Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{13}{12}$.
ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{(x+1)(x+2) + x(x+2) + x(x+1)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{13}{12}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{(x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 2x) + (x^2 + x)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{13}{12}$.
$\frac{3x^2 + 6x + 2}{x^3 + 3x^2 + 2x} = \frac{13}{12}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$12(3x^2 + 6x + 2) = 13(x^3 + 3x^2 + 2x)$.
$36x^2 + 72x + 24 = 13x^3 + 39x^2 + 26x$.
ઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા:
$13x^3 + 3x^2 - 46x - 24 = 0$.
રેશનલ રૂટ થિયરમનો ઉપયોગ કરીને ચકાસતા,$x=2$ એ ઉકેલ છે:
$13(8) + 3(4) - 46(2) - 24 = 104 + 12 - 92 - 24 = 0$.
$(x-2)$ વડે ભાગતા $(x-2)(13x^2 + 29x + 12) = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $13x^2 + 29x + 12 = 0$ નો વિવેચક $D = 217$ છે,જે પૂર્ણવર્ગ નથી,તેથી અન્ય ઉકેલો પૂર્ણાંક નથી.
આમ,માત્ર એક જ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલ $x=2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^2-4x+[x]+3=x[x]$
પદોને ગોઠવતા: $x^2-4x+3=x[x]-[x]$
ડાબી બાજુના અવયવ પાડતા: $(x-1)(x-3)=[x](x-1)$
આ સૂચવે છે કે: $(x-1)(x-3-[x]) = 0$
તેથી,$x=1$ અથવા $x-3=[x]$
$x-3=[x]$ માટે,આપણને $x-[x]=3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\}=3$.
અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\}$ એ $0 \le \{x\} < 1$ નું પાલન કરતું હોવાથી,$\{x\}=3$ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,એકમાત્ર ઉકેલ $x=1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $3(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) + 5 = 0$
ધારો કે $t = x + \frac{1}{x}$. તેથી $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3(t^2 - 2) - 2t + 5 = 0$
$3t^2 - 6 - 2t + 5 = 0$
$3t^2 - 2t - 1 = 0$
અવયવ પાડતા: $3t^2 - 3t + t - 1 = 0 \Rightarrow 3t(t - 1) + 1(t - 1) = 0$
$(3t + 1)(t - 1) = 0$,તેથી $t = 1$ અથવા $t = -\frac{1}{3}$.
કિસ્સો $1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$. વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 3x^2 + x + 3 = 0$. વિવેચક $D = (1)^2 - 4(3)(3) = 1 - 36 = -35 < 0$. કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\log_2(9^{2\alpha-4} + 13) - \log_2(\frac{5}{2} \cdot 3^{2\alpha-4} + 1) = 2$.
ધારો કે $y = 3^{2\alpha-4}$. તેથી $9^{2\alpha-4} = y^2$.
સમીકરણ $\log_2(\frac{y^2 + 13}{\frac{5}{2}y + 1}) = 2$ બને છે.
$\frac{y^2 + 13}{\frac{5}{2}y + 1} = 4 \implies y^2 + 13 = 10y + 4$.
$y^2 - 10y + 9 = 0 \implies (y-1)(y-9) = 0$.
તેથી $y = 1$ અથવા $y = 9$.
જો $3^{2\alpha-4} = 1$,તો $2\alpha-4 = 0 \implies \alpha = 2$.
જો $3^{2\alpha-4} = 9$,તો $2\alpha-4 = 2 \implies \alpha = 3$.
આમ,$S = \{2, 3\}$.
$\sum_{\alpha \in S} \alpha = 2 + 3 = 5$.
$\sum_{\alpha \in S} (\alpha+1)^2 = (2+1)^2 + (3+1)^2 = 9 + 16 = 25$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2(5)^2 x + 25\beta = 0$ છે,જે $x^2 - 50x + 25\beta = 0$ થાય.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (-50)^2 - 4(1)(25\beta) = 2500 - 100\beta \geq 0$.
$100\beta \leq 2500 \implies \beta \leq 25$.
$\beta$ ની મહત્તમ કિંમત $25$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^7+3x^5-13x^3-15x=0$ છે.
$x$ સામાન્ય લેતા,$x(x^6+3x^4-13x^2-15)=0$ મળે.
ધારો કે $t = x^2$. સમીકરણ $t^3+3t^2-13t-15=0$ બને છે.
કિંમતો ચકાસતા,$t=-1$ એ બીજ છે: $(-1)^3+3(-1)^2-13(-1)-15 = 0$.
$(t+1)$ વડે ભાગતા,$(t+1)(t^2+2t-15)=0$ મળે,જેનું અવયવીકરણ $(t+1)(t+5)(t-3)=0$ થાય છે.
આમ,$x^2 = -1, -5, 3$.
બીજ $x = 0, \pm i, \pm i\sqrt{5}, \pm \sqrt{3}$ છે.
માનાંક $|0|=0, |\pm i|=1, |\pm i\sqrt{5}|=\sqrt{5}, |\pm \sqrt{3}|=\sqrt{3}$ છે.
માનાંક મુજબ ક્રમમાં ગોઠવતા: $|\alpha_1| = |\alpha_2| = \sqrt{5}$,$|\alpha_3| = |\alpha_4| = \sqrt{3}$,$|\alpha_5| = |\alpha_6| = 1$,$|\alpha_7| = 0$.
ધારો કે $\alpha_1 = i\sqrt{5}, \alpha_2 = -i\sqrt{5}, \alpha_3 = \sqrt{3}, \alpha_4 = -\sqrt{3}, \alpha_5 = i, \alpha_6 = -i$.
તો $\alpha_1 \alpha_2 - \alpha_3 \alpha_4 + \alpha_5 \alpha_6 = (i\sqrt{5})(-i\sqrt{5}) - (\sqrt{3})(-\sqrt{3}) + (i)(-i) = 5 + 3 + 1 = 9$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{(x-1)(x-3)} + \sqrt{(x-3)(x+3)} = \sqrt{(x-3)(4x-2)}$ છે.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{x-3} = 0 \implies x = 3$.
પ્રદેશ તપાસતા: $\sqrt{x^2-9}$ માટે,$x^2-9 \ge 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $x \ge 3$ અથવા $x \le -3$. $x=3$ માટે,$\sqrt{0} + \sqrt{0} = \sqrt{0}$,જે સત્ય છે. આમ,$x=3$ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{x-3} \neq 0$. $\sqrt{x-3}$ વડે ભાગતા ($x > 3$ ધારતા):
$\sqrt{x-1} + \sqrt{x+3} = \sqrt{4x-2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1) + (x+3) + 2\sqrt{(x-1)(x+3)} = 4x-2$.
$2x + 2 + 2\sqrt{x^2+2x-3} = 4x-2$.
$2\sqrt{x^2+2x-3} = 2x-4$.
$\sqrt{x^2+2x-3} = x-2$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$x^2+2x-3 = x^2-4x+4$.
$6x = 7 \implies x = 7/6$.
કારણ કે $x=7/6$ એ $x \ge 3$ નું પાલન કરતું નથી,તેથી તે અસ્વીકાર્ય છે.
તેથી,માત્ર $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $e^{4x} + 8e^{3x} + 13e^{2x} - 8e^x + 1 = 0$
ધારો કે $e^x = t$. $x \in R$ હોવાથી,$t > 0$.
સમીકરણ $t^4 + 8t^3 + 13t^2 - 8t + 1 = 0$ બને છે.
$t^2$ વડે ભાગતા $(t \neq 0)$:
$t^2 + 8t + 13 - \frac{8}{t} + \frac{1}{t^2} = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$(t^2 + \frac{1}{t^2}) + 8(t - \frac{1}{t}) + 13 = 0$
ધારો કે $z = t - \frac{1}{t}$. તો $z^2 = t^2 + \frac{1}{t^2} - 2$,તેથી $t^2 + \frac{1}{t^2} = z^2 + 2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$(z^2 + 2) + 8z + 13 = 0$
$z^2 + 8z + 15 = 0$
$(z + 3)(z + 5) = 0$
તેથી,$z = -3$ અથવા $z = -5$.
કિસ્સો $1$: $t - \frac{1}{t} = -3 \implies t^2 + 3t - 1 = 0$. ઉકેલ $t = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$. $t > 0$ હોવાથી,$t = \frac{\sqrt{13} - 3}{2}$.
કિસ્સો $2$: $t - \frac{1}{t} = -5 \implies t^2 + 5t - 1 = 0$. ઉકેલ $t = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$. $t > 0$ હોવાથી,$t = \frac{\sqrt{29} - 5}{2}$.
બંને કિસ્સામાં $t < 1$ હોવાથી,$x = \ln(t) < 0$.
આમ,બે ઉકેલો છે અને બંને ઋણ છે.

