Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{4x - 1}$ $(i)$
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,$x + 1 \ge 0$,$x - 1 \ge 0$,અને $4x - 1 \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \ge 1$.
$(i)$ ની બંને બાજુઓનો વર્ગ કરતા:
$(x + 1) + (x - 1) - 2\sqrt{x^2 - 1} = 4x - 1$
$2x - 2\sqrt{x^2 - 1} = 4x - 1$
$-2\sqrt{x^2 - 1} = 2x - 1$
કારણ કે $x \ge 1$,ડાબી બાજુ $-2\sqrt{x^2 - 1} \le 0$ છે,જ્યારે જમણી બાજુ $2x - 1 \ge 2(1) - 1 = 1$ છે.
ઋણતર સંખ્યા ધન સંખ્યાની બરાબર ન હોઈ શકે,તેથી સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ: $5^{x - 1} + 5 \cdot (0.2)^{x - 2} = 26$
$0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ હોવાથી:
$5^{x - 1} + 5 \cdot (5^{-1})^{x - 2} = 26$
$5^{x - 1} + 5 \cdot 5^{-(x - 2)} = 26$
$5^{x - 1} + 5^{3 - x} = 26$
$5^{x - 1} + \frac{125}{5^x} = 26$
ધારો કે $y = 5^{x - 1}$,તેથી $5^x = 5y$.
$y + \frac{25}{y} = 26$
$y^2 - 26y + 25 = 0$
$(y - 25)(y - 1) = 0$
તેથી $y = 25$ અથવા $y = 1$.
જો $5^{x - 1} = 5^2$ હોય,તો $x = 3$.
જો $5^{x - 1} = 5^0$ હોય,તો $x = 1$.
આમ,$x$ ના $2$ મૂલ્યો સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(B) આપેલ છે કે $x = \sqrt{7} + \sqrt{3}$ અને $xy = 4$.
$xy = 4$ હોવાથી,$y = \frac{4}{x} = \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $y = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$.
હવે,$x + y = (\sqrt{7} + \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{7}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2$.
પ્રથમ,$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (2\sqrt{7})^2 - 2(4) = 28 - 8 = 20$.
તેથી,$x^4 + y^4 = (20)^2 - 2(xy)^2 = 400 - 2(4)^2 = 400 - 2(16) = 400 - 32 = 368$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{x + 10} + \sqrt{x - 2} = 6$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\sqrt{x + 10} = 6 - \sqrt{x - 2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x + 10 = (6 - \sqrt{x - 2})^2$
$x + 10 = 36 + (x - 2) - 12\sqrt{x - 2}$
$x + 10 = 34 + x - 12\sqrt{x - 2}$
બંને બાજુથી $x$ બાદ કરતા: $10 = 34 - 12\sqrt{x - 2}$
$-24 = -12\sqrt{x - 2}$
$-12$ વડે ભાગતા: $2 = \sqrt{x - 2}$
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = x - 2$
$x = 6$
ચકાસણી: $\sqrt{6 + 10} + \sqrt{6 - 2} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(A) ધારો કે શેષ $Q(x) = ax^2 + bx + c$ છે. શેષ પ્રમેય મુજબ:
$f(-1) = 6 \implies a - b + c = 6$ $(i)$
$f(2) = 3 \implies 4a + 2b + c = 3$ (ii)
$f(-2) = 15 \implies 4a - 2b + c = 15$ (iii)
(ii) માંથી (iii) બાદ કરતા: $4b = -12 \implies b = -3$.
$(i)$ અને (ii) માં $b = -3$ મૂકતા:
$a + c = 3$ અને $4a + c = 9$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા $a = 2$ અને $c = 1$ મળે છે.
તેથી,શેષ $Q(x) = 2x^2 - 3x + 1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4^{(x^2 + 2)} - 9 \cdot 2^{(x^2 + 2)} + 8 = 0$
ધારો કે $y = 2^{(x^2 + 2)}$. તેથી $4^{(x^2 + 2)} = (2^{(x^2 + 2)})^2 = y^2$ થાય.
સમીકરણ: $y^2 - 9y + 8 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(y - 8)(y - 1) = 0$
તેથી $y = 8$ અથવા $y = 1$.
કિસ્સો $1$: $y = 8$
$2^{(x^2 + 2)} = 2^3$
$x^2 + 2 = 3$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
કિસ્સો $2$: $y = 1$
$2^{(x^2 + 2)} = 2^0$
$x^2 + 2 = 0$
$x^2 = -2$ (જે શક્ય નથી).
