Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $y = 4+\frac{1}{5+\frac{1}{4+\frac{1}{5+\ldots}}}$.
અહીં પદનું પુનરાવર્તન થાય છે: $y = 4+\frac{1}{5+\frac{1}{y}}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $y - 4 = \frac{y}{5y+1}$.
ગુણાકાર કરતા: $(y-4)(5y+1) = y$.
$5y^2 - 20y - 4 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{20 \pm \sqrt{480}}{10}$.
$y > 0$ હોવાથી,$y = \frac{20 + \sqrt{480}}{10} = 2 + \frac{2}{5}\sqrt{30}$.

(A) ધારો કે $x=3+\frac{1}{4+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{3+\ldots \infty}}}}$
તેથી,$x=3+\frac{1}{4+\frac{1}{x}}=3+\frac{x}{4x+1}$
$\Rightarrow x-3=\frac{x}{4x+1}$
$\Rightarrow (x-3)(4x+1)=x$
$\Rightarrow 4x^2+x-12x-3=x$
$\Rightarrow 4x^2-12x-3=0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x=\frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2-4(4)(-3)}}{2(4)}$
$x=\frac{12 \pm \sqrt{144+48}}{8}=\frac{12 \pm \sqrt{192}}{8}$
$x=\frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{3} = 1.5 \pm \sqrt{3}$
$x > 0$ હોવાથી,$x=1.5+\sqrt{3}$ મળે.

(D) કિસ્સો-$I$: $x \leq 5$
$(x+1)^{2} - (x-5) = \frac{27}{4}$
$(x+1)^{2} - (x+1) - \frac{3}{4} = 0$
$y = x+1$ લેતા,$4y^{2} - 4y - 3 = 0$
$(2y-3)(2y+1) = 0 \implies y = \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2}$ અને $x = -\frac{3}{2}$ (બંને $x \leq 5$ માટે માન્ય છે)
કિસ્સો-$II$: $x > 5$
$(x+1)^{2} + (x-5) = \frac{27}{4}$
$4x^{2} + 12x - 43 = 0$
આ સમીકરણના ઉકેલો $x > 5$ ની શરતનું પાલન કરતા નથી.
આમ,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 2x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+10x+10$.
પ્રથમ,આપણે બીજ શોધવા માટે પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત શોધીએ.
$f(-2) = 2(-32) + 5(16) + 10(-8) + 10(4) + 10(-2) + 10 = -34$.
$f(-1) = 2(-1) + 5(1) + 10(-1) + 10(1) + 10(-1) + 10 = 3$.
$f(-2) < 0$ અને $f(-1) > 0$ હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,અંતરાલ $(-2, -1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ છે.
હવે,વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે વિકલન તપાસીએ.
$f'(x) = 10x^{4} + 20x^{3} + 30x^{2} + 20x + 10 = 10(x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1)$.
અહીં $x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1 = (x^{2} + x + 1)^{2}$ છે.
તેથી,$f'(x) = 10(x^{2} + x + 1)^{2}$.
$x^{2} + x + 1$ નો વિવેચક $1 - 4 = -3$ છે,જે ઋણ છે,તેથી તે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે ધન છે.
આમ,$f'(x) > 0$ હોવાથી $f(x)$ સતત વધતું વિધેય છે અને તેનું માત્ર એક જ વાસ્તવિક બીજ છે.
બીજ $(-2, -1)$ માં હોવાથી,$a = -2$. તેથી,$|a| = |-2| = 2$.

(A) ધારો કે $a = 3x^2 + 4x + 3$ અને $b = 3x^2 + 4x + 2$. અહીં $b = a - 1$ છે.
આપેલ સમીકરણ $a^2 - (k + 1)ab + kb^2 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા:
$(a - b)(a - kb) = 0$
બે કિસ્સાઓ મળે:
$1) \; a = b \Rightarrow 3 = 2$ (અશક્ય).
$2) \; a = kb \Rightarrow 3x^2 + 4x + 3 = k(3x^2 + 4x + 2)$.
સમીકરણને ગોઠવતા:
$3(k - 1)x^2 + 4(k - 1)x + (2k - 3) = 0$.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \geq 0$:
$D = 16(k - 1)^2 - 12(k - 1)(2k - 3) \geq 0$
$4(k - 1)(-2k + 5) \geq 0$
$(k - 1)(2k - 5) \leq 0$.
ઉકેલતા,$1 \leq k \leq \frac{5}{2}$ મળે. $k = 1$ માટે સમીકરણ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી,તેથી $k \neq 1$.
આમ,$k \in (1, \frac{5}{2}]$.

