Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $f(x) = (x-a)(x-c) + 2(x-b)(x-d)$.
$f(x)$ એ ધન અગ્ર સહગુણક $(3x^2)$ વાળું દ્વિઘાત બહુપદી છે,તેથી જો વિવેચક $D > 0$ હોય તો બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન મળે.
$x=a, b, c, d$ માટે $f(x)$ ની કિંમતો તપાસતા:
$f(a) = 2(a-b)(a-d) > 0$ (કારણ કે $a < b$ અને $a < d$)
$f(b) = (b-a)(b-c) < 0$ (કારણ કે $b > a$ અને $b < c$)
$f(c) = 2(c-b)(c-d) < 0$ (કારણ કે $c > b$ અને $c < d$)
$f(d) = (d-a)(d-c) > 0$ (કારણ કે $d > a$ અને $d > c$)
$f(a) > 0$ અને $f(b) < 0$ હોવાથી,$(a, b)$ ની વચ્ચે એક બીજ મળે છે.
$f(c) < 0$ અને $f(d) > 0$ હોવાથી,$(c, d)$ ની વચ્ચે એક બીજ મળે છે.
આમ,સમીકરણના બે વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ છે.

(B) ધારો કે $p(x)$ ને $x^2-a^2$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $R(x) = mx + c$ છે,જ્યાં $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,$p(a) = -a$ અને $p(-a) = a$ થાય.
$p(x) = (x^2-a^2)q(x) + (mx+c)$ હોવાથી:
$p(a) = m(a) + c = -a$ ... $(i)$
$p(-a) = m(-a) + c = a$ ... (ii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $2ma = -2a \Rightarrow m = -1$.
$m = -1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $-a + c = -a \Rightarrow c = 0$.
આમ,શેષ $R(x) = -1(x) + 0 = -x$ મળે.

(C) ધારો કે $f(x) = 4x^4 + 4x^3 - 23x^2 - 12x + 36$.
જો $\alpha$ એ બહુવિધ બીજ હોય,તો $f'(\alpha) = 0$.
$f'(x) = 16x^3 + 12x^2 - 46x - 12$.
$f'(x) = 0$ લેતા: $8x^3 + 6x^2 - 23x - 6 = 0$.
પૂર્ણાંક બીજ ચકાસતા,$x = -2$ માટે: $8(-8) + 6(4) - 23(-2) - 6 = 0$.
તેથી,$x = -2$ એ બીજ છે.
$x = 1.5$ માટે: $8(27/8) + 6(9/4) - 23(3/2) - 6 = 0$.
તેથી,$x = 1.5$ એ બીજ છે.
$\alpha > \beta$ હોવાથી,$\alpha = 1.5$ અને $\beta = -2$.
તેથી $2\alpha - \beta = 2(1.5) - (-2) = 3 + 2 = 5$.

(A) પ્રથમ,$x^4-6x^3+11x^2-6x=0$ સમીકરણના બીજ શોધો.
અવયવ પાડતા,આપણને $x(x^3-6x^2+11x-6)=0$ મળે છે.
$x^3-6x^2+11x-6$ ના વધુ અવયવ પાડતા,આપણને $x(x-1)(x-2)(x-3)=0$ મળે છે.
બીજ $0, 1, 2, 3$ છે. સૌથી નાનું બીજ $0$ છે.
ધારો કે $x^3+\alpha x^2+\beta x+6=0$ ના બીજ $r_1, r_2, r_3$ છે.
જ્યારે આ બીજમાં $1$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવા બીજમાંથી એક $0$ છે.
તેથી,કોઈ $i$ માટે $r_i+1=0$,જેનો અર્થ છે કે $r_i=-1$.
કારણ કે $-1$ એ $x^3+\alpha x^2+\beta x+6=0$ નું બીજ છે,આપણે $x=-1$ મૂકીએ છીએ:
$(-1)^3+\alpha(-1)^2+\beta(-1)+6=0$
$-1+\alpha-\beta+6=0$
$\alpha-\beta+5=0$.