આમ,ઉકેલ $x = 1$ અને $x = -1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x = 2 + \sqrt{3}$ અને $xy = 1$,તેથી $y = \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.
ધારો કે $S = \frac{x}{\sqrt{2} + \sqrt{x}} + \frac{y}{\sqrt{2} - \sqrt{y}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$S = \frac{x(\sqrt{2} - \sqrt{x})}{2 - x} + \frac{y(\sqrt{2} + \sqrt{y})}{2 - y}$.
$x - 2 = \sqrt{3}$ અને $2 - y = \sqrt{3}$ હોવાથી:
$S = \frac{x(\sqrt{2} - \sqrt{x})}{-\sqrt{3}} + \frac{y(\sqrt{2} + \sqrt{y})}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} [\sqrt{2}(y - x) + (x\sqrt{x} + y\sqrt{y})]$.
$y - x = -2\sqrt{3}$ અને $x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 3\sqrt{6}$ હોવાથી,
$S = \frac{1}{\sqrt{3}} [\sqrt{2}(-2\sqrt{3}) + 3\sqrt{6}] = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^4 - x^3 + x - 1 = 0$
અવયવ પાડતા:
$x^3(x - 1) + 1(x - 1) = 0$
$(x^3 + 1)(x - 1) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે:
$1) x - 1 = 0 \implies x = 1$
$2) x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -1$
$x^3 = -1$ ના બીજ $x = -1$ અને સંકર બીજ $\frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ છે.
આમ,સમીકરણના બીજ $1, -1, \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}, \text{ અને } \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ છે.
તેના વાસ્તવિક બીજ $1$ અને $-1$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $a^2 - 2a\sin x + 1 = 0$ છે.
$a$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (-2\sin x)^2 - 4(1)(1) = 4\sin^2 x - 4 = -4\cos^2 x$.
$D \ge 0$ હોવાથી,$-4\cos^2 x \ge 0$,એટલે કે $\cos^2 x \le 0$.
$\cos^2 x$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $\cos^2 x = 0$ એટલે કે $\cos x = 0$.
જો $\cos x = 0$,તો $\sin x = 1$ અથવા $\sin x = -1$.
કિસ્સો $1$: જો $\sin x = 1$,તો $a^2 - 2a + 1 = 0$ $\Rightarrow (a - 1)^2 = 0$ $\Rightarrow a = 1$.
કિસ્સો $2$: જો $\sin x = -1$,તો $a^2 + 2a + 1 = 0$ $\Rightarrow (a + 1)^2 = 0$ $\Rightarrow a = -1$.
આમ,$a$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યો $1$ અને $-1$ છે.
કુલ $2$ વાસ્તવિક મૂલ્યો મળે છે.

(D) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
એક સંખ્યા બીજી સંખ્યાનો વ્યસ્ત હોવાથી,$b = \frac{1}{a}$ મળે.
બે સંખ્યાઓનો સમાંતર મધ્યક $\frac{a + b}{2} = \frac{13}{12}$ આપેલ છે.
$b = \frac{1}{a}$ મૂકતા,$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} = \frac{13}{12}$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$a + \frac{1}{a} = \frac{13}{6}$ મળે.
સમીકરણને $6a$ વડે ગુણતા,$6a^2 + 6 = 13a$,એટલે કે $6a^2 - 13a + 6 = 0$ દ્વિઘાત સમીકરણ મળે.
અવયવ પાડતા: $6a^2 - 9a - 4a + 6 = 0 \Rightarrow 3a(2a - 3) - 2(2a - 3) = 0$.
આથી $(3a - 2)(2a - 3) = 0$ મળે.
તેથી,$a = \frac{2}{3}$ અથવા $a = \frac{3}{2}$.
જો $a = \frac{3}{2}$ હોય,તો $b = \frac{2}{3}$ થાય.
આમ,તે સંખ્યાઓ $\frac{3}{2}$ અને $\frac{2}{3}$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a(b - c)x^2 + b(c - a)x + c(a - b) = 0$ છે.
બીજ સમાન હોવાથી,વિવેચક $D = 0$ થાય.
અહીં,$A = a(b - c)$,$B = b(c - a)$,અને $C = c(a - b)$.
$B^2 - 4AC = 0 \Rightarrow [b(c - a)]^2 - 4[a(b - c)][c(a - b)] = 0$.