(A) ધારો કે $x^{2}+ax+b=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
જો $\alpha$ બીજ હોય,તો $\alpha^{2}-2$ પણ બીજ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $\alpha = \beta$. તો $\alpha = \alpha^{2}-2$,તેથી $\alpha^{2}-\alpha-2=0$,જે $\alpha=2$ અથવા $\alpha=-1$ આપે છે.
જો $\alpha=2$,તો $x^{2}-4x+4=0$,તેથી $(a, b) = (-4, 4)$.
જો $\alpha=-1$,તો $x^{2}+2x+1=0$,તેથી $(a, b) = (2, 1)$.
કિસ્સો $2$: $\alpha \neq \beta$. બીજનો ગણ $S = \{\alpha, \beta\}$ એ $f(x) = x^{2}-2$ દ્વારા પોતાની જાત પર મેપ થવો જોઈએ.
પેટાકિસ્સો $2.1$: $f(\alpha)=\alpha$ અને $f(\beta)=\beta$. આનાથી $\alpha, \beta \in \{2, -1\}$ મળે છે. $\alpha \neq \beta$ હોવાથી,$\{\alpha, \beta\} = \{2, -1\}$. તેથી $a = -(\alpha+\beta) = -1$ અને $b = \alpha\beta = -2$. એટલે કે $(a, b) = (-1, -2)$.
પેટાકિસ્સો $2.2$: $f(\alpha)=\beta$ અને $f(\beta)=\alpha$. તો $\alpha^{2}-2=\beta$ અને $\beta^{2}-2=\alpha$. બાદબાકી કરતા $\alpha^{2}-\beta^{2} = \beta-\alpha$ મળે,તેથી $(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+1)=0$. $\alpha \neq \beta$ હોવાથી,$\alpha+\beta = -1$. વળી $\alpha^{2}+\beta^{2}-4 = \alpha+\beta = -1$,તેથી $(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta = 3$,જે $1-2\alpha\beta=3$ આપે છે,તેથી $\alpha\beta=-1$. આમ $a = -(\alpha+\beta) = 1$ અને $b = \alpha\beta = -1$. એટલે કે $(a, b) = (1, -1)$.
પેટાકિસ્સો $2.3$: $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ (અથવા $\beta$). જો $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ હોય,તો $\alpha^{2}-2=\alpha$ અને $\beta^{2}-2=\alpha$. તેથી $\alpha \in \{2, -1\}$. જો $\alpha=2$,તો $\beta^{2}-2=2$ $\Rightarrow \beta^{2}=4$ $\Rightarrow \beta=-2$ (કારણ કે $\beta \neq \alpha$). તો $a = -(2-2)=0$ અને $b = 2(-2)=-4$. એટલે કે $(a, b) = (0, -4)$. જો $\alpha=-1$,તો $\beta^{2}-2=-1$ $\Rightarrow \beta^{2}=1$ $\Rightarrow \beta=1$ (કારણ કે $\beta \neq \alpha$). તો $a = -(-1+1)=0$ અને $b = -1(1)=-1$. એટલે કે $(a, b) = (0, -1)$.
આવી $6$ જોડીઓ છે: $(2, 1), (-4, 4), (-1, -2), (1, -1), (0, -4), (0, -1)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $[e^{x}]^{2} + [e^{x} + 1] - 3 = 0$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $[x + n] = [x] + n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $[e^{x} + 1] = [e^{x}] + 1$ મળે છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $[e^{x}]^{2} + [e^{x}] + 1 - 3 = 0$.
ધારો કે $t = [e^{x}]$. તો સમીકરણ $t^{2} + t - 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t + 2)(t - 1) = 0$,જે $t = -2$ અથવા $t = 1$ આપે છે.
કારણ કે $e^{x} > 0$,$[e^{x}]$ એ $-2$ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,$[e^{x}] = 1$.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$1 \leq e^{x} < 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(1) \leq x < \ln(2)$.
કારણ કે $\ln(1) = 0$,આપણને $0 \leq x < \ln(2)$ મળે છે.
તેથી,$x \in [0, \ln 2)$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-|x|-12=0$ છે.
$x^{2} = |x|^{2}$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $|x|^{2}-|x|-12=0$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. સમીકરણ $t^{2}-t-12=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા: $(t-4)(t+3)=0$.
આથી $t=4$ અથવા $t=-3$ મળે છે.
$t = |x| \geq 0$ હોવાથી,આપણે $t=-3$ ને સ્વીકારી શકતા નથી.
તેથી,$|x|=4$,જેનો અર્થ છે કે $x=4$ અથવા $x=-4$.
આમ,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+(20)^{\frac{1}{4}} x+(5)^{\frac{1}{2}}=0$ છે.
આપણે તેને $x^{2}+\sqrt{5} = -(20)^{\frac{1}{4}} x$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x^{2}+\sqrt{5})^{2} = ((20)^{\frac{1}{4}} x)^{2}$ મળે.
$x^{4} + 2\sqrt{5}x^{2} + 5 = \sqrt{20}x^{2}$.
કારણ કે $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$,સમીકરણ $x^{4} + 2\sqrt{5}x^{2} + 5 = 2\sqrt{5}x^{2}$ બને છે.
આ સાદું રૂપ આપતા $x^{4} + 5 = 0$,અથવા $x^{4} = -5$ મળે છે.
ફરીથી વર્ગ કરતા,$x^{8} = (-5)^{2} = 25$.
$\alpha$ અને $\beta$ એ મૂળ સમીકરણના બીજ હોવાથી,તેઓ $x^{4} = -5$ નું પાલન કરે છે,અને તેથી $\alpha^{8} = 25$ અને $\beta^{8} = 25$.
તેથી,$\alpha^{8} + \beta^{8} = 25 + 25 = 50$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $e^{4x} - e^{3x} - 4e^{2x} - e^{x} + 1 = 0$.
$e^{2x}$ વડે ભાગતા ($e^{2x} > 0$ હોવાથી):
$e^{2x} - e^{x} - 4 - e^{-x} + e^{-2x} = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $(e^{2x} + e^{-2x}) - (e^{x} + e^{-x}) - 4 = 0$.
ધારો કે $t = e^{x} > 0$. તો $e^{x} + e^{-x} = t + \frac{1}{t} = \alpha$,જ્યાં $\alpha \geq 2$.
અહીં $e^{2x} + e^{-2x} = (t + \frac{1}{t})^2 - 2 = \alpha^2 - 2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(\alpha^2 - 2) - \alpha - 4 = 0$.
$\alpha^2 - \alpha - 6 = 0$.
$(\alpha - 3)(\alpha + 2) = 0$.
$\alpha \geq 2$ હોવાથી,$\alpha = 3$.
હવે,$t + \frac{1}{t} = 3 \Rightarrow t^2 - 3t + 1 = 0$.
વિવેચક $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 5 > 0$.
$t = e^{x} > 0$ હોવાથી અને બીજનો ગુણાકાર $1$ તથા સરવાળો $3$ હોવાથી,$t$ ના બંને ઉકેલો ધન છે.
તેથી,$x$ ના $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(e^{2x} - 4)(6e^{2x} - 5e^x + 1) = 0$
દ્વિઘાત ભાગનું અવયવીકરણ કરતા: $6e^{2x} - 5e^x + 1 = (3e^x - 1)(2e^x - 1) = 0$
તેથી,સમીકરણ: $(e^{2x} - 4)(3e^x - 1)(2e^x - 1) = 0$
ત્રણ શક્યતાઓ મળે છે:
$1) e^{2x} = 4 \Rightarrow x = \ln 2$
$2) e^x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = -\ln 3$
$3) e^x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -\ln 2$
વાસ્તવિક બીજનો સરવાળો = $\ln 2 - \ln 3 - \ln 2 = -\ln 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $e^{4x} + 4e^{3x} - 58e^{2x} + 4e^{x} + 1 = 0$.
$e^{2x}$ વડે ભાગતા:
$e^{2x} + 4e^{x} - 58 + 4e^{-x} + e^{-2x} = 0$.
પદોને ગોઠવતા:
$(e^{2x} + e^{-2x}) + 4(e^{x} + e^{-x}) - 58 = 0$.
ધારો કે $t = e^{x} + e^{-x}$. વાસ્તવિક $x$ માટે $t \geq 2$.
$(e^{x} + e^{-x})^{2} = e^{2x} + e^{-2x} + 2$ હોવાથી,$e^{2x} + e^{-2x} = t^{2} - 2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$(t^{2} - 2) + 4t - 58 = 0 \implies t^{2} + 4t - 60 = 0$.
અવયવ પાડતા:
$(t + 10)(t - 6) = 0$.
તેથી,$t = -10$ અથવા $t = 6$.
$t = e^{x} + e^{-x} \geq 2$ હોવાથી,$t = -10$ શક્ય નથી.
તેથી,$e^{x} + e^{-x} = 6$.
$e^{2x} - 6e^{x} + 1 = 0$.
ધારો કે $u = e^{x}$. તો $u^{2} - 6u + 1 = 0$.
વિવેચક $D = (-6)^{2} - 4(1)(1) = 32 > 0$.
બીજનો ગુણાકાર $1 > 0$ અને સરવાળો $6 > 0$ હોવાથી,બંને બીજ $u_{1}, u_{2}$ ધન છે.
$u = e^{x} > 0$ હોવાથી,બંને બીજ માટે $x = \ln(u)$ ના વાસ્તવિક ઉકેલો મળે.
આમ,$2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $(p^{2}+q^{2})x^{2}-2q(p+r)x + q^{2}+r^{2}=0$ ને $(px-q)^{2} + (qx-r)^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$x = \frac{q}{p} = \frac{r}{q}$ મળે.
બીજું સમીકરણ $x^{2}+2x-8=0$ ના બીજ $x = -4$ અથવા $x = 2$ છે.
જો $x = -4$ લઈએ,તો $\frac{q}{p} = -4$ અને $\frac{r}{q} = -4$ મળે.
તેથી $q = -4p$ અને $r = 16p$ થાય.
હવે,$\frac{q^{2}+r^{2}}{p^{2}} = \frac{(-4p)^{2} + (16p)^{2}}{p^{2}} = \frac{16p^{2} + 256p^{2}}{p^{2}} = 272$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{5}(x^{3}-x^{2}-x+1)+x(3x^{3}-4x^{2}-2x+4)-1=0$
પદોનું અવયવીકરણ કરતા: $(x-1)^{2}(x+1)(x^{5}+3x-1)=0$ મળે છે.
ધારો કે $f(x) = x^{5}+3x-1$. અહીં $f'(x) = 5x^{4}+3 > 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ વધતું વિધેય છે અને તેનું માત્ર $1$ વાસ્તવિક બીજ છે.
$(x-1)^{2}(x+1) = 0$ ના બીજ $x=1$ અને $x=-1$ છે.
આમ,કુલ $3$ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = \sqrt{2}$ અને $\alpha \beta = \sqrt{6}$.
ધારો કે $x^{2}+ax+b=0$ ના બીજ $y_1 = \frac{1}{\alpha^{2}}+1$ અને $y_2 = \frac{1}{\beta^{2}}+1$ છે.
બીજનો સરવાળો: $-a = y_1 + y_2 = \frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{(\alpha \beta)^{2}} + 2 = \frac{(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha \beta}{(\alpha \beta)^{2}} + 2 = \frac{2-2\sqrt{6}}{6} + 2 = \frac{1-\sqrt{6}}{3} + 2 = \frac{7-\sqrt{6}}{3}$.
બીજનો ગુણાકાર: $b = y_1 y_2 = (\frac{1}{\alpha^{2}}+1)(\frac{1}{\beta^{2}}+1) = \frac{1}{(\alpha \beta)^{2}} + \frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{(\alpha \beta)^{2}} + 1 = \frac{1}{6} + \frac{2-2\sqrt{6}}{6} + 1 = \frac{1+2-2\sqrt{6}+6}{6} = \frac{9-2\sqrt{6}}{6}$.
હવે,સમીકરણ $x^{2}-(a+b-2)x+(a+b+2)=0$ ધ્યાનમાં લો.
$a+b = -\frac{7-\sqrt{6}}{3} + \frac{9-2\sqrt{6}}{6} = \frac{-14+2\sqrt{6}+9-2\sqrt{6}}{6} = -\frac{5}{6}$.
સમીકરણ $x^{2}-(-\frac{5}{6}-2)x+(-\frac{5}{6}+2) = 0$ બને છે,જે $x^{2} + \frac{17}{6}x + \frac{7}{6} = 0$ અથવા $6x^{2}+17x+7=0$ છે.
બીજ $x = \frac{-17 \pm \sqrt{289 - 168}}{12} = \frac{-17 \pm \sqrt{121}}{12} = \frac{-17 \pm 11}{12}$ છે.
$x_1 = -\frac{28}{12} = -\frac{7}{3}$ અને $x_2 = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$.
બંને બીજ વાસ્તવિક અને ઋણ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = ax^{2} + bx + c$ છે.
આપણને $f(1) = 3$,$f(-2) = \lambda$,$f(3) = 4$ અને $f(0) + f(1) + f(-2) + f(3) = 14$ આપેલ છે.
સરવાળાના સમીકરણમાં જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$f(0) + 3 + \lambda + 4 = 14$
$f(0) + 7 + \lambda = 14$
$f(0) = 7 - \lambda$.
કારણ કે $f(0) = a(0)^{2} + b(0) + c = c$,તેથી $c = 7 - \lambda$.
હવે,સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવવા માટે આપેલી કિંમતોનો ઉપયોગ કરો:
$f(1) = a + b + c = 3 \implies a + b = 3 - c = 3 - (7 - \lambda) = \lambda - 4$ (સમીકરણ $1$)
$f(3) = 9a + 3b + c = 4 \implies 9a + 3b = 4 - c = 4 - (7 - \lambda) = \lambda - 3$ (સમીકરણ $2$)
$f(-2) = 4a - 2b + c = \lambda \implies 4a - 2b = \lambda - c = \lambda - (7 - \lambda) = 2\lambda - 7$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$b = \lambda - 4 - a$. આને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$9a + 3(\lambda - 4 - a) = \lambda - 3$
$9a + 3\lambda - 12 - 3a = \lambda - 3$
$6a = -2\lambda + 9 \implies a = \frac{9 - 2\lambda}{6}$.
$a$ ની કિંમત સમીકરણ $3$ માં મૂકતા:
$4(\frac{9 - 2\lambda}{6}) - 2b = 2\lambda - 7$
$2(\frac{9 - 2\lambda}{3}) - 2b = 2\lambda - 7$
$b = \frac{9 - 2\lambda}{3} - (\lambda - \frac{7}{2}) = \frac{18 - 4\lambda - 6\lambda + 21}{6} = \frac{39 - 10\lambda}{6}$.
$a + b = \lambda - 4$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{9 - 2\lambda}{6} + \frac{39 - 10\lambda}{6} = \lambda - 4$
$48 - 12\lambda = 6\lambda - 24$
$18\lambda = 72 \implies \lambda = 4$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{3 x^{2}-9 x+17}{x^{2}+3 x+10}=\frac{5 x^{2}-7 x+19}{3 x^{2}+5 x+12}$
અંશને ફરીથી લખતા:
$\frac{(x^{2}+3 x+10) + (2 x^{2}-12 x+7)}{x^{2}+3 x+10} = \frac{(3 x^{2}+5 x+12) + (2 x^{2}-12 x+7)}{3 x^{2}+5 x+12}$
$1 + \frac{2 x^{2}-12 x+7}{x^{2}+3 x+10} = 1 + \frac{2 x^{2}-12 x+7}{3 x^{2}+5 x+12}$
$(2 x^{2}-12 x+7) \left( \frac{1}{x^{2}+3 x+10} - \frac{1}{3 x^{2}+5 x+12} \right) = 0$
કિસ્સો $1$: $2 x^{2}-12 x+7 = 0$. બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -(\frac{-12}{2}) = 6$ છે. વિવેચક $D = 88 > 0$ હોવાથી,બંને બીજ વાસ્તવિક છે.
કિસ્સો $2$: $x^{2}+3 x+10 = 3 x^{2}+5 x+12 \implies x^{2}+x+1 = 0$. વિવેચક $D = -3 < 0$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
આમ,$x$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સરવાળો $6$ છે.

