Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં $a \neq 0$ અને $a, b, c$ ભિન્ન છે.
શક્ય ઉકેલોની સંખ્યા $8$ છે.

(D) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ $x^4-x^3-8 x^2+2 x+12=0$ ના બીજ છે. આપેલ છે કે $\alpha+\beta=0$.
આપણે બહુપદીને $(x^2+a)(x^2-x+b) = x^4-x^3+(a+b)x^2-ax+ab$ તરીકે લખી શકીએ.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-a=2 \implies a=-2$.
$ab=12 \implies -2b=12 \implies b=-6$.
આમ,$x^4-x^3-8x^2+2x+12 = (x^2-2)(x^2-x-6) = (x^2-2)(x-3)(x+2)$.
બીજ $\pm\sqrt{2}, 3, -2$ છે.
$\alpha+\beta=0$ હોવાથી,$\alpha=\sqrt{2}, \beta=-\sqrt{2}$ મળે.
અન્ય બીજ $\gamma=3, \delta=-2$ છે (આપેલ છે કે $\gamma > \delta$).
તેથી,$3\gamma+2\delta = 3(3)+2(-2) = 9-4 = 5$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $= a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0$.
સહગુણકોનો સરવાળો $0$ હોવાથી,$x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\beta = 1$.
બીજના ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$\alpha \times \beta = \frac{\text{અચળ પદ}}{\text{x}^2 \text{ નો સહગુણક}} = \frac{c(a-b)}{a(b-c)}$.
તેથી,$\alpha \times 1 = \frac{c(a-b)}{a(b-c)}$.
આમ,બીજ $1$ અને $\frac{c(a-b)}{a(b-c)}$ છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ એક બીજ $x_1 = 3+i$ છે,તેથી બીજું બીજ $x_2 = 3-i$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના બીજનો સરવાળો $-a$ થાય છે.
તેથી,$(3+i) + (3-i) = -a$.
$6 = -a$.
$a = -6$.

(B) બીજને $-1$ દ્વારા સ્થાનાંતરિત કરવા માટે,આપણે $x$ ને $(x+1)$ વડે બદલીએ છીએ.
મૂળ સમીકરણ $f(x) = x^4+5x^3+6x^2+7x+9=0$ માં $x$ ની જગ્યાએ $(x+1)$ મૂકતા:
$f(x+1) = (x+1)^4 + 5(x+1)^3 + 6(x+1)^2 + 7(x+1) + 9 = 0$
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$
$5(x+1)^3 = 5x^3 + 15x^2 + 15x + 5$
$6(x+1)^2 = 6x^2 + 12x + 6$
$7(x+1) = 7x + 7$
બધા પદોનો સરવાળો કરતા:
$x^4 + 9x^3 + 27x^2 + 38x + 28 = 0$

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 3ax + a^2 - 2a - 4 = 0$ છે.
બીજ સંમેય હોવા માટે,વિવેચક $D$ એ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = (-3a)^2 - 4(1)(a^2 - 2a - 4) = 9a^2 - 4a^2 + 8a + 16 = 5a^2 + 8a + 16$.
કારણ કે $5a^2 + 8a + 16$ એ '$a$' માં દ્વિઘાત પદાવલિ છે જેનો વિવેચક $D_a = 8^2 - 4(5)(16) = 64 - 320 = -256 < 0$ છે,તેથી $5a^2 + 8a + 16$ હંમેશા ધન રહે છે.
પરંતુ,બીજ સંમેય હોવા માટે $D$ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
$5a^2 + 8a + 16$ એ દરેક સંમેય '$a$' માટે પૂર્ણ વર્ગ ન હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે પરંતુ તે હંમેશા સંમેય હોતા નથી.

(C) આપેલ છે કે $x^2+x-6$ એ $P(x) = 2x^3+x^2+ax+b$ નો અવયવ છે.
ભાજકનું અવયવીકરણ કરતા: $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$.
તેથી,$P(-3) = 0$ અને $P(2) = 0$.
$x = -3$ માટે: $2(-3)^3 + (-3)^2 + a(-3) + b = 0$ $\Rightarrow -54 + 9 - 3a + b = 0$ $\Rightarrow -3a + b = 45$ ... $(i)$.
$x = 2$ માટે: $2(2)^3 + (2)^2 + a(2) + b = 0$ $\Rightarrow 16 + 4 + 2a + b = 0$ $\Rightarrow 2a + b = -20$ ... $(ii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $-5a = 65 \Rightarrow a = -13$.