$b^2(c - a)^2 - 4ac(b - c)(a - b) = 0$.
$b^2(c^2 - 2ac + a^2) - 4ac(ab - b^2 - ac + bc) = 0$.
$b^2c^2 - 2ab^2c + a^2b^2 - 4a^2bc + 4ab^2c + 4a^2c^2 - 4abc^2 = 0$.
$(bc + ab - 2ac)^2 = 0$.
$bc + ab = 2ac$.
$abc$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ મળે.
આ દર્શાવે છે કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: ${x^2} - 2Ax + {G^2} = 0$ $(i)$
ધારો કે $a$ અને $b$ બે ધન સંખ્યાઓ છે જેનો સમાંતર મધ્યક $A$ અને સમગુણોત્તર મધ્યક $G$ છે.
તેથી,$A = \frac{a + b}{2}$ અને $G^2 = ab$.
આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: ${x^2} - (a + b)x + ab = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: ${x^2} - ax - bx + ab = 0$ $\Rightarrow x(x - a) - b(x - a) = 0$ $\Rightarrow (x - a)(x - b) = 0$.
આમ,સમીકરણના બીજ $a$ અને $b$ છે.
વાસ્તવિક બીજ $a$ અને $b$ અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,વિવેચક $D$ શૂન્ય અથવા ધન હોવો જોઈએ: $D = (-2A)^2 - 4(1)(G^2) \ge 0$.
$4A^2 - 4G^2 \ge 0 \Rightarrow A^2 \ge G^2$.
કારણ કે $A$ અને $G$ ધન સંખ્યાઓના મધ્યક છે,$A, G > 0$,તેથી $A \ge G$.
ચોક્કસ રીતે,$A - G = \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{1}{2}(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$.
તેથી,$A \ge G$.

(A) આપેલ છે કે $p, q, r$ એ $A.P.$ માં છે અને ધન છે.
તેથી,$q = \frac{p + r}{2}$ ......$(i)$
દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2 + qx + r = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$.
$D = q^2 - 4pr \ge 0$
$(i)$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$\left( \frac{p + r}{2} \right)^2 - 4pr \ge 0$
$p^2 + r^2 + 2pr - 16pr \ge 0$
$p^2 + r^2 - 14pr \ge 0$
$p^2$ વડે ભાગતા (કારણ કે $p > 0$):
$1 + \left( \frac{r}{p} \right)^2 - 14\left( \frac{r}{p} \right) \ge 0$
$\left( \frac{r}{p} \right)^2 - 14\left( \frac{r}{p} \right) + 1 \ge 0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 - 49 + 1 \ge 0$
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 \ge 48$
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 \ge (4\sqrt{3})^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\left| \frac{r}{p} - 7 \right| \ge 4\sqrt{3}$.

(A) આપેલ છે કે $a + b + c + d = 2$. ધારો કે $x = a + b$ અને $y = c + d$. તેથી $x + y = 2$ અને $M = xy$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \ge GM)$ મુજબ,$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2}{2} \ge \sqrt{M}$,જેનો અર્થ છે કે $1 \ge \sqrt{M}$,અથવા $M \le 1$.
કારણ કે $a, b, c, d$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,$x > 0$ અને $y > 0$,તેથી $M = xy > 0$.
આમ,સંબંધ $0 < M \le 1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $a(x^2 + 1) - (a^2 + 1)x = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $ax^2 + a - a^2x - x = 0$
પદોને ગોઠવતા: $ax^2 - a^2x - x + a = 0$
અવયવ પાડતા: $ax(x - a) - 1(x - a) = 0$
$(ax - 1)(x - a) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $ax - 1 = 0$ અથવા $x - a = 0$
આમ,$x = \frac{1}{a}$ અથવા $x = a$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$
ધારો કે $y = x^2$,તો સમીકરણ $y^2 - 8y - 9 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^2 - 9y + y - 9 = 0$
$y(y - 9) + 1(y - 9) = 0$
$(y + 1)(y - 9) = 0$
તેથી,$y = -1$ અથવા $y = 9$.
$y = x^2$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $x^2 = -1 \Rightarrow x = \pm i$
કિસ્સો $2$: $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$
આમ,બીજ $x = \pm 3, \pm i$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^{2/3} + x^{1/3} - 2 = 0$
ધારો કે $a = x^{1/3}$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$a^2 + a - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(a + 2)(a - 1) = 0$
તેથી,$a = 1$ અથવા $a = -2$.