(A) આપેલ છે,$x = (\sqrt{50} + 7)^{1/3} - (\sqrt{50} - 7)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણે નિત્યસમ $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$x^3 = (\sqrt{50} + 7) - (\sqrt{50} - 7) - 3[(\sqrt{50} + 7)(\sqrt{50} - 7)]^{1/3} \cdot x$
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^3 = 14 - 3(50 - 49)^{1/3} \cdot x$
$x^3 = 14 - 3(1)^{1/3} \cdot x$
$x^3 = 14 - 3x$
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$x^3 + 3x - 14 = 0$
કિંમતો ચકાસતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $x = 2$ એ ઉકેલ છે કારણ કે $2^3 + 3(2) - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$.
બહુપદીના અવયવ પાડતા:
$(x - 2)(x^2 + 2x + 7) = 0$
દ્વિઘાત અવયવ $x^2 + 2x + 7$ માટે વિવેચક $D = 2^2 - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24 < 0$ છે,તેથી તેના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 2$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3+3x^2+3x+3=0$ છે.
ધારો કે $f(x) = x^3+3x^2+3x+3$.
તેથી $f'(x) = 3x^2+6x+3 = 3(x+1)^2$.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) \geq 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ એકવિધ વધતું વિધેય છે.
આમ,સમીકરણ $f(x)=0$ ને માત્ર એક જ વાસ્તવિક બીજ $\alpha$ છે.
$f(-3) = -27+27-9+3 = -6 < 0$ અને $f(-2) = -8+12-6+3 = 1 > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક બીજ $\alpha$ એ અંતરાલ $(-3, -2)$ માં આવેલું છે.
ધારો કે ઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે,જ્યાં $\beta$ અને $\gamma$ એ વાસ્તવિક ન હોય તેવા સંકર બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -3$ છે.
તેથી,$\beta + \gamma = -3 - \alpha$.
$-3 < \alpha < -2$ હોવાથી,$-(-2) < -\alpha < -(-3)$,જેનો અર્થ છે કે $2 < -\alpha < 3$.
બધા ભાગમાં $-3$ ઉમેરતા: $2-3 < -3 - \alpha < 3-3$,જે $-1 < \beta + \gamma < 0$ આપે છે.
આમ,વાસ્તવિક ન હોય તેવા બીજનો સરવાળો $-1$ અને $0$ ની વચ્ચે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{x+3-4 \sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6 \sqrt{x-1}}=1$
ધારો કે $u = \sqrt{x-1}$,જ્યાં $u \ge 0$. તેથી $x-1 = u^2$,એટલે કે $x = u^2+1$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\sqrt{u^2+1+3-4u} + \sqrt{u^2+1+8-6u} = 1$
$\sqrt{u^2-4u+4} + \sqrt{u^2-6u+9} = 1$
$|u-2| + |u-3| = 1$
આ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $2 \le u \le 3$ હોય.
$u = \sqrt{x-1}$ હોવાથી,$2 \le \sqrt{x-1} \le 3$.
વર્ગ કરતા: $4 \le x-1 \le 9$,જેનો અર્થ છે $5 \le x \le 10$.
આમ,સમીકરણના અંતરાલ $[5, 10]$ માં અનંત ઉકેલો છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = (x - a_1)(x - a_2) + (x - a_2)(x - a_3) + (x - a_3)(x - a_1)$.
વિસ્તરણ કરતા,$f(x) = 3x^2 - 2(a_1 + a_2 + a_3)x + (a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1)$.
$f(x) \geq 0$ માટે વિવેચક $D \leq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = [-2(a_1 + a_2 + a_3)]^2 - 4(3)(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$4(a_1 + a_2 + a_3)^2 - 12(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$4$ વડે ભાગતા,$(a_1 + a_2 + a_3)^2 - 3(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 - (a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$2$ વડે ગુણતા,$(a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 + (a_3 - a_1)^2 \leq 0$.
વર્ગોનો સરવાળો $\leq 0$ હોવાથી,દરેક પદ $0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$a_1 = a_2 = a_3$.