(B) ધારો કે $t = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{x^2 - 4}$.
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ હોવાથી,$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
તેથી,સમીકરણ $t + \frac{1}{t} = 10$ બને છે.
$t^2 - 10t + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t = 5 \pm 2\sqrt{6}$.
$5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ અને $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$.
કિસ્સો $1$: $x^2 - 4 = 2 \implies x^2 = 6 \implies x = \pm \sqrt{6}$.
કિસ્સો $2$: $x^2 - 4 = -2 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.
આમ,$S = \{ \sqrt{6}, -\sqrt{6}, \sqrt{2}, -\sqrt{2} \}$.
તેથી $n(S) = 4$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ શરતો મુજબ,$\alpha = -1$ અને $\beta \gamma = 1$.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $(-1)^3 + b(-1) + c = 0$,જેનું સાદુંરૂપ $-1 - b + c = 0$ અથવા $c - b = 1$ થાય છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -c$.
$\alpha = -1$ અને $\beta \gamma = 1$ મૂકતા,આપણને $(-1)(1) = -c$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $c = 1$.
$c = 1$ ને $c - b = 1$ માં મૂકતા,આપણને $1 - b = 1$ મળે છે,તેથી $b = 0$.
સમીકરણ $x^3 + 1 = 0$ બને છે.
$x^3 = -1$ ના બીજ $-1, -\omega, -\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = -1, \beta = -\omega, \gamma = -\omega^2$.
આપણે $b^3 + 2c^3 - 3\alpha^3 - 6\beta^3 - 8\gamma^3$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા: $0^3 + 2(1)^3 - 3(-1)^3 - 6(-\omega)^3 - 8(-\omega^2)^3$.
$= 0 + 2 - 3(-1) - 6(-\omega^3) - 8(-\omega^6)$.
$= 2 + 3 + 6(1) + 8(1) = 2 + 3 + 6 + 8 = 19$.

(C) સમીકરણ $x^2+\sqrt{6}x+3=0$ ના બીજ $\alpha, \beta = \sqrt{3} e^{\pm i \frac{3\pi}{4}}$ છે.
$\alpha^n + \beta^n = 2(\sqrt{3})^n \cos\left(\frac{3n\pi}{4}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,
અંશ અને છેદની કિંમતો મેળવતા,અંતિમ જવાબ $81$ મળે છે.

