 3n)$
$3n^2 - 111n + 1026 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$n^2 - 37n + 342 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(n - 18)(n - 19) = 0$
अतः,$n = 18$ या $n = 19$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $S_n = 2n^2 + 5n$.
$n^{th}$ पद $T_n$ ज्ञात करने का सूत्र $T_n = S_n - S_{n-1}$ है ($n > 1$ के लिए)।
$T_n = (2n^2 + 5n) - [2(n-1)^2 + 5(n-1)]$
$T_n = 2n^2 + 5n - [2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5]$
$T_n = 2n^2 + 5n - [2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5]$
$T_n = 2n^2 + 5n - [2n^2 + n - 3]$
$T_n = 2n^2 + 5n - 2n^2 - n + 3$
$T_n = 4n + 3$.
अतः,$n^{th}$ पद $4n + 3$ है।

(D) दिया गया है कि $A.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = 3n - 1$ है।
प्रथम पाँच पद ज्ञात करने के लिए,$n = 1, 2, 3, 4, 5$ प्रतिस्थापित करें:
$T_1 = 3(1) - 1 = 2$
$T_2 = 3(2) - 1 = 5$
$T_3 = 3(3) - 1 = 8$
$T_4 = 3(4) - 1 = 11$
$T_5 = 3(5) - 1 = 14$
प्रथम पाँच पदों का योग $S_5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40$ है।
वैकल्पिक रूप से,$n$ पदों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k - 1) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \frac{n(n+1)}{2} - n$
$n = 5$ के लिए:
$S_5 = \frac{3 \times 5 \times 6}{2} - 5 = 45 - 5 = 40$.

(C) दिया गया है कि प्रथम पद $a = 10$,अंतिम पद $l = 50$ और योग $S = 300$ है।
$A.P.$ के योग का सूत्र $S = \frac{n}{2}(a + l)$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$300 = \frac{n}{2}(10 + 50)$
$300 = \frac{n}{2}(60)$
$300 = n \times 30$
$n = \frac{300}{30} = 10$.
अतः,पदों की संख्या $10$ है।

(A) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 20$ और सार्व अंतर $d = 19\frac{1}{3} - 20 = -\frac{2}{3}$ है।
श्रेणी का $n$-वां पद $a_n = a + (n - 1)d = 20 + (n - 1)\left( -\frac{2}{3} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
योग अधिकतम होने के लिए,हम श्रेणी के सभी धनात्मक पदों पर विचार करते हैं,अर्थात $a_n \ge 0$।
$20 - \frac{2}{3}(n - 1) \ge 0$
$20 \ge \frac{2}{3}(n - 1)$
$30 \ge n - 1$
$n \le 31$।
अतः,प्रथम $31$ पदों का योग अधिकतम है।
$S_{31} = \frac{31}{2} [2a + (31 - 1)d] = \frac{31}{2} [2(20) + 30(-\frac{2}{3})]$
$S_{31} = \frac{31}{2} [40 - 20] = \frac{31}{2} \times 20 = 310$।

(A) $100$ और $1000$ के बीच $9$ से विभाज्य संख्याएँ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाती हैं।
प्रथम पद $a = 108$ और अंतिम पद $l = 999$ है।
सार्व अंतर $d = 9$ है।
पदों की संख्या $n$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करते हैं:
$999 = 108 + (n - 1)9$
$891 = (n - 1)9$
$n - 1 = 99$
$n = 100$.
योग $S_n$ सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा प्राप्त होता है:
$S_{100} = \frac{100}{2}(108 + 999)$
$S_{100} = 50 \times 1107 = 55350$.