(D) આપેલ છે કે સમીકરણ $x^2+2ax+b^2=0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો છે,તેથી તેનો વિવેચક $D_1 > 0$.
$D_1 = (2a)^2 - 4(1)(b^2) = 4a^2 - 4b^2 > 0 \Rightarrow a^2 > b^2$ $(i)$
તે જ રીતે,સમીકરણ $x^2+2bx+c^2=0$ માટે,વિવેચક $D_2 > 0$.
$D_2 = (2b)^2 - 4(1)(c^2) = 4b^2 - 4c^2 > 0 \Rightarrow b^2 > c^2$ $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણી પાસે $a^2 > b^2 > c^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 > c^2$.
હવે,સમીકરણ $x^2+2cx+a^2=0$ ધ્યાનમાં લો. તેનો વિવેચક $D_3$ છે:
$D_3 = (2c)^2 - 4(1)(a^2) = 4c^2 - 4a^2 = 4(c^2 - a^2)$.
કારણ કે $a^2 > c^2$,તેથી $c^2 - a^2 < 0$,એટલે કે $D_3 < 0$.
તેથી,સમીકરણ $x^2+2cx+a^2=0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(A) ધારો કે $f(x) = x^3+ax^2+bx+c$.
તેથી $f'(x) = 3x^2+2ax+b$.
દ્વિઘાત $f'(x)$ નો વિવેચક $D = (2a)^2 - 4(3)(b) = 4a^2 - 12b = 4(a^2-3b)$ છે.
જો $a^2-2b < 0$ હોય,તો $a^2 < 2b$.
આમ $D < 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) > 0$ તમામ $x$ માટે.
તેથી $f(x)$ એ સતત વધતું વિધેય છે.
એક સતત વધતા ઘન બહુપદીને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ અને બે સંકર બીજ હોય છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલ વિધાન સાચું છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $6^m + 2^{m+n} \cdot 3^w + 2^n = 332$.
આ સમીકરણને $6^m + 2^m \cdot 2^n \cdot 3^w + 2^n = 332$ તરીકે લખી શકાય,જેનું સાદું રૂપ $6^m + 2^n(2^m \cdot 3^w + 1) = 332$ થાય.
જો $m=2$ લઈએ,તો $6^2 + 2^n(2^2 \cdot 3^w + 1) = 332$.
$36 + 2^n(4 \cdot 3^w + 1) = 332$.
$2^n(4 \cdot 3^w + 1) = 296$.
કારણ કે $296 = 8 \times 37 = 2^3 \times 37$,તેથી $2^n = 2^3$,એટલે કે $n=3$.
વળી,$4 \cdot 3^w + 1 = 37$,જેનો અર્થ છે કે $4 \cdot 3^w = 36$,તેથી $3^w = 9$,જે $w=2$ આપે છે.
આમ,$m=2, n=3$ એ ધન પૂર્ણાંકો છે જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
હવે,$m^2 + mn + n^2 = (2)^2 + (2)(3) + (3)^2 = 4 + 6 + 9 = 19$.