કિસ્સો $1$: જો $a = 1$ હોય,તો $x^{1/3} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1^3 = 1$.
કિસ્સો $2$: જો $a = -2$ હોય,તો $x^{1/3} = -2$,જેનો અર્થ છે કે $x = (-2)^3 = -8$.
આમ,બીજ $x = 1, -8$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x = 2 + 2^{2/3} + 2^{1/3}$.
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા,આપણને $x - 2 = 2^{2/3} + 2^{1/3}$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$(x - 2)^3 = (2^{2/3} + 2^{1/3})^3$.
નિત્યસમ $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^3 - 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) - 2^3 = (2^{2/3})^3 + (2^{1/3})^3 + 3(2^{2/3})(2^{1/3})(2^{2/3} + 2^{1/3})$.
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 4 + 2 + 3(2^1)(x - 2)$.
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 6 + 6x - 12$.
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 6x - 6$.
પદોને ગોઠવતા,$x^3 - 6x^2 + 6x = 8 - 6 = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3x + 1} + 1 = \sqrt{x}$ છે.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા,$\sqrt{3x + 1} = \sqrt{x} - 1$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3x + 1 = x + 1 - 2\sqrt{x}$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$2x = -2\sqrt{x}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = -\sqrt{x}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા,$x^2 = x$,તેથી $x^2 - x = 0$,જે $x(x - 1) = 0$ આપે છે,એટલે કે $x = 0$ અથવા $x = 1$.
$x = 0$ ચકાસતા: $\sqrt{3(0) + 1} + 1 = 1 + 1 = 2$,જ્યારે $\sqrt{0} = 0$. $2 \neq 0$ હોવાથી,$x = 0$ ઉકેલ નથી.
$x = 1$ ચકાસતા: $\sqrt{3(1) + 1} + 1 = 2 + 1 = 3$,જ્યારે $\sqrt{1} = 1$. $3 \neq 1$ હોવાથી,$x = 1$ ઉકેલ નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(B) ધારો કે જરૂરી સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x = \sqrt{x} + 12$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,$x - 12 = \sqrt{x}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 12)^2 = x$.
$x^2 - 24x + 144 = x$.
$x^2 - 25x + 144 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 16)(x - 9) = 0$.
તેથી,$x = 16$ અથવા $x = 9$.
$x = 16$ માટે તપાસતા: $16 - \sqrt{16} = 16 - 4 = 12$. આ શરતનું પાલન કરે છે.
$x = 9$ માટે તપાસતા: $9 - \sqrt{9} = 9 - 3 = 6 \neq 12$. આ શરતનું પાલન કરતું નથી.
તેથી,સાચી સંખ્યા $16$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$ છે,જેને $(3^x)^2 - 10(3^x) + 9 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $a = 3^x$. તો સમીકરણ $a^2 - 10a + 9 = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(a - 9)(a - 1) = 0$ મળે,તેથી $a = 9$ અથવા $a = 1$.
કિસ્સો $1$: જો $a = 9$ હોય,તો $3^x = 9 = 3^2$,તેથી $x = 2$.
કિસ્સો $2$: જો $a = 1$ હોય,તો $3^x = 1 = 3^0$,તેથી $x = 0$.
આમ,સમીકરણના બીજ $0$ અને $2$ છે.

(C) આપેલ છે: ${x^2} + {y^2} = 25$ અને ${xy} = 12$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$y = \frac{12}{x}$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: ${x^2} + \left( \frac{12}{x} \right)^2 = 25$.
${x^2} + \frac{144}{x^2} = 25$.
${x^2}$ વડે ગુણતા: ${x^4} + 144 = 25{x^2}$.
ગોઠવતા: ${x^4} - 25{x^2} + 144 = 0$.
ધારો કે ${x^2} = t$,તો ${t^2} - 25t + 144 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(t - 16)(t - 9) = 0$.
તેથી,${x^2} = 16$ અથવા ${x^2} = 9$.
આમ,$x = \pm 4$ અથવા $x = \pm 3$.
$x$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ $\{3, 4, -3, -4\}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ પૂર્ણાંક છે,તેથી દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સહગુણકો સંમેય છે.