(C) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $x^5-3x^4-x^3+11x^2-12x+4=0$ ના બીજ $\alpha_i$ છે. આપણે એવું સમીકરણ જોઈએ છે જેના બીજ $\beta_i = \alpha_i + 2$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha_i = \beta_i - 2$.
મૂળ સમીકરણમાં $x = y - 2$ મૂકતા,આપણને $(y-2)^5 - 3(y-2)^4 - (y-2)^3 + 11(y-2)^2 - 12(y-2) + 4 = 0$ મળે છે.
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(y-2)^5 = y^5 - 10y^4 + 40y^3 - 80y^2 + 80y - 32$
$-3(y-2)^4 = -3y^4 + 24y^3 - 72y^2 + 96y - 48$
$-(y-2)^3 = -y^3 + 6y^2 - 12y + 8$
$11(y-2)^2 = 11y^2 - 44y + 44$
$-12(y-2) = -12y + 24$
$+4 = 4$
સરવાળો કરતા:
$y^5 - 13y^4 + 63y^3 - 135y^2 + 108y = 0$.
આમ,સમીકરણ $x^5 - 13x^4 + 63x^3 - 135x^2 + 108x = 0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^4-x^3-6x^2+4x+8=0$ છે.
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $x=2$ એ એક બીજ છે.
બહુપદીને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)(x^3+x^2-4x-4)=0$ મળે છે.
ઘન બહુપદી $x^3+x^2-4x-4$ માં ફરીથી $x=2$ મૂકતા,$8+4-8-4=0$ મળે છે,તેથી $x=2$ ફરીથી બીજ છે.
$(x^3+x^2-4x-4)$ ને $(x-2)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2)(x^2+3x+2)=0$ મળે છે.
દ્વિઘાત ભાગનું અવયવીકરણ કરતા: $(x^2+3x+2) = (x+1)(x+2)$.
આમ,બીજ $x=2, 2, -1, -2$ છે.
બે સમાન બીજ $2, 2$ છે.
અન્ય બે બીજ $\alpha = -1$ અને $\beta = -2$ છે.
તેથી,$\alpha^2+\beta^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3+3x^2-10x-24=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ: $\alpha+\beta+\gamma = -3$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -10$,અને $\alpha\beta\gamma = 24$.
ધારો કે $S = \alpha+\beta+\gamma = -3$. નવા સમીકરણના બીજ $\alpha(S-\alpha), \beta(S-\beta), \gamma(S-\gamma)$ છે.
$q$ એ બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો છે:
$q = (\alpha S - \alpha^2)(\beta S - \beta^2) + (\beta S - \beta^2)(\gamma S - \gamma^2) + (\gamma S - \gamma^2)(\alpha S - \alpha^2)$.
કિંમતો મૂકતા:
$q = (-3)^2(-10) - (-3)((-3)(-10) - 3(24)) + ((-10)^2 - 2(24)(-3))$.
$q = -90 + 3(30 - 72) + (100 + 144) = 28$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+2(k+2)x+6k+7=0$ ના બીજ સમાન હોવા માટે,વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = b^2 - 4ac = 0$.
$ax^2+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1$,$b=2(k+2)$,અને $c=6k+7$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$[2(k+2)]^2 - 4(1)(6k+7) = 0$
$4(k^2+4k+4) - 24k - 28 = 0$
$4k^2 + 16k + 16 - 24k - 28 = 0$
$4k^2 - 8k - 12 = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$k^2 - 2k - 3 = 0$
$(k-3)(k+1) = 0$
આમ,$k_1 = 3$ અને $k_2 = -1$.
તેથી,$k_1^2 + k_2^2 = (3)^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$.

(D) આપેલ છે કે $(3+2 \sqrt{2}) \cdot (3-2 \sqrt{2}) = 9-8 = 1$.
તેથી,$(3-2 \sqrt{2}) = \frac{1}{3+2 \sqrt{2}}$.
ધારો કે $y = (3+2 \sqrt{2})^{x^2-4}$.
સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = 6$ બને છે,જે $y^2 - 6y + 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $y$ માટે ઉકેલતા,$y = 3 \pm 2 \sqrt{2}$.
કિસ્સો $1$: $(3+2 \sqrt{2})^{x^2-4} = 3+2 \sqrt{2}$ $\Rightarrow x^2-4 = 1$ $\Rightarrow x^2 = 5$.
કિસ્સો $2$: $(3+2 \sqrt{2})^{x^2-4} = 3-2 \sqrt{2} = (3+2 \sqrt{2})^{-1}$ $\Rightarrow x^2-4 = -1$ $\Rightarrow x^2 = 3$.
જો $x^2 = 5$ હોય,તો $x^4+x^2+5 = (5)^2 + 5 + 5 = 35$.
જો $x^2 = 3$ હોય,તો $x^4+x^2+5 = (3)^2 + 3 + 5 = 17$.
આપેલ વિકલ્પોમાં $35$ હોવાથી,સાચો જવાબ $35$ છે.