(C) આપેલ સમીકરણ $[x^2] = x + 1$ છે.
કારણ કે $[x^2]$ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી $x + 1$ પણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x$ એક પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે $x = n$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
સમીકરણ $[n^2] = n + 1$ બને છે.
કારણ કે $n^2$ એક પૂર્ણાંક છે,તેથી $[n^2] = n^2$.
આથી,$n^2 = n + 1$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 - n - 1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $n = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
કારણ કે $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ પૂર્ણાંક નથી,તેથી કોઈ પૂર્ણાંક $n$ સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી.
તેથી,સમીકરણ $[x^2] = x + 1$ ને કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + bx + \frac{1}{b} = 0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે,તેથી વિવેચક $D > 0$ થાય.
$D = b^2 - 4(2)(\frac{1}{b}) > 0$
$b^2 - \frac{8}{b} > 0 \Rightarrow \frac{b^3 - 8}{b} > 0$
અવયવીકરણ $b^3 - 8 = (b - 2)(b^2 + 2b + 4)$ નો ઉપયોગ કરતા,અને નોંધતા કે $b^2 + 2b + 4 = (b + 1)^2 + 3 > 0$ તમામ વાસ્તવિક $b$ માટે,અસમતા નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\frac{b - 2}{b} > 0$
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $b \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ હોય.
હવે,વિકલ્પ $(c)$ તપાસો:
$b^2 - 3b > -2 \Rightarrow b^2 - 3b + 2 > 0$
$(b - 2)(b - 1) > 0$
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $b \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ હોય.
જેમ કે $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ એ $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ નો ઉપગણ છે,તેથી મૂળ દ્વિઘાત સમીકરણની શરતનું પાલન કરતા તમામ $b$ માટે $b^2 - 3b > -2$ શરત સંતોષાય છે.

(B) આપેલ છે કે $p(x) = x^2 + ax + b$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ $r_1$ અને $r_2$ છે. તેથી,$p(x) = (x - r_1)(x - r_2)$.
તેથી $g(x) = p(x^3) = (x^3 - r_1)(x^3 - r_2)$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $r$ માટે $x^3 - r = 0$ ને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ હોય છે,તેથી $g(x)$ ના બીજ $x = \sqrt[3]{r_1}$ અને $x = \sqrt[3]{r_2}$ છે.
$r_1 \neq r_2$ હોવાથી,$\sqrt[3]{r_1} \neq \sqrt[3]{r_2}$ થાય. આમ,$g(x)$ ને બરાબર બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે. વિધાન $I$ સાચું છે અને $II$ ખોટું છે.
વિધાન $III$ માટે,$g(x) = (x^3)^2 + a(x^3) + b = x^6 + ax^3 + b$. જેમ $x \to \infty$,તેમ $g(x) \to \infty$. $g(x)$ એ બેકી ઘાત $(6)$ ધરાવતી સતત બહુપદી હોવાથી,તેની પાસે વૈશ્વિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય હશે. તેથી,એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $\alpha$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $g(x) \geq \alpha$ થાય. વિધાન $III$ સાચું છે.
તેથી,$I$ અને $III$ બંને સાચા છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^2+bx+c=0$ ના બીજ સમાન હોય જો તેનો વિવેચક $D = b^2 - 4(4)(c) = 0$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2 = 16c$,અથવા $b^2 = (4\sqrt{c})^2$,જેનો અર્થ છે કે $b = 4\sqrt{c}$.
કારણ કે $b$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $b \in S$,તેથી $c$ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોવી જોઈએ જેથી $4\sqrt{c} \in \{1, 2, \ldots, 100\}$.
ધારો કે $c = k^2$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તો $b = 4k$.
$1 \le b \le 100$ હોવાથી,આપણને $1 \le 4k \le 100$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $1 \le k \le 25$.
વળી,$c = k^2$ એ $S$ માં હોવું જોઈએ,તેથી $1 \le k^2 \le 100$,જેનો અર્થ છે કે $1 \le k \le 10$.
આમ,$k$ માટે શક્ય કિંમતો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે.
આવી $10$ જોડી $(b, c)$ શક્ય છે.
$S$ માંથી $b$ અને $c$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $100 \times 100 = 10000$ છે.
સંભાવના $\frac{10}{10000} = \frac{1}{1000} = 0.001$ છે.

(B) આપેલ છે કે $p = p_1 + p_2 = p_3 - p_4$ જ્યાં $p, p_1, p_2, p_3, p_4$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
કિસ્સો $I$: જો $p_1, p_2, p_3, p_4$ બધા એકી હોય,તો $p_1 + p_2$ બેકી થાય,જેનો અર્થ છે કે $p$ બેકી છે. $p$ અવિભાજ્ય હોવાથી,$p = 2$. પરંતુ $p_1 + p_2 = 2$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ માટે શક્ય નથી.
કિસ્સો $II$: $p_1, p_2$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $2$ હોવી જોઈએ. ધારો કે $p_2 = 2$. તો $p = p_1 + 2$. $p$ અને $p_1$ અવિભાજ્ય હોવાથી,$p_1$ એકી હોવું જોઈએ. જો $p_1$ એકી હોય,તો $p$ પણ એકી થાય.
$p = p_3 - p_4$ પરથી,$p_3 = p + p_4$. $p$ એકી હોવાથી,$p_3$ અવિભાજ્ય બને તે માટે $p_4 = 2$ હોવું જરૂરી છે.
આમ,$p = p_1 + 2$ અને $p = p_3 - 2$,જેનો અર્થ છે કે $p_3 = p + 2$ અને $p_1 = p - 2$.
આપણે $p-2, p, p+2$ ત્રણેય અવિભાજ્ય જોઈએ. આ પ્રકારની એકમાત્ર ત્રિપુટી $(3, 5, 7)$ છે.
તેથી,$p = 5$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે.
વિશેષ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^4-x^2+2x-1=0$
સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખતા: $x^4-(x^2-2x+1)=0$
આનું સાદું રૂપ: $x^4-(x-1)^2=0$
તફાવતની રીત $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x^2-(x-1))(x^2+(x-1))=0$
$(x^2-x+1)(x^2+x-1)=0$
કિસ્સો $1$: $x^2-x+1=0$. વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1-4 = -3$. $D < 0$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
કિસ્સો $2$: $x^2+x-1=0$. વિવેચક $D = (1)^2 - 4(1)(-1) = 1+4 = 5$. $D > 0$ હોવાથી,બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
તેથી,વાસ્તવિક બીજની કુલ સંખ્યા $2$ છે.