જો સંમેય સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણનું એક બીજ $\alpha + \sqrt{\beta}$ સ્વરૂપનું હોય (જ્યાં $\sqrt{\beta}$ અસંમેય છે),તો બીજું બીજ તેનું અનુબદ્ધ $\alpha - \sqrt{\beta}$ હોય.
અહીં,એક બીજ $3 + \sqrt{5}$ છે.
તેથી,બીજું બીજ $3 - \sqrt{5}$ થશે.

(D) આપેલ સમીકરણ $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ છે.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2 - 3t + 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 1)(t - 2) = 0$.
આથી $t = 1$ અથવા $t = 2$ મળે.
$t = |x|$ હોવાથી,$|x| = 1$ અથવા $|x| = 2$ મળે.
$|x| = 1$ માટે,ઉકેલો $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
$|x| = 2$ માટે,ઉકેલો $x = 2$ અને $x = -2$ છે.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલો $x \in \{1, -1, 2, -2\}$ છે.
વાસ્તવિક ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $|x^2 + 4x + 3| + 2x + 5 = 0$ છે.
કિસ્સો $I$: $x^2 + 4x + 3 \ge 0$,જેનો અર્થ છે $(x+1)(x+3) \ge 0$,તેથી $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, \infty)$.
સમીકરણ $x^2 + 4x + 3 + 2x + 5 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 6x + 8 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(x+2)(x+4) = 0$ મળે,તેથી $x = -2$ અથવા $x = -4$.
શરત તપાસતા: $x = -4$ એ $x \in (-\infty, -3]$ માં છે,પરંતુ $x = -2$ એ $x \in [-1, \infty)$ માં નથી. તેથી,$x = -4$ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $II$: $x^2 + 4x + 3 < 0$,જેનો અર્થ છે $x \in (-3, -1)$.
સમીકરણ $-(x^2 + 4x + 3) + 2x + 5 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $-x^2 - 2x + 2 = 0$ અથવા $x^2 + 2x - 2 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.
શરત તપાસતા: $\sqrt{3} \approx 1.732$,તેથી $x_1 = -1 + 1.732 = 0.732$ (જે $(-3, -1)$ માં નથી) અને $x_2 = -1 - 1.732 = -2.732$ (જે $(-3, -1)$ માં છે).
આમ,$x = -1 - \sqrt{3}$ એક ઉકેલ છે.
કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(p - q){x^2} + (q - r)x + (r - p) = 0$ છે.
અહીં સહગુણકોનો સરવાળો $(p - q) + (q - r) + (r - p) = 0$ થાય છે.
જો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માં સહગુણકોનો સરવાળો $0$ હોય,તો $x = 1$ એ એક બીજ હોય છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ થાય.
અહીં,$\alpha = 1$,તેથી $1 \times \beta = \frac{r - p}{p - q}$.
તેથી,બીજ $1$ અને $\frac{r - p}{p - q}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $4$ એ સમીકરણ $x^2 + px + 12 = 0$ નું એક બીજ છે.
$x = 4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $4^2 + p(4) + 12 = 0$.
$16 + 4p + 12 = 0$ $\Rightarrow 4p = -28$ $\Rightarrow p = -7$.
હવે,બીજું સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ છે,જે $x^2 - 7x + q = 0$ બને છે.
આ સમીકરણના બીજ સમાન હોવાથી,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
$(-7)^2 - 4(1)(q) = 0$.
$49 - 4q = 0$ $\Rightarrow 4q = 49$ $\Rightarrow q = \frac{49}{4}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$.
પદ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $x - 1 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \neq 1$.
સમીકરણની બંને બાજુએ $\frac{2}{x - 1}$ ઉમેરતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.
જોકે,મૂળ સમીકરણની શરત મુજબ $x \neq 1$ છે.
તેથી,શક્ય ઉકેલ $x = 1$ એ સમીકરણના પ્રદેશમાં આવતો નથી,તેથી આ સમીકરણને કોઈ બીજ નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{1}{x} = 2$ (જ્યાં $x \neq 0$).
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 + 1 = 2x$
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવતા:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
આ પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે:
$(x - 1)^2 = 0$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = 1$.