$a = -13$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $b = 6$.
અંતે,$6a + 13b = 6(-13) + 13(6) = -78 + 78 = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2^{6x} - 3(2^{3x+2}) + 32 = 0$
કારણ કે $2^{3x+2} = 2^{3x} \times 2^2 = 4 \times 2^{3x}$,તેથી સમીકરણ:
$(2^{3x})^2 - 3(4 \times 2^{3x}) + 32 = 0$
$(2^{3x})^2 - 12(2^{3x}) + 32 = 0$
ધારો કે $y = 2^{3x}$. તો સમીકરણ $y^2 - 12y + 32 = 0$ થાય.
અવયવ પાડતા: $(y - 4)(y - 8) = 0$.
તેથી,$y = 4$ અથવા $y = 8$.
કિસ્સો $1$: $2^{3x} = 4 = 2^2 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
કિસ્સો $2$: $2^{3x} = 8 = 2^3 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.
આપેલ છે કે $\beta < 1$,તેથી $\beta = \frac{2}{3}$ અને $\alpha = 1$.
તેથી,$2\alpha + 3\beta = 2(1) + 3(\frac{2}{3}) = 2 + 2 = 4$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3-6x^2+3x+10=0$ ના બીજો $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ છે કે એક બીજ બાકીના બે બીજોની સરેરાશ છે,તેથી $\beta = \frac{\alpha+\gamma}{2} \Rightarrow \alpha+\gamma = 2\beta$.
બીજોના સરવાળા પરથી,$\alpha+\beta+\gamma = 6$.
$\alpha+\gamma = 2\beta$ મૂકતા,આપણને $2\beta+\beta = 6$ $\Rightarrow 3\beta = 6$ $\Rightarrow \beta = 2$ મળે છે.
$\beta=2$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $(2)^3 - 6(2)^2 + 3(2) + 10 = 8 - 24 + 6 + 10 = 0$.
હવે,બહુપદીને $(x-2)$ વડે ભાગતા: $(x-2)(x^2-4x-5) = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-2)(x-5)(x+1) = 0$.
બીજો $2, 5, -1$ છે.
બીજોની ચતુર્થ ઘાતનો સરવાળો $2^4 + 5^4 + (-1)^4 = 16 + 625 + 1 = 642$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{k}{kx+3}+\frac{3}{3x-k}=\frac{12x+5}{(kx+3)(3x-k)}$
બંને બાજુ $(kx+3)(3x-k)$ વડે ગુણતા:
$k(3x-k) + 3(kx+3) = 12x+5$
$3kx - k^2 + 3kx + 9 = 12x + 5$
$6kx - k^2 + 9 = 12x + 5$
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$6k = 12 \Rightarrow k = 2$
$k=2$ ને દ્વિઘાત સમીકરણ $kx^2-7x+3=0$ માં મૂકતા:
$2x^2-7x+3=0$
$2x^2-6x-x+3=0$
$2x(x-3)-1(x-3)=0$
$(2x-1)(x-3)=0$
આમ,બીજ $x = \frac{1}{2}$ અને $x = 3$ મળે છે.
બંને $\frac{1}{2}$ અને $3$ સંમેય સંખ્યાઓ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે $(x+a)(x+1991)+1 = (x+b)(x+c)$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + (a+1991)x + 1991a + 1 = x^2 + (b+c)x + bc$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$b+c = a+1991$ અને $bc = 1991a+1$ મળે.
$b$ અને $c$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (b+c)x + bc = 0$ ના બીજ હોવાથી,વિવેચક $D$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ,ધારો કે $m^2$.
$D = (b+c)^2 - 4bc = (a+1991)^2 - 4(1991a+1) = m^2$.
$(a-1991)^2 - 4 = m^2$.
$(a-1991)^2 - m^2 = 4$.
$(a-1991-m)(a-1991+m) = 4$.
ધારો કે $X = a-1991-m$ અને $Y = a-1991+m$. તો $XY = 4$.
$Y-X = 2m$ હોવાથી,$X$ અને $Y$ સમાન યુગ્મતા ધરાવે છે. તેમનો ગુણાકાર $4$ (બેકી) હોવાથી,બંને બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
શક્ય જોડીઓ $(X, Y)$ એ $(2, 2)$ અને $(-2, -2)$ છે.
કિસ્સો $1$: $a-1991 = 2 \Rightarrow a = 1993$.