(B) વિધાન $I$ ખોટું છે. સુસંગત સુરેખ સમીકરણોની જોડીને કાં તો અનન્ય ઉકેલ (છેદતી રેખાઓ) અથવા અનંત ઉકેલો (સંપાતી રેખાઓ) હોઈ શકે છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે. ધારો કે બે ક્રમિક પૂર્ણાંકો $x$ અને $x+1$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x^2 + (x+1)^2 = 365$.
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 365$
$2x^2 + 2x - 364 = 0$
$x^2 + x - 182 = 0$
$(x + 14)(x - 13) = 0$
તેથી,$x = 13$ અથવા $x = -14$.
જો $x = 13$ હોય,તો પૂર્ણાંકો $13$ અને $14$ છે. ચકાસણી: $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$.
આમ,આવા પૂર્ણાંકો અસ્તિત્વમાં હોવાથી વિધાન $II$ ખોટું છે.
તેથી,$I$ અને $II$ બંને ખોટા છે.

(B) ધારો કે $P(n)$ એ $n$ ના અંકોનો ગુણાકાર છે. આપણને આપેલ છે કે $P(n) = n^2-10n-36$.
$P(n) \geq 0$ હોવાથી,$n^2-10n-36 \geq 0$. $n^2-10n-36 = 0$ ઉકેલતા $n = 5 \pm \sqrt{61}$ મળે. $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$n \geq 5 + \sqrt{61} \approx 12.8$,તેથી $n \geq 13$.
જો $n$ એ $2$ અંકની સંખ્યા હોય,$n = 10a+b$,તો $P(n) = ab \leq 81$. તેથી $n^2-10n-36 \leq 81$,જે સૂચવે છે કે $n^2-10n-117 \leq 0$. તેના બીજ $5 \pm \sqrt{142} \approx 5 \pm 11.9$ છે,તેથી $n \leq 16.9$. આમ $n \in \{13, 14, 15, 16\}$.
$n=13$ માટે,$P(13) = 1 \times 3 = 3$ અને $13^2-10(13)-36 = 169-130-36 = 3$. આ સાચું છે.
$n=14, 15, 16$ માટે સમીકરણ સંતોષાતું નથી.
જો $n$ એ $3$ અંકની સંખ્યા હોય,તો $n^2-10n-36$ ની કિંમત $3$ અંકની સંખ્યાના મહત્તમ ગુણાકાર $729$ કરતા ઘણી મોટી થઈ જાય છે.
તેથી માત્ર $n=13$ જ ઉકેલ છે.

(D) આપેલ છે,$72^x \cdot 48^y = 6^{xy}$.
આધારને $2$ અને $3$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવતા:
$(2^3 \cdot 3^2)^x \cdot (2^4 \cdot 3^1)^y = 2^{xy} \cdot 3^{xy}$.
$2^{3x+4y} \cdot 3^{2x+y} = 2^{xy} \cdot 3^{xy}$.
બંને બાજુ $2$ અને $3$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$3x + 4y = xy$ $(1)$
$2x + y = xy$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$3x + 4y = 2x + y$,જેનું સાદું રૂપ $x = -3y$ થાય છે.
$x = -3y$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(-3y) + y = (-3y)y$
$-6y + y = -3y^2$
$-5y = -3y^2$.
$y \neq 0$ હોવાથી,$y$ વડે ભાગતા:
$-5 = -3y \implies y = \frac{5}{3}$.
હવે,$x$ શોધો:
$x = -3 \left(\frac{5}{3}\right) = -5$.
તેથી,$x + y = -5 + \frac{5}{3} = \frac{-15 + 5}{3} = -\frac{10}{3}$.

(C) ધારો કે $p(x) = x^{135}+x^{125}-x^{115}+x^5+1$ અને $q(x) = x^3-x = x(x-1)(x+1)$.
ભાજક $q(x)$ ની ઘાત $3$ હોવાથી,શેષ $r(x)$ એ $ax^2+bx+c$ સ્વરૂપમાં હશે.
તેથી,$p(x) = (x^3-x)k(x) + ax^2+bx+c$.
$x=0$ માટે: $p(0) = 1$. તેથી,$c = 1$.
$x=1$ માટે: $p(1) = 3$. તેથી,$a+b+c = 3 \Rightarrow a+b = 2$.
$x=-1$ માટે: $p(-1) = -1$. તેથી,$a-b+c = -1 \Rightarrow a-b = -2$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2a = 0 \Rightarrow a = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2b = 4 \Rightarrow b = 2$.
તેથી,$r(x) = 2x+1$.
$r(x) = 2x+1$ ની ઘાત $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A, G, H$ એ બે ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમાંતર,ગુણોત્તર અને હરાત્મક મધ્યક છે,તેથી $A > G > H > 0$ અને $AH = G^2$ થાય.
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $A(G-H) x^2 + G(H-A) x + H(A-G) = 0$ છે.
ધારો કે $f(x) = A(G-H) x^2 + G(H-A) x + H(A-G)$.
$f(1) = A(G-H) + G(H-A) + H(A-G) = AG - AH + GH - GA + HA - HG = 0$.
તેથી $x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta = 1$ છે. બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{H(A-G)}{A(G-H)}$ થાય.
$\beta = 1$ હોવાથી,$\alpha = \frac{H(A-G)}{A(G-H)}$.
$AH = G^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$\alpha = \frac{G}{A}$ મળે.
$A > G > 0$ હોવાથી,$0 < \frac{G}{A} < 1$ થાય. આમ,$0 < \alpha < 1$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^5-6x^4+11x^3-5x^2-3x+2=0$.
પૂર્ણાંક બીજ શોધતા,$x=1$ અને $x=2$ એ બીજ છે.
બહુપદીને $(x-1)(x-2) = x^2-3x+2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$(x-1)(x-2)(x^3-3x^2+1)=0$.
બિન-પૂર્ણાંક બીજ એ $x^3-3x^2+1=0$ સમીકરણના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્ર મુજબ,બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3$ થાય.
આમ,તમામ બિન-પૂર્ણાંક બીજનો સરવાળો $3$ છે.