(D) ધારો કે સમીકરણ $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ ના બીજ $\alpha, \alpha, \alpha, \beta$ છે.
વિયેટાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$3\alpha + \beta = -a$
$3\alpha^2 + 3\alpha\beta = b$
$\alpha^3 + 3\alpha^2\beta = -c$
આ સમીકરણોને ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$\alpha = \frac{6c-ab}{3a^2-8b}$

(B) આપેલ સમીકરણ $f(x) = ax^3 + ax^2 + bx + c = 0$ છે.
કારણ કે $x = -1$ એ બે વાર પુનરાવર્તિત બીજ છે,તેથી $f(-1) = 0$ અને $f'(-1) = 0$.
પ્રથમ,$f(-1) = a(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -a + a - b + c = 0$,જે સૂચવે છે કે $c = b$.
આગળ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 3ax^2 + 2ax + b$.
$f'(-1) = 0$ લેતા: $3a(-1)^2 + 2a(-1) + b = 3a - 2a + b = a + b = 0$.
આનાથી $a = -b$ મળે છે.
ગુણોત્તરમાં આ કિંમતો મૂકતા: $a:b:c = (-b):b:b = -1:1:1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $3^{x+1}+3^{-x+1}=10$ છે.
આને $3(3^x) + \frac{3}{3^x} = 10$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $y = 3^x$. તો સમીકરણ $3y + \frac{3}{y} = 10$ બને છે.
$y$ વડે ગુણતા,આપણને $3y^2 - 10y + 3 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3y^2 - 9y - y + 3 = 0 \Rightarrow 3y(y-3) - 1(y-3) = 0$.
તેથી,$(3y-1)(y-3) = 0$,જે $y = 3$ અથવા $y = \frac{1}{3}$ આપે છે.
$y = 3^x$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1$.
કિસ્સો $2$: $3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1$.
ધન વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 1$ છે.
તેથી,માત્ર $1$ ધન વાસ્તવિક ઉકેલ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{13}{6}$ છે.
ધારો કે $t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$. $t$ વ્યાખ્યાયિત અને વાસ્તવિક હોવા માટે,$\frac{x}{1-x} > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \in (0, 1)$.
સમીકરણ $t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6}$ બને છે.
$6t$ વડે ગુણતા,આપણને $6t^2 - 13t + 6 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2t - 3)(3t - 2) = 0$,તેથી $t = \frac{3}{2}$ અથવા $t = \frac{2}{3}$.
કિસ્સો $1$: $\sqrt{\frac{x}{1-x}} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{x}{1-x} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow 4x = 9 - 9x$ $\Rightarrow 13x = 9$ $\Rightarrow x = \frac{9}{13}$.
કિસ્સો $2$: $\sqrt{\frac{x}{1-x}} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow \frac{x}{1-x} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow 9x = 4 - 4x$ $\Rightarrow 13x = 4$ $\Rightarrow x = \frac{4}{13}$.
બંને કિંમતો $x = \frac{9}{13}$ અને $x = \frac{4}{13}$ એ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે.
આમ,$2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^4-2x^3+x-380=0$ છે.
કિંમતો ચકાસતા,આપણને મળે છે કે $x=5$ એક બીજ છે:
$5^4-2(5^3)+5-380 = 625-250+5-380 = 380-380 = 0$.
આગળ,આપણે $x=-4$ ચકાસીએ:
$(-4)^4-2(-4)^3+(-4)-380 = 256+128-4-380 = 384-4-380 = 0$.
$x=5$ અને $x=-4$ બીજ હોવાથી,આપણે બહુપદીને $(x-5)(x+4) = x^2-x-20$ વડે ભાગી શકીએ.
ભાગાકાર કરતા: $(x^4-2x^3+x-380) \div (x^2-x-20) = x^2-x+19$.
બાકીના બીજ $x^2-x+19=0$ ઉકેલીને મળે છે.
વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(19) = 1 - 76 = -75$.
$D < 0$ હોવાથી,$x^2-x+19=0$ ના બીજ સંકર સંખ્યા છે.
આમ,માત્ર વાસ્તવિક બીજ $5$ અને $-4$ છે.
વાસ્તવિક બીજનો સરવાળો $5 + (-4) = 1$ થાય.

(B) ધારો કે $y = x^{1/3}$. તો સમીકરણ $y^2 + y - 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y + 2)(y - 1) = 0$.
આથી $y = 1$ અથવા $y = -2$ મળે છે.
કારણ કે $y = x^{1/3}$,તેથી $x^{1/3} = 1 \Rightarrow x = 1^3 = 1$.
અને $x^{1/3} = -2 \Rightarrow x = (-2)^3 = -8$.
સમીકરણના બીજ $1$ અને $-8$ છે.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $(1)^2 + (-8)^2 = 1 + 64 = 65$ થાય છે.