કિસ્સો $2$: $a-1991 = -2 \Rightarrow a = 1989$.
આમ,$a \in \{1989, 1993\}$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2(1 + 3m)x + 7(3 + 2m) = 0$ છે.
બીજ ભિન્ન હોવા માટે,વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac > 0$
$[-2(1 + 3m)]^2 - 4(1)(7(3 + 2m)) > 0$
$4(1 + 9m^2 + 6m) - 28(3 + 2m) > 0$
$4 + 36m^2 + 24m - 84 - 56m > 0$
$36m^2 - 32m - 80 > 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$9m^2 - 8m - 20 > 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(9m + 10)(m - 2) > 0$
સમીકરણ $9m^2 - 8m - 20 = 0$ ના બીજ $m = 2$ અને $m = -\frac{10}{9}$ છે.
આમ,અસમતા $m \in (-\infty, -\frac{10}{9}) \cup (2, \infty)$ માટે સાચી છે.
$S$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\mathbb{R}$ ના ગણનો ઉપગણ હોવાથી અને અંતરાલ $(-\infty, -\frac{10}{9}) \cup (2, \infty)$ માં અસંખ્ય વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવાથી,$S$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા અનંત છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+(2m+1)x+m=0$ ના બીજ સમાન હોય તે માટે વિવેચક $D=0$ થવો જોઈએ.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
અહીં,$a=1$,$b=(2m+1)$,અને $c=m$ છે.
$D=0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(2m+1)^2 - 4(1)(m) = 0$
$4m^2 + 4m + 1 - 4m = 0$
$4m^2 + 1 = 0$
$4m^2 = -1$
$m^2 = -\frac{1}{4}$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $m$ નો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ $(m^2 \ge 0)$ હોવો જોઈએ,તેથી $m$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત આ સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,$m$ ની વાસ્તવિક કિંમતોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $7x^2 - 13x + a = 0$ છે.
બીજ સંમેય હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
અહીં,$D = (-13)^2 - 4(7)(a) = 169 - 28a$.
$D$ પૂર્ણવર્ગ હોવા માટે,$169 - 28a = k^2$ થવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
જો $a = 5$,$D = 169 - 140 = 29$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
જો $a = 6$,$D = 169 - 168 = 1 = 1^2$ (પૂર્ણવર્ગ છે).
તેથી,$a$ ની શક્ય ન્યૂનતમ કિંમત $6$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સંમેય સહગુણકો ધરાવતા ત્રિઘાત સમીકરણમાં જો એક અસંમેય બીજ $\alpha+\sqrt{\beta}$ હોય,તો તેનું અનુબદ્ધ બીજ $\alpha-\sqrt{\beta}$ પણ હોય.
તેથી,બીજ $1, 2+\sqrt{5}$ અને $2-\sqrt{5}$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર: $x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-(\alpha\beta\gamma)=0$.
અહીં $\alpha=1, \beta=2+\sqrt{5}, \gamma=2-\sqrt{5}$.
બીજનો સરવાળો: $1+2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5} = 5$.
બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો: $1(2+\sqrt{5})+(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})+1(2-\sqrt{5}) = 2+\sqrt{5}+4-5+2-\sqrt{5} = 3$.
બીજનો ગુણાકાર: $1(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 1(4-5) = -1$.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $x^3-5x^2+3x+1=0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^2-5|x|-14=0$.
કારણ કે $x^2 = |x|^2$,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$|x|^2-5|x|-14=0$.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. સમીકરણ $t^2-5t-14=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t-7)(t+2)=0$.
આથી $t=7$ અથવા $t=-2$ મળે છે.
કારણ કે $t = |x| \geq 0$,આપણે $t=-2$ ને સ્વીકારી શકતા નથી.
તેથી,$|x|=7$,જેનો અર્થ છે કે $x=7$ અથવા $x=-7$.
બંને બીજ વાસ્તવિક છે. તેથી,કુલ બે વાસ્તવિક બીજ મળે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $\frac{1}{4}x^2 + bx + c = 0$ છે.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + 4bx + 4c = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A=1, B=4b, C=4c$:
$x = \frac{-4b \pm \sqrt{(4b)^2 - 4(1)(4c)}}{2(1)}$
$x = \frac{-4b \pm \sqrt{16b^2 - 16c}}{2}$
$x = \frac{-4b \pm 4\sqrt{b^2 - c}}{2}$
$x = -2b \pm 2\sqrt{b^2 - c}$.