(B) આપેલ છે $t^2 = at + b$,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન પૂર્ણાંકો છે.
$t$ વડે ગુણતા,$t^3 = at^2 + bt$ મળે.
$t^2 = at + b$ ની કિંમત મૂકતા:
$t^3 = a(at + b) + bt = a^2t + ab + bt = (a^2 + b)t + ab$.
દરેક વિકલ્પને $(a^2 + b)t + ab$ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$(A)$ $4t + 3$: $a^2 + b = 4$ અને $ab = 3$. જો $a = 1$,તો $b = 3$,જે $1^2 + 3 = 4$ સંતોષે છે. શક્ય છે.
$(B)$ $8t + 5$: $a^2 + b = 8$ અને $ab = 5$. જો $a = 1$,$b = 5$,તો $a^2 + b = 6 \neq 8$. જો $a = 5$,$b = 1$,તો $a^2 + b = 26 \neq 8$. કોઈ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલ શક્ય નથી.
$(C)$ $10t + 3$: $a^2 + b = 10$ અને $ab = 3$. જો $a = 3$,$b = 1$,તો $a^2 + b = 9 + 1 = 10$. શક્ય છે.
$(D)$ $6t + 5$: $a^2 + b = 6$ અને $ab = 5$. જો $a = 1$,$b = 5$,તો $a^2 + b = 1 + 5 = 6$. શક્ય છે.
આમ,$t^3$ ક્યારેય $8t + 5$ બરાબર ન હોઈ શકે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(1+a+b)^2=3(1+a^2+b^2)$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $1+a^2+b^2+2a+2b+2ab = 3+3a^2+3b^2$
પદોને ગોઠવતા: $2a^2+2b^2-2a-2b-2ab+2=0$
$2$ વડે ભાગતા: $a^2+b^2-a-b-ab+1=0$
પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે ફરીથી $2$ વડે ગુણતા: $2a^2+2b^2-2a-2b-2ab+2=0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(a-1)^2+(b-1)^2+(a-b)^2=0$
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય:
$a-1=0, b-1=0, a-b=0$
આનો અર્થ એ છે કે $a=1$ અને $b=1$.
આમ,બરાબર એક ઉકેલ જોડ $(a, b) = (1, 1)$ છે.

(C) ધારો કે $2$-અંકી સંખ્યા $n = 10a + b$ છે,જ્યાં $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
આપેલ છે કે,$n = a^2 + b^3$.
તેથી,$10a + b = a^2 + b^3$.
પદોને ગોઠવતા,$a^2 - 10a + b^3 - b = 0$,જેને $a(10 - a) = b(b - 1)(b + 1)$ તરીકે લખી શકાય.
$b$ ની કિંમતો ચકાસતા:
જો $b = 3$ હોય,તો $a(10 - a) = 3(2)(4) = 24$. સમીકરણ $a^2 - 10a + 24 = 0$ ઉકેલતા,$(a - 4)(a - 6) = 0$ મળે,તેથી $a = 4$ અથવા $a = 6$. આમ,સંખ્યાઓ $43$ અને $63$ છે.
અન્ય કિંમતો માટે કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ મળતો નથી.
તેથી,આવી $2$ સંખ્યાઓ છે.

(D) આપેલ છે $p(x) = x^2 - 5x + a$ અને $q(x) = x^2 - 3x + b$.
$(x - 1)$ એ $\text{HCF}$ હોવાથી,$p(1) = 0$ અને $q(1) = 0$.
$p(1) = 1 - 5 + a = 0 \implies a = 4$.
$q(1) = 1 - 3 + b = 0 \implies b = 2$.
તેથી,$p(x) = x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$ અને $q(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
$k(x) = \text{LCM}(p(x), q(x)) = (x - 1)(x - 2)(x - 4)$.
આપણે $(x - 1) + k(x) = 0$ ના બીજનો સરવાળો શોધવાનો છે.
$(x - 1) + (x - 1)(x - 2)(x - 4) = 0$.
$(x - 1)[1 + (x - 2)(x - 4)] = 0$.
$(x - 1)[1 + x^2 - 6x + 8] = 0$.
$(x - 1)(x^2 - 6x + 9) = 0$.
$(x - 1)(x - 3)^2 = 0$.
બીજ $1, 3, 3$ છે.
બીજનો સરવાળો $1 + 3 + 3 = 7$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $2013 + a^2 = b^2$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $b^2 - a^2 = 2013$ મળે છે.
વર્ગોના તફાવતની નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$(b - a)(b + a) = 2013$ થાય.
$2013$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $3 \times 11 \times 61 = 33 \times 61$ છે.
$a$ અને $b$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોવાથી,$b + a > b - a$ અને બંને $2013$ ના ધન અવયવો હોવા જોઈએ.
$ab$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે એવા અવયવો $(b - a)$ અને $(b + a)$ શોધીએ છીએ જે એકબીજાની સૌથી નજીક હોય.
ધારો કે $b - a = 33$ અને $b + a = 61$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2b = 94 \Rightarrow b = 47$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2a = 28 \Rightarrow a = 14$.
આમ,$ab$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $14 \times 47 = 658$ છે.

(C) ત્રિકોણના અસ્તિત્વ માટે,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ અને તમામ બાજુઓની લંબાઈ ધન હોવી જોઈએ.
ધારો કે બાજુઓ $a = b+5$,$c = 3b-2$ અને $d = 6-b$ છે.
બાજુઓ ધન હોવા માટે: $b > -5$,$b > 2/3$ અને $b < 6$. આમ,$2/3 < b < 6$.
કિસ્સો $I$: $b+5 = 3b-2$
$2b = 7 \Rightarrow b = 3.5$.
બાજુઓ $8.5, 8.5, 2.5$ છે. જે ત્રિકોણની શરતનું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $II$: $3b-2 = 6-b$
$4b = 8 \Rightarrow b = 2$.
બાજુઓ $7, 4, 4$ છે. જે ત્રિકોણની શરતનું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $III$: $b+5 = 6-b$
$2b = 1 \Rightarrow b = 0.5$.
આ શરત $b > 2/3$ નું ઉલ્લંઘન કરે છે.
આમ,$b$ ના $2$ મૂલ્યો શક્ય છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $a x^2+(a+b) x+b = 0$
અવયવ પાડતા:
$a x^2 + a x + b x + b = 0$
$a x(x + 1) + b(x + 1) = 0$
$(a x + b)(x + 1) = 0$
બીજ $x = -\frac{b}{a}$ અને $x = -1$ છે.
વિશ્લેષણ:
$1$. $-1$ એક બીજ હોવાથી,સમીકરણ હંમેશા ઓછામાં ઓછું એક ઋણ બીજ ધરાવે છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
$2$. બીજ $-1$ અને $-\frac{b}{a}$ છે. $a$ અને $b$ વાસ્તવિક હોવાથી બંને બીજ વાસ્તવિક છે. તેથી,વિધાન $III$ સાચું છે.
$3$. ધન બીજનું અસ્તિત્વ $-\frac{b}{a}$ ની નિશાની પર આધાર રાખે છે. જો $\frac{b}{a} > 0$ હોય,તો બીજ ઋણ છે. જો $\frac{b}{a} < 0$ હોય,તો બીજ ધન છે. $\frac{b}{a}$ ની નિશાની નિશ્ચિત ન હોવાથી,વિધાન $II$ હંમેશા સાચું નથી.
તેથી,વિધાન $I$ અને $III$ હંમેશા સાચા છે.