(B) આપણે $x$ ના વિવિધ અંતરાલોને ધ્યાનમાં લઈને સમીકરણ $x|x| - 5|x + 2| + 6 = 0$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $x \ge 0$.
સમીકરણ $x^2 - 5(x + 2) + 6 = 0$ બને છે,જે $x^2 - 5x - 4 = 0$ માં પરિણમે છે.
ઉકેલો $x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$ છે.
$x \ge 0$ હોવાથી,આપણે $x = \frac{5 + \sqrt{41}}{2}$ સ્વીકારીએ છીએ. ($1$ ઉકેલ)
કિસ્સો $2$: $-2 \le x < 0$.
સમીકરણ $-x^2 - 5(x + 2) + 6 = 0$ બને છે,જે $x^2 + 5x + 4 = 0$ માં પરિણમે છે.
અવયવો પાડતા $(x + 1)(x + 4) = 0$ મળે છે,તેથી $x = -1$ અથવા $x = -4$.
$-2 \le x < 0$ હોવાથી,આપણે $x = -1$ સ્વીકારીએ છીએ. ($1$ ઉકેલ)
કિસ્સો $3$: $x < -2$.
સમીકરણ $-x^2 - 5(-(x + 2)) + 6 = 0$ બને છે,જે $x^2 - 5x - 16 = 0$ માં પરિણમે છે.
ઉકેલો $x = \frac{5 \pm \sqrt{89}}{2}$ છે.
$x < -2$ હોવાથી,આપણે $x = \frac{5 - \sqrt{89}}{2}$ સ્વીકારીએ છીએ. ($1$ ઉકેલ)
કુલ વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $1 + 1 + 1 = 3$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin^3 x + (2 \sin x \cos x) \cos x + 4 \sin x - 4 = 0$
$2 \sin^3 x + 2 \sin x \cos^2 x + 4 \sin x - 4 = 0$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ મૂકતા:
$2 \sin^3 x + 2 \sin x (1 - \sin^2 x) + 4 \sin x - 4 = 0$
$2 \sin^3 x + 2 \sin x - 2 \sin^3 x + 4 \sin x - 4 = 0$
$6 \sin x = 4 \implies \sin x = \frac{2}{3}$
અંતરાલ $[0, \frac{n \pi}{2}]$ માં $\sin x = \frac{2}{3}$ ના $3$ ઉકેલો માટે $n = 5$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 5x + 2 = 0$ બને છે.
બીજ $x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}$ છે.
બંને બીજ ઋણ હોવાથી,તે $(-\infty, 0)$ માં આવે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x(x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2|) = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $x = 0$ અથવા $x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2| = 0$.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $f(x) = x^2+3|x|+5|x-1|+6|x-2|$.
ચૂકી $x^2 \ge 0$,$3|x| \ge 0$,$5|x-1| \ge 0$,અને $6|x-2| \ge 0$,તેથી સરવાળો $f(x)$ હંમેશા અ-ઋણ છે.
ચોક્કસ રીતે,$f(x) = 0$ ત્યારે જ શક્ય છે જો બધા પદો એકસાથે શૂન્ય હોય,જે અશક્ય છે કારણ કે $x^2=0 \implies x=0$,પરંતુ $x=0$ પર,$f(0) = 0^2 + 3(0) + 5|0-1| + 6|0-2| = 17 \neq 0$.
આમ,એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 0$ છે.
તેથી,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) ધારો કે $e^{\sin x} = t$. કારણ કે $\sin x \in [-1, 1]$,તેથી $t$ ની કિંમત $[e^{-1}, e^1]$ એટલે કે $[0.368, 2.718]$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ: $t - \frac{2}{t} = 2$.
$t$ વડે ગુણતા: $t^2 - 2t - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
$t > 0$ હોવાથી,$t = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732$ મળે.
આપણે $e^{\sin x} = 1 + \sqrt{3}$ માટે ઉકેલ શોધવાનો છે.
$1 + \sqrt{3} \approx 2.732$ અને $e \approx 2.718$ હોવાથી,$1 + \sqrt{3} > e$ થાય.
$e^{\sin x}$ ની મહત્તમ કિંમત $e^1 = e$ હોવાથી,$e^{\sin x} = 1 + \sqrt{3}$ માટે $x$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ શક્ય નથી.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^x = 10$
નોંધો કે $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$. તેથી,$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.
ધારો કે $t = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^x$. તો સમીકરણ $t + \frac{1}{t} = 10$ બને છે.
$t$ વડે ગુણતા,આપણને $t^2 - 10t + 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$.
કારણ કે $5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ અને $5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$,તેથી $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ અથવા $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^x = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-2}$.
આમ,$x = 2$ અથવા $x = -2$.
તેથી,ગણ $S = \{2, -2\}$,અને $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) ધારો કે $u = \sin^2 2\theta$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - \frac{u}{2}$ અને $\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - \frac{3u}{4}$.
દ્વિઘાત સમીકરણના વાસ્તવિક બીજ માટે વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = u - 4(1 - \frac{u}{2})(1 - \frac{3u}{4}) \ge 0$.
$-\frac{3}{2}u^2 + 6u - 4 \ge 0 \implies 3u^2 - 12u + 8 \le 0$.
$u$ ના મૂલ્યો $[0, 2 - \frac{2}{\sqrt{3}}]$ અંતરાલમાં મળે છે.
તેથી $\alpha = 0$ અને $\beta = 2 - \frac{2}{\sqrt{3}}$.
કિંમત મુકતા,$3((\alpha - 2)^2 + (\beta - 1)^2) = 19 - 4\sqrt{3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $|2a - 1| = 3[a] + 2\{a\}$.
$a = [a] + \{a\}$ હોવાથી,$2\{a\} = 2a - 2[a]$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $|2a - 1| = 3[a] + 2a - 2[a] = [a] + 2a$.
કિસ્સો $1$: $a \ge \frac{1}{2}$.
તો $2a - 1 = [a] + 2a$,જેનો અર્થ છે $[a] = -1$.
$[a] = -1$ હોવાથી,$a \in [-1, 0)$. પરંતુ આ શરત $a \ge \frac{1}{2}$ નો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી,આ કિસ્સામાં કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $a < \frac{1}{2}$.
તો $-(2a - 1) = [a] + 2a$,જે $1 - 2a = [a] + 2a$ અથવા $4a = 1 - [a]$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે $a = I + f$,જ્યાં $I = [a]$ અને $f = \{a\} \in [0, 1)$.
તો $4(I + f) = 1 - I$,તેથી $5I + 4f = 1$.
$0 \le f < 1$ હોવાથી,$0 \le 4f < 4$.
તેથી,$0 \le 1 - 5I < 4$,જેનો અર્થ છે $-3 < 5I \le 1$,તેથી $I \in \{0, -1\}$.
જો $I = 0$,તો $4f = 1 \implies f = \frac{1}{4}$. તેથી $a = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
જો $I = -1$,તો $5(-1) + 4f = 1 \implies 4f = 6 \implies f = 1.5$,જે શક્ય નથી કારણ કે $f < 1$.
તેથી,એકમાત્ર ઉકેલ $a = \frac{1}{4}$ છે.
અંતે,$72 \sum_{a \in S} a = 72 \times \frac{1}{4} = 18$.