$x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$b$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $b^2 - c$ એ કોઈ પૂર્ણાંકનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+mx+n=0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = m^2 - 4n \geq 0$,જેનો અર્થ છે $m^2 \geq 4n$.
આપેલ છે કે $0 \leq m, n \leq 10$,આપણે $n \leq \frac{m^2}{4}$ નું પાલન કરતી જોડીઓ $(m, n)$ ગણીએ:
- જો $m=10$,$n \leq 25$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ કિંમતો).
- જો $m=9$,$n \leq 20.25$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ કિંમતો).
- જો $m=8$,$n \leq 16$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ કિંમતો).
- જો $m=7$,$n \leq 12.25$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 10\}$ ($11$ કિંમતો).
- જો $m=6$,$n \leq 9$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 9\}$ ($10$ કિંમતો).
- જો $m=5$,$n \leq 6.25$,તેથી $n \in \{0, 1, \dots, 6\}$ ($7$ કિંમતો).
- જો $m=4$,$n \leq 4$,તેથી $n \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ($5$ કિંમતો).
- જો $m=3$,$n \leq 2.25$,તેથી $n \in \{0, 1, 2\}$ ($3$ કિંમતો).
- જો $m=2$,$n \leq 1$,તેથી $n \in \{0, 1\}$ ($2$ કિંમતો).
- જો $m=1$,$n \leq 0.25$,તેથી $n \in \{0\}$ ($1$ કિંમત).
- જો $m=0$,$n \leq 0$,તેથી $n \in \{0\}$ ($1$ કિંમત).
કુલ જોડીઓની સંખ્યા $= 11+11+11+11+10+7+5+3+2+1+1 = 73$.

(D) આપેલ છે,$|x^2-x-6|=x+2$.
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે:
કિસ્સો $1$: $x^2-x-6 = x+2$
$\Rightarrow x^2-2x-8 = 0$
$\Rightarrow (x-4)(x+2) = 0$
$\Rightarrow x = 4, -2$.
કિસ્સો $2$: $x^2-x-6 = -(x+2)$
$\Rightarrow x^2-x-6 = -x-2$
$\Rightarrow x^2-4 = 0$
$\Rightarrow x^2 = 4$
$\Rightarrow x = 2, -2$.
બંને કિસ્સાઓના પરિણામોને જોડતા,બીજનો ગણ $\{-2, 2, 4\}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 - 2bx + c = 0$ માં કિંમત મૂકતા:
$ax^2 - (a + c)x + c = 0$
$ax^2 - ax - cx + c = 0$
$ax(x - 1) - c(x - 1) = 0$
$(x - 1)(ax - c) = 0$
તેથી,બીજ $x = 1$ અને $x = \frac{c}{a}$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(\cos p-1) x^2+(\cos p) x+\sin p=0$.
બીજ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $\Delta \geq 0$.
$\Delta = b^2 - 4ac = (\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \geq 0$.
$\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \geq 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\cos p - 1 \neq 0 \Rightarrow \cos p \neq 1$.
બધા $p \neq 2n\pi$ માટે $\cos^2 p \geq 0$ અને $(\cos p - 1) < 0$ હોવાથી,$\Delta \geq 0$ ની શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે $\sin p > 0$ હોય.
આમ,$p \in (0, \pi)$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2-5|x|+6=0$
કારણ કે $x^2 = |x|^2$,આપણે સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$|x|^2-5|x|+6=0$
ધારો કે $|x| = t$,તો સમીકરણ $t^2-5t+6=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t-3)(t-2)=0$.
તેથી,$|x|=3$ અથવા $|x|=2$.
જો $|x|=3$ હોય,તો $x = 3$ અથવા $x = -3$.
જો $|x|=2$ હોય,તો $x = 2$ અથવા $x = -2$.
આમ,ઉકેલો $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$ છે.
તેથી,કુલ $4$ ઉકેલો છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + 5x + k = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સંમેય હોય ત્યારે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ એ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 2$,$b = 5$,અને $c = k$.
$D = (5)^2 - 4(2)(k) = 25 - 8k$.
$D$ પૂર્ણ વર્ગ બને તે માટે વિકલ્પો તપાસતા:
જો $k = \frac{25}{8}$ હોય,તો $D = 25 - 8(\frac{25}{8}) = 25 - 25 = 0$.