(C) ધારો કે પિરામિડના ચોરસ પાયાની બાજુ $x$ છે અને પિરામિડની ઊંચાઈ $y$ છે.
પિરામિડનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} x^2 y$ છે.
જ્યારે બાજુની લંબાઈ $x$ માં $p \%$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવી બાજુની લંબાઈ $x' = x \left(\frac{100+p}{100}\right)$ થાય.
જ્યારે ઊંચાઈ $y$ માં $p \%$ નો ઘટાડો થાય,ત્યારે નવી ઊંચાઈ $y' = y \left(\frac{100-p}{100}\right)$ થાય.
ઘનફળ સમાન રહેતું હોવાથી,$V = \frac{1}{3} (x')^2 y' = \frac{1}{3} x^2 y$.
સાદુરૂપ આપતા,$1 = \left(\frac{100+p}{100}\right)^2 \left(\frac{100-p}{100}\right)$ મળે.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $p^2 + 100p - 10000 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$p = 50(\sqrt{5} - 1) \approx 61.8$ મળે.
તેથી,$60 < p < 65$.

(C) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$.
આપેલ છે કે $f(2) = 10$,તેથી $4a + 2b + c = 10$ $(i)$.
આપેલ છે કે $f(-2) = -2$,તેથી $4a - 2b + c = -2$ $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માંથી બાદ કરતા:
$(4a + 2b + c) - (4a - 2b + c) = 10 - (-2)$
$4b = 12$
$b = 3$.
$f(x)$ માં $x$ નો સહગુણક $b$ છે,જે $3$ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = ax^2 + bx + c$ જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
$f(1) = 0$ હોવાથી,$a + b + c = 0$,જેનો અર્થ છે $c = -a - b$.
$f(x)$ માં $c$ ની કિંમત મૂકતા,$f(x) = ax^2 + bx - a - b = (x - 1)(ax + a + b)$.
$40 < f(6) < 50 \implies 40 < 5(7a + b) < 50 \implies 8 < 7a + b < 10$.
$a, b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$7a + b = 9$.
$60 < f(7) < 70 \implies 60 < 6(8a + b) < 70 \implies 10 < 8a + b < 11.66$.
તેથી,$8a + b = 11$.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા: $a = 2$ અને $b = -5$.
તેથી $c = 3$ અને $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$.
$f(50) = 2(50)^2 - 5(50) + 3 = 4753$.
$1000t < 4753 < 1000(t + 1)$ હોવાથી,$t = 4$ મળે છે.

(C) પરવલય $y = x^2 + 2ax + 2021$ અને $x$-અક્ષ $(y = 0)$ ના છેદબિંદુઓ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 2ax + 2021 = 0$ ના ઉકેલો દ્વારા મળે છે.
ઉકેલો સંમેય હોવા માટે,વિવેચક $D$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = (2a)^2 - 4(1)(2021) = 4a^2 - 8084 = 4(a^2 - 2021)$.
તેથી,$a^2 - 2021$ એ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ,ધારો કે $\lambda^2$.
$a^2 - \lambda^2 = 2021 \Rightarrow (a - \lambda)(a + \lambda) = 2021$.
$2021 = 43 \times 47$ હોવાથી,આપણે અવયવો $(1, 2021)$ અને $(43, 47)$ લઈએ.
$a$ ની મહત્તમ કિંમત માટે,$a + \lambda = 2021$ અને $a - \lambda = 1$ લેતા.
સરવાળો કરતા: $2a = 2022 \Rightarrow a = 1011$.
બીજો કિસ્સો: $a + \lambda = 47$ અને $a - \lambda = 43$ $\Rightarrow 2a = 90$ $\Rightarrow a = 45$.
આમ,$E$ નો સૌથી મોટો ઘટક $1011$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 4x \cos \theta + \cot \theta = 0$ ના બીજ સમાન હોવા માટે,તેનો વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = (4 \cos \theta)^2 - 4(1)(\cot \theta) = 0$
$16 \cos^2 \theta - 4 \cot \theta = 0$
$4 \cos^2 \theta = \cot \theta$
$4 \cos^2 \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$0 < \theta < \pi / 2$ હોવાથી,$\cos \theta \neq 0$,તેથી આપણે $\cos \theta$ વડે ભાગી શકીએ:
$4 \cos \theta \sin \theta = 1$
$2 \sin 2 \theta = 1$
$\sin 2 \theta = \frac{1}{2}$
$0 < \theta < \pi / 2$ હોવાથી,$0 < 2 \theta < \pi$ મળે. $2 \theta$ માટેના ઉકેલો $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{5 \pi}{6}$ છે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{12}$ અથવા $\theta = \frac{5 \pi}{12}$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. આપણને બે ખૂણાઓ $A = 2x + 7$ અને $B = 7x + 10$ આપેલા છે.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે,ઓછામાં ઓછા બે ખૂણા સમાન હોવા જોઈએ. આપણે ત્રણ કિસ્સાઓ વિચારીએ છીએ:
કિસ્સો $1$: $A = B$
$2x + 7 = 7x + 10$ $\Rightarrow 5x = -3$ $\Rightarrow x = -0.6$.
ખૂણાઓ $A = 5.8^\circ, B = 5.8^\circ, C = 168.4^\circ$ છે. આ એક માન્ય ત્રિકોણ છે.
કિસ્સો $2$: $A = C$
$A + B + C = 180^\circ$ હોવાથી,$2A + B = 180^\circ$.
$2(2x + 7) + (7x + 10) = 180$ $\Rightarrow 11x = 156$ $\Rightarrow x = \frac{156}{11}$.
આ એક માન્ય ત્રિકોણ છે.
કિસ્સો $3$: $B = C$
$A + B + C = 180^\circ$ હોવાથી,$A + 2B = 180^\circ$.
$(2x + 7) + 2(7x + 10) = 180$ $\Rightarrow 16x = 153$ $\Rightarrow x = \frac{153}{16}$.
આ એક માન્ય ત્રિકોણ છે.
આમ,$x$ ની કુલ $3$ વાસ્તવિક કિંમતો મળે છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2 - ax + b = 0$ અને $x^3 - ax^2 + bx + a - b = 0$ નું સામાન્ય વાસ્તવિક બીજ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે,$\alpha^2 - a\alpha + b = 0$ મળે.
બીજા સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા: $\alpha(\alpha^2 - a\alpha + b) + a - b = 0$.
$\alpha^2 - a\alpha + b = 0$ હોવાથી,$a - b = 0$ મળે,એટલે કે $a = b$.
$a = b$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,$x^2 - ax + a = 0$ મળે.
વાસ્તવિક બીજ માટે વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ,તેથી $a^2 - 4a \geq 0$.
આથી $a(a - 4) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \leq 0$ અથવા $a \geq 4$.
$1 \leq a, b \leq 2021$ અને $a = b$ હોવાથી,$4 \leq a \leq 2021$ મળે.
આવા પૂર્ણાંકો $a$ ની કુલ સંખ્યા $2021 - 4 + 1 = 2018$ છે.