આમ,$1$ એ વિકલ્પો $A, B, C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3x^2 - 7x - 30} + \sqrt{2x^2 - 7x - 5} = x + 5$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\sqrt{3x^2 - 7x - 30} = (x + 5) - \sqrt{2x^2 - 7x - 5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3x^2 - 7x - 30 = (x + 5)^2 + (2x^2 - 7x - 5) - 2(x + 5)\sqrt{2x^2 - 7x - 5}$
$3x^2 - 7x - 30 = 3x^2 + 3x + 20 - 2(x + 5)\sqrt{2x^2 - 7x - 5}$
$-10x - 50 = -2(x + 5)\sqrt{2x^2 - 7x - 5}$
$5(x + 5) = (x + 5)\sqrt{2x^2 - 7x - 5}$
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $x + 5 = 0$ અથવા $5 = \sqrt{2x^2 - 7x - 5}$.
જો $x = 6$ હોય,તો મૂળ સમીકરણમાં કિંમત મુકતા: $\sqrt{36} + \sqrt{25} = 6 + 5 = 11$,જે સાચું છે.
તેથી,$x = 6$ એ ઉકેલ છે.

(B) ધારો કે $x = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots \infty}}$.
અનંત શ્રેણી હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $x = 2 + \frac{1}{x}$.
$x$ વડે ગુણતા,$x^2 = 2x + 1$,જે $x^2 - 2x - 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
આપેલ પદાવલિ ધન અને $2$ કરતા મોટી હોવી જોઈએ,તેથી $1 - \sqrt{2}$ શક્ય નથી.
આમ,સાચો જવાબ $1 + \sqrt{2}$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને વધુમાં વધુ $2$ બીજ હોઈ શકે,સિવાય કે તે નિત્યસમ હોય.
અહીં સમીકરણને $3$ ભિન્ન બીજ હોવાથી,તે નિત્યસમ હોવું જોઈએ.
તેથી,બધા સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ,એટલે કે $a = 0, b = 0, c = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ $|x|^2 - 7|x| + 12 = 0$ છે.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2 - 7t + 12 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t - 4)(t - 3) = 0$.
તેથી $t = 4$ અથવા $t = 3$ મળે.
$|x| = t$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $|x| = 4 \implies x = 4, -4$.
કિસ્સો $2$: $|x| = 3 \implies x = 3, -3$.
આમ,ઉકેલો $4, -4, 3, -3$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}$
વર્ગમૂળની અંદરનું પદ $x$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $x^2 = 2 + x$
પદોને ગોઠવતા,$x^2 - x - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x + 1) = 0$
આથી $x = 2$ અથવા $x = -1$ મળે.
ધન સંખ્યાનું વર્ગમૂળ હંમેશા ધન હોવાથી,$x$ ની કિંમત $-1$ ન હોઈ શકે.
તેથી,$x = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{4x - 1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + 1) + (x - 1) - 2\sqrt{(x + 1)(x - 1)} = 4x - 1$.
$2x - 2\sqrt{x^2 - 1} = 4x - 1$.
$-2\sqrt{x^2 - 1} = 2x - 1$.
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4(x^2 - 1) = (2x - 1)^2$.
$4x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1$.
$-4 = -4x + 1$.
$4x = 5 \implies x = 5/4$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = 5/4$ મુકતા: $\sqrt{5/4 + 1} - \sqrt{5/4 - 1} = \sqrt{9/4} - \sqrt{1/4} = 3/2 - 1/2 = 1$.
પરંતુ,જમણી બાજુ $\sqrt{4(5/4) - 1} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$ છે.
$1 \neq 2$ હોવાથી,$x = 5/4$ એ ઉકેલ નથી.
તેથી,સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(C) આપેલ છે કે $x = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots \infty}}}$.
પદ અનંત હોવાથી,આપણે $x = \sqrt{6 + x}$ લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 6 + x$ મળે,જ્યાં $x > 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - 6 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x + 2) = 0$.
આથી $x = 3$ અથવા $x = -2$ મળે.
$x$ એ વર્ગમૂળ હોવાથી,$x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $x = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^2 + 5|x| + 4 = 0$.
$x^2 = |x|^2$ હોવાથી,સમીકરણ $|x|^2 + 5|x| + 4 = 0$ બને છે.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \ge 0$. સમીકરણ $t^2 + 5t + 4 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(t + 1)(t + 4) = 0$.
આથી $t = -1$ અથવા $t = -4$ મળે છે.
$|x| = t$ હોવાથી અને નિરપેક્ષ કિંમત હંમેશા અ-ઋણ $(|x| \ge 0)$ હોવી જોઈએ,તેથી $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત શક્ય નથી.