$0$ એ પૂર્ણ વર્ગ હોવાથી $(0^2 = 0)$,બીજ સંમેય છે.
તેથી,$k = \frac{25}{8}$ સાચી કિંમત છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $f(x)=x^4+2x^3-16x^2-22x+7=0$ છે.
સહગુણકો સંમેય હોવાથી,જો $2+\sqrt{3}$ બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ કરણી $2-\sqrt{3}$ પણ બીજ હોય.
ધારો કે ચાર બીજ $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, \alpha, \beta$ છે.
બીજનો સરવાળો: $(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})+\alpha+\beta = -2 \implies 4+\alpha+\beta = -2 \implies \alpha+\beta = -6$.
બીજનો ગુણાકાર: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \alpha \beta = 7 \implies (4-3) \alpha \beta = 7 \implies \alpha \beta = 7$.
$\alpha$ અને $\beta$ માટે દ્વિઘાત સમીકરણ: $t^2+6t+7=0$.
ઉકેલતા: $t = -3 \pm \sqrt{2}$.
આમ,બીજ $2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3}, -3+\sqrt{2}, -3-\sqrt{2}$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$3-\sqrt{2}$ એ બીજ નથી.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+2(a+b+c)x+3\lambda(ab+bc+ca)=0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$ થાય.
$D = [2(a+b+c)]^2 - 4(1)(3\lambda(ab+bc+ca)) \geq 0$
$4(a+b+c)^2 - 12\lambda(ab+bc+ca) \geq 0$
$(a+b+c)^2 \geq 3\lambda(ab+bc+ca)$
$\lambda \leq \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}$
વિષમબાજુ ત્રિકોણ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) > 0$,તેથી $a^2+b^2+c^2 > ab+bc+ca$.
બંને બાજુ $2(ab+bc+ca)$ ઉમેરતા,આપણને $(a+b+c)^2 > 3(ab+bc+ca)$ મળે છે.
આમ,$\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} > 1$.
વળી,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$(a+b+c)^2 < 4(ab+bc+ca)$,જે સૂચવે છે કે $\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)} < \frac{4}{3}$.
તેથી $\lambda$ નો વિસ્તાર $\left(-\infty, \frac{4}{3}\right)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $4$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીના સહગુણકો વાસ્તવિક છે. સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે,તેથી જો $1+2i$ બીજ હોય,તો $1-2i$ પણ બીજ હશે. બીજ $2+\sqrt{3}$,$2-\sqrt{3}$,$1+2i$ અને $1-2i$ છે.
$2 \pm \sqrt{3}$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ:
$(x-(2+\sqrt{3}))(x-(2-\sqrt{3})) = x^2-4x+1$.
$1 \pm 2i$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ:
$(x-(1+2i))(x-(1-2i)) = x^2-2x+5$.
આ બંને અવયવોનો ગુણાકાર કરતા:
$(x^2-4x+1)(x^2-2x+5) = x^4-6x^3+14x^2-22x+5 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે $\sin \alpha = p$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \alpha = \frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}} = p$.
ધારો કે $t = \tan \frac{\alpha}{2}$. તેથી $\frac{2t}{1 + t^2} = p$,જેનો અર્થ છે $2t = p + pt^2$,અથવા $pt^2 - 2t + p = 0$.
$p$ વડે ભાગતા,આપણને $t^2 - \frac{2}{p} t + 1 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણના બીજ $t_1 = \tan \frac{\alpha}{2}$ અને $t_2 = \frac{1}{\tan \frac{\alpha}{2}} = \cot \frac{\alpha}{2}$ છે.
બીજનો સરવાળો $\tan \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{2}{p}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\tan \frac{\alpha}{2} \times \cot \frac{\alpha}{2} = 1$ છે.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - \frac{2}{p} x + 1 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $px^2 - 2x + p = 0$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{\frac{x}{2x+1}} + \sqrt{\frac{2x+1}{x}} = 2$
ધારો કે $y = \sqrt{\frac{x}{2x+1}}$. તેથી સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = 2$ બને છે.
$y$ વડે ગુણતા,$y^2 - 2y + 1 = 0$ મળે,જે $(y-1)^2 = 0$ છે.
આમ,$y = 1$.
કિંમત મૂકતા: $\sqrt{\frac{x}{2x+1}} = 1 \implies \frac{x}{2x+1} = 1 \implies x = 2x + 1 \implies x = -1$.
તેથી $\alpha = -1$.