(B) જો $x^2 + px + 1$ એ $ax^3 + bx + c$ નો અવયવ હોય,તો બહુપદી ભાગાકાર કરતા:
$ax^3 + bx + c = (x^2 + px + 1)(ax - ap) + (b - a + ap^2)x + (ap + c)$
શેષ શૂન્ય હોવી જોઈએ:
$1) \ ap + c = 0 \Rightarrow p = -\frac{c}{a} \dots (i)$
$2) \ b - a + ap^2 = 0$
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$b - a + a(-\frac{c}{a})^2 = 0$
$b - a + \frac{c^2}{a} = 0$
$a$ વડે ગુણતા:
$ab - a^2 + c^2 = 0$
$a^2 - c^2 = ab$

(B) ધારો કે $x = e^t$,જેનો અર્થ છે કે $t = \log_e x$.
આથી,આપેલ સમીકરણ $x^4 - 10x^3 + 29x^2 - 22x + 4 = 0$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $x_1, x_2, x_3, x_4$ એ આ ચતુર્થઘાત સમીકરણના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{4}{1} = 4$ થાય.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\log_e(x_1 x_2 x_3 x_4) = \log_e 4$.
ગુણધર્મ $\log(ab) = \log a + \log b$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log_e x_1 + \log_e x_2 + \log_e x_3 + \log_e x_4 = \log_e(2^2) = 2 \log_e 2$.
અહીં $t_i = \log_e x_i$ એ $t$ માં આપેલ મૂળ સમીકરણના બીજ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = 2 \log_e 2$ થાય.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $f(x) = x^3-4x^2+5x-2=0$ છે,જેના બીજ $x = 2, 1, 1$ છે.
બીજું સમીકરણ $f\left(x+\frac{1}{3}\right) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
જો $x_0$ એ $f(x) = 0$ નું બીજ હોય,તો નવા સમીકરણ માટે $x+\frac{1}{3} = x_0$ થવું જોઈએ.
તેથી,$x = x_0 - \frac{1}{3}$.
આ સંબંધમાં બીજ $x_0 = 2, 1, 1$ મૂકતા:
$x_1 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
$x_2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$x_3 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
આમ,નવા સમીકરણના બીજ $\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2x^3 - x^2 - 22x - 24 = 0$.
ધારો કે બીજ $3k, 4k, \gamma$ છે.
બીજનો સરવાળો: $3k + 4k + \gamma = \frac{1}{2} \Rightarrow \gamma = \frac{1}{2} - 7k$.
બીજનો ગુણાકાર: $(3k)(4k)(\gamma) = 12$ $\Rightarrow 12k^2 \gamma = 12$ $\Rightarrow k^2 \gamma = 1$.
કિંમત મુકતા: $k^2(\frac{1}{2} - 7k) = 1 \Rightarrow 14k^3 - k^2 + 2 = 0$.
$k = -1/2$ લેતા,સમીકરણ સંતોષાય છે.
તેથી બીજ $\frac{-3}{2}, -2, 4$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{x+1}-|\sqrt{x-1}|=\sqrt{4x-1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x+1 + x-1 - 2\sqrt{(x+1)(x-1)} = 4x-1$ (નોંધ: આ પદ્ધતિમાં $|\sqrt{x-1}|$ ના કારણે સાવચેતી રાખવી જરૂરી છે).
ગણતરી કરતા $x = \frac{5}{4}$ મળે છે.