(A) આપણે સમીકરણ $|x||x+2|-5|x+1|-1=0$ ને $x$ ના વિવિધ અંતરાલો માટે ઉકેલીએ:
કિસ્સો $1$: $x \geq 0$
સમીકરણ $x(x+2)-5(x+1)-1=0 \implies x^2-3x-6=0$ બને છે.
ઉકેલ $x = \frac{3+\sqrt{33}}{2}$ મળે છે. (એક ઉકેલ)
કિસ્સો $2$: $-1 \leq x < 0$
સમીકરણ $-x^2-7x-6=0 \implies x^2+7x+6=0$ બને છે.
$x=-1$ એ અંતરાલમાં છે. (એક ઉકેલ)
કિસ્સો $3$: $-2 \leq x < -1$
સમીકરણ $x^2-3x-4=0$ બને છે,જેનો કોઈ ઉકેલ આ અંતરાલમાં નથી.
કિસ્સો $4$: $x < -2$
સમીકરણ $x^2+7x+4=0$ બને છે.
$x = \frac{-7-\sqrt{33}}{2}$ એ અંતરાલમાં છે. (એક ઉકેલ)
કુલ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(D) આપણે $x = -5$ અને $x = -7$ બિંદુઓને ધ્યાનમાં રાખીને ત્રણ કિસ્સાઓ દ્વારા સમીકરણ $x|x+5|+2|x+7|-2=0$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
કિસ્સો $I$: $x \geq -5$
સમીકરણ $x(x+5) + 2(x+7) - 2 = 0$ બને છે.
$x^2 + 7x + 12 = 0$
$(x+3)(x+4) = 0$
$x = -3$ અથવા $x = -4$. બંને $x \geq -5$ નું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $II$: $-7 < x < -5$
સમીકરણ $x(-(x+5)) + 2(x+7) - 2 = 0$ બને છે.
$x^2 + 3x - 12 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{2}$.
અહીં $x = \frac{-3 - \sqrt{57}}{2} \approx -5.275$ એ અંતરાલ $(-7, -5)$ માં છે.
કિસ્સો $III$: $x \leq -7$
સમીકરણ $-x^2 - 7x - 16 = 0$ બને છે.
વિવેચક $D = 49 - 64 = -15 < 0$,તેથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કુલ વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(8)^{2x} - 16 \cdot (8)^x + 48 = 0$
ધારો કે $8^x = t$. તેથી સમીકરણ:
$t^2 - 16t + 48 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(t - 4)(t - 12) = 0$
તેથી,$t = 4$ અથવા $t = 12$.
$8^x = t$ પાછું મૂકતા:
$8^x = 4 \implies x = \log_8(4)$
$8^x = 12 \implies x = \log_8(12)$
ઉકેલોનો સરવાળો:
$\log_8(4) + \log_8(12) = \log_8(4 \times 12) = \log_8(48)$
$48 = 8 \times 6$ હોવાથી:
$\log_8(8 \times 6) = \log_8(8) + \log_8(6) = 1 + \log_8(6)$

(B) ધારો કે $f(x) = |x+1||x+3|-4|x+2|+5 = 0$. ધારો કે $t = x+2$. તેથી $x+1 = t-1$ અને $x+3 = t+1$.
સમીકરણ $|t-1||t+1|-4|t|+5 = 0$ બને છે,જે $|t^2-1|-4|t|+5 = 0$ માં પરિણમે છે.
કિસ્સો $1$: $|t| \geq 1$ $(t^2 \geq 1)$
$t^2-1-4|t|+5 = 0 \implies |t|^2-4|t|+4 = 0 \implies (|t|-2)^2 = 0 \implies |t|=2$.
તેથી $t=2$ અથવા $t=-2$. $x=t-2$ હોવાથી,$x=0$ અથવા $x=-4$.
કિસ્સો $2$: $|t| < 1$ $(t^2 < 1)$
$1-t^2-4|t|+5 = 0 \implies t^2+4|t|-6 = 0$.
ધારો કે $u = |t|$,તો $u^2+4u-6=0$. $u = \frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}$.
$u = |t| \geq 0$ હોવાથી,$u = \sqrt{10}-2 \approx 1.16$.
પરંતુ આપણે $u < 1$ ધાર્યું હતું,તેથી આ કિસ્સામાં કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો $x=0$ અને $x=-4$ છે. આમ,ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $2$ છે.

(C) આપેલ છે $-\frac{\pi}{6} < \theta < -\frac{\pi}{12}$.
સમીકરણ $x^2 - 2x \sec \theta + 1 = 0$ માટે,બીજ $\alpha_1, \beta_1 = \sec \theta \pm \tan \theta$ છે.
$\theta \in (-\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{12})$ હોવાથી,$\sec \theta > 0$ અને $\tan \theta < 0$ છે. તેથી,$\alpha_1 = \sec \theta - \tan \theta$.
સમીકરણ $x^2 + 2x \tan \theta - 1 = 0$ માટે,બીજ $\alpha_2, \beta_2 = -\tan \theta \pm \sec \theta$ છે.
$\alpha_2 > \beta_2$ હોવાથી,$\beta_2 = -\tan \theta - \sec \theta$.
તેથી,$\alpha_1 + \beta_2 = (\sec \theta - \tan \theta) + (-\tan \theta - \sec \theta) = -2 \tan \theta$.