હવે,$\alpha = -1$ ને $\alpha^2 x^2 + 4\alpha x + 3 = 0$ માં મૂકતા:
$(-1)^2 x^2 + 4(-1)x + 3 = 0
\implies x^2 - 4x + 3 = 0
\implies (x-1)(x-3) = 0$.
તેથી,બીજ $x = 1, 3$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(p^2+p-3)(p^2+p-2)-12=0$ છે.
ધારો કે $y = p^2+p-2$.
તેથી સમીકરણ $(y-1)y - 12 = 0$ બને છે.
$y^2 - y - 12 = 0$.
$(y-4)(y+3) = 0$.
તેથી,$y = 4$ અથવા $y = -3$.
કિસ્સો $1$: $p^2+p-2 = 4 \Rightarrow p^2+p-6 = 0$.
$(p+3)(p-2) = 0$,તેથી $p = -3, 2$ (આ વાસ્તવિક બીજ છે).
કિસ્સો $2$: $p^2+p-2 = -3 \Rightarrow p^2+p+1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$.
આમ,બીજ અવાસ્તવિક છે.
$p^2+p+1=0$ ના બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1$ થાય છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+2(a+b+c)x+3\lambda(ab+bc+ca)=0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = [2(a+b+c)]^2 - 4(1)(3\lambda(ab+bc+ca)) \geq 0$
$4(a+b+c)^2 - 12\lambda(ab+bc+ca) \geq 0$
$(a+b+c)^2 \geq 3\lambda(ab+bc+ca)$
$a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geq 3\lambda(ab+bc+ca)$
$(ab+bc+ca)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + 2 \geq 3\lambda$
$a, b, c$ ત્રિકોણની બાજુઓ હોવાથી,$a+b > c$,$b+c > a$,અને $c+a > b$.
અસમતા $a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)$ જાણીતી છે.
તેથી,$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} < 2$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા:
$3\lambda \leq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + 2 < 2 + 2 = 4$
$3\lambda < 4 \Rightarrow \lambda < \frac{4}{3}$.

(A) ધારો કે $t = x + \frac{1}{x}$. તેથી $t^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$,એટલે કે $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2(t^2 - 2) - 7t + 9 = 0$.
$2t^2 - 4 - 7t + 9 = 0 \implies 2t^2 - 7t + 5 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2t - 5)(t - 1) = 0$.
તેથી,$t = 1$ અથવા $t = \frac{5}{2}$.
કિસ્સો $1$: $x + \frac{1}{x} = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0$. વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$. કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2x - 1)(x - 2) = 0$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = 2$.
પ્રશ્નમાં પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા પૂછી છે,તેથી $x = 2$ (જે પૂર્ણાંક છે) અને $x = \frac{1}{2}$ (જે પૂર્ણાંક નથી).
આમ,માત્ર $1$ પૂર્ણાંક ઉકેલ છે,જે $x = 2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $|x|^2 - 5|x| - 24 = 0$.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2 - 5t - 24 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t - 8)(t + 3) = 0$.
આથી $t = 8$ અથવા $t = -3$ મળે.
$|x| \ge 0$ હોવાથી,$t = -3$ શક્ય નથી.
તેથી,$|x| = 8$,જેનો અર્થ છે કે $x = 8$ અથવા $x = -8$.
સમીકરણના બીજ $8$ અને $-8$ છે.
બીજનો ગુણાકાર: $8 \times (-8) = -64$.
બીજનો સરવાળો: $8 + (-8) = 0$.
આમ,ગુણાકાર અને સરવાળો અનુક્રમે $-64$ અને $0$ છે.

(A) આપેલ છે કે દ્વિઘાત સમીકરણ $(b-c)x^2 + (c-a)x + (a-b) = 0$ ના બીજ સમાન છે,તેથી વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = (c-a)^2 - 4(b-c)(a-b) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(c^2 + a^2 - 2ac) - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0$
$c^2 + a^2 - 2ac - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0$
$c^2 + a^2 + 2ac + 4b^2 - 4ab - 4bc = 0$
$(c+a)^2 - 4b(a+c) + (2b)^2 = 0$
આ $X^2 - 2XY + Y^2 = 0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $X = (c+a)$ અને $Y = 2b$.