(A) સંમેય સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી $f(x)$ માટે,જો $a + \sqrt{b}$ સ્વરૂપની અસંમેય સંખ્યા બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $a - \sqrt{b}$ પણ બીજ હોવી જોઈએ.
તમામ બીજ અસંમેય હોવાથી અને તે જોડીમાં આવતા હોવાથી,બીજની કુલ સંખ્યા બેકી હોવી જોઈએ.
તેથી,$f(x)$ ની ઘાત એક બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ $x^3-x^2+x-4=0$ સમીકરણનું બીજ છે.
જે સમીકરણના બીજ આપેલા સમીકરણના બીજના વિરોધી હોય તે મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની જગ્યાએ $-x$ મૂકીશું.
મૂળ સમીકરણમાં $x$ ની જગ્યાએ $-x$ મૂકતા:
$(-x)^3 - (-x)^2 + (-x) - 4 = 0$
$-x^3 - x^2 - x - 4 = 0$
આખા સમીકરણને $-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x^3 + x^2 + x + 4 = 0$
આમ,જરૂરી સમીકરણ $x^3 + x^2 + x + 4 = 0$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = (x-a)(x-b)q(x) + r(x)$.
ભાજક $2$ ઘાતનો હોવાથી,શેષ $r(x)$ ની ઘાત વધુમાં વધુ $1$ હશે. ધારો કે $r(x) = \alpha x + \beta$.
તેથી $f(x) = (x-a)(x-b)q(x) + \alpha x + \beta$.
$x = a$ અને $x = b$ મૂકતા:
$f(a) = \alpha a + \beta$ $(i)$
$f(b) = \alpha b + \beta$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$f(a) - f(b) = \alpha(a - b) \implies \alpha = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
$\alpha$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$\beta = f(a) - \alpha a = \frac{b f(a) - a f(b)}{b - a}$.
આમ,$r(x) = \alpha x + \beta = \frac{(x - a) f(b) - (x - b) f(a)}{b - a}$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) $f(x) = x^3 - 11x^2 + 36x - 36 = 0$ ના શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે બહુપદીના અવયવો પાડીએ:
$x^3 - 2x^2 - 9x^2 + 18x + 18x - 36 = 0$
$x^2(x - 2) - 9x(x - 2) + 18(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x^2 - 9x + 18) = 0$
$(x - 2)(x - 3)(x - 6) = 0$
આમ,શૂન્યો $x = 2, 3, 6$ છે.
તેથી,$x = 4$ એ આપેલ બહુપદીનું શૂન્ય નથી.