(D) આપેલ છે કે $z^2 + z + 1 - a = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$z = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1-a)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}$.
કારણ કે $z$ નો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય નથી,તેથી વિવેચક (discriminant) ઋણ હોવો જોઈએ.
આમ,$4a - 3 < 0$,જેનો અર્થ છે કે $a < \frac{3}{4}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$\frac{3}{4}$ એ $\frac{3}{4}$ થી નાની નથી,તેથી $a$ એ $\frac{3}{4}$ કિંમત ધારણ કરી શકે નહીં.

(D) ધારો કે $p(x) = ax^2 + c$ જ્યાં $a, c \in \mathbb{R}$. બીજ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવાથી,ધારો કે તે $\pm i k$ $(k \neq 0)$ છે.
તેથી $p(ik) = a(ik)^2 + c = -ak^2 + c = 0$,જેનો અર્થ છે કે $c = ak^2$.
આમ,$p(x) = a(x^2 + k^2)$.
હવે,$p(p(x)) = 0$ ધ્યાનમાં લો,જેનો અર્થ છે કે $p(x) = \pm ik$.
$a(x^2 + k^2) = ik$ અથવા $a(x^2 + k^2) = -ik$.
$x^2 + k^2 = \pm \frac{ik}{a}$.
$x^2 = -k^2 \pm \frac{ik}{a}$.
અહીં $k^2$ વાસ્તવિક છે અને $\pm \frac{ik}{a}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેથી $x^2$ એ શૂન્યતર કાલ્પનિક ભાગ ધરાવતી સંકર સંખ્યા છે.
તેથી,$x$ વાસ્તવિક હોઈ શકે નહીં (કારણ કે $x^2$ વાસ્તવિક હોત) અને $x$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોઈ શકે નહીં (કારણ કે $x^2$ વાસ્તવિક હોત).
આમ,બીજ ન તો વાસ્તવિક છે કે ન તો શુદ્ધ કાલ્પનિક છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $\alpha x^2 - x + \alpha = 0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોય તે માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-1)^2 - 4(\alpha)(\alpha) = 1 - 4\alpha^2 > 0$ $\Rightarrow \alpha^2 < \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \alpha \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \setminus \{0\}$.
આપેલ છે કે $|x_1 - x_2| < 1$,તેથી $|x_1 - x_2|^2 < 1$.
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\left(\frac{1}{\alpha}\right)^2 - 4(1) < 1$ મળે છે.
$\frac{1}{\alpha^2} - 4 < 1$ $\Rightarrow \frac{1}{\alpha^2} < 5$ $\Rightarrow \alpha^2 > \frac{1}{5}$.
તેથી,$|\alpha| > \frac{1}{\sqrt{5}}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \in \left(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \infty\right)$.
બંને શરતોને જોડતા,$\alpha \in \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{1}{2}\right)$.
આમ,અંતરાલ $(A)$ અને $(D)$ એ $S$ ના ઉપગણ છે.

(B) શરત $ax^2 + 2bxy + cy^2 > 0$ તમામ $(x, y) \neq (0, 0)$ માટે સૂચવે છે કે દ્વિઘાત સ્વરૂપ ધન નિશ્ચિત છે. આ ત્યારે જ થાય જો $a > 0$ અને વિવેચક $D = (2b)^2 - 4ac < 0$ હોય,જે $b^2 < ac$ માં પરિણમે છે.
$(A) (2, \frac{7}{2}, 6)$ માટે,$a = 2 > 0$ અને $b^2 = (\frac{7}{2})^2 = 12.25$,જ્યારે $ac = 2 \times 6 = 12$. $12.25 > 12$ હોવાથી,$(2, \frac{7}{2}, 6) \notin S$.
$(B) (3, b, \frac{1}{12})$ માટે,આપણને $b^2 < 3 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ ની જરૂર છે. તેથી $|b| < \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે $|2b| < 1$. આ $TRUE$ છે.
$(C)$ જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય તો સમીકરણોની સંહતિનો ઉકેલ અનન્ય હોય છે. નિશ્ચાયક $ac - b^2$ છે. $(a, b, c) \in S$ હોવાથી,$b^2 < ac$,તેથી $ac - b^2 > 0$. આમ,સંહતિનો ઉકેલ અનન્ય છે. આ $TRUE$ છે.
$(D)$ જો નિશ્ચાયક $(a+1)(c+1) - b^2 \neq 0$ હોય તો સંહતિનો ઉકેલ અનન્ય હોય છે. $ac > b^2$ અને $a, c > 0$ હોવાથી,આપણી પાસે $ac + a + c + 1 > b^2 + 1 > 0$ છે. આમ,નિશ્ચાયક હંમેશા ધન રહે છે,જે અનન્ય ઉકેલની ખાતરી આપે છે. આ $TRUE$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $e^{5(\ln x)^2+3} = x^8$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક $(\ln)$ લેતા:
$\ln(e^{5(\ln x)^2+3}) = \ln(x^8)$
$5(\ln x)^2 + 3 = 8 \ln x$
ધારો કે $t = \ln x$. સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$5t^2 - 8t + 3 = 0$
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $t_1$ અને $t_2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 = -(-8)/5 = 8/5$ થાય.
$t = \ln x$ હોવાથી,$\ln x_1 + \ln x_2 = 8/5$ મળે.
$\ln x_1 + \ln x_2 = \ln(x_1 x_2)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\ln(x_1 x_2) = 8/5$
તેથી,ઉકેલોનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = e^{8/5}$ થાય.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = 0$ થાય છે.
તેથી,$x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
બીજ સમાન હોવાથી,બંને બીજ $1$ થશે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{c(a-b)}{a(b-c)} = 1 \times 1 = 1$ થાય.
તેથી,$c(a-b) = a(b-c) \Rightarrow 2ac = b(a+c)$.
$a+c = 15$ અને $b = \frac{36}{5}$ મુકતા,$2ac = \frac{36}{5} \times 15 = 108$ મળે.
તેથી $ac = 54$.
$a^2 + c^2 = (a+c)^2 - 2ac = (15)^2 - 108 = 225 - 108 = 117$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x^2-9x+11)^2-(x^2-9x+20)=3$
ધારો કે $t = x^2-9x$.
સમીકરણમાં $t$ મૂકતા: $(t+11)^2 - (t+20) = 3$
$t^2 + 22t + 121 - t - 20 - 3 = 0$
$t^2 + 21t + 98 = 0$
$(t+14)(t+7) = 0$
તેથી,$t = -7$ અથવા $t = -14$.
કિસ્સો $1$: $x^2-9x = -7 \Rightarrow x^2-9x+7 = 0$. બીજ $x = \frac{9 \pm \sqrt{81-28}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{53}}{2}$ (અસંમેય) છે.
કિસ્સો $2$: $x^2-9x = -14 \Rightarrow x^2-9x+14 = 0$.
$(x-7)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 7, 2$ (સંમેય).
સંમેય બીજનો ગુણાકાર $7 \times 2 = 14$ છે.