$(c+a - 2b)^2 = 0$
$c+a - 2b = 0$
$2b = a+c$
આમ,$2b = a+c$ હોવાથી,$a, b, c$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $(x-a)(x-a-1)+(x-a-1)(x-a-2)+(x-a)(x-a-2)=0$. \\ ધારો કે $t = x-a$. તો સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે: \\ $t(t-1) + (t-1)(t-2) + t(t-2) = 0$ \\ $t^2 - t + t^2 - 3t + 2 + t^2 - 2t = 0$ \\ $3t^2 - 6t + 2 = 0$ \\ વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$. \\ $D > 0$ હોવાથી,$t$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે. \\ પરિણામે,$x = a + t$ ના બીજ પણ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હશે.

(B) આપેલ છે કે,$f(x) = x^2 + ax + b$ ના બીજ કાલ્પનિક છે.
તેથી,વિવેચક $D < 0$,જે સૂચવે છે કે $a^2 - 4b < 0$.
હવે,આપણે વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = 2x + a$
$f''(x) = 2$
આ કિંમતોને $f(x) + f'(x) + f''(x) = 0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x^2 + ax + b) + (2x + a) + 2 = 0$
$x^2 + (a + 2)x + (b + a + 2) = 0$
આ નવા દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D'$ છે:
$D' = (a + 2)^2 - 4(1)(b + a + 2)$
$D' = a^2 + 4a + 4 - 4b - 4a - 8$
$D' = a^2 - 4b - 4$
કારણ કે $a^2 - 4b < 0$,તેથી $a^2 - 4b - 4 < -4$.
આમ,$D' < 0$.
વિવેચક ઋણ હોવાથી,$f(x) + f'(x) + f''(x) = 0$ સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+7x^3+18x^2+20x+8=0$ છે.
અમે નાના પૂર્ણાંક બીજ ચકાસીને બહુપદીના અવયવો પાડી શકીએ છીએ.
$x = -2$ માટે: $(-2)^4 + 7(-2)^3 + 18(-2)^2 + 20(-2) + 8 = 16 - 56 + 72 - 40 + 8 = 0$.
તેથી,$(x+2)$ એક અવયવ છે.
$x^4+7x^3+18x^2+20x+8$ ને $(x+2)$ વડે ભાગતા $x^3+5x^2+8x+4$ મળે છે.
$x^3+5x^2+8x+4$ માટે ફરીથી $x = -2$ ચકાસતા: $(-2)^3 + 5(-2)^2 + 8(-2) + 4 = -8 + 20 - 16 + 4 = 0$.
તેથી,$(x+2)$ ફરીથી એક અવયવ છે.
$x^3+5x^2+8x+4$ ને $(x+2)$ વડે ભાગતા $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$ મળે છે.
આમ,સમીકરણ $(x+2)^3(x+1) = 0$ છે.
પુનરાવર્તિત બીજ $-2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2x^3 + 5x^2 - 4x - 12 = 0$
ઘન સમીકરણનું અવયવીકરણ કરતા:
$2x^3 + 4x^2 + x^2 + 2x - 6x - 12 = 0$
$2x^2(x + 2) + x(x + 2) - 6(x + 2) = 0$
$(2x^2 + x - 6)(x + 2) = 0$
$(2x - 3)(x + 2)(x + 2) = 0$
બીજ $x = -2, -2, \frac{3}{2}$ છે.
ભિન્ન બીજ $-2$ અને $\frac{3}{2}$ છે.
આ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ:
$(x + 2)(x - \frac{3}{2}) = 0$
$x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$
$2x^2 + x - 6 = 0$
અચળ પદ $-6$ છે.

(D) કારણ કે $(x-2)$ એ પદાવલિઓ $x^2+ax+b$ અને $x^2+cx+d$ નો સામાન્ય અવયવ છે,તેથી $x=2$ આગળ આ પદાવલિઓની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
$x^2+ax+b$ માટે: $(2)^2+a(2)+b=0 \Rightarrow 4+2a+b=0 \dots(i)$
$x^2+cx+d$ માટે: $(2)^2+c(2)+d=0 \Rightarrow 4+2c+d=0 \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(4+2a+b) - (4+2c+d) = 0 - 0$
$2a+b-2c-d = 0$
$b-d = 2c-2a$
$b-d = 2(c-a)$
બંને બાજુ $(c-a)$ વડે ભાગતા (ધારો કે $c \neq a$):
$\frac{b-d}{c-a} = 2$

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+3(a+3)x-9a=0$ ના બીજ સમાન હોવાથી,વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = [3(a+3)]^2 - 4(1)(-9a) = 0$
$9(a^2+6a+9) + 36a = 0$
$9a^2 + 90a + 81 = 0 \Rightarrow a^2 + 10a + 9 = 0$
$(a+9)(a+1) = 0 \Rightarrow a = -9, -1$.