આમ,સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ $|x - 2| = x^2$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x - 2 \ge 0$ (એટલે કે $x \ge 2$),તો $x - 2 = x^2 \Rightarrow x^2 - x + 2 = 0$. વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0$,તેથી આ કિસ્સામાં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $x - 2 < 0$ (એટલે કે $x < 2$),તો $-(x - 2) = x^2$ $\Rightarrow 2 - x = x^2$ $\Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 2)(x - 1) = 0$.
આથી $x = -2$ અથવા $x = 1$ મળે છે.
બંને કિંમતો શરત $x < 2$ નું પાલન કરે છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{ 1, -2 \}$ છે.

(A) ધારો કે $y = |x - 2|$. સમીકરણ $y^2 + y - 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y + 3)(y - 2) = 0$.
આથી $y = -3$ અથવા $y = 2$ મળે.
$y = |x - 2|$ હોવાથી,$y$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $y = -3$ ને અવગણતા.
આમ,$|x - 2| = 2$.
તેથી $x - 2 = 2$ અથવા $x - 2 = -2$.
આ ઉકેલતા,$x = 4$ અથવા $x = 0$ મળે.
તેથી,બીજ $0, 4$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{p + q - x}{r} + \frac{q + r - x}{p} + \frac{r + p - x}{q} + \frac{3x}{p + q + r} = 0$
સમીકરણની બંને બાજુ $3$ ઉમેરતા:
$(\frac{p + q - x}{r} + 1) + (\frac{q + r - x}{p} + 1) + (\frac{r + p - x}{q} + 1) + \frac{3x}{p + q + r} = 3$
$\frac{p + q + r - x}{r} + \frac{q + r + p - x}{p} + \frac{r + p + q - x}{q} + \frac{3x}{p + q + r} = 3$
$(p + q + r - x) (\frac{1}{r} + \frac{1}{p} + \frac{1}{q}) = 3 - \frac{3x}{p + q + r}$
$(p + q + r - x) (\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r}) = 3 (\frac{p + q + r - x}{p + q + r})$
$(p + q + r - x) [\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} - \frac{3}{p + q + r}] = 0$
આથી $p + q + r - x = 0$ અથવા કૌંસ વાળું પદ શૂન્ય થાય.
તેથી,$x = p + q + r$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,જો બીજ સમાન હોય તો વિવેચક $D = B^2 - 4AC = 0$ થાય.
અહીં,$A = (m^2 + 1)$,$B = 2am$,અને $C = a^2 - b^2$ છે.
શરત $B^2 - 4AC = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(2am)^2 - 4(m^2 + 1)(a^2 - b^2) = 0$
$4a^2m^2 - 4(m^2a^2 - m^2b^2 + a^2 - b^2) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$a^2m^2 - m^2a^2 + m^2b^2 - a^2 + b^2 = 0$
$m^2b^2 - a^2 + b^2 = 0$
$b^2(m^2 + 1) - a^2 = 0$
તેથી,$a^2 - b^2(m^2 + 1) = 0$.

(B) $P(x) = 0$ અને $Q(x) = 0$ ના વિવેચકો અનુક્રમે $D_1$ અને $D_2$ છે.
$D_1 = b^2 - 4ac$ અને $D_2 = d^2 + 4ac$.
વિવેચકોનો સરવાળો: $D_1 + D_2 = b^2 + d^2$.
$b^2 \ge 0$ અને $d^2 \ge 0$ હોવાથી,$D_1 + D_2 \ge 0$.
જો $D_1 < 0$ અને $D_2 < 0$ હોય,તો $D_1 + D_2 < 0$ થાય,જે શક્ય નથી.
તેથી,$D_1$ અથવા $D_2$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $0$ કે તેથી મોટું હોવું જોઈએ.
આમ,$P(x) \cdot Q(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા બે વાસ્તવિક બીજ હોય.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - (a+b)x + ab) + (x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (c+a)x + ca) = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$3x^2 - 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ છે.
અહીં,$A = 3$,$B = -2(a + b + c)$,અને $C = (ab + bc + ca)$.
$D = [-2(a + b + c)]^2 - 4(3)(ab + bc + ca)$
$D = 4(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - 12(ab + bc + ca)$
$D = 4(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
$D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અઋણ હોવાથી,$D \ge 0$ થાય.
તેથી,બીજ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $({p^2} + {q^2}){x^2} - 2q(p + r)x + ({q^2} + {r^2}) = 0$ છે.
બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોવાથી,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
અહીં,$a = ({p^2} + {q^2})$,$b = -2q(p + r)$,અને $c = ({q^2} + {r^2})$ છે.
તેથી,$D = [-2q(p + r)]^2 - 4({p^2} + {q^2})({q^2} + {r^2}) = 0$.
$4q^2(p + r)^2 - 4({p^2}q^2 + p^2r^2 + q^4 + q^2r^2) = 0$.
$4$ વડે ભાગતા,$q^2(p^2 + r^2 + 2pr) - (p^2q^2 + p^2r^2 + q^4 + q^2r^2) = 0$.
$p^2q^2 + q^2r^2 + 2pq^2r - p^2q^2 - p^2r^2 - q^4 - q^2r^2 = 0$.
સાદું રૂપ આપતા,$2pq^2r - p^2r^2 - q^4 = 0$.
$-(q^4 - 2pq^2r + p^2r^2) = 0$.
$-(q^2 - pr)^2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $q^2 - pr = 0$,અથવા $q^2 = pr$.
તેથી,$p, q, r$ એ $G.P.$ માં છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $4ax^2 + 3bx + 2c = 0$ છે.
વિવેચક $D = B^2 - 4AC = (3b)^2 - 4(4a)(2c) = 9b^2 - 32ac$.
આપેલ છે કે $a + b + c = 0$,તેથી $b = -(a + c)$.
$b$ ની કિંમત વિવેચકમાં મૂકતા:
$D = 9(-(a + c))^2 - 32ac = 9(a^2 + 2ac + c^2) - 32ac = 9a^2 - 14ac + 9c^2$.
આ દર્શાવે છે કે બીજ વાસ્તવિક છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2(a^2 + b^2)x^2 + 2(a + b)x + 1 = 0$
$Ax^2 + Bx + C = 0$ સાથે સરખાવતા:
$A = 2(a^2 + b^2)$,$B = 2(a + b)$,$C = 1$
વિવેચક $D = B^2 - 4AC$:
$D = [2(a + b)]^2 - 4 \times 2(a^2 + b^2) \times 1$
$D = 4(a^2 + b^2 + 2ab) - 8(a^2 + b^2)$
$D = -4(a - b)^2$
અહીં $(a - b)^2 \ge 0$ હોવાથી,$D = -4(a - b)^2 \le 0$ થાય.
જો $a \neq b$ હોય,તો $D < 0$,જેનો અર્થ છે કે બીજ કાલ્પનિક છે.

(D) આપેલ છે કે $ax^2 + x + b = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક છે,તેથી વિવેચક $D_1 \ge 0$.
$D_1 = (1)^2 - 4ab \ge 0 \implies 4ab \le 1$.
હવે,બીજું સમીકરણ $x^2 - 4\sqrt{ab}x + 1 = 0$ ધ્યાનમાં લો.
આ સમીકરણનો વિવેચક $D_2$ નીચે મુજબ છે:
$D_2 = (-4\sqrt{ab})^2 - 4(1)(1) = 16ab - 4$.
કારણ કે $4ab \le 1$,તેથી $16ab \le 4$,જેનો અર્થ છે કે $16ab - 4 \le 0$.
તેથી,$D_2 \le 0$.
વિવેચક શૂન્ય અથવા શૂન્યથી નાનો હોવાથી,બીજ કાલ્પનિક છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
કિસ્સો $1$: જો વિવેચક $D = b^2 - 4ac \ge 0$ હોય,તો બીજ વાસ્તવિક છે.
$a, b, c > 0$ હોવાથી,$\sqrt{b^2 - 4ac} < \sqrt{b^2} = b$ થાય.
આમ,બંને બીજ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ અને $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ ઋણ છે કારણ કે અંશ ઋણ છે અને $a > 0$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $D = b^2 - 4ac < 0$ હોય,તો બીજ સંકર સંખ્યાઓ છે:
$x = \frac{-b}{2a} \pm i \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$
આ બીજનો વાસ્તવિક ભાગ $\text{Re}(x) = -\frac{b}{2a}$ છે.
$a > 0$ અને $b > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ભાગ $-\frac{b}{2a}$ હંમેશા ઋણ હોય છે.
નિષ્કર્ષ: દરેક કિસ્સામાં,બીજ ઋણ વાસ્તવિક ભાગ ધરાવે છે.