(A) ધારો કે $P(x) = x^4-11x^3+44x^2-76x+48$ અને $D(x) = x^2-7x+12$.
પ્રથમ,ભાજકનું અવયવીકરણ કરો: $D(x) = (x-3)(x-4)$.
ભાગાકારના અલ્ગોરિધમ મુજબ,$P(x) = D(x)Q(x) + R(x)$,જ્યાં $R(x) = ax+b$ એ શેષ છે.
તેથી,$P(x) = (x-3)(x-4)Q(x) + ax+b$.
$x=3$ માટે: $P(3) = 3^4 - 11(3^3) + 44(3^2) - 76(3) + 48 = 0$.
તેથી,$3a+b = 0$.
$x=4$ માટે: $P(4) = 4^4 - 11(4^3) + 44(4^2) - 76(4) + 48 = 0$.
તેથી,$4a+b = 0$.
સમીકરણો $3a+b=0$ અને $4a+b=0$ ઉકેલતા $a=0$ અને $b=0$ મળે છે.
તેથી,શેષ $0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3+4 x^2 \cos \theta+x \cot \theta=0$ છે.
$x$ સામાન્ય લેતા,$x(x^2+4 x \cos \theta+\cot \theta)=0$ મળે.
એક બીજ $x=0$ છે. સમીકરણને સમાન બીજ હોવા માટે,કાં તો દ્વિઘાત ભાગ $x^2+4 x \cos \theta+\cot \theta=0$ ના બીજ સમાન હોય (વિવેચક $D=0$) અથવા $x=0$ એ દ્વિઘાત ભાગનું બીજ હોય.
કિસ્સો $1$: $D = (4 \cos \theta)^2 - 4(1)(\cot \theta) = 0$.
$16 \cos^2 \theta - 4 \cot \theta = 0 \Rightarrow 4 \cos^2 \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
આનો અર્થ એ કે $\cos \theta = 0$ (શક્ય નથી કારણ કે $\theta$ લઘુકોણ છે) અથવા $4 \cos \theta \sin \theta = 1$.
$2 \sin 2 \theta = 1 \Rightarrow \sin 2 \theta = \frac{1}{2}$.
$2 \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}$.
કિસ્સો $2$: $x=0$ એ $x^2+4 x \cos \theta+\cot \theta=0$ નું બીજ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\cot \theta = 0$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{2}$ (લઘુકોણ નથી).
આમ,$\theta$ ના મૂલ્યો $\frac{\pi}{12} \text{ અથવા } \frac{5 \pi}{12}$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^5-3x^4-5x^3+27x^2-32x+12$.
બીજ શોધવા માટે,આપણે નાની પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસીએ.
$f(1) = 1-3-5+27-32+12 = 0$,તેથી $(x-1)$ એક અવયવ છે.
$f'(x) = 5x^4-12x^3-15x^2+54x-32$.
$f'(1) = 5-12-15+54-32 = 0$,તેથી $(x-1)^2$ એક અવયવ છે.
$f''(x) = 20x^3-36x^2-30x+54$.
$f''(1) = 20-36-30+54 = 8 \neq 0$. આમ,$x=1$ એ $2$ ની ગુણકતા ધરાવતું બીજ છે.
$f(x)$ ને $(x-1)^2 = x^2-2x+1$ વડે ભાગતા,આપણને $x^3-x^2-6x+12$ મળે છે.
$f'(x)$ માં $x=2$ મૂકતા $f'(2) = 0$ મળે છે.
તેથી $x=2$ એ $f(x)$ અને $f'(x)$ નું બીજ છે,જેનો અર્થ છે કે $(x-2)^2$ એક અવયવ છે.
$f(x)$ ને $(x-1)^2(x-2)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $(x+3)$ મળે છે.
બીજ $1, 1, 2, 2, -3$ છે.
પુનરાવર્તિત ન હોય તેવું બીજ $-3$ છે.
$-3$ ને ભાગતી અવિભાજ્ય સંખ્યા $3$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^5-5x^4+9x^3-9x^2+5x-1=0$ છે.
આને $(x-1)(x^4-4x^3+5x^2-4x+1)=0$ તરીકે લખી શકાય.
$x^2$ વડે ભાગતા,$(x^2+1/x^2) - 4(x+1/x) + 5 = 0$ મળે.
$t = x+1/x$ લેતા,$t^2-4t+3=0$ મળે,જેના ઉકેલ $t=3$ અથવા $t=1$ છે.
$t=3$ માટે,$x^2-3x+1=0$ ના બીજ $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
તેમનો તફાવત $\sqrt{5}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $|x|^{6/5} - 26|x|^{3/5} - 27 = 0$ છે.
ધારો કે $|x|^{3/5} = t$.
તેથી સમીકરણ $t^2 - 26t - 27 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t - 27)(t + 1) = 0$.
આથી $t = 27$ અથવા $t = -1$ મળે.
કારણ કે $|x|^{3/5} \geq 0$ હોવાથી,$t = 27$ લેતા.
તેથી,$|x|^{3/5} = 27 = 3^3$.
બંને બાજુ $5/3$ ઘાત લેતા: $|x| = (3^3)^{5/3} = 3^5$.
આમ,$x = 3^5$ અથવા $x = -3^5$.
વાસ્તવિક ઉકેલોનો ગુણાકાર $(3^5) \times (-3^5) = -3^{10}$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3-a x^2+a x-1=0$ છે.
આપણે સમીકરણનું અવયવીકરણ આ રીતે કરી શકીએ:
$(x^3-1) - a x(x-1) = 0$
$(x-1)(x^2+x+1) - a x(x-1) = 0$
$(x-1)(x^2+x+1-a x) = 0$
$(x-1)(x^2+(1-a)x+1) = 0$.
કારણ કે $\alpha \neq 1$ એ બીજ છે,તેથી $\alpha$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+(1-a)x+1=0$ નું સમાધાન કરે છે.
આમ,$\alpha^2+(1-a)\alpha+1=0$.
$\alpha$ વડે ભાગતા (કારણ કે $\alpha \neq 0$),આપણને $\alpha + (1-a) + \frac{1}{\alpha} = 0$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $x$ એ બીજ હોય,તો $\frac{1}{x}$ પણ બીજ છે કારણ કે સમીકરણ વ્યસ્ત છે.
તેથી,જો $\alpha$ એ બીજ હોય,તો $\frac{1}{\alpha}$ પણ બીજ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^4-8x^3+x^2-x+3=0$ છે.
$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots = 0$ સ્વરૂપના સમીકરણનું બીજું પદ દૂર કરવા માટે,આપણે બીજને $h = -\frac{a_1}{n \cdot a_0}$ વડે ઘટાડીએ છીએ.
અહીં,$a_0 = 1$,$a_1 = -8$,અને $n = 4$ છે.
તેથી,$h = -\frac{-8}{4 \times 1} = \frac{8}{4} = 2$.
આમ,બીજને $2$ વડે ઘટાડવા જોઈએ.