(C) दिया गया है कि $\frac{S_m}{S_n} = \frac{m^2}{n^2}$.
हम जानते हैं कि $S_m = \frac{m}{2}[2a + (m-1)d]$.
अतः,$\frac{\frac{m}{2}[2a + (m-1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n-1)d]} = \frac{m^2}{n^2}$.
$\Rightarrow \frac{2a + (m-1)d}{2a + (n-1)d} = \frac{m}{n}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$n[2a + (m-1)d] = m[2a + (n-1)d]$.
$2an + n(m-1)d = 2am + m(n-1)d$.
$2an - 2am = m(n-1)d - n(m-1)d$.
$2a(n-m) = d[mn - m - mn + n] = d(n-m)$.
इस प्रकार,$d = 2a$.
$m^{th}$ और $n^{th}$ पद का अनुपात $\frac{T_m}{T_n} = \frac{a + (m-1)d}{a + (n-1)d}$ है।
$d = 2a$ रखने पर,हमें $\frac{a + (m-1)2a}{a + (n-1)2a} = \frac{a(1 + 2m - 2)}{a(1 + 2n - 2)} = \frac{2m-1}{2n-1}$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई श्रेणी $\sum\limits_{r = 1}^n {\log \left( {\frac{{{a^r}}}{{{b^{r - 1}}}}} \right)} = \log a + \log \left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right) + \log \left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) + \dots + \log \left( {\frac{{{a^n}}}{{{b^{n - 1}}}}} \right)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है जहाँ प्रथम पद $A = \log a$ और अंतिम पद $L = \log \left( {\frac{{{a^n}}}{{{b^{n - 1}}}}} \right)$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}(A + L)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$S_n = \frac{n}{2} \left[ \log a + \log \left( {\frac{{{a^n}}}{{{b^{n - 1}}}}} \right) \right]$।
$\log x + \log y = \log(xy)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$S_n = \frac{n}{2} \log \left( a \cdot \frac{{{a^n}}}{{{b^{n - 1}}}} \right) = \frac{n}{2} \log \left( {\frac{{{a^{n + 1}}}}{{{b^{n - 1}}}}} \right)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + \dots + (x + 28) = 155$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = x + 1$,सार्व अंतर $d = 3$ और अंतिम पद $l = x + 28$ है।
माना पदों की संख्या $n$ है। $n$ वें पद का सूत्र $l = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $x + 28 = (x + 1) + (n - 1)3$.
$27 = (n - 1)3$ $\Rightarrow n - 1 = 9$ $\Rightarrow n = 10$.
समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है।
मान रखने पर: $\frac{10}{2}[(x + 1) + (x + 28)] = 155$.
$5(2x + 29) = 155$.
$2x + 29 = 31$.
$2x = 2 \Rightarrow x = 1$.

(C) $4$ से विभाजित करने पर $1$ शेषफल देने वाली दो अंकों की संख्याएँ $4k + 1$ के रूप में होती हैं।
इस रूप की सबसे छोटी दो अंकों की संख्या $13$ $(4 \times 3 + 1)$ है और सबसे बड़ी संख्या $97$ $(4 \times 24 + 1)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है जिसका प्रथम पद $a = 13$,अंतिम पद $l = 97$ और सार्व अंतर $d = 4$ है।
$n$-वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर: $l = a + (n - 1)d$
$97 = 13 + (n - 1)4$
$84 = (n - 1)4$
$n - 1 = 21$
$n = 22$
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{22} = \frac{22}{2}(13 + 97) = 11(110) = 1210$.

(C) समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $S_{2n} - S_n$ का मान ज्ञात करना है:
$S_{2n} - S_n = \frac{2n}{2}\{2a + (2n - 1)d\} - \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$
$= n\{2a + 2nd - d\} - \frac{n}{2}\{2a + nd - d\}$
$= \frac{n}{2}\{4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d\}$
$= \frac{n}{2}\{2a + 3nd - d\} = \frac{n}{2}\{2a + (3n - 1)d\}$
अब,$S_{3n} = \frac{3n}{2}\{2a + (3n - 1)d\}$ है।
अतः,$S_{2n} - S_n = \frac{1}{3} \times \frac{3n}{2}\{2a + (3n - 1)d\} = \frac{1}{3}S_{3n}$।

(A) समांतर श्रेणी के प्रथम $k$ पदों का योग $S_k = \frac{k}{2} \{2a + (k - 1)d\}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,अनुपात $\frac{S_{kn}}{S_n}$ इस प्रकार है:
$\frac{S_{kn}}{S_n} = \frac{\frac{kn}{2} \{2a + (kn - 1)d\}}{\frac{n}{2} \{2a + (n - 1)d\}}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$= k \left\{ \frac{2a + knd - d}{2a + nd - d} \right\} = k \left\{ \frac{(2a - d) + knd}{(2a - d) + nd} \right\}$
इस व्यंजक के $n$ से स्वतंत्र होने के लिए,$(2a - d)$ का मान $0$ होना चाहिए।
यदि $2a - d = 0$ है,तो व्यंजक:
$= k \left\{ \frac{knd}{nd} \right\} = k^2$
चूंकि $k^2$,$n$ से स्वतंत्र है,इसलिए शर्त $2a - d = 0$ है।