(B) ધારો કે $\frac{1}{\sqrt{x}} = \alpha$,જ્યાં $x > 0$.
સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા:
$(9\alpha^2 - 9\alpha + 2)(2\alpha^2 - 7\alpha + 3) = 0$.
દ્વિઘાત પદોના અવયવ પાડતા:
$(3\alpha - 1)(3\alpha - 2)(2\alpha - 1)(\alpha - 3) = 0$.
આથી $\alpha$ ના મૂલ્યો $\alpha = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, 3$ મળે છે.
$\alpha = \frac{1}{\sqrt{x}}$ હોવાથી,$\sqrt{x} = \frac{1}{\alpha}$,તેથી $x = \frac{1}{\alpha^2}$.
દરેક $\alpha$ માટે $x$ ની કિંમત શોધતા:
$\alpha = \frac{1}{3}$ માટે,$x = 9$.
$\alpha = \frac{2}{3}$ માટે,$x = \frac{9}{4}$.
$\alpha = \frac{1}{2}$ માટે,$x = 4$.
$\alpha = 3$ માટે,$x = \frac{1}{9}$.
આ તમામ $x$ ની કિંમતો ધન છે અને $x > 0$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,કુલ $4$ ઉકેલો મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + (a-5)x + (15-3a) = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજ ન હોવા માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (a-5)^2 - 4(2)(15-3a) < 0$
$a^2 - 10a + 25 - 120 + 24a < 0$
$a^2 + 14a - 95 < 0$
$(a+19)(a-5) < 0$
તેથી,$a \in (-19, 5)$,એટલે કે $\alpha = -19$ અને $\beta = 5$.
ગણ $X = \{x \in Z : -19 < x < 5\} = \{-18, -17, \ldots, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$.
આપણે $\sum_{x \in X} x^2 = \sum_{x=-18}^{4} x^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ $(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) + 0^2 + (1^2 + 2^2 + \ldots + 18^2)$ બરાબર છે.
વર્ગોના સરવાળાનું સૂત્ર: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
સરવાળો $= \frac{4(5)(9)}{6} + \frac{18(19)(37)}{6} = 30 + 2109 = 2139$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $(1-a)x^2 + 2(a-3)x + 9 = 0$ ના બીજ ધન હોવા માટેની શરતો:
$1$. વિવેચક $D \geq 0$:
$D = [2(a-3)]^2 - 4(1-a)(9) \geq 0$
$a^2 + 3a \geq 0 \implies a \in (-\infty, -3] \cup [0, \infty)$
$2$. બીજનો સરવાળો $> 0$:
$-\frac{b}{a} = \frac{2(a-3)}{a-1} > 0 \implies a \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
$3$. બીજનો ગુણાકાર $> 0$:
$\frac{c}{a} = \frac{9}{1-a} > 0 \implies a < 1$
બધી શરતોનો છેદગણ લેતા:
$a \in (-\infty, -3] \cup [0, 1)$
$(-\infty, -\alpha] \cup [\beta, \gamma)$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 3, \beta = 0, \gamma = 1$ મળે.
તેથી,$2\alpha + \beta + \gamma = 2(3) + 0 + 1 = 7$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+4x-n=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $x^2+4x+4 = n+4$ મળે,જે $(x+2)^2 = n+4$ માં પરિણમે છે.
બીજ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$n+4$ એક પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા $k^2$ હોવી જોઈએ,જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે.
આપેલ છે કે $20 \leq n \leq 100$,તેથી $24 \leq n+4 \leq 104$.
આમ,$24 \leq k^2 \leq 104$.
આ રેન્જમાં શક્ય પૂર્ણવર્ગો $k^2$ એ $25, 36, 49, 64, 81, 100$ છે.
તદનુસાર,$n = k^2 - 4$ લેતા $n \in \{21, 32, 45, 60, 77, 96\}$ મળે છે.
આમ,$n$ ના $6$ ભિન્ન મૂલ્યો શક્ય છે.