$a = -9$ માટે,$x^2 - 18x + 81 = 0 \Rightarrow x = 9$. તેથી $\alpha = 9$.
$a = -1$ માટે,$x^2 + 6x + 9 = 0 \Rightarrow x = -3$. તેથી $\beta = -3$.
પદાવલિ $f(x) = x^2 + 9x + 3$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $f(x) = (x + \frac{9}{2})^2 - \frac{69}{4}$.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{69}{4}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $|x^2+2x-8| = 2-x$ છે.
કિસ્સો $1$: $x^2+2x-8 \ge 0$.
$(x+4)(x-2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.
તેથી $x^2+2x-8 = 2-x \implies x^2+3x-10 = 0 \implies (x+5)(x-2) = 0$.
તેથી $x = -5$ અને $x = 2$. બંને શરતનું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $2$: $x^2+2x-8 < 0$.
$(x+4)(x-2) < 0 \implies x \in (-4, 2)$.
તેથી $-(x^2+2x-8) = 2-x \implies -x^2-2x+8 = 2-x \implies x^2+x-6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0$.
તેથી $x = -3$ અને $x = 2$.
કારણ કે $x=2$ એ $(-4, 2)$ માં નથી,તેથી આપણે ફક્ત $x = -3$ લઈશું.
ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો $\{-5, 2, -3\}$ છે.
આમ,$3$ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(B) અસમતા $x^2 - 4x - 21 \leq 0$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે પ્રથમ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 4x - 21 = 0$ ના બીજ શોધીએ છીએ.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1, b = -4, c = -21$ છે:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-21)}}{2(1)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{4 \pm 10}{2}$
તેથી,$x_1 = \frac{14}{2} = 7$ અને $x_2 = \frac{-6}{2} = -3$ મળે છે.
અસમતાને $(x - 7)(x + 3) \leq 0$ તરીકે લખી શકાય.
ગુણાકાર શૂન્ય અથવા તેનાથી ઓછો હોય તે માટે,$x$ એ બંને બીજની વચ્ચે હોવો જોઈએ.
આમ,$x \in [-3, 7]$.

(A) ધારો કે $y = \sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+\ldots}}}$
$\Rightarrow y = \sqrt{42+y}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$y^2 = 42 + y$
$\Rightarrow y^2 - y - 42 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(y - 7)(y + 6) = 0$
$\Rightarrow y = 7$ અથવા $y = -6$
કારણ કે વર્ગમૂળનું મૂલ્ય હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી $y = -6$ શક્ય નથી.
આમ,જરૂરી ઉકેલ $y = 7$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 + 4kx + 3 = 0$ છે.
બીજ વાસ્તવિક ન હોય તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac < 0$
$(4k)^2 - 4(3)(3) < 0$
$16k^2 - 36 < 0$
$16k^2 < 36$
$k^2 < 9/4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|k| < 3/2$ મળે.
તેથી,$-3/2 < k < 3/2$.
આમ,$k$ એ $(-3/2, 3/2)$ અંતરાલમાં છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $16x^2-10x+1=0$
અવયવીકરણ કરતા: $16x^2-8x-2x+1=0$
$\Rightarrow 8x(2x-1)-1(2x-1)=0$
$\Rightarrow (8x-1)(2x-1)=0$
બીજ $x_1 = \frac{1}{8}$ અને $x_2 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
બીજના ચતુર્થ ઘાતનો સરવાળો:
$(\frac{1}{8})^4 + (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{4096} + \frac{1}{16}$
$= \frac{1 + 256}{4096} = \frac{257}{4096}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $|x-2|^2+|x-2|-2=0$
ધારો કે $y = |x-2|$. કારણ કે $|x-2| \geq 0$,તેથી $y \geq 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $y^2 + y - 2 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(y+2)(y-1) = 0$.
આથી $y = -2$ અથવા $y = 1$ મળે છે.
$y \geq 0$ હોવાથી,આપણે $y = -2$ ને અવગણીએ છીએ.
તેથી,$|x-2| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $x-2 = 1$ અથવા $x-2 = -1$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = 3$ અથવા $x = 1$.
વાસ્તવિક બીજનો સરવાળો $3 + 1 = 4$ થાય છે.