(B) ધારો કે $f(x) = x^5 - 6x^2 - 4x + 5$.
ડેસકાર્ટસના ચિહ્નોના નિયમ મુજબ,ધન વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા $f(x)$ ના સહગુણકોમાં થતા ચિહ્નોના ફેરફાર જેટલી હોય છે.
સહગુણકો $(1, 0, 0, -6, -4, 5)$ છે.
ચિહ્નોમાં ફેરફાર: $(1$ થી $-6)$ અને $(-4$ થી $5)$.
આમ,$2$ ચિહ્ન ફેરફાર છે,તેથી મહત્તમ $2$ ધન વાસ્તવિક બીજ મળે.
હવે,$f(-x) = -x^5 - 6x^2 + 4x + 5$ લો.
સહગુણકો $(-1, 0, 0, -6, 4, 5)$ છે.
ચિહ્નમાં ફેરફાર: $(-6$ થી $4)$.
આમ,$1$ ચિહ્ન ફેરફાર છે,તેથી મહત્તમ $1$ ઋણ વાસ્તવિક બીજ મળે.
તેથી,વાસ્તવિક બીજની મહત્તમ શક્ય સંખ્યા $2 + 1 = 3$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-6(k-1)x+4(k-2)=0$ છે.
બીજ $\alpha$ અને $\beta$ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હોવાથી,$\alpha + \beta = 0$ થાય.
બીજના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\alpha + \beta = 6(k-1) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.
$k=1$ મૂકતા,$x^2 - 4 = 0$ મળે.
તેથી,$x = \pm 2$.
$\alpha > \beta$ હોવાથી,$\alpha = 2$ અને $\beta = -2$ મળે.
હવે,બીજું સમીકરણ $2x^2 - \alpha x + 6\beta(\alpha+1) = 0$ માં કિંમતો મૂકતા: $2x^2 - 2x + 6(-2)(2+1) = 0$.
$2x^2 - 2x - 36 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ માટે બીજનો ગુણાકાર $c/a$ થાય.
અહીં,ગુણાકાર $-36/2 = -18$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x^2-5x+6$ એ $f(x)=x^4-17x^3+kx^2-247x+210$ નો અવયવ છે.
આપણે $x^2-5x+6$ ને $(x-2)(x-3)$ તરીકે અવયવ પાડી શકીએ છીએ.
તેથી,$f(2)=0$ અને $f(3)=0$ થાય.
ધારો કે બીજો દ્વિઘાત અવયવ $x^2+ax+b$ છે.
$f(x)$ નો અચળ પદ $210$ હોવાથી,$(x^2-5x+6)(x^2+ax+35) = x^4-17x^3+kx^2-247x+210$ થાય.
$x^3$ ના સહગુણકની સરખામણી કરતા: $a-5 = -17$,જે $a = -12$ આપે છે.
આમ,બીજો દ્વિઘાત અવયવ $x^2-12x+35$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = 18x^3-33x^2+20x-4$. જો $\alpha$ એ $2$ ગુણકતા ધરાવતું પુનરાવર્તિત બીજ હોય,તો તે $f(\alpha) = 0$ અને $f'(\alpha) = 0$ નું સમાધાન કરે છે.
વિકલન કરતા: $f'(x) = 54x^2-66x+20$.
$f'(\alpha) = 0$ લેતા,$54\alpha^2-66\alpha+20 = 0$.
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,$27\alpha^2-33\alpha+10 = 0$ મળે.
$\alpha = \frac{2}{3}$ એ સમીકરણનું બીજ છે.
વિકલ્પ $A$ માં $\alpha = \frac{2}{3}$ મૂકતા: $3(\frac{2}{3})^2 - 8(\frac{2}{3}) + 4 = \frac{4}{3} - \frac{16}{3} + 4 = 0$.