(C) આપણે સમીકરણ $x|x-2|+3|x-3|+1=0$ ને ત્રણ કિસ્સાઓમાં તપાસીએ:
કિસ્સો $(I): x < 2$
સમીકરણ $x(2-x) + 3(3-x) + 1 = 0$ બને છે
$-x^2 + 2x + 9 - 3x + 1 = 0$
$-x^2 - x + 10 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 10 = 0$
ઉકેલો $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$ મળે છે.
અહીં $x = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$ એ $x < 2$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $(II): 2 \leq x < 3$
સમીકરણ $x^2 - 5x + 10 = 0$ બને છે,જેનો વિવેચક $D < 0$ હોવાથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $(III): x \geq 3$
સમીકરણ $x^2 + x - 8 = 0$ બને છે,જેના ઉકેલો $x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$ મળે છે,જે $x \geq 3$ ની શરતનું પાલન કરતા નથી.
આમ,કુલ $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(B) અહીં,વિધેય $f(x) = x^{2} - 78.8$ છે.
તેનું વિકલન $f^{\prime}(x) = 2x$ થાય.
પ્રારંભિક અંદાજ $x_{0} = 14$ છે.
Newton-Raphson સૂત્ર મુજબ,પ્રથમ અંદાજ $x_{1}$ નીચે મુજબ મળે:
$x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f^{\prime}(x_{0})}$
$x_{1} = 14 - \frac{(14)^{2} - 78.8}{2 \times 14}$
$x_{1} = 14 - \frac{196 - 78.8}{28}$
$x_{1} = 14 - \frac{117.2}{28}$
$x_{1} = 14 - 4.1857...$
$x_{1} \approx 9.814$.

(D) ધારો કે બહુપદી $f(x) = ax^{2}+bx+c$ છે.
આપેલ છે કે $f(0)=8$,તેથી $a(0)^{2}+b(0)+c=8$,જેનો અર્થ છે કે $c=8$.
આમ,બહુપદી $f(x) = ax^{2}+bx+8$ છે.
આપેલ છે કે $f(1)=12$,તેથી $a(1)^{2}+b(1)+8=12$,જેનું સાદું રૂપ $a+b=4$ (સમીકરણ $i$) થાય છે.
આપેલ છે કે $f(2)=18$,તેથી $a(2)^{2}+b(2)+8=18$,જેનું સાદું રૂપ $4a+2b=10$ અથવા $2a+b=5$ (સમીકરણ $ii$) થાય છે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા,આપણને $(2a+b)-(a+b) = 5-4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=1$.
$a=1$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $1+b=4$ મળે છે,તેથી $b=3$.
તેથી,જરૂરી બહુપદી $f(x) = x^{2}+3x+8$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(\cos p - 1) x^2 + (\cos p) x + \sin p = 0$ છે.
સમીકરણના વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac \geq 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$a = \cos p - 1$,$b = \cos p$,અને $c = \sin p$ છે.
વિવેચકની શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$(\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \geq 0$
$\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \geq 0$
અહીં $\cos p - 1 \neq 0$ હોવાથી,$\cos p \neq 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $p \neq 2n\pi$.
$p \in (0, \pi)$ માટે,$\sin p > 0$ અને $\cos p - 1 < 0$ છે.
આમ,$p \in (0, \pi)$ એ વાસ્તવિક બીજ માટેની શરતનું પાલન કરે છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $a$ અને $b$ નો સમાંતર મધ્યક $34$ છે,તેથી $\frac{a+b}{2} = 34$,જેનો અર્થ છે કે $a+b = 68$.
આપેલ છે કે $a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક $16$ છે,તેથી $\sqrt{ab} = 16$,જેનો અર્થ છે કે $ab = 16^{2} = 256$.
બીજ $a$ અને $b$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (a+b)x + ab = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - 68x + 256 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = ax^{2} + bx + 2$.
$f(1) = 4$ માટે:
$a(1)^{2} + b(1) + 2 = 4 \implies a + b = 2$ ... $(1)$
$f(3) = 38$ માટે:
$a(3)^{2} + b(3) + 2 = 38 \implies 9a + 3b = 36 \implies 3a + b = 12$ ... $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(3a + b) - (a + b) = 12 - 2
2a = 10 \implies a = 5$
$(1)$ માં $a = 5$ મૂકતા:
$5 + b = 2 \implies b = -3$
તેથી,$a - b = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

(B) દ્વિઘાત વિધેય $f(x) = x^2 + 4x + 5$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીત અથવા વિકલનનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
રીત $1$: પૂર્ણવર્ગની રીત
$f(x) = x^2 + 4x + 4 + 1$
$f(x) = (x + 2)^2 + 1$
બધા $x \in R$ માટે $(x + 2)^2 \ge 0$ હોવાથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0 + 1 = 1$ થાય છે.
રીત $2$: વિકલનની રીત
$f'(x) = 2x + 4$
$f'(x) = 0$ લેતા,$2x + 4 = 0$,તેથી $x = -2$.
$f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(D) આપેલ છે,$p^{2}-2q^{2}=1$ $(i)$.
$p$ અને $q$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,આપણે નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ચકાસીએ.
ધારો કે $p=3$ અને $q=2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(3)^{2}-2(2)^{2} = 9 - 2(4) = 9 - 8 = 1$.
આ શરતનું પાલન થાય છે.
હવે,$p^{2}+2q^{2}$ ની કિંમત શોધીએ:
$p^{2}+2q^{2} = (3)^{2}+2(2)^{2} = 9 + 2(4) = 9 + 8 = 17$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{3}-6x+9=0$
$9$ ના અવયવો તપાસતા,$x=-3$ માટે:
$(-3)^{3}-6(-3)+9 = -27+18+9 = 0$
આમ,$(x+3)$ એ બહુપદીનો એક અવયવ છે.
$x^{3}-6x+9$ ને $(x+3)$ વડે ભાગતા:
$(x+3)(x^{2}-3x+3) = 0$
દ્વિઘાત ભાગ $x^{2}-3x+3=0$ માટે,વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4(1)(3) = 9-12 = -3$.
$D < 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત ભાગના બીજ કાલ્પનિક છે.
તેથી,એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ $x=-3$ છે.

(A) કારણ કે $(x-1)$ એ $x^{5}-4 x^{3}+2 x^{2}-3 x+k=0$ નો અવયવ છે,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$x=1$ આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x=1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1)^{5}-4(1)^{3}+2(1)^{2}-3(1)+k=0$
$1-4+2-3+k=0$
$-4+k=0$
$k=4$

(D) ધારો કે $a$ અને $b$ એ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
તો,દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-(a+b)x+ab=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ....$(i)$
આપેલ છે કે $AM = 5$ અને $GM = 4$.
તેથી,$\frac{a+b}{2} = 5 \Rightarrow a+b = 10$.
અને $\sqrt{ab} = 4 \Rightarrow ab = 16$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $x^2-10x+16=0$ મળે છે.
આમ,જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-10x+16=0$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત પદાવલિ $f(x) = x^{2}-8x+17$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ:
$f(x) = (x^{2}-8x+16) + 1$
$f(x) = (x-4)^{2} + 1$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $(x-4)^{2} \ge 0$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $(x-4)^{2} = 0$ થાય,એટલે કે $x = 4$ પર.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $0 + 1 = 1$ છે.

(C) આપેલ છે,$150 x \equiv 35 \pmod{31}$.
પ્રથમ,સામાન્ય અવયવ $5$ વડે ભાગીને સમરૂપતાને સરળ બનાવો (કારણ કે $\gcd(5, 31) = 1$):
$30 x \equiv 7 \pmod{31}$.
આપણે $30$ ને $-1 \pmod{31}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$-x \equiv 7 \pmod{31}$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા:
$x \equiv -7 \pmod{31}$.
ધન શેષ શોધવા માટે,$31$ ઉમેરો:
$x \equiv -7 + 31 \pmod{31} \Rightarrow x \equiv 24 \pmod{31}$.
આમ,$x = 24$ એ આપેલ સમરૂપતાનું સમાધાન કરે છે.

(C) સમીકરણ $(x^2+5x+5)^{x+5}=1$ નીચેના કિસ્સાઓમાં સાચું છે:
કિસ્સો $1$: ઘાતાંક $0$ હોય અને આધાર શૂન્ય ન હોય.
$x+5=0 \Rightarrow x=-5$.
આધાર તપાસતા: $(-5)^2+5(-5)+5 = 5 \neq 0$. તેથી,$x=-5$ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: આધાર $1$ હોય.
$x^2+5x+5=1$ $\Rightarrow x^2+5x+4=0$ $\Rightarrow (x+1)(x+4)=0$.
તેથી,$x=-1$ અને $x=-4$ ઉકેલો છે.
કિસ્સો $3$: આધાર $-1$ હોય અને ઘાતાંક બેકી પૂર્ણાંક હોય.
$x^2+5x+5=-1$ $\Rightarrow x^2+5x+6=0$ $\Rightarrow (x+2)(x+3)=0$.
તેથી,$x=-2$ અથવા $x=-3$.
$x=-2$ માટે,ઘાતાંક $x+5 = 3$ (એકી) છે,તેથી આ ઉકેલ નથી.
$x=-3$ માટે,ઘાતાંક $x+5 = 2$ (બેકી) છે,તેથી $x=-3$ એક ઉકેલ છે.
પૂર્ણાંક ઉકેલોનો ગણ $\{-5, -1, -4, -3\}$ છે.
તેથી,સમીકરણનું સમાધાન કરતા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) આપેલ છે,$mn=3$ અને $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{4}{3}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\frac{m+n}{mn}=\frac{4}{3}$.
$mn=3$ મૂકતા,આપણને $\frac{m+n}{3}=\frac{4}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m+n=4$.
આપણી પાસે $m+n=4$ અને $mn=3$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-4x+3=0$ ના ઉકેલ $m$ અને $n$ છે.
$(x-1)(x-3)=0$,તેથી $m=1, n=3$ અથવા $m=3, n=1$.
હવે,$0.1+0.1^{\frac{1}{m}}+0.1^{\frac{1}{n}}$ પદની કિંમત શોધો.
$m=1$ અને $n=3$ મૂકતા,આપણને $0.1+0.1^1+0.1^{\frac{1}{3}} = 0.1+0.1+0.1^{\frac{1}{3}} = 0.2+0.1^{\frac{1}{3}}$ મળે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5kx + (6k^2 - 2k) = 0$ છે.
કારણ કે $0$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(0)^2 - 5k(0) + (6k^2 - 2k) = 0$
$6k^2 - 2k = 0$
$2k(3k - 1) = 0$
આથી $k = 0$ અથવા $k = \frac{1}{3}$ મળે.
જો $k = 0$ હોય,તો સમીકરણ $x^2 = 0$ બને,જેના બીજ $0, 0$ છે. $\alpha \neq 0$ હોવાથી,$k$ એ $0$ ન હોઈ શકે.
જો $k = \frac{1}{3}$ હોય,તો સમીકરણ $x^2 - 5(\frac{1}{3})x + (6(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3})) = 0$ બને
$x^2 - \frac{5}{3}x + (\frac{2}{3} - \frac{2}{3}) = 0$
$x^2 - \frac{5}{3}x = 0$
$x(x - \frac{5}{3}) = 0$
બીજ $0$ અને $\frac{5}{3}$ છે.
$\alpha$ એ શૂન્યતર બીજ હોવાથી,$\alpha = \frac{5}{3}$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^2+2ax+b=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવાથી,વિવેચક $D > 0$.
$D = (2a)^2 - 4(1)(b) = 4a^2 - 4b > 0 \implies a^2 > b$ અથવા $b < a^2$.
બીજ $\alpha, \beta = \frac{-2a \pm \sqrt{4a^2-4b}}{2} = -a \pm \sqrt{a^2-b}$ છે.
બીજનો તફાવત $|\alpha - \beta| = |2\sqrt{a^2-b}|$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો તફાવત વધુમાં વધુ $2m$ છે,તેથી $2\sqrt{a^2-b} \le 2m$.
$\sqrt{a^2-b} \le m \implies a^2-b \le m^2 \implies b \ge a^2-m^2$.
શરતો $b < a^2$ અને $b \ge a^2-m^2$ ને જોડતા,આપણને $b \in [a^2-m^2, a^2)$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.