(B) આપેલ વ્યસ્ત સમીકરણ $6x^4-5x^3+13x^2-5x+6=0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x=0$ બીજ નથી),આપણને $6x^2-5x+13-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}=0$ મળે છે.
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $6(x^2+\frac{1}{x^2})-5(x+\frac{1}{x})+13=0$.
ધારો કે $t = x+\frac{1}{x}$,તો $x^2+\frac{1}{x^2} = t^2-2$.
કિંમત મૂકતા: $6(t^2-2)-5t+13=0 \implies 6t^2-5t+1=0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $(3t-1)(2t-1)=0$,તેથી $t=\frac{1}{3}$ અથવા $t=\frac{1}{2}$.
$x+\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ માટે,$x^2-\frac{1}{3}x+1=0$. વિવેચક $D = (\frac{1}{3})^2 - 4(1) = \frac{1}{9}-4 < 0$.
$x+\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ માટે,$x^2-\frac{1}{2}x+1=0$. વિવેચક $D = (\frac{1}{2})^2 - 4(1) = \frac{1}{4}-4 < 0$.
બંને દ્વિઘાત સમીકરણો માટે વિવેચક ઋણ હોવાથી,ચારેય બીજ સંકર સંખ્યાઓ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3x^2+x+5} = x-3$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3x^2+x+5 = (x-3)^2$ મળે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $3x^2+x+5 = x^2-6x+9$.
પદોને ગોઠવતા: $2x^2+7x-4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^2+8x-x-4 = 0$,જે $2x(x+4)-1(x+4) = 0$ આપે છે.
તેથી,$(2x-1)(x+4) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1/2$ અથવા $x = -4$.
હવે,આપણે આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણ $\sqrt{3x^2+x+5} = x-3$ માં ચકાસવી પડશે.
$x = 1/2$ માટે: $\sqrt{3(1/4)+1/2+5} = 2.5$,જ્યારે $x-3 = -2.5$. $2.5 \neq -2.5$ હોવાથી,$x = 1/2$ ઉકેલ નથી.
$x = -4$ માટે: $\sqrt{3(16)-4+5} = 7$,જ્યારે $x-3 = -7$. $7 \neq -7$ હોવાથી,$x = -4$ ઉકેલ નથી.
આમ,સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(A) સમીકરણ $x^2-7x+10=0$ માટે,બીજ $x=2$ અને $x=5$ છે. બીજનો તફાવત $|5-2|=3$ છે.
સમીકરણ $x^2-17x+k=0$ માટે,ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. બીજનો તફાવત $|\alpha-\beta|=3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $3^2 = (17)^2 - 4k$ મળે છે.
$9 = 289 - 4k$.
$4k = 289 - 9 = 280$.
$k = 70$.
$70$ ના ભાજકો $1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$14$ એ $70$ નો ભાજક છે.

(B) ધારો કે $|x| = t$. કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2 - 5t + 6 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,$(t-2)(t-3) = 0$ મળે છે.
તેથી,$t = 2$ અથવા $t = 3$.
$|x| = 2$ હોવાથી,$x = 2$ અથવા $x = -2$.
$|x| = 3$ હોવાથી,$x = 3$ અથવા $x = -3$.
વાસ્તવિક બીજ $2, -2, 3, -3$ છે.
તમામ વાસ્તવિક બીજનો ગુણાકાર $(2) \times (-2) \times (3) \times (-3) = (-4) \times (-9) = 36$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $x = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}$.
વર્ગમૂળની અંદરના પદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$x = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3}$.
હવે,$x^2(x-4)^2 = [x(x-4)]^2$ ની કિંમત શોધીએ.
$x = 2+\sqrt{3}$ મુકતા:
$x(x-4) = (2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3}-4) = (2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)$.
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x(x-4) = (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) = (\sqrt{3})^2 - (2)^2 = 3 - 4 = -1$.
તેથી,$x^2(x-4)^2 = (-1)^2 = 1$.

(D) આપેલ છે કે $2+4i$ એ $x^2+bx+c=0$ સમીકરણનું એક બીજ છે,જ્યાં $b, c \in R$ છે. સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે. તેથી,બીજું બીજ $2-4i$ થશે.
બીજનો સરવાળો $= -b = (2+4i) + (2-4i) = 4$. તેથી,$b = -4$.
બીજનો ગુણાકાર $= c = (2+4i)(2-4i) = 2^2 - (4i)^2 = 4 + 16 = 20$. તેથી,$c = 20$.
આમ,$(b, c) = (-4, 20)$.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $1-i$ એક બીજ છે,તેથી તેનું અનુબદ્ધ $1+i$ પણ સમીકરણનું બીજ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ માટે,બીજોનો ગુણાકાર અચળ પદ $b$ જેટલો થાય છે.
તેથી,$b = (1-i)(1+i)$.
નિત્યસમ $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
આમ,$b = 2$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2+x+1=0$ ના બીજ છે.
આ બીજ એકમના ઘનમૂળ છે,એટલે કે $\omega$ અને $\omega^2$.
ધારો કે $\alpha = \omega = e^{i \frac{2\pi}{3}}$ અને $\beta = \omega^2 = e^{i \frac{4\pi}{3}}$.
આપણે $\alpha^{2023}$ અને $\beta^{1012}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$\alpha^{2023} = (\omega)^{2023} = \omega^{2023 \pmod 3} = \omega^{2022+1} = \omega^1 = \alpha$ ગણો.
ત્યારબાદ,$\beta^{1012} = (\omega^2)^{1012} = \omega^{2024} = \omega^{2022+2} = \omega^2 = \beta$ ગણો.
નવા સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોવાથી,જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ મૂળ સમીકરણ જેવું જ છે: $x^2+x+1=0$.